第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（十大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 学习目标： 1．能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 3．掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 4．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 重点难点： 重点：判断直线与圆的位置关系 难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 知识点一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点二、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 考点01 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 2．若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 3．已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 4．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 5．若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 6．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 7．如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（    ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定 8．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 10．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 切线与切线长 11．圆在点处的切线方程为 . 12．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 14．已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 15．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 16．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 17．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 考点04 弦长问题 18．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 19．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 20．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．直线被圆截得最大弦长为 ． 22．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 23．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 24．已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为 ． 考点05 判断圆与圆的位置关系 25．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 26．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 28．已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（    ）条 A． B． C． D． 考点06 由圆与圆的位置关系求参数 29．若圆和关于直线对称，则的方程是 ． 30．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 31．若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 32．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 33．已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 考点07 公共弦问题 34．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 35．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 36．已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 . 37．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为 ． 38．已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 39．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 考点08 公切线问题 38．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为 ． 39．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 40．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 41．（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 42．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 考点09圆中的最值范围问题 43．已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 44．已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 45．已知为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 46．已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 47．已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 48．已知点在圆上运动．求的最大值与最小值． 考点10 圆系问题 49．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 50．已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 51．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点. (1)求圆心为，过A，B两点的圆D的方程； (2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程. 基础试炼 一、单选题 1．圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 4．已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 二、多选题 5．已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 6．已知集合，.若，则实数可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 三、填空题 7．若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为 . 8．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 9．已知为圆上任意一点，则的最小值为 四、解答题 10．已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 11．已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 12．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 高阶突破 1．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为 . 3．（多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 4．已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 5．（多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 6．直线，与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 8．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 学习目标： 1．能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 3．掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 4．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 重点难点： 重点：判断直线与圆的位置关系 难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 知识点一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点二、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 考点01 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【详解】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 2．若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 3．已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 4．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 5．若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 6．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 所以，即. 故选：A. 7．如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（    ） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定 【答案】A 【详解】直线与圆有两个不同的交点，则它们相交. 根据，得到，即.则点与圆的位置关系为P在圆外. 故选：A. 8．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 9．（多选）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】AC 【详解】圆即为：， 故圆心，半径为， 因为直线与圆有两个不同的交点，故， 故，结合选项可知AC符合题意. 故选：AC. 10．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 考点03 切线与切线长 11．圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 12．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 13．已知圆C与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为 ． 【答案】 【详解】由圆C与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设，圆C的半径为， 又圆C与直线相切，则，解得，即， 所以圆C的方程为. 故答案为： 14．已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程； 【答案】或 【详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切． 当过点的直线的斜率存在时，设方程为， 即．由题意知， 解得，∴方程为． 故过点的圆的切线方程为或． 15．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 中， ，即 故选：A 16．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 17．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 考点04 弦长问题 18．直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D 19．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 【答案】或 【详解】若直线与相交于两点，且， 则圆心到直线的距离，所以， 解得或． 故答案为：或. 20．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 21．