专题02 整式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版2024）

专题02 整式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 知识点一：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在式子，，，，，中，单项式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（22-23七年级上·重庆秀山·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，5 1．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）下列说法错误的是（　　） A．是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的系数是 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【经典例题四 单项式规律题】 【例4】（2024·云南·模拟预测）探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 3．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【经典例题五 多项式的判断】 【例5】（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下面说法中，正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次多项式 D．是单项式 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例6】（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·云南大理·一模）观察下列多项式：，，，，，则第个多项式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】（23-24七年级上·山西吕梁·期末）若多项式是关于，的四次多项式，则（    ） A．10 B． C．12或 D．10或 1．（2022七年级上·全国·专题练习）如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）将多项式按字母升幂排列是 ． 3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 1．（22-23七年级上·四川资阳·期末）下列代数式中，次数是3的单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．是五次单项式 C．的常数项是6 D．是三次多项式 3．（223-24七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 5．（22-23七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）单项式的次数是 ． 7．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）多项式的项数和次数之积为 ． 8．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如果是关于的三次二项式，则 ． 9．（22-23七年级上·重庆·期末）把多项式按的降幂排列可写成 ． 10．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）若是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的条件． 12．（22-23七年级上·河南新乡·期中）（1）已知代数式， 将代数式按y的降幂排列： ． （2）已知关于x，y的代数式为五次单项式，求的值． 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 14．（22-23七年级上·山东济南·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ．A、B两点之间的距离： ． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由． 15．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 知识点一：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点二：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点三：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在式子，，，，，中，单项式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义判断即可，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解：根据单项式的定义，，，，是单项式， 有减法运算，分母中含有字母，则这两个式子不是单项式， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类． 【答案】只含一个字母的单项式：，含两个及以上字母的单项式：；系数为正数的单项式；，系数为负数的单项式： 【分析】根据所含的字母，可分为两类；根据根据单项式的次数字母指数和，可分为两类． 【详解】解：只含一个字母的单项式：， 含两个及以上字母的单项式：； 系数为正数的单项式；， 系数为负数的单项式：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（22-23七年级上·重庆秀山·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，5 【答案】D 【分析】根据单项式的系数、次数的定义解答． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，5， 故选：D． 【点睛】此题考查了单项式的系数、次数的定义，解题的关键是掌握概念：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 1．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）下列说法错误的是（　　） A．是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的系数是 【答案】B 【分析】直接利用单项式的系数、次数定义即可得出答案． 【详解】解：A. 是单项式,说法正确； B. 的次数是4，原说法错误； C. 的系数是,说法正确； D. 的系数是，说法正确； 故选B. 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若单项式的系数为，次数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例3】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，理解密码的规则是解题关键．根据题意依次写出每个字母的替换字母即可． 【详解】解：由题意得：破译为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 【经典例题四 单项式规律题】 【例4】（2024·云南·模拟预测）探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题中给出的式子可得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，从而得到第n项表示为，将10代入求解即可． 【详解】解：观察式子：，，，，，…， 得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，即第n项表示为， 第10个单项式是， 故选：A． 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过观察发现，第个单项式为，由此可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ⋯⋯， ∴第个单项式为， 故选：C 2．（23-24七年级·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：， 当时，单项式为， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答； 结合可解答； 结合可解答； 结合可解答． 【详解】（1）， ， ， 第个单项式为：， 第个单项式为：； （2）由可得：第个单项式的系数是：； （3）由可得：第个单项式的次数是：； （4）由可得：第个单项式为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 【经典例题五 多项式的判断】 【例5】（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下面说法中，正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次多项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式和单项式的知识，解题的关键是学会识别多项式和单项式，即可． 【详解】A、整式包括多项式和单项式，不符合题意； B、是单项式，符合题意； C、是四次多项式，不符合题意； D、是多项式，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有 ；是多项式的有 ． 【答案】 ，，8 ， 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，掌握定义是解本题的关键．单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；根据单项式和多项式的定义逐一判断即可． 【详解】题目中是单项式的有：，，8； 故答案为：，，8． 题目中是多项式的有：；，. 故答案为：，. 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【答案】(1)，多项式 (2)358 【分析】（1）本题主要考查了列代数式和多项式的定义，根据题意列出代数式、再按多项式定义判断即可；审清题意、列出代数式是解题的关键； （2）本题主要考查了代数式求值，将代入（1）所得代数式即可解答；掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：该校共有，是多项式． 故答案为：，多项式． （2）解：将代入（1）所得的代数可得：． 答：该校有358名住校生． 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例6】（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 1．（2024·云南大理·一模）观察下列多项式：，，，，，则第个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，正确理解式子的规律是关键．根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中的次数是式子的序号；第二项的符号：第二项中的次数是序号的倍减，第二项系数是序号的次方，据此即可写出． 【详解】解：， ， ， ， …… 由上可知第个式子为：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）写出一个含有的五次三项式 ，其中最高次项的系数为，常数项为6． