专题03 函数的概念与性质（11大基础题+7大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的概念与性质 函数的概念 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 3．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 4．（23-24高一上·浙江·期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B． C． D． 6．（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一上·广东揭阳·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．函数的图象是一条直线 B．是函数 C．函数的图象与直线的交点最多有1个 D．与是同一个函数 相等函数的判断 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列函数与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C． D． 5．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下列各组函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一上·广东惠州·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是 . ①，  ② ③    ④ 求函数值 1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若，则（    ） A．9 B．10 C． D．6 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 4．（23-24高一上·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京通州·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示,则的值为（    ） 0 3 6 3 0 6 A．9 B．6 C．3 D．0 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知，则 ． 7．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数则 函数的定义域 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B．C． D． 6．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（23-24高一上·广东·期中）下列函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 12．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·山西临汾·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 函数的值域 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 13．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 14．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 15．（23-24高一上·河北沧州·期中）函数的值域是 . 函数的解析式 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（23-24高一上·四川成都·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 . 9．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西·期中）已知函数，则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 4．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 7．（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 8．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期中）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北保定·期中）函数是 （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数. 已知奇偶性求值 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 3．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 4．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．-11 B．-9 C．9 D．11 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 幂函数 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）幂函数在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．2 D．2或 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（    ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 5．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．  C．   D．   7．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 函数的图像 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，若，且，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3．（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   4．（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   5．（23-24高一上·山西·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 已知单调性求参数 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 9．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·重庆·期中）函数是定义在上的增函数． (1)求的最大值； (2)解不等式：． 根据函数的性质解不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江·期中）定义在R上的偶函数在上单调递增,,则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 10．（多选）（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 12．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 比较大小 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的有，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 8．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 分段函数问题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 2．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一下·云南保山·期中）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（   ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．在上单调递增 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 10．（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，则 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，如果，那么实数的值为 . 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 抽象函数问题 1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（     ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①④ 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 7．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 8．