直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 22．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 23．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 24．已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交，可得， 解得， 又由“直线截圆所得弦长不小于”是假命题， 可得“直线截圆所得弦长小于”是真命题， 则满足，即，解得， 可得，解得或， 综上可得，或， 即实数的取值范围为， 所以一个实数的为可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 考点05 判断圆与圆的位置关系 25．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 26．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 27．已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【答案】(1). (2)圆与圆相交. 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 故圆的方程为，标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为4. 圆的圆心为，半径为3. 设两圆圆心的距离为，则. 因为，所以圆与圆相交. 28．已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为圆心，2为半径的圆为，则直线是圆的切线， 以为圆心，3为半径的圆为，则直线是圆的切线， 而，即两圆相外切，这两圆有3条公切线， 所以满足条件的直线共有3条. 故选：B 考点06 由圆与圆的位置关系求参数 29．若圆和关于直线对称，则的方程是 ． 【答案】 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为1， 两圆的半径相等， 故圆和关于线段的中垂线对称， 设直线，将代入，，解得， 故线段的中垂线的斜率为1， 的中点坐标为，故线段的中垂线方程为，即， 综上，的方程为 故答案为： 30．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 31．若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【答案】 【详解】由，可得，所以圆的圆心为，半径为a， 由，可得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为两圆有且仅有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得． 故答案为： 32．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 33．已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 考点07 公共弦问题 34．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 35．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 【答案】 【详解】解法一，可化为，所以圆的圆心为，半径为2，易知其中一条切线与轴重合， 不妨设此切点为，易得， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 将两圆的方程相减得到直线的方程． 将代入，得，解得或． 所以得，故． 解法二，连接，则，设与的交点为， 由，可得，又， 所以， 故，． 故答案为：. 36．已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为， 所以点在两圆的公共弦上，∴，当且仅当时取等号， 所以 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：1 37．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题知，圆心为，半径，圆心到直线的距离， 因为为直角三角形，且，所以， 当且仅当PO与直线垂直时，等号成立，所以的最小值为， 设，因为， 以点P为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆P的方程与作差，可得直线MN的方程为， 因为点在直线上，所以， 即，整理得， 由，解得，所以直线MN过定点． 故答案为：；. 38．已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)：，： (2)， 【详解】（1）的圆心为，半径，故：， 的圆心为，半径，故：； （2）联立，解得或， 则，则，.    39．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围； (2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）法一：由已知可得圆，直线即， ∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得，故直线的斜率的取值范围为. 法二：设直线的方程, 联立方程得, 故，解得. 故直线的斜率的取值范围. （2） 以为直径的圆，且半径， 圆的方程为， 由圆和圆：可得： 的方程为：， 整理得直线的方程为. 法一：因为圆心到直线的距离即, ，， 所以的面积. 法二：联立方程，得， 解得或， 所以的面积. 考点08 公切线问题 38．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题知，圆心为，半径，圆心到直线的距离， 因为为直角三角形，且，所以， 当且仅当PO与直线垂直时，等号成立，所以的最小值为， 设，因为， 以点P为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆P的方程与作差，可得直线MN的方程为， 因为点在直线上，所以， 即，整理得， 由，解得，所以直线MN过定点． 故答案为：；. 39．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，则 ． 【答案】 【详解】解法一，可化为，所以圆的圆心为，半径为2，易知其中一条切线与轴重合， 不妨设此切点为，易得， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 将两圆的方程相减得到直线的方程． 将代入，得，解得或． 所以得，故． 解法二，连接，则，设与的交点为， 由，可得，又， 所以， 故，． 故答案为：. 40．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 41．（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． ：ABC． 42．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 考点09圆中的最值范围问题 43．已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，，，，为锐角， 当圆的面积取最大值时最大， 而， 所以， 因为点在线段（）上， 所以， 故，即圆半径的最大值为， 所以圆的面积的最大值为， 故选：D． 44．已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】依题意，所以， 因为为的中点，所以， 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 连接，则圆心到直线的距离为， 因为当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 故选：C    45．已知为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由于为圆上任意一点， 故可看作圆上任意一点到定点的斜率， 当直线与圆相切时，此时斜率最大， 由于相切时，故，此时斜率, 故的最大值为， 故选：C    46．已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 47．已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 48．已知点在圆上运动．求的最大值与最小值． 【答案】最大值，最小值. 【详解】解法一，设，则 ， ， 解法二：（三角换元）设，， 则，其中， 显然，， 解法三：（判别式法）设并与相减得， 代入整理得， 由，解得，即，. 考点10 圆系问题 49．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 50．已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 51．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点. (1)求圆心为，过A，B两点的圆D的方程； (2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：联立直线与圆的方程可得，， 解得，，代入直线方程可得，，不妨设，. 又圆心为， 则圆D的， 所以圆D的方程为. （2）解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段为圆的一条直径时，面积最小. ，所以圆的半径， 又圆心即线段的中点， 所以圆的方程为. 基础试炼 一、单选题 1．圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 2．已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 3．已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 4．已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 二、多选题 5．已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 6．已知集合，.若，则实数可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【详解】由题意，，即圆在圆的内部或圆上， 则，即. 故选：ABC    三、填空题 7．若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为 . 【答案】 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即为线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故答案为：. 8．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【答案】相切 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 9．已知为圆上任意一点，则的最小值为 【答案】 【详解】依题意可得，则表示圆上的点与点连线的斜率， 显然当过点且与圆相切（除外）时，斜率取得最小值， 设此时切线斜率为，则切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 10．已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 11．已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得， 即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 12．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由已知可设圆心， 圆C与直线：相切，且， 所以， 解得或（舍）， 所以圆C的方程为． （2）设圆心C到直线的距离为d， 则，， 即，解得，（舍去） 又，所以，解得， 所以直线的方程为或． 高阶突破 1．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 2．已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的半径为，    设的中点为， 因为，， 则，，， 设，则，即， 可知点为线段靠近的三等分点， 则，， 设向量与的夹角为， 可得， 且，所以的最小值为. 故答案为：. 3．（多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 4．已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 【答案】D 【详解】将化为标准式为：， 故圆心为半径为，且或， 由于与轴相切，故， 解得，或（舍去）， 故选：D 5．（多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 6．直线，与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 【答案】 【详解】曲线即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），如图， 则、、， 当直线经过点时，，求得， 此时只有一个公共点，符合题意； 当直线经过点、点时，，求得， 此时有2个公共点，不符合题意； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径， 可得，求得或（舍去）， 即：时，只有一个公共点，符合题意， 综上由图象可得实数的范围为. 故答案为： 7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 8．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 2 学科网（北京）股份有限公司 $$