精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期期初考试数学试题

初三年级数学限量限时练习试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念可直接得出答案． 【详解】∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 4. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（　　） A. 2x2-4x+3=0 B. 2x2-2x-3=0 C. 2y2+4y-3=0 D. 2t2-4t-3=0 【答案】D 【解析】 【详解】A中，由△=(-4)2-4×2×3=-8<0,故方程无实数根，故A错误； B中，△=(-2)2-4×2×(-3)=28>0，则x1+x2=1； C中，△=42-4×2×(-3)=40>0, 则x1+x2=-2； D中△=(-4)2-4×2×(-3)=40>0，则x1+x2=2. 故选D. 点睛：根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 5. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 6. 如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H， ∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2， ∴CD＝BD＝1， ∴AD＝＝＝， ∵， ∴CE＝＝， ∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°， ∴∠ADC＝∠H， 在△ACD和△CBH中， ， ∴△ACD≌△CBH（AAS）， ∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝， ∵AC⊥BC，BH⊥BC， ∴AC∥BH， ∴△ACF∽△BHF， ∴＝， ∴CF＝， ∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 8. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 9. 如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弦所对的弧的度数为或， 故答案为：或． 10. 如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 ______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握由平行线判定三角形相似以及相似三角形对应边成比例是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例关系来求解BC的长度． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，则， ∴， ∴ ， 解得， 故答案为：． 11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 12. 如图是一张三角形纸片，，小明将它沿虚线PQ剪开，得到和四边形两张纸片，且满足，则长的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 找出临界状态，即点Q与点B重合，，即可求出,，即可求出取值范围． 【详解】解：当点Q与点B重合时，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 将直线此时进行平移，且保证，则满足题意， ∴长的取值范围是：， 故答案为：． 13. 若关于x的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查直接开平方解一元二次方程的解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．将方程变形为相同的形式，再换元求解即可． 【详解】解：方程变形为，看作关于的方程， ∵方程（、为常数）的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 14. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质．先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，则可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，设，则，证得，即可求解． 【详解】解：设，则， 如图所示： 由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得：（舍负） ∴ 故答案为： 三、解答题（共10题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 ∴，； 【小问2详解】 ∴，． 18. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了弦与弧的关系，根据题意可得，则，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴, 即， ∴ 19. 如图，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等腰三角形的三线合一的性质成为解题的关键． 如图：过O作于M，于N，求出，根据角平分线的定理即可解答． 【详解】证明：如图：过O作于M，于N，则， ∵过O， ∴, ∵， ∴， ∵, ∴， ∴,即平分， ∵， ∴． 20. 已知关于x的方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为和，若，求实数k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，然后结合求出，然后即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴ 将代入得， 解得． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． （1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF； （2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和相似的判定，画出即可； （2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，从而得到△A1B1C1． 【小问1详解】 解：如图②，△DFE为所作； 由题意可得： 而， ∴△ABC与△DEF相似． 【小问2详解】 如图③，△A1B1C1为所作． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：相似三角形的判定，掌握画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 23. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，则的长为______； （3）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）已知矩形中，根据矩形的性质可得，即可判定，根据相似三角形的性质可得，即可得； （2）过D作于H，可得，即可得，所以，设，则，，证明，得出，进而求得，进而即可求解； （3）由（2）可得，证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：为矩形， ，，， ， 是边的中点， , ； 【小问2详解】 解：过作于， ， ， ， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）知， 在与中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，正确的作出辅助线是是解题的关键． 24. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 【答案】甲同学的加工方法符合要求 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点， 又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． 25. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】 [问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）2或5； （2）； [拓展延伸] 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决]略； [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 26. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P． （1）如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； （2）当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； （3）△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 【答案】（1）AD＝BE，AD⊥BE （2）结论仍然成立，证明见解析 （3）P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是 【解析】 【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答； （2）先证明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答； （3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可． 【小问1详解】 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE ∵点D，E分别为AC，BC的中点 ∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC= ∴ AD＝BE． 故答案为：AD＝BE，AD⊥BE． 【小问2详解】 解：结论仍然成立，理由如下： ∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝， ∴，＝， ∴， ∵△CDE绕点C顺时针旋转， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE∽△ACD， ∴＝，∠CBO＝∠CAD， ∴AD＝BE， ∵∠CBO+∠BOC＝90°， ∴∠CAD+∠AOP＝90°， ∴∠APO＝90°， ∴BE⊥AD． 【小问3详解】 解：∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上， 如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP， ∵BE是⊙C切线， ∴CE⊥BE， ∵＝， ∴∠EBC＝30°， ∴∠GBP＝30°， ∵GB＝GP， ∴∠GBP＝∠GPB＝30°， ∴∠BGP＝120°， ∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C， ∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π， ∵∠ABP＝30°，BP⊥AP， ∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝， ∵∠CBP＝30°，PH⊥BH， ∴PH＝BP＝． ∴P点到直线BC距离的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学限量限时练习试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（　　） A. 2x2-4x+3=0 B. 2x2-2x-3=0 C. 2y2+4y-3=0 D. 2t2-4t-3=0 5. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 6. 如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______． 8. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 9. 如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为______． 10. 如图，、分别在边、上，若，，，则的长为 ______． 11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 12. 如图是一张三角形纸片，，小明将它沿虚线PQ剪开，得到和四边形两张纸片，且满足，则长的取值范围是______． 13. 若关于x的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是______． 14. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 15. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 三、解答题（共10题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：如图，、是圆的两条弦，且．求证：． 19. 如图，是的两条弦，且，求证：． 20. 已知关于x的方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为和，若，求实数k的值． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形． （1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF； （2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1． 23. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，则的长为______； （3）连接，求证：． 24. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 25. [模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 26. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P． （1）如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______； （2）当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； （3）△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $