2025届高考数学二轮复习专项小题训练：3基本初等函数

新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (基本初等函数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知：幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 2．函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 4．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　) A．10 B．1 C．11 D．lg 11 5．若实数m，n，p满足，p＝，则(　　) A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m 6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是(　　) A. f(x)是增函数，且f(x)<0 B. f(x)是增函数，且f(x)>0 C. f(x)是减函数，且f(x)<0 D. f(x)是减函数，且f(x)>0 7.已知函数f(x)＝＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)>6，则实数a的取值范围为(　　) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 8．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是(　　) 10．若0<a<1，则下列关系成立的是(　　) A．loga(1－a)>loga(1＋a) B．loga(1＋a)<0 C． D．a1－a<1 11.(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝设函数g(x)＝f2(x)－(2t＋1)f(x)＋t2＋t，则下列说法正确的是(　　) A.若g(x)有4个零点，则3≤t<4 B.存在实数t，使得g(x)有5个零点 C.当g(x)有6个零点时，记零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1<x2<x3<x4<x5<x6，则2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8 D.对任意t<0，g(x)恒有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．方程logx10＋＝6的解为________． 13．若关于x的不等式kex＋(k－1)e－x＋2k＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围是________． 14．已知函数，对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，实数k的取值范围 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 专项小题训练 (基本初等函数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知：幂函数 f(x)满足 f6 f2 ＝4，则 f    1 3 的值为( ) A．2 B. 1 4 C．－ 1 4 D．－2 2．函数 y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间为( ) A.   －∞，－ 1 2 B.   －2，－ 1 2 C.   － 1 2 ，＋∞ D.   － 1 2 ，1 3．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝a －x，y＝logax＋a(a>0 且 a≠1)的图象可能是( ) 4．函数 f(x)＝lg(4x－2x ＋1＋11)的最小值是( ) A．10 B．1 C．11 D．lg 11 5．若实数 m，n，p 满足 3 2 5 34e , 5em n  ，p＝ 18 e2 ，则( ) A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m 6．已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足：对任意正数 a，b 都有 f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当 x>1 时，f(x)<1， 则下列结论正确的是( ) A. f(x)是增函数，且 f(x)<0 B. f(x)是增函数，且 f(x)>0 C. f(x)是减函数，且 f(x)<0 D. f(x)是减函数，且 f(x)>0 7.已知函数 f(x)＝ 3x－1 3x＋1 ＋3x＋3，且 f(a2)＋f(3a－4)>6，则实数 a 的取值范围为( ) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 2 8．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的 PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结 构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三分 之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为 25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 2.5 mg/L，则 PP 棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A．5 B．6 C．7 D．8 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分． 9．已知 a>0，函数 f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是( ) 10．若 0<a<1，则下列关系成立的是( ) A．loga(1－a)>loga(1＋a) B．loga(1＋a)<0 C． 1 1 3 2(1 ) (1 )a a   D．a1 －a<1 11.(2024·武汉调研)已知函数 f(x)＝   |2 x－2|，x≤3， －x2＋8x－12，x>3， 设函数 g(x)＝f2(x)－(2t＋1)f(x)＋t2＋t，则下列说法 正确的是( ) A.若 g(x)有 4 个零点，则 3≤t<4 B.存在实数 t，使得 g(x)有 5 个零点 C.当 g(x)有 6 个零点时，记零点分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，且 x1<x2<x3<x4<x5<x6，则 2x1＋2x2＋2x3＋ 2x4＝8 D.对任意 t<0，g(x)恒有 2 个零点 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，多空题，第一空 2分，第二空 3分，共 15 分． 12．方程 logx10＋ 2log 10x ＝6 的解为________． 13．若关于 x 的不等式 kex＋(k－1)e －x＋2k＋1<0 在(0，＋∞)上恒成立，则实数 k 的取值范围是________． 14．已知函数 2 2( ) 3 2log , ( ) logf x x g x x   ，对任意的 x∈[1，4]，不等式 f(x 2)·f( x)>k·g(x)恒成立， 实数 k 的取值范围 . 新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (基本初等函数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　B 解析　依题意，设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4， 所以f ＝α＝＝. 2．函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2－x－x2>0，解得－2<x<1，故函数的定义域是(－2,1)，因为函数u＝2－x－x2在上单调递增，在上单调递减，且函数y＝log0.5u在定义域上是减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间是. 3．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　A 解析　对于A，B，若y＝a－x＝x的图象正确，则0<a<1， ∴y＝logax＋a单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； 对于C，D，若y＝a－x＝x的图象正确，则a>1， ∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误． 