2.2.2 有理数的除法【七大题型过关练】同步重难点题型分类专练 2024-2025学年人教版（2024)数学七年级上册

2.2.2 有理数的除法（七大题型过关练） 【知识考点 有理数的除法】 【解题必备知识】 1.有理数除法的运算法则 1）有理数除法法则： （1）文字语言表达：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。 （2）符号语言表达： () 有理数除法法则的延伸：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 3）有理数可以表示为分数p/q(p、q是整数，q不等于0)的形式。 2.有理数的混合运算 1）由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法（可以利用与乘法有关的运算律简化运算），然后确定积的符号，最后算出结果． 2）有理数的加减乘除四则混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的除法运算 【题型2】 有理数的乘除运算 【题型3】 化简分数 【题型4】 有理数的混合运算 【题型5】 有理数混合运算的实际应用 【题型6】 有理数混合运算中的新定义问题 【题型7】 有理数运算中的符号判定及式子化简 【题型1】 有理数的除法运算 【例1】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（2024·山西晋城·二模）计算的结果是（   ） A．12 B．3 C． D． 【变式1-2】（2023-2024七年级上·江苏南通·阶段练习）从“”四种运算符号中，挑选一种填入算式“”的“□”中，使算得的结果最大，则“□”内应填入的运算符号是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式1-4】（2023-2024七年级上·山东聊城·期末）算式______中的横线内应填（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【题型2】 有理数的乘除运算 【例2】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ． (2) ． 【变式2-1】（2022-2023七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第_______步，错误原因是______________ ； 第二处是第_______步，错误原因是______________ ； (2)请写出正确的结果______________． 【变式2-2】（2022-2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】（2022-2023七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【变式2-4】（2022-2023七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 【变式2-5】（2023-2024七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题： 材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设，则； 材料二：分配律：； 利用上述材料，请用简便方法计算：． 【题型3】 化简分数 【例3】（2023-2024七年级·全国·专题练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（2023-2024六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简： ． 【变式3-2】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023-2024七年级·全国·课后作业）化简下列各分数： ， ， ， ． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）化简下列分数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型4】 有理数的混合运算 【例4】（2023-2024七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式4-1】（2023-2024七年级上·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（   ） A．10 B．16 C． D． 【变式4-4】（2023-2024七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式4-5】（2023-2024七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【题型5】 有理数混合运算的实际应用 【例5】（2023-2024七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？ 【变式5-1】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（   ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【变式5-2】（2023-2024七年级上·广东汕尾·期末）小康水平的一个指标是年人均收入1000美元．2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示，此10户的年人均收入如下（单位：美元）： 0 (1)请你算一下这10户有百分之多少达到了小康指标？ (2)10户年平均收入为多少美元？ 【变式5-3】（2023-2024七年级上·河南平顶山·期末）小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【变式5-4】（2023-2024七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 气表读数（立方米） 433 450 468 485 500 514 535 （1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米． （2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？ （3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？ 【变式5-5】（2023-2024七年级上·浙江温州·期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示． 【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置． 【问题2】小李以米/分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题的数轴上． 【题型6】 有理数混合运算中的新定义问题 【例6】（2023-2024七年级·甘肃陇南·期中）如果对于任何有理数定义运算“”如下：，如，求的值． 【变式6-1】（2023-2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023-2024七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023-2024七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【变式6-4】（2023-2024七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式6-5】（2023-2024七年级上·重庆·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如的正因数有、、、，其中、、是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更完美．那么比大，比小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【题型7】 有理数运算中的符号判定及式子化简 【例7】（2023-2024·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 【变式7-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（2023-2024七年级·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【变式7-3】（2023-2024七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________ ． 【变式7-4】（2023-2024七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．6 D．24 【变式7-5】（2022-2023七年级上·山东日照·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【中考真题提前练】 1．（2023•湖南常德•中考真题）下面算法正确的是（ ） A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4 2.（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 3.（2022·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 有理数的除法（七大题型过关练） 【知识考点 有理数的除法】 【解题必备知识】 1.有理数除法的运算法则 1）有理数除法法则： （1）文字语言表达：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。 （2）符号语言表达： () 有理数除法法则的延伸：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 3）有理数可以表示为分数p/q(p、q是整数，q不等于0)的形式。 2.有理数的混合运算 1）由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法（可以利用与乘法有关的运算律简化运算），然后确定积的符号，最后算出结果． 2）有理数的加减乘除四则混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 有理数的除法运算 【题型2】 有理数的乘除运算 【题型3】 化简分数 【题型4】 有理数的混合运算 【题型5】 有理数混合运算的实际应用 【题型6】 有理数混合运算中的新定义问题 【题型7】 有理数运算中的符号判定及式子化简 【题型1】 有理数的除法运算 【例1】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【解答】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 【变式1-1】（2024·山西晋城·二模）计算的结果是（   ） A．12 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【解答】解：， 故选：A． 