重难点01 空间角的向量求法-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点01 空间角的向量求法 一、单选题 1．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期中）正方形中，边长为为正方形中心，为的中点，为中点，将沿着对角线BD缓慢折起，当的余弦值为时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）如图，四面体A-BCD，△ABD与△BCD均为等边三角形，点E、F分别在边AD、BD，且满足，，记二面角的平面角为，，则异面直线BE与CF所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 8．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（    ）    A．对于任意的点，均有 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得与所成角是 D．不存在点，使得与平面的所成角是 9．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·辽宁·期中）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱分别是的中点.求直线与平面所成角的正弦值（    ）     A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏南通·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面不平行 16．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 17．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图所示，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面的夹角为 18．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 19．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面的所成角的正弦值可以是（    ） A．0 B． C． D． 20．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 21．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ） A．∥ B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面ABC夹角的余弦值为 D．DE与所成角为 三、填空题 22．（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 23．（23-24高二上·湖南衡阳·期中）如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 24．（23-24高二上·福建福州·期中）在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 25．（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除，平面平面，，，四边形，均为等腰梯形，，M，N，P分别为，，的中点，则二面角的平面角的余弦值为 四、解答题 27．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，E为上的动点． (1)确定E的位置，使平面并证明； (2)设，且在第（1）问的结论下，求二面角的正弦值. 28．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 29．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 30．（23-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 31．（22-23高二下·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，PF=PC，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 32．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 33．（23-24高二上·贵州黔南·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 34．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 35．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 试卷第2页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 空间角的向量求法 一、单选题 1．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求直线AD与直线CE所成角的余弦值. 【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则. 所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为. 故选：A 2．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可. 【详解】如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选：C． 3．（23-24高二上·福建福州·期中）正方形中，边长为为正方形中心，为的中点，为中点，将沿着对角线BD缓慢折起，当的余弦值为时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求出各边长度，推得即为二面角的平面角.结合图形，根据几何性质，用表示出，根据数量积的计算公式，即可得出答案. 【详解】 由已知可得，，，， 所以，，均为直角三角形，即为二面角的平面角. 又分别是的中点， 所以，，， 且， 所以，，，. 由可得，. 同理可得，. 所以， ， 所以，. 故选：B. 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】构建如下图的空间直角坐标系，则， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）如图，四面体A-BCD，△ABD与△BCD均为等边三角形，点E、F分别在边AD、BD，且满足，，记二面角的平面角为，，则异面直线BE与CF所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边长为2，过作，交于点,由的数量积求解． 【详解】由于△ABD与△BCD均为等边三角形，由可知为的中点， 过作，交于点，连接，则，, 故的夹角即为二面角的平面角为，故， 设等边三角形的边长为2， 设与的夹角为，则， ， 即， 则， ，即， 故选：C． 6．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，，, 设平面PAC的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 设直线BC与平面PAC的夹角为， 可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为， 所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值. 故选：C 7．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 【答案】A 【分析】取的中点，连接、，分析可知，二面角的平面角为，计算出、的长，以及的正弦值、余弦值，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】取的中点，连接、，则， 在圆锥中，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，则平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以，， 所以，为等腰直角三角形，且， 因为，，为的中点，则， 所以，，则， ，所以，， 则， ， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 对于A选项，，易知平面的一个法向量为， ， 所以，与平面所成角的正弦值为，A对； 对于B选项，设平面的法向量为，， 则，取，则， ，所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， 所以，， 故与所成角的余弦值为，C错； 对于D选项，， 故平面与平面所成角的正弦值为，D错. 故选：A. 8．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（    ）    A．对于任意的点，均有 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得与所成角是 D．不存在点，使得与平面的所成角是 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究空间中线线、线面关系即可. 【详解】设正方体棱长为，如图所示建立空间直角坐标系， 则,    设， 则，， 所以，故A正确； 易知平面的一个法向量为， 则，即点是线段的中点时， 满足平面，故B正确； 由上可知， 所以当， 即时，使得与所成角是，故C正确； 由上可知，设平面的一个法向量为， 则有，令，即， 若与平面的所成角是， 则有， 即存在点，使得与平面的所成角是，故D错误. 故选：D 9．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合图象可得，再利用空间向量数量积的运算律可得两平面夹角的余弦值. 【详解】由题可知，、在直线上，，，且，，如下图， 故，，，，，， 因为， 故， 故，解得， 所以平面和平面的夹角的余弦值是. 故选：A 10．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，代入公式即可求解. 【详解】依题意：圆锥的高， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 取，得，设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 11．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案． 【详解】设与所成角为， 如图所示，不妨设， 则，，，， ，，． 设， 则，． 所以， 当时，，此时与所成角为， 当时，， 此时，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递减，所以， 综上，． 故选：B． 12．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理可求得，根据，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角公式可求得所求余弦值. 【详解】连接， 在中，由余弦定理得：，； 在中，由余弦定理得：； ， ，即异面直线夹角的余弦值为. 故选：C. 13．（23-24高二上·辽宁·期中）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱分别是的中点.求直线与平面所成角的正弦值（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 过作，为垂足，根据垂直关系证明平面，平面，建系，利用空间向量求线面夹角, 【详解】因为，为的中点，所以， 在矩形中，,，分别为，的中点， 故，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 在平面中，过作，为垂足， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，过点H作,交于S,交于Q， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由题意得, 所以，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则 ，即 ， 令，得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C. 14．（23-24高二上·江苏南通·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，， 在下底面作， 以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得， 则即，即， ，，，， ，， . 所以， 又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题 15．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面不平行 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】如图建立空间直角从标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为，则，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，面，所以面， 又，，所以，故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，又面，面，所以面，则面，故选项D错误， 故选：AC. 16．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 【答案】ABD 【分析】利用垂直关系的坐标表示求解选项A；利用平行关系求解选项B；利用空间向量的坐标运算，表示出二面角的余弦值求解选项C,D. 