重难点02 空间距离的向量求法-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点02 空间距离的向量求法 一、单选题 1．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（     ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，是棱长为6的正方体，若，则点到直线的距离为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 10．（23-24高二上·北京·期中）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（    ） A． B．点D到平面的距离为 C．点D到直线的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 二、多选题 11．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 12．（23-24高二上·湖北·期中）如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为 C．直线与平面平行 D．三棱锥的体积为 13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．过三点的平面截正方体所得的截面图形为直角梯形 14．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 15．（23-24高二上·广西玉林·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与所成的角大小为 C． D．点到平面的距离为 16．（23-24高二上·重庆永川·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 17．（23-24高一上·云南昆明·期中）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 B．点O到平面ABC的距离为 C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为 D．点A到直线OB的距离为2 18．（21-22高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题 19．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 20．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）已知点，平面经过点且垂直于向量，则点D到平面的距离为 ． 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 ．    23．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ． 24．（23-24高二上·四川成都·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 . 四、解答题 25．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 26．（22-23高二下·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为                         (1)求证: BD⊥PC; (2)求点E到平面BDP的距离. 27．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 28．（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 29．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 30．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，四面体中，，，，E为的中点． (1)证明：⊥平面； (2)设，，，点F在上，若与平面所成角的正弦值为，求点F到平面的距离. 试卷第2页，共9页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 空间距离的向量求法 一、单选题 1．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线距离的向量表示可直接求得答案. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 2．（23-24高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故选：A 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点O，取的中点E， O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可得答案. 【详解】取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则，所以平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC， 所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示．又，所以，，， ，所以，所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：A．    4．（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值. 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求点到面的距离. 【详解】由题意可得：， 所以点到平面的距离为. 故选：C. 6．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 【答案】A 【分析】取的中点，连接、，分析可知，二面角的平面角为，计算出、的长，以及的正弦值、余弦值，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】取的中点，连接、，则， 在圆锥中，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，则平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以，， 所以，为等腰直角三角形，且， 因为，，为的中点，则， 所以，，则， ，所以，， 则， ， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 对于A选项，，易知平面的一个法向量为， ， 所以，与平面所成角的正弦值为，A对； 对于B选项，设平面的法向量为，， 则，取，则， ，所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， 所以，， 故与所成角的余弦值为，C错； 对于D选项，， 故平面与平面所成角的正弦值为，D错. 故选：A. 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点作平面于点，过作于点，连接，则为所求，联立即可求解. 【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接，则线段的长即为点P到直线AB的距离， 因为正方体的棱长为1，且， 所以，，， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 所以，令，所以， 点到平面的距离为． 故选：D 9．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，是棱长为6的正方体，若，则点到直线的距离为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到直线的距离. 【详解】   以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体是棱长为6的正方体，则，，,B(6,0,0),D(0,6,0) 又，所以. 所以，, 所以在上的投影向量的长度为：， 所以到直线的距离为：. 故选：A 10．（23-24高二上·北京·期中）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（    ） A． B．点D到平面的距离为 C．点D到直线的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答. 【详解】在图1中，由，得，，，， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，得，A正确． 设平面的法向量为，， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量， 所以点D到平面的距离为，B正确． 取，， 则，，所以点D到直线的距离为，C错误． 平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为，D正确. 故选：C. 二、多选题 11．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】AB 【分析】首先求得，设与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点P到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果. 【详解】由题设条件可知，， 所以， 设与的夹角为， 则， 所以， 所以点P到直线的距离为， P到直线上任意一点Q的距离要大于或等于， 故选：AB. 12．（23-24高二上·湖北·期中）如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为 C．直线与平面平行 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点， 以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 如图所示： 因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A，，，， 设直线与直线所成角为， 所以，故A正确； 对于B，，， 所以，， 所以， 所以点到AF距离为，故B错误； 对于C，连接、，， 在正方体中，因为、分别为、的中点，则， 又易得，所以，故、、、四点共面， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，因为平面， ∴，故D正确. 故选：ACD 13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．过三点的平面截正方体所得的截面图形为直角梯形 【答案】AB 【分析】以点为原点，，，向量正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，根据线面平行的向量求法判断A，根据两平面距离的向量求法判断B，根据两平面夹角的向量求法判断C，根据向量得出，则过三点的平面截正方体所得的截面图形为四边形，再根据向量垂直的数量积判断与不垂直，且与也不垂直，即可判断D. 