【变式1-2】（2023-2024七年级上·江苏南通·阶段练习）从“”四种运算符号中，挑选一种填入算式“”的“□”中，使算得的结果最大，则“□”内应填入的运算符号是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数的大小比较．分别计算出填入各个不同符号的运算结果，再进行比较即可． 【解答】解：， ， ， ， ∵， ∴“□”内应填入+时，运算结果最大， 故选：A． 【变式1-3】】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (2) (4) 【答案】(1)4；(2)；(3)0；(4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算．（1）-（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可； 【解答】解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式1-4】（2023-2024七年级上·山东聊城·期末）算式______中的横线内应填（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知运算法则．根据有理数的除法法则即可求解． 【解答】解：括号内应填．（-3）= 故选：． 【变式1-5】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）（2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； 【解答】（1） ； （2） ． 【题型2】 有理数的乘除运算 【例2】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ． (2) ． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； 【解答】解：（1） ； （2） 【变式2-1】（2022-2023七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第_______步，错误原因是______________ ； 第二处是第_______步，错误原因是______________ ； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【解答】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 【变式2-2】（2022-2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2-3】（2022-2023七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【解答】（1） （2） 【变式2-4】（2022-2023七年级上·山西长治·阶段练习）若a是非零自然数，则下面（   ）算式结果最小 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数乘除法的运算方法，有理数大小比较，根据乘法、除法的运算方法，分别判断出每个算式的结果与a的大小关系，即可推得算式中的计算结果最小的是哪个算式． 【解答】解：a是非零自然数， ，，，， ， ， 所以算式中的计算结果最小的是：， 故选：A． 【变式2-5】（2023-2024七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题： 材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设，则； 材料二：分配律：； 利用上述材料，请用简便方法计算：． 【答案】 【分析】设，，先求得的值，再由倒数关系即可解答； 【解答】解：设，， ， ∵和互为倒数， ∴， ∴； 【点评】本题考查了倒数，乘法分配律，有理数的混合运算；当较难计算而较易计算时，可以利用倒数关系来简化运算，求解有理数的除法． 【题型3】 化简分数 【例3】（2023-2024七年级·全国·专题练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的计算法则计算． 【变式3-1】（2023-2024六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分数的化简，根据有理数除法的法则进行约分化简即可． 【解答】解：； 故答案为：． 【变式3-2】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键． 【解答】解：A、，故此选项错误； B、2，故此选项正确； C、，无意义，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：B． 【变式3-3】（2023-2024七年级·全国·课后作业）化简下列各分数： ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点评】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）化简下列分数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除，0除以任何不为0 的数都得0，据此作答即可． 【解答】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查了有理数除法，掌握有理数除法运算法则，是解答本题的关键． 【题型4】 有理数的混合运算 【例4】（2023-2024七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法的运算法则按照同级运算从左到右的顺序计算即可得到答案； （2）先算绝对值里面的，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，再结合有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，涉及绝对值运算，熟练掌握加减乘除运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【变式4-1】（2023-2024七年级上·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据有理数减法，乘除混合，四则混合运算法则进行计算，判断即可． 【解答】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 【变式4-2】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】原式先计算括号内的，再进行除法运算即可． 【解答】解： ， 故选：B 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（   ） A．10 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题意计算出“”表示的数，然后再进行有理数的混合运算即可；解题的关键是准确计算出“”表示的数． 【解答】解：由题意得：， 故选：B． 【变式4-4】（2023-2024七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)19 (4) (5)30 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算律成为解题的关键． （1）运用加法交换律进行简便运算即可； （2）运用小数混合运算的顺序进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可； （5）运用乘法分配律进行计算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 【变式4-5】（2023-2024七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型5】 有理数混合运算的实际应用 【例5】（2023-2024七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？ 【答案】这个公司2017年平均每月亏损 万元． 【分析】首先用这个公司去年每个季度的盈亏额乘3，求出每个季度的盈亏额分别是多少；然后把它们相加，再除以12即可求解． 【解答】解： = =（万元） （万元） 答：这个公司2017年平均每月亏损 万元． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是求出每个季度的盈亏额分别是多少． 【变式5-1】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（   ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【解答】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·广东汕尾·期末）小康水平的一个指标是年人均收入1000美元．2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示，此10户的年人均收入如下（单位：美元）： 0 (1)请你算一下这10户有百分之多少达到了小康指标？ (2)10户年平均收入为多少美元？ 【答案】(1) (2)10户年平均收入为1170美元 【分析】本题主要考查了正负数在生活中的应用以及有理数的混合运算在生活中的应用，以及求百分数. （1）根据正负数的意义找出达到小康指标的户数，然后即可得解； （2）先求出用正负数表示的所有数的和，再除以10然后加上1000即可． 【解答】（1）解：由表格数据可知，超过1000美元的户数有，，，，，共6户， ∴， 故这10户有达到了小康指标． （2） (美元) 故10户年平均收入为1170美元． 【变式5-3】（2023-2024七年级上·河南平顶山·期末）小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【答案】(1)小虫经过这7次爬行后又回到出发点处； (2)3，13； (3)那么小虫共得36片嫩叶． 【分析】本题考查了有理数加法和乘除法的应用，绝对值的应用，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）直接把各数相加即可； （2）计算每次爬行小虫与出发点的距离即可； （3）求出小虫爬行的总路程即可得出结论． 【解答】（1）小虫经过7次爬行后又回到点O．理由如下： ， 小虫经过这7次爬行后又回到出发点O处； （2）第一次爬行距离O点， 第二次爬行距离O点， 第三次爬行距离O点， 第四次爬行距离O点， 第五次爬行距离O点， 第六次爬行距离O点， 第七次爬行距离O点， 小虫第3次爬行后离原出发点O最远，最远距离是； 故答案为：；． （3） ， ， 答：那么小虫共得36片嫩叶． 【变式5-4】（2023-2024七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 气表读数（立方米） 433 450 468 485 500 514 535 （1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米． （2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？ （3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？ 