【详解】 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，则， 由于，设 则， 则， 所以E，F运动时，不存在点E，F使得，A错误; 对B，若，则四点共面， 与与是异面直线矛盾，B错误; 对C，设平面的法向量为. 又, ,令，可得， 平面的法向量可取为， 故， 因为，所以函数在单调递减， 所以， 所以， 所以当时，有最大值为， 设二面角的平面角为， 所以有最大值为， 即二面角的最小值为，C正确; 对于D，连接， 平面即为平面,平面即为平面， 取平面的法向量为. 设平面的法向量为， ，令，则， 设二面角的平面角为， 则， 观察可知二面角的平面角为为锐角，所以，D错误； 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，利用向量法来判断选项. 17．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图所示，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面的夹角为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量的坐标.根据向量运算，判断位置关系，求出夹角. 【详解】   如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，. 对于A项，有，，显然不共线，所以A错误； 对于B项，，， 所以，， 所以，. 所以，直线与所成的角为.故B正确； 对于C项，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令可得，是平面的一个法向量. 因为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值， 所以，.故C正确； 对于D项，，. 设是平面的一个法向量， 则， 取，则是平面的一个法向量. 因为， 所以，平面与平面的夹角的余弦值， 所以，.故D正确. 故选：BCD. 18．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于,根据面平面，可知点到平面的距离不变，结合方形的面积不变，可判断正确；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值范围即可求得；对于，分析点的位置，确定点的轨迹，求出轨迹长度，求和即可；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据平面，则，从而有， 利用坐标求得，即可求出其范围. 【详解】对于,因为平面平面， 所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变， 而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时， 四棱锥的体积不变，故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设，则， 设与所成角为， 则， ，当时，； 当时, ， 则，综上，. 所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误； 对于，因为直线与平面所成角为， 若点在平面和平面内， 最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面,    因为,所以 因为所以所以 点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹长度为 所以点的轨迹总长度为故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，, 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 则， 因为平面,所以， 即， 所以， 当时，等号成立，故错误. 故选： 19．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面的所成角的正弦值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求出线面角的正弦值，逐项判断即可. 【详解】如图： 以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.设， 则， 设， 所以. 设为平面的一个法向量，则， 令，得，则. 显然当点与点重合时，直线EH与平面BDG所成角最大， 因为，所以， 此时直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为， 假设平面，则，所以. 因为，所以，即是圆弧的中点， 此时直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为， 因为，，， 所以直线与平面的所成角的正弦值可以是0，，. 故选：ABD 20．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C. 【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 则，即， 则与所成的角为，A正确； 对于B，，则， 故点到直线的距离为，B正确； 对于C，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于， 故，故，C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为，D正确， 故选：ABD 21．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ） A．∥ B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面ABC夹角的余弦值为 D．DE与所成角为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析判断. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， 对于选项A：可得， 因为，可知与不平行， 所以与不平行，故A错误； 对于选项B：可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则， 所以直线DE与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于选项C：可得平面ABC的法向量， 则， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可得， 则DE与所成角的余弦值为，所以DE与所成角不为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 22．（23-24高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设等边的边长为，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】设等边的边长为，设，则平面， 又因为四边形为正方形，则，且， 易知为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，， 所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 23．（23-24高二上·湖南衡阳·期中）如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 【答案】 【分析】取的中点E，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解即得. 【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 依题意，，则， 设直线AD与BC所成的角为， 则，解得， 所以直线AD与BC所成的角为. 故答案为： 24．（23-24高二上·福建福州·期中）在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】/ 【分析】构建空间直角坐标系，令且，故，应用向量法用表示出线面角的正弦值，即可求最值. 【详解】若正方体的棱长为1，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，令且，故， 由，故， 令面的法向量为，则，令，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，正弦值的最大值为. 故答案为： 25．（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】将该正四面体放到棱长为正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】依题意可将该正四面体放到棱长为正方体中如下图所示， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设二面角为，显然二面角为锐二面角， 则，所以.    故答案为： 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除，平面平面，，，四边形，均为等腰梯形，，M，N，P分别为，，的中点，则二面角的平面角的余弦值为 【答案】/ 【分析】建立合适的空间直角坐标系利用空间向量求二面角即可. 【详解】过A作，垂足为O，过O作，垂足为Q， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，故可以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知：，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得. 易得平面的一个法向量为，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 27．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，E为上的动点． (1)确定E的位置，使平面并证明； (2)设，且在第（1）问的结论下，求二面角的正弦值. 【答案】(1)E为PD的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点O，连接，利用中位线性质得，然后利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，利用同角关系求解正弦值. 【详解】（1）E为的中点，可使平面.证明过程如下： 连接，交于点O，连接， 则O为的中点，∵E为的中点，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）以A为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，∴平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴，∴． 由图可知，平面与平面所成的角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为，正弦值为． 28．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【详解】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 29．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 30．（23-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 31．（22-23高二下·四川内江·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，PF=PC，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用二面角大小列出方程，求出，得到结论. 【详解】（1）在PD上取中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点，∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2） 因平面，平面，故，又， 故可以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 易得，，，， 则， 由F为棱PC上一点，设则， ， 设平面FAD的法向量为， 由故可取，， 取平面ADC的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 化简得，，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 32．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果； （2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值； 【详解】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 33．（23-24高二上·贵州黔南·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可； （2）利用计算可得. 【详解】（1）直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以，即， 又平面，所以平面. （2）因为，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 34．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，此时 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 35．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. （3）因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 试卷第2页，共49页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$