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，根据题意，结合五次三项式、最高次项的系数为，常数项可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念． 【详解】解：根据题意，此多项式是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）已知多项式是五次四项式，单项式与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值． (2)若，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键． （1）根据多项式是五次四项式，可得，根据单项式与该多项式的次数相同可得，求解即可； （2）把代入多项式中求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，且单项式与多项式的次数相同， ， 解得：； （2）∵， ∴这个多项式是， 当时， ． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】（23-24七年级上·山西吕梁·期末）若多项式是关于，的四次多项式，则（    ） A．10 B． C．12或 D．10或 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数：“最高项的次数”，根据题意，得到：，求出的值后，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，或， ∴或； 故选D． 1．（2022七年级上·全国·专题练习）如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式及多项式的次数的定义求解．由于多项式是几个单项式的和，那么此多项式中的每一项都必须是单项式，而整式中的字母可以取任意数，0的0次幂无意义，所以a、b均为正数；又由于多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三次多项式是指次数为3的多项式，则a、b均不大于3；又此多项式中另外的项的次数都小于3，故a、b中至少有一个是3．即a、b的取值都是正整数，且a、b中至少有一个是3．据此选择即可． 【详解】解：A、时，如果，那么无意义，故错误； B、时，是分式，此时不是多项式，故错误； C、正确； D、时，多项式是关于y的一次多项式，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了对多项式的有关概念的应用，能理解多项式的次数和项数的意义是解此题的关键， 2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【详解】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的项与次数、以及求值，熟练掌握多项式的概念是解题关键． （1）根据多项式的项与次数即可得； （2）将代入多项式计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的多项式为二次三项式， ， 解得． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 则当时，， 答：这个二次三项式的值为． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先确定各项中的次数，再排列即可，弄清楚每项中的系数是解此题的关键． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）将多项式按字母升幂排列是 ． 【答案】 【分析】根据的升幂排列，即按照次，次，次，次的方式排列，排列时带着系数及符号． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）有一个关于、的多项式，每项的次数都是． (1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______； (2)写出同时满足下列要求的一个多项式： ①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可； （2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且， 各项的字母组成只能是： ，，，， 项数最多的一个多项式有四项， 项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一）， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是， 满足要求的多项式为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键． 1．（22-23七年级上·四川资阳·期末）下列代数式中，次数是3的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是4次单项式，故A不符合题意； 是4次单项式，故B不符合题意； 是3次单项式，故C,符合题意； 是3次2项式，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．是五次单项式 C．的常数项是6 D．是三次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式，理解单项式的次数与系数，多项式的次数与项是解决本题的关键． 利用多项式、单项式的相关定义逐个判断得结论． 【详解】解：A的系数是，故A说法正确； B．是四次单项式不是五次单项式，故B说法错误； C．的常数项是不是6，故C说法错误； D．是四次多项式不是三次多项式，故D说法错误． 故选：A． 3．（223-24七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探索，正确理解题意、分别找出已知单项式的系数与次数的规律即可解题． 【详解】解：由题可知，单项式系数变化规律为：、、、，即， 单项式次数的变化规律为、、、、，即， 第个单项式是， 故选：D． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 5．（22-23七年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤． 【详解】解：＝ ＝， ∵是关于x的三次三项式，， ∴， 解得，故①正确； ＝， ∵中不含， ∴， ∴，故②正确； ∵时，；当时，， ∴， 解得，，故③正确； 在中，令得： ， ∴，故④正确； 在中，令得： ， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）单项式的次数是 ． 【答案】8 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式， 的次数是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是掌握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 7．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）多项式的项数和次数之积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式的项和次数的概念，根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数进行分析即可． 【详解】解：多项式是四次五项式， 项数和次数之积为， 故答案为：20． 8．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如果是关于的三次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，根据题意是关于的三次二项式，可知最高次项是3，而且只有两项，可得，的值，然后代入即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意可得：是关于的三次二项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 9．（22-23七年级上·重庆·期末）把多项式按的降幂排列可写成 ． 【答案】 【分析】按字母按x的降幂排列即可得答案． 【详解】按字母按x的降幂排列， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 10．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 【答案】 【分析】本题考查单项式的排列规律，能根据所给单项式列发现系数和次数的变化规律是解题的关键． 观察所给的单项式列可知，奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给的单项式列可知， 奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1， 所以第个式子的系数为，第个式子的字母部分为， ∴第个式子为． 故答案为：． 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）若是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的条件． 【答案】 【分析】本题考查单项式，掌握单项式的次数是所有字母的指数和，对于一个次数不小于1的单项式，其系数不能为0是解题的关键． 【详解】因为是关于x，y的五次单项式． 所以， 解得． 12．（22-23七年级上·河南新乡·期中）（1）已知代数式， 将代数式按y的降幂排列： ． （2）已知关于x，y的代数式为五次单项式，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列； （2）根据多项式次数及项数的定义，可得a、b的值，再代入即可求解． 【详解】解：（1）已知代数式， 将代数式按的降幂排列：； 故答案为：； （2）因为是关于x、y的五次单项式， 所以，， ， 又因为， 所以，， ． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的相关定义．解题时，要注意：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 14．（22-23七年级上·山东济南·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ．A、B两点之间的距离： ． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由． 【答案】(1)；8；12 (2) (3)P点对应的数为或 【分析】（1）由题意直接可求解； （2）根据点的运动特点，可得：； （3）①当P点在A点的左侧时，得到，P点对应的数是；②当P点在之间时，得到，P点对应的数是． 【详解】（1）解：∵式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴， 解得：， ∴的距离为； 故答案为：；8；12； （2）解：由题意可得： ； （3）解：①当P点在A点的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴可以； ②当P点在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴可以； ∴P点对应的数为或． 【点睛】本题考查了有理数加减运算，多项式和数轴，数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题的关键． 15．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 学科网（北京）股份有限公司 $$