江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷

江苏省海安中学 2025 届高三年级学习测试 数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.福佑崇文阁专供。 1.已知集合    1log|3210 2  xxBA ，，，， ，则 BA ( ) A. 210 ，， B. 21， C. 10， D. 1 2.命题“ 010 2 ＞，＞  xxx ”的否定为( ) A. 010 2  xxx ，＞ B. 010 2  xxx ， C. 010 2  xxx ，＞ D. 010 2  xxx ， 3.已知函数         0,cos 0,12 xx xx xf ＞ ，则下列结论正确的是( ) A.  xf 是偶函数 B.  xf 是增函数 C.  xf 是周期函数 D.  xf 的值域为   ，1 4.若 ba＞ ，则( ) A. ba lnln ＞ B. ba 3.03.0 ＞ C. 033 ＞ba  D. 0＞ba  5.已知函数     xxxf  1ln 1 ，则  xfy  的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.如图，矩形 ABCD的三个顶点 CBA 、、 分别在函数 x yxyxy        2 2,,log 2 1 2 2 的图像上，且矩形 的边分别平行于两坐标轴.若点 A的纵坐标为 2,则点 D的坐标为( ) A.       4 1 2 1 ， B.       4 1 3 1 ， C.       3 1 2 1 ， D.       3 1 3 1 ， 7.已知  bababa  16129 logloglog00 ，＞，＞ ，则 b a ( ) A. 2 12  B. 2 13  C. 2 1 D. 2 15  8.已知    4ln5ln163ln4ln155  cba ，， ，则( ) A. bca ＜＜ B. abc ＜＜ C. cab ＜＜ D. cba ＜＜ 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求、全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分 9.下列函数中，在区间       24  ， 上单调递减的函数是( ) A.        4 sin xy B. xxy cossin3  C. xy 2sin D.        3 cos xy 10.下面的结论中正确的是( ) A.若 22 bcac ＞ ，则 ba＞ B.若 00 ＞，＞＞ mba ，则 b a mb ma ＞   C.若 ba baba 1100 ，＞，＞ ，则 2 ba D.若 02 ＞＞ ba ，则   322 44    bab a 11.已知函数   xxxf 2sincos ，下列结论中正确的是( ) A.  xfy  的图像关于  0， 中心对称 B.  xfy  的图像关于 2  x 对称 C.  xf 的最大值为 2 3 D.  xf 既是奇函数，又是周期函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已 知    xgxf , 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 且     123  xxxgxf ， 则     11 gf . 13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p , 第二年的增长率为 q , 则该市这两年生产总值的 年平均增长率为 . 14.若存在实数 t，对任意的  sx ，0 ，不等式    012ln  xttxx 成立，则整数 s的最大值为 .(参考数据： 386.14ln,099.13ln  ) 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题 13 分)如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， EDBCA 、,6,90  分别是 ABAC, 上的点， 2 BECD , O为 BC 的中点.将 ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 BCDEA  ，其中 3AO . (1)求证： OA 平面 BCDE； (2)求点 B到平面 CDA 的距离. 16.(本题 15分)设数列 na 的各项均为正整数. (1)数列 na 满足 n aaaa n n n n    2222 1 1 2 2 1 1 ，求数列 na 的通项公式； (2)若 na 是等比数列，且       n an 是递减数列，求公比 q . 17.(本题 15分)已知函数    0 6 sin ＞        xxf 在      3 20 ， 上单调递增，在      ， 3 2 上单调递减，设  0,0x 为曲线  xfy  的对称中心. (1)求 0x 的值； (2)记 ABC 的角 CBA ,, 对应的边分别为 cba ,, ,若 6,coscos 0  cbxA ，求 BC边上的高 AD长的最大 值. 18.(本题 17分)已知函数    mxexf x  ln . (1)当 0m 时，求曲线  xfy  在点   11 f， 处的切线方程； (2)当 2m 时，求证   0＞xf . 19.(本题 17分)在平面内，若直线 l将多边形分为两部分，多边形在 l两侧的顶点到直线 l的距离之和 相等，则称 l为多边形的一条“等线”.已知O为坐标原点，双曲线  0,012 2 2 2 ＞＞： ba b y a xE  的左、右 焦点分别为 EFF ，21, 的离心率为 2，点 P为 E右支上一动点，直线m与曲线 E相切于点 P，且与 E 的渐近线交于 BA, 两点，当 xPF 2 轴时，直线 1y 为 21FPF 的等线. (1)求 E的方程； (2)若 xy 2 是四边形 21BFAF 的等线，求四边形 21BFAF 的面积； (3)设 OPOG 3 1  ，点G的轨迹为曲线，证明：在点G处的切线 n为 21FAF 的等线. 