2.1 命题、定理、定义（7大题型）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

2.1 命题、定理、定义 【考点归纳】 · 考点一：命题的概念 · 考点二：命题的真假 · 考点三：指出命题的条件和结论 · 考点四：已知命题的真假求参数 · 考点五：与命题有关的综合性问题 【知识梳理】 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【题型归纳】 题型一：命题的概念 1．（23-24高一上·广西河池）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 3．（2021高一·江苏·专题练习）下列语句中是命题的个数（    ） ① “等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ② “平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③ “一个数不是正数就是负数”； ④ “ 为有理数，则 ， 也都是有理数”； ⑤ “作 ”． A． B． C． D． 题型二：命题的真假 4．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 6．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 题型三：指出命题的条件和结论 7．（24-25高一上·全国）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 9．（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 题型四：已知命题的真假求参数 10．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 11．（20-21高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 12．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 题型五：与命题有关的综合性问题 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 14．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 18．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 19．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 20．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 21．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 22．（22-23高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 23．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（22-23高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 25．（21-22高一上·全国）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 26．（21-22高一上·广东揭阳·阶段练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 27．（21-22高一上·甘肃白银·期中）下列四个命题中，属于真命题的是（    ） A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．所有质数的平方都不是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是偶数 28．（21-22高一上·湖北·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．集合有两个子集 B．若，则 C．集合里面有6个元素 D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为 29．（20-21高一上·海南三亚·阶段练习）下列命题中，真命题有（　　） A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点 C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集 三、填空题 30．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 31．（21-22高一上·全国·课后作业）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是 .（填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②若果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 32．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 33．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 34．（24-25高一上·全国·课后作业）若方程（p，q是实数）没有实数根，则． (1)判断上述命题的真假，并说明理由； (2)试写出上述命题的逆命题，判断真假，并说明理由． 35．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 36．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 37．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 38．（21-22高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 命题、定理、定义 【考点归纳】 · 考点一：命题的概念 · 考点二：命题的真假 · 考点三：指出命题的条件和结论 · 考点四：已知命题的真假求参数 · 考点五：与命题有关的综合性问题 【知识梳理】 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【题型归纳】 题型一：命题的概念 1．（23-24高一上·广西河池）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 2．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 3．（2021高一·江苏·专题练习）下列语句中是命题的个数（    ） ① “等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ② “平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③ “一个数不是正数就是负数”； ④ “ 为有理数，则 ， 也都是有理数”； ⑤ “作 ”． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的概念，逐一判断即可． 【详解】① 不是陈述句，不是命题． ② 疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③ 是假命题， 既不是正数也不是负数． ④ 是假命题，如 ，． ⑤ 是祈使句，不是命题． 故选：B 题型二：命题的真假 4．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数以及几何知识逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 6．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】A 【分析】逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】对于A，由倒数定义知：若xy＝1，则x，y互为倒数，真命题； 对于B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题； 对于C，平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题； 对于D，当时，有，假命题. 故选：A 题型三：指出命题的条件和结论 7．（24-25高一上·全国）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 9．（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 【答案】答案见解析. 【分析】首先弄清命题的条件和结论，然后进行改写即可． 【详解】解：（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行； （2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行； （3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数； （4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号； （5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数； （6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等； （7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等； （8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角. 题型四：已知命题的真假求参数 10．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 11．（20-21高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 12．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围； （2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围. 【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 题型五：与命题有关的综合性问题 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 14．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 15．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】分别求出当命题、为真命题时，实数的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 17．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 18．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 19．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 20．（22-23高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案. 【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 21．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 22．（22-23高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断. 【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误； B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误； C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误； D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确， 故选：D. 23．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 24．（22-23高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. 二、多选题 25．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 【答案】ABD 【分析】根据实数的性质，二次函数的定义，以及一元二次方程的判别式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如时，可得为实数，所以A不正确； 对于B中，当时，函数是一次函数，所以B不正确； 对于C中，当时，可得，此时方程有无实根， 所以C正确. 对于D中，例如，此时为有理数，但都是不是有理数，所以D不正确. 故选：ABD. 26．（21-22高一上·广东揭阳·阶段练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（    ） A．命题“若互为相反数，则” B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方” C．命题“若，则有实根” D．命题“若是正整数，则都是正整数” 【答案】ABC 【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D. 【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误. 故选：ABC 27．（21-22高一上·甘肃白银·期中）下列四个命题中，属于真命题的是（    ） A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．所有质数的平方都不是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是偶数 【答案】BD 【分析】依次判断每个选项的真假即可. 【详解】对A，平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形，故A是假命题； 对B，根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故B是真命题； 对C，2是质数，但为偶数，故C是假命题； 对D，任何奇数的立方都为奇数，故D是真命题. 故选：BD. 28．（21-22高一上·湖北·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．集合有两个子集 B．若，则 C．集合里面有6个元素 D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为 【答案】AD 【分析】A解方程根据解集元素的个数判断正误即可；B当出现矛盾；C注意集合中的分数，若时集合有6个元素，而有无数个元素；D根据点在二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误. 【详解】A：，则有2个子集，正确； B：当，则，故错误； C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误； D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确. 故选：AD 29．（20-21高一上·海南三亚·阶段练习）下列命题中，真命题有（　　） A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点 C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集 【答案】CD 【分析】对A，由时不满足可判断；对B，由时不满足可判断；由集合的性质可判断CD. 【详解】对A，当时，方程是关于的一元一次方程，故A错误； 对B，可知，若，即时，抛物线与轴没有交点，故B错误； 对C，互相包含的两个集合相等，故C正确； 对D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 30．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 31．（21-22高一上·全国·课后作业）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是 .（填所有真命题的序号） ①如果，且，那么； ②若果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么，其中n是正整数. 【答案】① 【分析】根据等式的性质逐一判断即可. 【详解】如果，且，那么 由推不出或，如 由推不出，如时 由推不出，如时 故答案为：① 32．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 33．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 四、解答题 34．（24-25高一上·全国·课后作业）若方程（p，q是实数）没有实数根，则． (1)判断上述命题的真假，并说明理由； (2)试写出上述命题的逆命题，判断真假，并说明理由． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判断； （2）根据逆命题的定义写逆命题，然后通过举反例来说明逆命题为假命题. 【详解】（1）原命题是真命题，理由如下： 由题意，得方程的判别式，得， 所以， 所以． （2）逆命题：如果p，q是实数，，则方程没有实数根． 逆命题是假命题，如当时，，但原方程有实数根． 35．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 【答案】(1)不是. (2)是，真 (3)是，真 (4)是，真 【分析】由命题的概念判断即可，即看语句是否能判断真假. 【详解】（1）“”不能判断真假，故不是命题. （2）由恒成立， 故“”是命题，且该命题为真命题. （3）由且， 则成立， 即“若且，则”是命题，且该命题为真命题. （4）关于的方程，其判别式， 若，则，故方程无实数根. 即“若，则关于的方程无实数根．”是命题，且该命题为真命题. 36．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 37．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 38．（21-22高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题、均为真命题，理由见解析 【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可； （2）根据条件进行推导，先判断，进而可证； （3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可. 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$