【详解】是正方体， 如图，以点为原点，，，向量正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 对于A，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则， 则，即平面，故A正确； 对于B，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， ， 平面平面， 点在平面内，点在平面内， 则平面到平面的距离为，故B正确； 对于C，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则平面与平面夹角的余弦值为，故C错误； 对于D，，，，， 则，，，, 则，即， 则再同一平面， 则过三点的平面截正方体所得的截面图形为梯形， ，， 则与不垂直，且与也不垂直，结合， 梯形不是直角梯形，故D错误； 故选：AB. 14．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C. 【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 则，即， 则与所成的角为，A正确； 对于B，，则， 故点到直线的距离为，B正确； 对于C，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于， 故，故，C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为，D正确， 故选：ABD 15．（23-24高二上·广西玉林·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与所成的角大小为 C． D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简，可判定A正确；由向量的数量积的运算公式，求得，可判定B错误；根据向量的模的计算公式，求得，可判定C正确；求得平面的一个法向量，结合距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由， 则， 所以与所成的角大小为，所以B错误； 对于C中，，所以，所以C正确； 对于D中，由B选知：，同理可得， 又由，且平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量， 因为， 所以点到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 16．（23-24高二上·重庆永川·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 对于A中，， 因为， 所以， 即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B中，， 则与所成角的余弦值为， 所以B正确； 对于C中，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D中，由，直线方 向上的单位向量是， 则到的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 17．（23-24高一上·云南昆明·期中）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 B．点O到平面ABC的距离为 C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为 D．点A到直线OB的距离为2 【答案】BC 【分析】利用线面角公式计算A，利用点到面的距离公式计算B，利用异面直线夹角公式计算C，利用点到线的距离公式计算D. 【详解】，． 设平面ABC的法向量为， 则 令，得． 设直线OB与平面ABC所成的角为θ，且， 则， 点O到平面ABC的距离为，A错误，B正确． 因为， 所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为，C正确． 设， 则点A到直线OB的距离，D错误． 故选：BC. 18．（21-22高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法逐一判断各个选项即可. 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，设，则，，， ，，，； 由是棱上的动点，设，， 因为，，所以， 即，故A正确； 当为中点时，是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； ，，若存在点， 使直线与所成的角为， 则， 化简得，无解，故C错误； 由题意可知：点到平面的距离， 为平面的法向量，所以点到平面的距离为， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 19．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：.    20．（22-23高二下·江苏淮安·阶段练习）已知点，平面经过点且垂直于向量，则点D到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】由空间向量中的点到平面的距离公式直接可求得． 【详解】解：∵向量是平面的法向量， 点，平面内的点， ∴， ∴点D到平面的距离． 故答案为：． 21．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 ．    【答案】 【分析】取中点为，中点为，连接，根据面面垂直的性质定理即可得出平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求出平面的法向量，根据向量法求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】如图，取中点为，中点为，连接， 因为，中点为， 所以，且. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. 又为中点，所以. 因为为正方形，所以，. 连接，交于点，则即为的中心 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则. 所以，点到平面的距离. 显然，即为平面上任意一点到底面中心的距离的最小值.    故答案为：. 23．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】 根据空间向量的运算求出以及，即可求得，进而求出，根据点E到直线的距离为，即可求得答案. 【详解】 设，， ， ，则， 又， 则， ， 则，而， ，， 又E是的中点，故， 则点E到直线的距离为， 故答案为： 24．（23-24高二上·四川成都·期中）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由题设直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离. 【详解】由题设，直线为，经过点，且为一个方向向量， 所以，故到直线的距离为. 故答案为：2 四、解答题 25．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立空间直角坐标系，然后运用点到线，点到面，线线之间的距离公式求解即可. 【详解】（1）    如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离. 26．（22-23高二下·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为                         (1)求证: BD⊥PC; (2)求点E到平面BDP的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明平面，进而可得结论； （2）先求的长，再利用向量求解点面距. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）连接，则即为PC与底面所成的角， 由题意， 因为，所以， 以为坐标原点，分别为轴的正方向，建系如图，   ,； ； 设是平面的一个法向量，则,， 令，得，即， 点E到平面BDP的距离为. 27．（23-24高二上·新疆阿克苏·期中）如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离； （2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离. 【详解】（1）建立如图所示：空间直角坐标系， 则 所以, 所以点到直线的距离. （2）, 设平面的法向量为：， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 28．（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点为靠近的三等分点处，使得. 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. （2）因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. （3）设，，，， 因为，所以，解得. 即. 因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得. 29．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可； （2）求出平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面，平面， 因为， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以， 因为M为BC的中点，所以， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 因为， 所以点D到平面的距离. 30．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，四面体中，，，，E为的中点． (1)证明：⊥平面； (2)设，，，点F在上，若与平面所成角的正弦值为，求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据F的位置设出的坐标，然后根据线面夹角的向量公式条件求出F的坐标，最后利用点到面的距离的向量公式求出答案. 【详解】（1）证明：因为，E为的中点，所以，     在和中，，所以， 所以，又E为AC的中点，所以，       又平面BDE，， 所以⊥平面. （2）由（1）可知⊥平面，且， 所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，               所以， 设面的一个法向量为，则 ，    取，则所以，     又，， 设，，所以， 设与平面所成的角为θ， 因为， 所以，解得，                      由点到平面的距离公式得                    试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$