江苏省海安中学 2025届高三年级学习测试 数学试卷答案 解析人：福佑崇文阁 一､单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C B A D B 二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9 10 11 AC ACD ABD 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 1 13.    111  qp 14. 2 四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.(本题 13 分 )如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， EDBCA 、,6,90  分别是 ABAC, 上的点， 2 BECD , O为 BC的中点.将 ADE 沿DE折起，得到如图 2所示的四棱锥 BCDEA  ，其中 3OA . (1)求证： OA 平面 BCDE； (2)求点 B到平面 CDA 的距离. 【详解】（1）解：（1）连接 OD，OE， 3,5 2,4        B C CD BE CO BO ， 在△COD中， 2 2 2 cos45 5OD CO CD CO CD      ， 同理得 5OE  ， 因为 6BC  ，所以 3 2AC AB  , 所以 2 2AD AD A E AE     ， 因为 3AO  所以 2 2 2A O OD A D  ， 2 2 2A O OE A E   所以 ,AO OD AO OE   又因为 0,OD OE OD  平面 BCDE ,OE 平面 BCDE 所以 AO ⊥平面 BCDE； （2）取DE中点 H ，则OH OB 以O为坐标原点， , ,OH OB OA所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系 则        0,0,0 , 0,0, 3 , 0, 3,0 , 1, 2,0O A C D  ， 设平面 ACD 的一个法向量为  , ,n x y z ， 又    0,3, 3 , 1,1,0CA CD    ， 所以 ' 3 3 0 0 n CA y z n CD x y             ，令 1x  ，则 1 3,  y z ， 则  1, 1, 3n   ， 又  0,3,0B ，  0,6,0CB   ， 所以点 B 到平面 A′CD 的距离为 | | | 6 | 6 5 | | 55 CB n n        ． 16.(本题 15分)设数列 na 的各项均为正整数. (1)数列 na 满足 n aaaa n n n n    2222 1 1 2 2 1 1 ，求数列 na 的通项公式； (2)若 na 是等比数列，且       n an 是递减数列，求公比 q . 【详解】(1)因为 naaaa n n n n    2222 1 1 2 2 1 1 ，① 所以当 2n 时， 1 222 1 1 2 2 1 1    naaa n n ，② 由①-②得， 1 2 n na ， 所以 n na 2 ， 经检验，当 1n 时， 21 a ，符合题意， 所以 n na 2 （2）由题设知 q＞0． 若 1q  ，则 1n a a n n  ， n a n       是递减数列，符合题意． 若 1q  ，则当 1logqn a 时， 1 1 n na a q  ，不为正整数，不合题意． 若 1q  ，则     1 1 1 1 nn n qn n aa a n n n n         ，当 1qn n  ，即 1 1 n q   时， 1 1 n na a n n    ，这与 n a n       是递减数列相矛盾，不 合题意． 故公比 1q  ． 17.(本题 15分)已知函数    0 6 sin ＞        xxf 在      3 20 ， 上单调递增，在      ， 3 2 上单调递减，设  0,0x 为 曲线  xfy  的对称中心. (1)求 0x 的值； (2)记 ABC 的角 CBA ,, 对应的边分别为 cba ,, ,若 6,coscos 0  cbxA ，求 BC边上的高 AD长的最大值. 【详解】（1）因为   πsin 6 f x x      在 2π0, 3      上单调递增，在 2π , π 3      上单调递减， 所以 2π 1 3 f       且 4π 3 T  ，所以 2π π π2 π , 3 6 2 k k    Z，可知 13 , 2 k k   Z， 又由 2π 4π 3  ，可知 30 2   ，所以 1 2   ，故   1 πsin 2 6 f x x      ， 由 1 π π, 2 6 x m m  Z，可得 π2 π 3 x m  ，即 0 π2 π , 3 x m m  Z． （2） 2 2 2 2 2 2 0 1 ( ) 2 36 2cos cos 2 2 2 2 b c a b c bc a bc aA x bc bc bc             ， 化简得 2 36 3a bc  ， 因为 1 1 sin 2 2ABC S a AD bc A  △ ，所以 3 2 bcAD a  ， 所以   2 2 2 2 3( ) 3( ) 4 4 36 3 bc bcAD a bc    ， 又 2b c bc  ，所以 9bc  ，当且仅当 3 b c 时取等号， 所以   2 2 22 3( ) 3 3 27 36 34 36 3 436 3 44 9 9( ) bcAD bc bc bc                ， 所以 3 3 2 AD  ，故 AD长的最大值为 3 3 2 ． 18.(本题 17分)已知函数    mxexf x  ln . (1)当 0m 时，求曲线  xfy  在点   11 f， 处的切线方程； (2)当 2m 时，求证   0＞xf . 