2025届高考数学二轮复习专项小题训练：函数概念和性质

新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (函数概念和性质) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝＋2(x≠0) D．f(x)＝－1(x≠0) 2．下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝21－x B．y＝22－x C．y＝21＋x D．y＝22＋x 3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝x－ D．f(x)＝ex－e－x 4．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 5．已知：函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. (0，1) D. (0，1] 6．已知：函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f ，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 7．已知：定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 8．已知：奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A． f(x)＝－1 B．f(x)＝ex－e－x C．f(x)＝ln(x＋) D．f(x)＝ln(sin x) 10：函数f(x)在(a，b)上有定义，若对任意的x1，x2∈(a，b)，有f≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在(a，b)上具有性质P，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝log2x在(0，＋∞)上具有性质P B.f(x)＝x2在其定义域上具有性质P C.f(x)在(a，b)上单调递增 D.若f(x)在(a，b)上具有性质P，则对任意x1，x2，x3，x4∈(a，b)，有f≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)] 11．已知：f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是(　　) A．2是f(x)的一个周期 B．f(4)＝0 C．f(3)＝f(－5) D．f ＋f ＝0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．已知：函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________． 13．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，且a＝f，b＝f(0.5－3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系为________. 14．已知：偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则(i)＝________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 专项小题训练 (函数概念和性质) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知 f    1 x－1 ＝x＋1，则 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝ 1 x＋2 (x≠－2) B．f(x)＝ 1＋x x (x≠0) C．f(x)＝ 1 x ＋2(x≠0) D．f(x)＝ 1 x －1(x≠0) 2．下列函数中，其图象与函数 y＝2x 的图象关于直线 x＝1 对称的是( ) A．y＝21 －x B．y＝22 －x C．y＝21 ＋x D．y＝22 ＋x 3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A．f(x)＝ x2＋x x＋1 B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝x－ 1 x D．f(x)＝ex－e －x 4．若 f(x)＝(x＋a)ln 2x－1 2x＋1 为偶函数，则 a＝( ) A.－1 B.0 C. 1 2 D.1 5．已知：函数 f(x)＝   x 2－2ax，x≥1， ax－1，x<1 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.    0， 2 3 B.    0， 2 3 C. (0，1) D. (0，1] 6．已知：函数 f(x)为 R 上的偶函数，且对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 成立，若 a＝ f( 2)，b＝f    log2 1 3 ，c＝f(log310)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 7．已知：定义域是 R 的函数 f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则 f(2 023)等 于( ) A．1 B．－1 C．2 D．－3 8．已知：奇函数 f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的 x1，x2∈[0,3]，当 x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x21－x22恒成 立，则满足不等式 af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9 的 a 的取值范围为( ) A.   0， 3 2 B.   －3， 3 2 C.   3 2 ，3 D.   3 2 ，＋∞ 2 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分． 9．下列函数中，图象关于原点对称的是( ) A． f(x)＝ 2 ex＋1 －1 B．f(x)＝ex－e －x C．f(x)＝ln(x＋ x2＋1) D．f(x)＝ln(sin x) 10：函数 f(x)在(a，b)上有定义，若对任意的 x1，x2∈(a，b)，有 f   x1＋x2 2 ≤ 1 2 [f(x1)＋f(x2)]，则称 f(x)在(a，b) 上具有性质 P，则下列说法正确的是( ) A.f(x)＝log2x 在(0，＋∞)上具有性质 P B.f(x)＝x2在其定义域上具有性质 P C.f(x)在(a，b)上单调递增 D.若 f(x)在(a，b)上具有性质 P，则对任意 x1，x2，x3，x4∈(a，b)，有 f   x1＋x2＋x3＋x4 4 ≤ 1 4 [f(x1)＋f(x2)＋ f(x3)＋f(x4)] 11．已知：f(x)是定义域为 R 的奇函数，若 f(2x＋1)的最小正周期为 2，则下列说法正确的是( ) A．2 是 f(x)的一个周期 B．f(4)＝0 C．f(3)＝f(－5) D．f    1 2 ＋f    7 2 ＝0 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，多空题，第一空 2分，第二空 3分，共 15分． 12．已知：函数 f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为 R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 则 f(x)的一个解析式是__________________． 13．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x∈R，恒有 f(x＋1)＝f(x－1)，当 x∈[0，1]时，f(x)＝ 2x －1，且 a＝f   3 2 ，b＝f(0.5 －3)，c＝f(0.76)，则 a，b，c 的大小关系为________. 14．已知：偶函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则  i＝1 2 023 f(i)＝________. 新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (函数概念和性质) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝＋2(x≠0) D．f(x)＝－1(x≠0) 答案　C 解析　令＝t，即x＝＋1， 则f(t)＝＋1＋1＝＋2， 由x－1≠0，得t≠0， 故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0) 2．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝21－x B．y＝22－x C．y＝21＋x D．y＝22＋x 答案　B 解析　设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x. 3．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝x－ D．f(x)＝ex－e－x 答案　D 解析　对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝为非奇非偶函数，故A不符合题意； 对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意； 对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意； 对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意． 4．