2.2 充分条件、必要条件、充要条件（7大题型）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【考点梳理】 · 考点一：充分条件和必要条件的判断 · 考点二：根据充分不必要条件求参数问题 · 考点三：根据必要条件不充分条件求参数问题 · 考点四：充要条件问题 · 考点五：根据充要条件求参数问题 · 考点六：充要条件的证明 · 考点七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【知识梳理】 知识点一：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二：充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【题型归纳】 题型一：充分条件和必要条件的判断 1．（23-24高二下·江苏扬州）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，则是成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：根据充分不必要条件求参数问题 4．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 5．（2022·山西晋中·二模）已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·浙江·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或 题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·北京·阶段练习）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·江苏南通）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：充要条件问题 10．（23-24高一上·江苏连云港）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 11．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 12．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）设，则“”的充要条件是（    ） A．a，b都为 B．a，b不都为 C．a，b中至少有一个为 D．a，b都不为0 题型五：根据充要条件求参数问题 13．（20-21高一上·江苏连云港）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 15．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 16．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 18．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 19．（24-25高一上·上海）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 20．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 24．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 29．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 30．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 32．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 34．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 35．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下面命题为真命题的是（    ） A．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 三、填空题 37．（25-26高一上·全国）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 38．（24-25高一上·全国）已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 39．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 40．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 四、解答题 41．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 42．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 43．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 44．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【考点梳理】 · 考点一：充分条件和必要条件的判断 · 考点二：根据充分不必要条件求参数问题 · 考点三：根据必要条件不充分条件求参数问题 · 考点四：充要条件问题 · 考点五：根据充要条件求参数问题 · 考点六：充要条件的证明 · 考点七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【知识梳理】 知识点一：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二：充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【题型归纳】 题型一：充分条件和必要条件的判断 1．（23-24高二下·江苏扬州）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，则是成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据推出关系得到答案. 【详解】且， 故是成立的必要不充分条件. 故选：B 题型二：根据充分不必要条件求参数问题 4．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，最后根据集合的包含关系判断即可. 【详解】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求. 故选：B. 5．（2022·山西晋中·二模）已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据p是q的充分不必要条件，由⫋求解. 【详解】解：因为p是q的充分不必要条件， 所以⫋， 则m≤－1， 故选：D. 6．（21-22高一上·浙江·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】利用定义法进行判断. 【详解】把代入，得：，解得：或. 当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去； 当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件. 故. 故选：B 题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 8．（21-22高一上·北京·阶段练习）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解. 【详解】，即， 又是的必要不充分条件， 所以， 故选：D. 9．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 题型四：充要条件问题 10．（23-24高一上·江苏连云港）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 11．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． 12．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）设，则“”的充要条件是（    ） A．a，b都为 B．a，b不都为 C．a，b中至少有一个为 D．a，b都不为0 【答案】C 【分析】变形给定的等式，再利用充分条件、必要条件的定义逐项判断作答. 【详解】，，于是得或， 因此a，b中至少有一个为，反之当a，b中至少有一个为时，， “a，b中至少有一个为”是 “”的充要条件，C正确； 而“或”可以是“a，b中只有为”，A不正确； “或”可以是“a，b都为”，B不正确； “或”可以是“a，b中一个为，另一个为0”，D不正确. 故选：C 题型五：根据充要条件求参数问题 13．（20-21高一上·江苏连云港）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 14．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 15．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 题型六：充要条件的证明 16．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 18．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 19．（24-25高一上·上海）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 20．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到， 解得，即实数m的取值范围是． 21．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据两不等式的推出关系得到结论. 【详解】，但， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 【答案】C 【分析】对于AC，由一元二次方程的相关知识结合必要、充分条件的概念即可判断；对于B，由不等式的性质以及必要、充分条件的概念即可判断；对于D，直接由必要、充分条件的概念即可判断. 【详解】对于A，“”等价于“或”，所以“”是“”的必要非充分条件，故A不符合题意； 对于B，一方面：若“且”，则“”，另一方面：若，仍满足，但此时， 所以“且”是“”的充分非必要条件，故B不符合题意； 对于C，当时，“”是“方程有解”的既不充分也不必要条件，故C符合题意； 对于D，若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件，故D不符合题意. 故选：C. 24．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 25．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 26．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断. 【详解】若，即，则，或， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 27．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 28．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 29．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 30．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 二、多选题 31．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】AD 【分析】根据充分、必要条件的判定进行判断. 【详解】由“点到圆心的距离大于圆的半径”可得“点在外”，由“点在外” 可得“点到圆心的距离大于圆的半径”，故点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件，故A正确； 由“两个三角形的面积相等”推不出“两个三角形全等”，由“两个三角形全等”可得“两个三角形的面积相等”，所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B错误； 由“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故C错误； 由“或为有理数”推不出“为有理数”，如，，不是有理数；由“为有理数”推不出“或为有理数”，如，此时为有理数，但“或为有理数”不成立.故“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AD 32．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 33．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】解方程，利用必要不充分条件的意义求出实数的值. 【详解】由，得或. 解方程，得， 依题意，，，则或，解得或， 所以实数的值为或. 故选：BC 34．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ）． A．命题p：“，”的否定是：“，” B．已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“，”的否定为“，”所以A正确； 对于B中，由且，可得“，即充分性成立； 反正：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，所以B正确； 对于C中，由，可得且， 所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD. 35．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可. 【详解】对于，因为， 则，解得，即：， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 36．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下面命题为真命题的是（    ） A．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合各选项的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，当，时，；由，则且， 因此“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，当时，方程，， 则方程有两个不相等的实根，显然， 即方程有一正根一负根； 当方程有一正根一负根，则， 因此“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，B正确； 对于C，当时，成立，因此“”不是“”的充分条件，C错误； 对于D，当时，方程为，解得，即，满足充分性， 而当时，方程为，解得，不满足必要性，D正确. 故选：ABD 三、填空题 37．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【分析】先化简得出，再结合充分不必要条件判断各个选项. 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 38．（24-25高一上·全国·课后作业）已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 39．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 40．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【答案】 1 4 【分析】先化简条件，再根据充分条件、必要条件的定义计算得解． 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 四、解答题 41．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 42．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由题意可得⫋，由此列出不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】解  由题意得⫋， 故有或 解得． 又， 所以实数m的取值范围为． 43．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明见解析 【分析】根据因式分解可得，即可由充要条件的定义求解. 【详解】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 44．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 45．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 2 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