【详解】（1）当 0m ，   xexf x ln ，   x exf x 1 ， 所以   11  efk ，而   ef 1 ， 切线方程为   11  xeey ， 即所求切线方程为   011  yxe ； （2）  f x 得定义域为 ( , ),m  ， 1( ) e xf x x m     ， 设 1( ) ( ) exg x f x x m     ，则 2 1( ) e 0 ( ) xg x x m      ，故  f x 是增函数， 当 x m 时，  f x    ， x时，  f x    ， 所以存在  0 ,x m   ，使得 0 0 1ex x m   ①， 且  0,x m x  时，   0f x  ，  f x 单调递减，  0 ,x x  时，   0f x  ，  f x 单调递增， 故    0min 0 0( ) e lnxf x f x x m    ②，由①式得  0 0lnx x m   ③， 将①③两式代入②式，结合 2m  得：  min 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) 2 2 0f x x x m m x m m m x m x m x m                 ， 当且仅当 0 1x m  时取等号，结合②式可知，此时   00 e 0xf x   ， 故   0f x  恒成立． 19.(本题 17分)在平面内，若直线 l将多边形分为两部分，多边形在 l两侧的顶点到直线 l的距离之和相等，则 称 l为多边形的一条“等线”.已知O为坐标原点，双曲线  0,012 2 2 2 ＞＞： ba b y a xE  的左、右焦点分别为 EFF ，21, 的离心率为 2，点 P为 E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点 P，且与 E 的渐近线交于 BA, 两点，当 xPF 2 轴时，直线 1y 为 21FPF 的等线. (1)求 E的方程； (2)若 xy 2 是四边形 21BFAF 的等线，求四边形 21BFAF 的面积； (3)设 OPOG 3 1  ，点G的轨迹为曲线，证明：在点G处的切线 n为 21FAF 的等线. 【详解】（1）由题意知     2 1 2, , ,0 , ,0 bP c F c F c a       ，显然点 P在直线 1y  的上方， 因为直线 1y  为 1 2PFF 的等线，所以 2 2 2 21 2, 2,b ce c a b a a       ， 解得 1 3a b ， ，所以 E的方程为 2 2 1 3 yx   （2）设� �0, �0 ，切线  0 0:m y y k x x   ，代入 2 2 1 3 yx   得:      2 2 2 2 20 0 0 0 0 03 2 2 3 0k x k kx y x k x y kx y        ， 故     2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 4 3 2 3 0k kx y k k x y kx y         ， 该式可以看作关于 k的一元二次方程  2 2 20 0 0 01 2 3 0x k x y k y     ， 所以 0 0 0 0 0 2 2 0 00 3 1 1 1 3 x y x y xk x yy            ，即m方程为  00 1 *3 y yx x   当m的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为 3y x  ，不妨设A在 B上方， 联立得 0 0 0 0 1 1, 3 3 A Bx xy yx x     ，故 0 0 0 0 0 1 1 2 3 3 A Bx x xy yx x       ， 所以 P是线段 AB的中点，因为 1 2,F F 到过O的直线距离相等， 则过O点的等线必定满足: ,A B到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点 P，即OP的方程为 2y x ， 由 2 2 2 1 3 y x yx        ，解得 3 6 x y     ，故  3, 6P . 所以 0 0 0 0 3 33 6 3 3 3 A Ay x y x yx       ， 所以 0 0 0 0 3 33 6 3 3 3 B By x y x yx          ， 所以 6A By y  ，所以 1 2 1 2 12 2ABCD A B A B S F F y y y y      （3） 设  ,G x y ，由 1 3 OG OP   ，所以 0 03 , 3x x y y  ， 故曲线的方程为  2 29 3 1 0x y x   由（*）知切线为 n，也为 0 0 9 3 1 3 3 x y yx   ，即 00 1 3 3 y yx x   ，即 0 03 1 0x x y y   易知A与 2F 在 n的右侧， 1F 在 n的左侧，分别记 1 2, ,F F A到 n的距离为 1 2 3, ,d d d ， 由（2）知 0 0 0 0 0 0 1 1 33 3 3 3 A Ax yy y yx x x        ， ， 所以 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 23 3 2 3 3 3 31 23 3 3 3 9 9 9 9 y yx y x x x y y y y yx x x x d x y x y x y x y                   由 0 1x  得 0 00 0 1 22 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 6 16 1 6 1, 9 9 9 9 x xx xd d x y x y x y x y             因为 0 0 2 3 12 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 6 1 6 12 9 9 9 x xd d d x y x y x y           ， 所以直线 n为 1 2AF F△ 的等线 .