（多选）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 10．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 函数新定义问题 1．（23-24高一上·北京·期中）对于每个实数x，若函数取三个函数的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24高一上·安徽·期中）函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）函数.其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，.下列四个判断其中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 6．（23-24高一上·湖北武汉·期中）定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 7．（23-24高一上·山东德州·期中）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏徐州·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“4阶依附函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·重庆·期中）定义新运算：当时，；当时，，则函数的最大值等于（    ） A． B．5 C． D．0 10．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“倍跟随区间” 11．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（23-24高一上·广东佛山·期中）19世纪，德国著名数学家狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，后世称为“狄利克雷函数”，这个函数（记为）可表达为：任一个有理数x对应数值1，任一个无理数x对应数值0.关于狄利克雷函数，下面表述正确的有（　　） A．有最大值且有最小值 B．是偶函数 C．恒成立 D．存在3个点可构成等边三角形 13．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数最大值为1 14．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，若此函数同时满足： ①当时有； ②当时有， 则称函数为函数． 在下列函数中： ①；②；③ 是函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号） 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值为，最小值为，则 ，的值为 ． 16．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 函数的综合问题 1．（多选）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 2．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时，的值域为 C．当时，在上恒成立 D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 7．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 8．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，． (1)若，判断的奇偶性． (2)若是单调递增函数，求的取值范围． (3)若在上的最小值是3，求的值． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 函数的概念 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的定义判断即可. 【详解】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据函数的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数， 根据函数的定义知： 若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况； 若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况， 所以函数的值域的不同情况有种. 故选：B. 3．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 4．（23-24高一上·浙江·期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项，均有对应的函数值不在中，C选项中元素对应的函数值均在中. 【详解】A选项，当时，，而，故A错误； B选项，当时，，而，故B错误； C选项，当时，，当时，，当时，， 故满足要求，C正确； D选项，当时，，而，D错误. 故选：C 5．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 6．（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的定义判断即可 【详解】选项B、C：对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确； 选项A、D：存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误； 故选：AD 7．（多选）（23-24高一上·广东揭阳·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．函数的图象是一条直线 B．是函数 C．函数的图象与直线的交点最多有1个 D．与是同一个函数 【答案】ABD 【分析】由函数的定义域可知函数图象是离散的点，判断选项A错误；由函数的定义可判断选项BCD. 【详解】对于选项A，因为函数的定义域为， 所以其图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，故选项A错误； 对于选项B，因为要使与有意义，则，不等式组无解， 所以由函数的定义可得不是函数，故选项B错误； 对于选项C，由函数定义可知：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值， 故函数的图象与直线的交点最多有1个，故选项C正确； 对于选项D，因为函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项D错误. 故选：ABD.. 相等函数的判断 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为    ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 4．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列函数与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】CD 【分析】根据定义域和对应关系都相同即为相等函数逐项判断． 【详解】对于A ：的定义域是，的定义域是， 故，不是同一函数，故A错误； 对于的定义域是，的定义域是，， 故，不是同一函数，故错误； 对于的定义域是，的定义域是，且， 故，是同一函数，故正确； 对于的定义域是，的定义域是，且， 故，是同一函数，故正确． 故选：CD． 5．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下列各组函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域为R，是不同函数，A是； 对于B，函数的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，B不是； 对于C，的定义域都为R，又，即对应法则相同，它们是相同函数，C不是； 对于D，函数的定义域为，的定义域为， 是不同函数，D是. 故答案为：AD 6．（多选）（23-24高一上·广东惠州·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】判断各函数的定义域与对应法则是否相同，从而得解. 【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为， 显然两函数定义域不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数，故D正确. 故选：BD. 7．（23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是 . ①，  ② ③    ④ 【答案】①④ 【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是，从而得解. 【详解】对于①，，因为两个函数的定义域都为， 且对应关系也一样，所以是同一个函数，故正确； 对于②，因为的对应关系不一样， 所以不是同一个函数，故错误； 对于③，的定义域为， 的定义域为，两个函数的定义域不一样，故错误； 对于④， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故正确． 故答案为：①④. 求函数值 1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】代入解析式求值即可. 【详解】由，得. 故选：C. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若，则（    ） A．