【答案】（1）；；（2）元；（3）元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家月份的用气量和月份平均每月的用气量 （2）根据小明家月份的气费为元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家月份的用气量超过立方米且不超过立方米，超过立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算 （3）根据题意，可计算出小明家月的用气量，再结合题意，即可计算 【解答】（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米； 月份平均每月的用气量为：立方米 故答案为：； （2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为： 一级用气价格为：（元/立方米） 月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取 月份小明家需交气费为：元 （3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米 月份的用气量为：立方米 气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用 月份小明家需交气费为：元 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准． 【变式5-5】（2023-2024七年级上·浙江温州·期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示． 【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置． 【问题2】小李以米/分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题的数轴上． 【答案】问题：见解析；问题：他们经过分钟相遇，图见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴以及有理数的运算，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 问题，先求得数轴上一个单位是米，再由景点图得米，米，米，从而即可作出图形； 问题，先求得小李到达手工作坊时用时和小王到达手工作坊停留后用时，从而得相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，设相遇时间为分钟，列方程求解即可得解，进而确定点． 【解答】解：问题，∵游客中心为原点，碗窑大桥为点， ∴数轴上一个单位是米， 由题得出各景点之间的距离，米，米，米， ∴所标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置如图所示， 问题，，， 小李到达手工作坊时用时分钟， ，，， 小王到达手工作坊停留后用时分钟， ∴相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间， 设相遇时间为分钟， 由题得，， ∴， ∴他们经过分钟相遇，则小华走了（），即从点向左走了， ∴相遇点如图所示的点． 【题型6】 有理数混合运算中的新定义问题 【例6】（2023-2024七年级·甘肃陇南·期中）如果对于任何有理数定义运算“”如下：，如，求的值． 【答案】 【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． 【解答】解： ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． 【变式6-1】（2023-2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【解答】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 【变式6-2】（2023-2024七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【解答】解：∵， ∴ 故选：D 【变式6-3】（2023-2024七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行。 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【解答】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【变式6-4】（2023-2024七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键．先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得． 【解答】解：由题意得： ， 故选：C． 【变式6-5】（2023-2024七年级上·重庆·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如的正因数有、、、，其中、、是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更完美．那么比大，比小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【答案】 【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在的数中，、、、是质数，真因数只有，所以先排除此三个数，再分别找出、、、、的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 【解答】在的数中，、、、是质数，真因数只有，所以先排除这三个数． 由因数的定义，可得的正因数有：、、、、、，其中、、、、是真因数， 完根据完美指标的定义，可得的美指标：， 的正因数有：、、、，其中、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、，其中、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、、，其中、、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、、、，其中、、、、是真因数， 所以的完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，的完美指标最接近， 所以，比大，比小的自然数中，最“完美”的数是． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 【题型7】 有理数运算中的符号判定及式子化简 【例7】（2023-2024·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 【答案】，0 【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解； 【解答】解：∵a，b，c为有理数， ①若， ∴； ②若a，b，c中有两个负数，则， ∴， ③若a，b，c中有一个负数，则， ∴， ④若a，b，c中有三个负数，则， ∴， 故答案为：，0． 【点评】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【变式7-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键．根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可． 【解答】解：根据数轴可知：，， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确， 故选：D． 【变式7-2】（2023-2024七年级·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【解答】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 【变式7-3】（2023-2024七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________ ． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【解答】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点评】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式7-4】（2023-2024七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 【变式7-5】（2022-2023七年级上·山东日照·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)，或 (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解． 【解答】（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 【中考真题提前练】 1．（2023•湖南常德•中考真题）下面算法正确的是（ ） A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则可以判断A；根据有理数的减法法则可以判断B；根据任何数和零相乘都得零可以判断C；根据有理数的除法可以判断D． 【解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意； 7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意； （﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意； （﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2.（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 【答案】－6或零下6 【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降”，列出式子即可求解． 【解答】解：山顶的气温约为 故答案为：－6或零下6． 【点评】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键． 3.（2022·广西·中考真题）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是______千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【答案】212 【分析】根据路程÷时间=速度，求出在高速公路上行驶的速度，再根据路程=速度×时间求出子高速公路行驶的路程，再和其它两段路程相加即可求解． 【解答】解：在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米） 在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米） 所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）． 故答案为：212 【点评】本题主要考查了根据题意求行程的问题，解题的关键是读懂题意，弄清速度，时间，路程三者之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$