4．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　) A．10 B．1 C．11 D．lg 11 答案　B 解析　设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lg t， 因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lg t≥lg 10＝1， 所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1. 5．若实数m，n，p满足，p＝，则(　　) A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m 答案　A 解析　∵实数m，n，p满足，p＝，∴＝<1，∴m<n； 又＝>1，∴m>p，∴p<m<n. 6．(2024·湖南雅礼中学质测)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是(　　) A. f(x)是增函数，且f(x)<0 B. f(x)是增函数，且f(x)>0 C. f(x)是减函数，且f(x)<0 D. f(x)是减函数，且f(x)>0 答案　D 解析　法一　取f(x)＝(x>0)，满足题干条件，则f(x)是减函数，且f(x)>0. 法二　当x>0时， f(x)＝f(·)＝[f()]2>0. 设x1>x2>0，则>1， 由已知得，f<1. 所以f(x1)－f(x2)＝f－f(x2) ＝ff(x2)－f(x2) ＝f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是减函数.故选D. 7.(2024·自贡诊断)已知函数f(x)＝＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)>6，则实数a的取值范围为(　　) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　函数f(x)的定义域为R. 令g(x)＝＋3x，g(x)的定义域为R， 则g(x)＝f(x)－3， g(x)＋g(－x)＝＋3x＋－3x＝＋＝0， 所以g(x)为奇函数，且g(x)＝1－＋3x为R上的增函数. 因为f(a2)＋f(3a－4)>6， 所以f(a2)－3＋f(3a－4)－3>0， 所以g(a2)＋g(3a－4)>0， 即g(a2)>－g(3a－4)＝g(4－3a)， 所以a2>4－3a，解得a<－4或a>1， 故a的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞).故选D. 8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　设过滤后水中大颗粒杂质含量为y mg/L， 则经过x层过滤后，满足y＝25×x＝25×x，x∈N*， 若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L， 则25×x≤2.5，即x≤， ∵y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴lgx≤lg ，∴xlg ≤－1， ∴x(lg 2－lg 3)≤－1， ∵lg 2－lg 3<0，∴x≥≈≈5.6， ∵x∈N*，∴x的最小值为6， ∴PP棉滤芯层数最少为6. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．(2024·合肥模拟)已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是(　　) 答案　ABC 解析　当0<a<1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减， 因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增， 而f(0)＝－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，A可能； 当a＝1时，函数f(x)＝x－1，x∈(0，＋∞)，B可能； 当a>1时，取a＝2，有f(2)＝f(4)＝0， 即函数f(x)＝x2－2x，x>0的图象与x轴有两个公共点， 又随着x的无限增大，函数y＝ax呈爆炸式增长，其增长速度比y＝xa的增长速度快， 因此存在正数x0，当x>x0时，x<a x0恒成立，即f(x)<0，C可能，D不可能. 10．若0<a<1，则下列关系成立的是(　　) A．loga(1－a)>loga(1＋a) B．loga(1＋a)<0 C． D．a1－a<1 答案　ABD 解析　因为0<a<1，所以0<1－a<1＋a， 因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正确； 因为0<a<1，所以1<1＋a<2， 因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此，故C不正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此a1－a<a0＝1，故D正确． 11.(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝设函数g(x)＝f2(x)－(2t＋1)f(x)＋t2＋t，则下列说法正确的是(　　) A.若g(x)有4个零点，则3≤t<4 B.存在实数t，使得g(x)有5个零点 C.当g(x)有6个零点时，记零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1<x2<x3<x4<x5<x6，则2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8 D.对任意t<0，g(x)恒有2个零点 答案　BC 解析　f(x)的大致图象如图所示， 令g(x)＝0，即[f(x)－t][f(x)－t－1)]＝0， 即f(x)＝t或f(x)＝t＋1. 若g(x)有4个零点，则实数t的取值范围为3≤t<4或t＝2或－1<t<0，故A错误； 由图可知，当t＝1时，g(x)有5个零点，故B正确； 当g(x)有6个零点时，x1<x2<1<x3<x4<2， 所以 即有2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8，故C正确； 当－1<t<0时，g(x)有4个零点，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．方程logx10＋＝6的解为________． 答案　x＝ 解析　由题意得logx10＋＝＋＝＝＝6，即lg x＝，解得x＝. 13．若关于x的不等式kex＋(k－1)e－x＋2k＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　因为ex>0，所以原不等式可转化为ke2x＋(k－1)＋(2k＋1)ex<0在(0，＋∞)上恒成立， 令t＝ex∈(1，＋∞)，f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1， 要使f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1<0在(1，＋∞)上恒成立． 方法一　当k＝0时，f(t)＝t－1>0，不符合题意， 当k≠0时，由二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即k<0， 当对称轴t＝－>1， 即－<k<0时，只需f ＝k2＋(2k＋1)＋k－1<0， 解得－<k<－； 当对称轴t＝－≤1， 即k≤－时，只需f(1)＝k＋2k＋1＋k－1≤0， 解得k≤－， 综上所述，实数k的取值范围是. 方法二　即使k(t2＋2t＋1)<1－t在(1，＋∞)上恒成立，即k<在(1，＋∞)上恒成立， 令g(t)＝，t>1，则g′(t)＝， 当1<t<3时，g′(t)<0；当t>3时，g′(t)>0， 所以g(t)在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以g(t)min＝g(3)＝－，所以k<－， 即k的取值范围是. 14．已知函数，对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，实数k的取值范围 . 解　由f(x2)·f()>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x， 因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k<恒成立， 即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 7 学科网（北京）股份有限公司 $$