9 B．10 C． D．6 【答案】C 【分析】直接计算即可. 【详解】. 故选：C 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据函数的解析式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数 ，可得，则. 故选：A. 4．（23-24高一上·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可. 【详解】因为， 所以 故选：A. 5．（23-24高一上·北京通州·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示,则的值为（    ） 0 3 6 3 0 6 A．9 B．6 C．3 D．0 【答案】B 【分析】直接根据函数图像和表格计算得到答案. 【详解】. 故选：B. 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】利用函数解析式，计算函数值 【详解】由题意，，则． 故答案为：5 7．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数则 【答案】3 【分析】代入即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 故答案为：3 函数的定义域 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏常州·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由且可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件求定义域. 【详解】函数有意义，则有， 解得且，所以函数定义域为. 故选：D 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域，得到答案. 【详解】A选项，由题意得且，解得且，不合要求，A错误； B选项，中，且，解得，不合要求，B错误； C选项，中，令且，解得且，满足要求，C正确； D选项，中，令且，解得且，不合要求，D错误. 故选：C 6．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解. 【详解】对于函数：因为，则， 所以的定义域为. 故选：B. 7．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式、分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是 故选：A 10．（多选）（23-24高一上·广东·期中）下列函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由函数解析式直接求函数的定义域一一判定选项即可. 【详解】对于函数，要有意义需，即其定义域为， 对于函数，显然其定义域为， 对于函数要有意义，需，即其定义域为． 即A、B正确，C、D错误. 故选：AB 11．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】可根据相同对应关系括号内取值范围一样解出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 又因为函数， 所以，即或， 故答案为： 12．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数定义域为R转化为不等式在上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在上恒成立，， 即，. 故答案为：. 13．（23-24高一上·山西临汾·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集即可求解. （2）根据题意，对进行分类讨论，再利用一元二次不等式的解集为，可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：不等式的解集为， 所以，化简，解之得． 故实数的值为. （2）由题意得：不等式在R上恒成立， ①当，即或时， 若，则，符合题意； 若，则，定义域不是，不满足条件． ②当，即，或时， ，解得，或. 综上所述，m的取值范围是． 函数的值域 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 3．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案. 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 5．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 6．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 7．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为不等式的解集为，结合根与系数的关系，求得的值，再结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 即不等式的解集为，所以和是方程两个根， 可得且，解得，所以， 因为，所以函数的值域为. 故选：D. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误； 对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误． 对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确． 故选：D． 10．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 11．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 12．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得. 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，， 则方程的两根为或， 则，，即， 则， 当时，取得最大值为， 即，解得：. 故选：A. 13．（23-24高一上·北京东城·期中）有下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数是 . 【答案】① 【分析】分别就四种函数，从定义域和函数式的结构组成考虑，探求其值域即得. 【详解】对于① ，函数的定义域为R，值域也是R，符合题意； 对于② ，函数的定义域为R，因， 则，即函数的值域为，不合题意； 对于③ ，函数的定义域为R， 因，则， 即函数的值域为，不合题意； 对于④ ，函数的定义域为， 当时，，当时，， 即函数的值域也是，不合题意. 故答案为：①. 14．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 15．（23-24高一上·河北沧州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】令，有，结合二次函数性质求值域. 【详解】由题设，令， 则，开口向上，故值域为. 故答案为： 函数的解析式 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 2．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件代入直接求解解析式即可. 【详解】因为，所以，，，. 故选：A 3．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，因此. 故选：A. 4．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【详解】因为 所以 所以，即. 故选：C. 5．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 6．（多选题）（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 7．（多选题）（23-24高一上·四川成都·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用配凑法可得函数解析式，进而判断各选项. 【详解】由， 所以，C选项错误，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项正确； 故选：BD. 8．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 . 【答案】或 【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得. 【详解】设，则 ， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 9．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．（23-24高一上·山西·期中）已知函数，则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用函数单调性的定义，考查函数在上单调递减的等价条件，即可判断. 【详解】若在上单调递减， 则任取，且， 所以恒成立， 又，且，所以， 故, 所以“”是“在上单调递减”的充要条件． 故选：A. 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 4．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 5．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 7．