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案　B 解析　法一　设g(x)＝ln， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数. 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， f(－1)＝(a－1)ln 3， f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3， 所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B. 5．已知：函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. (0，1) D. (0，1] 答案　B 解析　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围是. 6．已知：函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f ，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 答案　D 解析　因为函数f(x)为R上的偶函数， 所以b＝f ＝f(－log23)＝f(log23)， 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为2>log23>log2＝>， log310>log39＝2，所以<log23<log310， 所以f()>f(log23)>f(log310)，即c<b<a. 7．(2024·成都模拟)已知：定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 答案　B 解析　因为f(1＋x)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2－x)＝f(x)， 又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0， 所以f(2＋x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 故f(x)的一个周期为4， 所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1. 8．(2023·保定模拟)已知：奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]． 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数． 因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，即x1f(x1)－x>x2f(x2)－x恒成立，即g(x1)>g(x2)， 所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增． 又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－3)， 所以即 解得<a≤3， 故满足不等式的a的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A． f(x)＝－1 B．f(x)＝ex－e－x C．f(x)＝ln(x＋) D．f(x)＝ln(sin x) 答案　ABC 解析　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确； 由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 10：(2024·镇江调研)函数f(x)在(a，b)上有定义，若对任意的x1，x2∈(a，b)，有f≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在(a，b)上具有性质P，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝log2x在(0，＋∞)上具有性质P B.f(x)＝x2在其定义域上具有性质P C.f(x)在(a，b)上单调递增 D.若f(x)在(a，b)上具有性质P，则对任意x1，x2，x3，x4∈(a，b)，有 f≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)] 答案　BD 解析　对于A，f(x)＝log2x的定义域为(0，＋∞)， 设任意的x1，x2∈(0，＋∞)， 则f＝log2， f(x1)＝log2x1，f(x2)＝log2x2， 则[f(x1)＋f(x2)]＝(log2x1＋log2x2)＝log2(x1x2)＝log2()， 因为≥当且仅当x1＝x2时取等号，且f(x)＝log2x在定义域上单调递增， 所以log2≥log2()， 即f≥[f(x1)＋f(x2)]，故A错误； 对于B，f(x)＝x2的定义域为R， 设任意的x1，x2∈R， 则f＝， f(x1)＝x，f(x2)＝x， 则[f(x1)＋f(x2)]＝x＋x， 因为x＋x≥2x1x2当且仅当x1＝x2时取等号，所以x＋x≥， 故f≤[f(x1)＋f(x2)]， 故f(x)＝x2在其定义域上具有性质P，故B正确； 对于C，若f(x)为常数函数， 如f(x)＝2，显然对任意的x1，x2∈(a，b)， 都有f＝[f(x1)＋f(x2)]，满足性质P， 但是f(x)不具有单调性，故C错误； 对于D，有f ＝f ≤ ≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]， 故D正确. 11．(2023·福建联考)已知：f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是(　　) A．2是f(x)的一个周期 B．f(4)＝0 C．f(3)＝f(－5) D．f ＋f ＝0 答案　BCD 解析　f(2x＋1)的最小正周期为2， 则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)， 即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)， 所以f(x)的最小正周期为4，故A错误； 因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0. 又4是f(x)的一个周期， 所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确； f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确； f ＋f ＝f ＋f ＝f ＋f ， 又f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f ＝－f ， 所以f ＋f ＝0，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．已知：函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________． 答案　f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一) 解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为R，根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 13．(2024·杭州调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，且a＝f，b＝f(0.5－3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系为________. 答案　b＜c＜a 解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且恒有 f(x＋1)＝f(x－1)， ∴f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为2. 又a＝f＝f＝f， b＝f(0.5－3)＝f(8)＝f(0)， 0.76＝0.493＜0.53＜0.5，则0＜0.76＜， ∵f(x)＝2x－1在[0，1]上单调递增， ∴b＜c＜a. 14．(2024·合肥模拟)已知：偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则(i)＝________. 答案　－2 025 解析　因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)． 因为f(x)＋f(－x－2)＝－2， 所以f(x)＋f(x＋2)＝－2， 从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2， 得f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)的一个周期为4. 由f(x)＋f(－x－2)＝－2， 令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1； 令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1； 令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2， 得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1. 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4， 故(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2 025. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$