拓展2-4 一元二次函数、方程和不等式高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展2-4一元二次函数、方程和不等式高频题型专攻 一、不等式的性质 六、解含参二次不等式 二、求代数式的取值范围 七、利用基本不等式求最值 三、解不含参不等式 八、基本不等式的恒成立问题 四、三个“二次”的关系 九、不等式的实际应用 五、二次不等式的恒成立与有解问题 一、不等式的性质 【例1】设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知且，比较与的大小． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-2】（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】比较下列各组中两式的大小： (1)已知、为正数，且，比较与的大小； (2)当时，比较与的值的大小． 二、求代数式的取值范围 【例3】已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【例4】（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【变式2-1】若实数，满足，则的取值范围为 . 【变式2-2】设，． (1)求的取值范围． (2)求的取值范围． (3)求的取值范围． 【变式2-3】问题：已知，，求的取值范围． 下面是某同学的解答过程． 解：由可得，；（步骤1） 在两端乘以得；（步骤2） 所求的取值范围是．（步骤3） 请分析其解答过程中的错误所在的步骤并求出正确的结果． 三、解不含参不等式 【例5】解下列关于x的不等式： (1)； (2). 【例6】已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式3-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】解下列不等式： (1) (2) 四、三个“二次”的关系 【例7】不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【变式4-1】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【变式4-2】关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 【变式4-3】已知不等式的解集为，则= ，= 五、二次不等式的恒成立与有解问题 【例9】若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【变式5-2】已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-3】已知命题：存在实数，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围. 六、解含参二次不等式 【例11】（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【例12】解关于的不等式． 【变式6-1】解关于的不等式：． 【变式6-2】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【变式6-3】已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 七、利用基本不等式求最值 【例13】已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【例14】（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）若正数a,b满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】 (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 【变式7-3】已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 八、基本不等式的恒成立问题 【例15】若两个正实数、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【例16】已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 【变式8-1】当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【变式8-2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式8-3】已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 九、不等式的实际应用 【例17】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 【例18】如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m. (1)设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式； (2)要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计? 【变式9-1】某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【变式9-2】2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【变式9-3】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-4一元二次函数、方程和不等式高频题型专攻 一、不等式的性质 六、解含参二次不等式 二、求代数式的取值范围 七、利用基本不等式求最值 三、解不含参不等式 八、基本不等式的恒成立问题 四、三个“二次”的关系 九、不等式的实际应用 五、二次不等式的恒成立与有解问题 一、不等式的性质 【例1】设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，推不出， 而， 所以命题甲是命题乙的必要不充分条件， 故选：B 【例2】已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确； 对于B，当时，，则B错误； 对于C，由，得，所以，则C正确； 对于D，当时，，此时，则D错误. 故选：AC 【变式1-3】比较下列各组中两式的大小： (1)已知、为正数，且，比较与的大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）依题意， ， 由，且，得，， 所以，即． （2）依题意，， 由，得，则， 所以． 二、求代数式的取值范围 【例3】已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 【例4】（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. 【变式2-1】若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】设，． (1)求的取值范围． (2)求的取值范围． (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2）因为，所以， 因为，所以. （3）因为，所以， 当时，， 当时，， 所以. 【变式2-3】问题：已知，，求的取值范围． 下面是某同学的解答过程． 解：由可得，；（步骤1） 在两端乘以得；（步骤2） 所求的取值范围是．（步骤3） 请分析其解答过程中的错误所在的步骤并求出正确的结果． 【答案】错误在步骤2，正确结果为 【详解】错误在步骤2，其中中不是正数不等式，不能应用乘法． 正解：当时，，乘得，即； 当时，与相乘可得. 综上所述，. 故的取值范围是． 三、解不含参不等式 【例5】解下列关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 则，解得或， 所以不等式的解集为或. 【例6】已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】由或，解之得， 由，解之得， 显然是的真子集， 所以命题q是p的充分不必要条件. 故选：D 【变式3-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】解不等式可得或， 检验可知选项C是的真子集，即是成立的一个充分不必要条件， 故选：C 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， ， 所以. 故选：B. 【变式3-3】解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. （2）原不等式等价于 整理得， 即， 解得， 所以原不等式的解集为. 四、三个“二次”的关系 【例7】不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 【例8】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-1】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【答案】AD 【详解】A选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，所以对应函数的两个零点为和，A选项错误； B选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，且，，即，， 所以，即，解得，所以不等式的解集为，B选项正确； C选项：若关于的一元二次不等式解集为，则且其对应方程无解，即，C选项正确； D选项：若关于的不等式的解集为， 则，且， 关于的二次不等式的解集是， 则，且，无法确定其比例关系，D选项错误； 故选：AD. 【变式4-2】关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 【答案】/ 【详解】由题意，的两根为， 所以， 解得，或， 当时，故， 由知，所以解得， 当时，不合题意. 故答案为： 【变式4-3】已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【详解】依题意，不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为：； 五、二次不等式的恒成立与有解问题 【例9】若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 【例10】已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 【变式5-1】若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-2】已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 【变式5-3】已知命题：存在实数，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题：存在实数，使成立， 所以，解得或， 故实数的取值范围为； （2）因为命题：对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果是假命题，则；如果是真命题，则； 所以，即实数的取值范围. 六、解含参二次不等式 【例11】（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意，对应的二次方程有两根， 当时，开口向下，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为. 故选：BCD 【例12】解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】解：不等式可化为，即． 即. ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 【变式6-1】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 【变式6-2】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式6-3】已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 七、利用基本不等式求最值 【例13】已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【例14】（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 【变式7-1】（多选）若正数a,b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题可知： 对于A，易知， 当且仅当时，即时，等号成立； 对于B，由可得，可得， 同理可得，所以， 所以；当且仅当时，等号成立，即B正确； 对于C，由可得， 又， 所以，即，，可得， 即可得，即C错误； 对于D，由可得，即； 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即D错误； 故选：AB 【变式7-2】 (1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 【变式7-3】已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 八、基本不等式的恒成立问题 【例15】若两个正实数、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】因为两个正实数、满足，则 ， 当且仅当时，等号成立，故，即，解得. 故选：C. 【例16】已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最大值为， 所以. 故答案为： 【变式8-1】当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，，， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 即（当且仅当，时取等号）， 因为恒成立，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式8-3】已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 九、不等式的实际应用 【例17】某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 【答案】 【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.    因为，所以热带风暴中心B的坐标为， 则x h后热带风暴中心B到达点处， 依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解得，， 所以在h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达h. 故答案为：； 【例18】如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m. (1)设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式； (2)要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计? 【答案】(1) (2)长为100米，宽为40米 【详解】（1）由m，得m， 故（） （2）由（） 当且仅当即时等号成立， 故长方形休闲区的长为100米，宽为40米时，长方形公园所占总面积最小， 【变式9-1】某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 【变式9-2】2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 【变式9-3】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3)140cm 【详解】（1）每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：， 整理得，. （2）； （3）令， 则； 当时，取最小值为24500，此时； 答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$