（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．（23-24高一上·北京东城·期中）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数定义逐一判断,仅有B项符合，再验证在上的单调性即得. 【详解】对于A项，函数定义域是R，且是偶函数，故A项错误； 对于B项，函数的定义域是，且函数是奇函数，且在区间上单调递减，故B项正确； 对于C项，函数是非奇非偶函数，故C项错误； 对于D项，函数不是奇函数，故D项错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知， 在上单调递减， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 故选：C. 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，分析函数的奇偶性即可；对于B，分析函数的单调性即可；对于C，分析奇偶性即可；对于D，分析奇偶性与单调性即可. 【详解】对于A，设，则, 所以不是偶函数，不符合题意； 对于B，易知在上单调递增，不符合题意； 对于C，设，定义域为， 则，所以是奇函数，不符合题意； 对于D，设，定义域为， 则，为偶函数. 又时，，在上单调递减，符合题意. 故选:D. 5．（多选）（23-24高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义及判定方法，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由幂函数的性质，可得在，所以在上是减函数，所以A正确； 对于B中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由时，可得在减函数，所以B正确； 对于C中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质，可得函数在减函数，所以C正确； 对于D中，由函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为奇函数，不符合题意，所以D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·河北保定·期中）函数是 （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数. 【答案】偶 【分析】确定函数定义域为，计算，得到答案. 【详解】函数的定义域为，， 所以是偶函数. 故答案为：偶 已知奇偶性求值 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于为偶函数，所以，化简可求出实数k的值. 【详解】解：定义域为， ∵是偶函数， ∴， 即， ∴，即， 即， ∵，∴，得． 故选：C 2．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得，然后求值． 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以， 故， 所以. 故选：B． 3．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 4．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．-11 B．-9 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据奇函数得到，解得，根据计算得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，故，解得， . 故选：B. 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合奇函数的定义分析求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得. 故选：B. 6．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得. 【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数， 则，即，解得， 则，， 则. 故选：B. 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 8．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性以及二次函数对称性分析求解. 【详解】因为，则， 若是偶函数，可知关于y轴对称， 则，解得. 故答案为：. 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【分析】根据函数的奇偶性结合，列式求值，即得答案. 【详解】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 幂函数 1．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出. 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果. 【详解】由题知，解得， ， 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）幂函数在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义可得，再由单调性可得，即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上单调递增，则， 满足题意，不合题意舍去. 故选：B. 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（    ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 【答案】D 【分析】由幂函数的定义求m的值，然后验证函数的单调性即可得答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或2， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，，在上不单调，不满足题意； 故选：D. 5．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 6．（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】函数，代入图像经过的点，求得的值，分析函数性质，选择函数图像. 【详解】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D 7．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义得到，再代入计算即可判断A；根据指数即可得到其定义域，即可判断B；根据函数奇偶性的判断方法即可判断C；根据函数奇偶性和单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】对A，由题知，，得，即，故A正确； 对B，函数的定义域是，故不正确； 对C，因为，所以函数是偶函数，故不正确， 对D，当时，单调递减，所以，解得，且， 即不等式的解集为，故D正确． 故选：AD. 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数. 【详解】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 函数的图像 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，若，且，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意确定，再利用二次函数性质逐项判断. 【详解】若，且，则，故开口向下,故BD错误； 又，故C错误，A正确. 故选：A 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】B 【分析】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【详解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·福建三明·期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象的形状大致是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论的取值范围，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】对于， 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除AB； 当时，，由二次函数的性质可知其单调递增，排除D； 而C选项满足上述条件. 故选：C. 4．（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 5．（23-24高一上·山西·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的定义域，奇偶性可排除C，D；再求的值，可排除A，即可得出答案. 【详解】的定义域为，排除选项D. 因为， 所以为奇函数，排除选项C. 因为，所以排除选项A. 故选：B. 6．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 已知单调性求参数 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 4．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 5．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出对称轴，分与两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，对称轴为， 令，此时，满足要求， 令，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】讨论，，结合一次函数和二次函数的单调性得出实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，要使得函数在上单调递增， 必须，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数． (1)若时，求函数的定义域； (2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二次根式有意义的条件、定义域的概念即可得解. （2）由题意只需，即可，从而转换为恒成立问题即可得解. （3）首先由题意或或，其次直接由减函数的定义分析得到，由此即可得解. 【详解】（1）若，要使函数有意义，由，解得， 即函数的定义域为. （2）由题意，，函数均有意义，即，，， 故只需，，即只需且即可. 综上所述，实数a的取值范围为. （3）当时，为常函数，不符合题意，再由（2）可知或或； 设，，且． ， 由，可得， 要使函数在区间上为减函数，只需，则， 解得，或， 综上所述，实数a的取值范围为. 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 11．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到的解析式，根据二次函数的性质得到或，解答即可. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 则或， 又的图象关于轴对称，即为偶函数，所以. （2）由（1）可知，，对称轴为． 函数在区间上单调， 令或，解得或，即． 12．（23-24高一上·重庆·期中）函数是定义在上的增函数． (1)求的最大值； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），作差整理可得.进而根据函数的单调性，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，结合函数的单调性以及定义域可得出.求解不等式，即可得出答案. 【详解】（1），则 . 因为， 所以，，. 又因为在上单调递增， 所以，，， 所以，， . 因为，， 所以，， 所以，， 即的最大值为. （2）易知， 则由可得出. 因为在上单调递增，所以. 由可得，. 当时，有，解得，所以； 当时，有，解得或，所以. 综上所述，或. 同理，解，可得或. 所以，由可得，或. 所以，不等式的解集为. 根据函数的性质解不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合函数零点，解不等式. 【详解】函数是偶函数，在上单调递增，， 则在上单调递减，， ，则有或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可. 【详解】根据奇函数的性质可知在和上单调递减， 且， 所以的解集为. 故选：B 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 4．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．（23-24高一上·浙江·期中）定义在R上的偶函数在上单调递增,,则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上单调递增，在上单调递减，，，当或时，；当时，，由条件列出不等式组，求解即可. 【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且， ∴在上单调递减，且， ∴当或时，；当时，， ∵，∴或， ∴或， ∴或，即， 则不等式的解集是. 故选：A. 6．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数图象对称轴方程，再结合给定单调区间及单调性，求解不等式即得. 【详解】由函数是偶函数，得函数的图象关于y轴对称， 而函数的图象可由函数的图象向左平移2个单位而得， 因此函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增， 于是，即，整理得，解得， 所以所求x的取值范围为. 故选：C 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，从而判断得的奇偶性与单调性，进而将不等式转化为，由此得解. 【详解】设，则定义域为， 因为是定义在上的奇函数， 则，所以为奇函数， 又因为对于任意，都有成立， 即对于任意，都有成立， 即成立，所以在为增函数； 因为，所以， 又为奇函数，所以在上为增函数，且， 所以. 故选：A. 8．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】偶函数的定义域关于原点对称，求出a的值，然后根据单调性即可得出答案. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以， 又函数在，即单调递增，所以在单调递减， 等价为， 故选：B. 9．（多选）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】先根据条件确定函数的单调性及对称性，根据单调性来比较大小确定AC；利用单调性及对称性解不等式确定D；根据单调性求出最值确定B. 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 10．（多选）（23-24高一上·福建泉州·期中）定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 【答案】AD 【分析】根据题意分析的奇偶性和单调性，利用的图象结合不等式分析A，B选项，根据的单调性和奇偶性分析C，D选项. 【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数， 则函数为偶函数，在上为减函数， 函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到， 作出和的大致图象如图， 则不等式可化为或， 由图象可知，故A正确，B错误； 由于为偶函数，故可化为， 即，解得，故C错误，D正确， 故选：AD. 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 12．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 比较大小 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小. 【详解】对于，当时，都有恒成立， 则在上单调递增，有， 又函数是偶函数，，，， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性将转化为，然后根据单调性比较函数值的大小关系. 【详解】因为是偶函数，所以， 又因为对任意的有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减， 所以，即， 故选：C. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可. 【详解】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 7．（23-24高一上·福建三明·期中）下列大小关系正确的是（    ） ①    ②    ③     ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小. 【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选:C. 8．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 9．（多选）（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，利用幂函数单调性即可判断AD，利用指数函数的单调性判断B，利用“1”比较大小可判断C. 【详解】由可知，函数在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 因为为上的增函数，故，故，故A错误； 因为为减函数，所以，故，故B正确； 因为，，所以，所以，故C正确； 由在上是增函数，所以，所以 ，故D错误. 故选：BC 分段函数问题 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 2．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数两段都是单调递增，并且在时，，列不等式组即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在其定义域内是一个单调递增函数， 所以，可解得. 故选：B. 3．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 5．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况求解不等式即可. 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 8．（多选）（23-24高一下·云南保山·期中）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（   ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据分段函数的定义域判断A，分段研究函数的单调性，利用单调性求解值域判断BD，先求，再求判断C. 【详解】函数函数的定义域为，故A错误； 当时，单调递增，则， 当时，，所以函数的值域为， 故在上单调递增，则选项BD正确； 又，所以，故选项C错误. 故选：BD 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 10．（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，则 【答案】5 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：5. 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，如果，那么实数的值为 . 【答案】或. 【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故答案为：或 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可； （2）令，讨论的范围解方程求解得答案. 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 抽象函数问题 1．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（     ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【详解】因为，则有： 令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 即，解得， 再令，可得， 即，故②错误； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：D． 【点睛】思路点睛：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案． 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 6．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 7．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对称性可判断A；由，，可推出，从而判断B；由已知条件得，利用赋值法可得到，从而判断C；从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到，进而可判断D. 【详解】对于A，因为的图象关于直线对称， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为， 联立得， 所以图像关于点对称，故B正确； 对于C，因为，所以， 即， 因为，代入得， 即， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，由B选项可知， 因为，所以. 因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的对称性，得到求解所需变形即可. 8．（多选）（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】先根据条件确定函数的单调性及对称性，根据单调性来比较大小确定AC；利用单调性及对称性解不等式确定D；根据单调性求出最值确定B. 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 10．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 函数新定义问题 1．（23-24高一上·北京·期中）对于每个实数x，若函数取三个函数的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题可根据的图象得出结果. 【详解】因为函数取三个函数的最小值， 所以可根据图象绘出的图象， 如图： 联立，解得，的最大值是. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽·期中）函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，对分类讨论，根据取整函数的要求，即可求得值域. 【详解】当时，，则，此时函数的值域； 若，则， 当时，，当且仅当时等号成立； 则，所以，则此时函数的值域为，； 当时，，所以， 当且仅当时等号成立，则，即， 则此时函数的值域为. 综上所述，函数的值域是. 故选： 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】令，求出所对应的的取值范围，从而求出的解析式，画出的图象，再由，，即可求出区间长度的最大值. 【详解】令，即，解得， 所以， 则的图象如下所示： 又，， 要使函数在区间的值域为，当时，当时， 所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为. 故选：D 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 5．（23-24高一上·北京·期中）函数.其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，.下列四个判断其中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】通过取特殊集合分析①③；先分析的结果，根据结果判断②；先考虑的情况，然后分析的唯一性，由此判断④. 【详解】对于①：若，满足， 此时，故错误； 对于②：若，则由函数定义可知，即，所以， 则，所以，故正确； 对于③：若，满足， 此时，故错误； 对于④：若，则，； 若，假设， 则，所以， 所以，所以， 这显然与矛盾，所以假设不成立， 所以若，则，故正确； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查对函数定义域、值域的理解以及集合的基本运算，主要考查学生的分析与理解能力，难度较大.其中对于元素的考虑是分析问题的关键. 6．（23-24高一上·湖北武汉·期中）定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（    ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 【答案】D 【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可. 【详解】对于D，因为，使得，此时， ，这表明了，故D正确； 对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误； 对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误； 对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可， 而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数. 7．（23-24高一上·山东德州·期中）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A选项，判断出为奇函数，满足要求；B选项，不存在，使得，B错误；CD选项，举出反例. 【详解】A选项，因为定义域为R，且， 故对任意的，存在，使得成立，A正确； B选项，，不存在，使得，故不满足要求，B错误； C选项，，当时，，但不存在，使得， 故不满足要求，C错误； D选项，，当时，， 不存在，使得，不满足要求，D错误. 故选：A 8．（23-24高一上·江苏徐州·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“4阶依附函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值域，将问题转化为，然后分，，讨论即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，当时，， 依题意，对任意时，都有， 即，即， 由上知，， 所以，当，即时，，解得； 当，即时，，解得（舍去）； 当，即时，， 解得（舍去）. 综上，实数的取值范围为. 故选：B 9．（23-24高一上·重庆·期中）定义新运算：当时，；当时，，则函数的最大值等于（    ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，确定函数解析式，根据函数的单调性得到最值. 【详解】当时，，； 当时，；； 综上所述：函数的最大值为. 故选：B 10．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“倍跟随区间” 【答案】AD 【分析】对于A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可求解的值；对于B，假设存在“跟随区间”，则根据条件求解的值，若有解则存在，反之不存在；对于C，先设“跟随区间”为，则根据满足的条件建立方程组，找出的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围；对于D，若存在“倍跟随区间”，设定义域为，则值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解. 【详解】对于A，若为的“跟随区间”， 且的对称轴为， 所以，解得或（舍），A正确； 对于B，假设存在“跟随区间”， 因为在单调区间上递减， 则有，解得， 此时在上的值域不包含，故不存在，B错； 对于C，在定义域上单调递减， 若存在“跟随区间”， 则有，即， 两式相减得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以， 设，则， 即在区间上有一个实数根， 所以，解得，故C错误； 对于D，若存在“倍跟随区间”， 设定义域为，则值域为， 当时，易得函数在定义域上单调递增， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：理解新定义以及合理转换已知条件是解决问题的关键. 11．（多选）（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“平方差减函数”的定义可推出，从而构造函数，判断其为单调减函数，由此结合各选项一一判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意知函数为“平方差减函数”， 则满足对，当时，不等式恒成立， 即， 而，则， 令，则， 即在上单调递减， 对于A，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，故为“平方差减函数”，A正确； 对于B，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 则不是“平方差减函数”，B错误； 对于C，，则在上单调递减， 故为“平方差减函数”，C正确； 对于D，，则在上单调递增， 故不是“平方差减函数”，D错误； 故选：AC 12．（多选）（23-24高一上·广东佛山·期中）19世纪，德国著名数学家狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，后世称为“狄利克雷函数”，这个函数（记为）可表达为：任一个有理数x对应数值1，任一个无理数x对应数值0.关于狄利克雷函数，下面表述正确的有（　　） A．有最大值且有最小值 B．是偶函数 C．恒成立 D．存在3个点可构成等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据题意，由狄利克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，用分段函数的形式表示狄利克雷函数， 所以有最大值1，有最小值0，故A正确； 对于B，当为有理数时，也为有理数，故有， 当为无理数时，也为无理数，故有，所以， 则是偶函数，故B正确； 过于C，当时，可得，则为无理数，可得，又， 所以，故C错误； 对于D，当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有， 此时三点共线，不构成三角形； 当三个数都是有理数时，此时，因此三点共线，构不成三角形； 当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数， 所以有，当是等边三角形时，有， 则，即，显然， 于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形； 当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数， 所以有，当是等边三角形时，有， 则，即，显然， 于是有，取，设，如下图所示： 由得，即， 所以存在三点，使得为等边三角形，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键. 13．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程有三个解 C．函数在区间上单调递增 D．函数最大值为1 【答案】BD 【分析】根据题意，得到函数的解析式，作出函数得的图象，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由定义，可得， 画出函数的图象，如图所示， 对于A中，根据函数的图象，可得为定义域上的偶函数，所以A不正确； 对于B中，结合函数图象，可得函数图象与坐标轴有3个交点，即方程有三个实数根，所以B正确； 对于C中，由函数图象得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，可得当时，函数取得最大值，最大值为，所以D正确. 故选：BD. 14．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，若此函数同时满足： ①当时有； ②当时有， 则称函数为函数． 在下列函数中： ①；②；③ 是函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号） 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于①，函数为奇函数，时，即， 则，所以满足， 又在上单调递增，所以时即， 由，所以为函数. 对于②，令，， 且与都在上单调递增，所以在上单调递增， 时，即， 则，所以满足， 时即， 由，所以为函数. 对于③，令，若，满足， 而，不符合. 故答案为：①② 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值为，最小值为，则 ，的值为 ． 【答案】 2023 4046 【分析】根据题意，取特殊点，结合单调性的定义，可得答案. 【详解】∵对于任意的，都有， ∴令，得， 再令，将代入可得， 设， 则， ∴，又， ∴可得，即函数是严格增函数， ∴，，又∵， ∴的值为4046． 故答案为：2023；4046 16．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 【答案】(1)是“含峰函数”， 峰点为； (2). 【分析】（1）由“含峰函数”的定义，结合二次函数性质即可判断是否为“含峰函数”， 并确定峰点； （2）由二次函数性质及峰点、值域可得且，再讨论、应用最小值求参数a范围. 【详解】（1）是在[0,6]上的“含峰函数”，理由如下， 由，开口向下且对称轴为， 所以区间[0,6]上，函数在上递增，在上递减，且峰点为， 所以为[0,6]上的“含峰函数”， 峰点为. （2）由题设，，则， 又值域为[0,4]，故， 综上，且， 当时，，则； 此时，故； 当时，，则； 综上，. 函数的综合问题 1．（多选）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B， ，则，即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 2．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时，的值域为 C．当时，在上恒成立 D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为 【答案】ABD 【分析】代入即可求解A，根据分段函数的性质，作出函数图象，结合平移即可求解B，根据函数图象，结合临界情况，举反例可判断C，利用数形结合可判断D. 【详解】当 时， ，A正确； 的图象为：    由图象可知，时，的值域为 当 时， ，的图象是由的图象向右平移2个单位得到，所以 的值域为 ，B正确； 当 时， ，画出 和 的图象如下：    类指数函数 的图象刚好经过 的图象中每个"山顶"， 若 在 上恒成立， 即类指数函数 的图象恒在 图象的上方， 这个不一定恒成立，在每个"山项"的左边， 的图象既可以在"山坡"上方， 也可以穿过"山坡"在下方，临界情况是相切， 如取 ，当 时， ，C错；    当 时， 的图象如下：    直线 刚好经过第 n 个"山峰”的“山顶"， 它与前面 个"山峰"都有两个交点，与后面的“山峰"没有交点，共 个交点，D正确; 故选：ABD 【点睛】函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）若存在使成立， 则， 解得或， 所以k的取值范围是； （2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时， ； 当即时， ； 当即时， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 7．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 8．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，． (1)若，判断的奇偶性． (2)若是单调递增函数，求的取值范围． (3)若在上的最小值是3，求的值． 【答案】(1)奇函数 (2) (3)或 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断出答案； （2）判断函数在，时的单调性，结合是单调递增函数，列不等式求解，即得答案； （3）结合（2）的结论，讨论m的取值范围，判断函数在上的单调性，结合最值，求得m的值，即得答案. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 当时，，因为， 所以是奇函数． （2）由题意得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 由于是单调递增函数， 故需满足，且， 即时，在上是增函数． （3）①由（2）知，若，在上单调递增，在处取得最小值， ，解得或者； ②时，在单调递增，因为，， 在上单调递增，所以在处取得最小值， 此时，解得，与矛盾； ③时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增． 若，即时，函数在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 解得，与矛盾； 若，即时，在单调递增，在上单调递减， 因为，所以在处取得最小值，， 解得，与矛盾； 若，即，在单调递增，在单调递减， 在单调递增，因， 故，解得，舍去； 综上，或． 【点睛】难点点睛：本题考查了函数的奇偶性、单调性以及最值问题，综合性较强，解答的难点在于（3）中根据函数在区间上的最值求解参数，解答时要结合函数的单调性，分类讨论，结合最值，求解参数，过程较为复杂，计算量大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$