1.3 探索三角形全等的条件（6）课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

1.3 探索三角形全等的条件 --SAS、ASA、AAS综合 1 问题1： 如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　） A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF 复习回顾 （1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”) . （2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”）. （3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”）. 判别两三角形全等的方法： 3 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD， (1)根据“SAS”需添加条件 　 ； (2)根据“ASA”需添加条件 　 ； (3)根据“AAS”需添加条件 ． AB＝AC ∠BDA＝∠CDA ∠B＝∠C 复习回顾 练.如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，若要使△ABC≌ △DEF． （1）根据“SAS”,应补充条件__________， （2）根据“ASA”,应补充一个直接条件___________， （2）根据“AAS”，那么补充的条件为____________。 ∠B＝∠E 　∠A＝∠D AC＝DF 例1、如图，AB=AC，AD=AE，∠EAB=∠DAC，问：△ABD与△ACE是否全等？∠D与∠E有什么关系？为什么？ 情境导入 [及时训练]如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, 求证：△ABC≌△ADE. 例2、如图，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗？  [及时训练]如图，点E、F在BD上，且BF＝DE，∠B＝∠D，∠A＝∠C，求证:AB＝CD. 例3、已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD． [及时训练]如图，点A、E、C、F在一条直线上，AB ∥CD，BE∥DF，EB＝FD．求证：AC＝EF． 新知生成 例4.（1）如图，点A、E、B在直线MN上，DA⊥MN，BC⊥MN，∠DEC=90°，DE ＝ CE .求证：AB=AD+BC. 证明：∵ DA⊥MN，BC⊥MN(已知) ∴ ∠D+∠AED=90°，∠C+∠CEB=90°. ∵ ∠DEC=90°(已知), ∴ ∠AED+∠CEB=90°，∴ ∠AED=∠C. 在△DAE和△EBC中， ∠DAE＝∠EBC=90°(已知) ∠AED=∠C(已证) ， DE＝EC (已知) ， ∴△DAE ≌△EBC(AAS) ． ∴AE＝BC, AD＝BE（全等三角形对应边相等）. ∵AB=AE+BE, ∴AB=BE+AD。 12 [及时训练]已知：如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F. 求证：EF＋AE＝CF. 证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD(已知) ∴ ∠E=∠CFB=90°，∠BCF+∠CBF=90°. ∵ ∠ABC=90°(已知), ∴ ∠ABE+∠CBF=90°，∴ ∠ABE=∠BCF. 在△ABE和△BCF中， ∠E＝∠CFB=90°(已知) ∠ABE=∠BCF(已证) ， AB＝CB (已知) ， ∴△ABE ≌△BCF(AAS) ． ∴AE＝BF, BE＝CF（全等三角形对应边相等）. ∵ EF＋BF＝BE, ∴EF＋AE＝CF. 例5.如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D 【思考】①看到“AB+AC>2AD”，你想到了什么？ 两边之和大于第三边； E ②如何将“2AD”呈现在图中？ 延长AD至点E，使得ED=AD，则AE=2AD； ③边AB和AE可以确定哪个三角形？ 连接BE，可以确定的三角形是△ABE。 倍长中线 如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D E 在△BED和△CAD中，， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=CA（全等三角形的对应角相等）； 证明：如图，延长AD至点E，使得ED=AD，连接BE， 则由作图可知：AE=2AD， ∵AD是△ABC的中线（已知）， ∴BD=CD（中线的定义）， 如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D E ∵在△ABE中，AB+BE>AE （三角形的任意两边之和大于第三边）， ∴AB+AC>2AD（等量代换）。 倍长中线模型：当题目条件中出现中点或中线，我们常常使用倍长中线的辅助线技巧。 你还能得到哪些结论？ BE//CA [及时训练]在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是________。 C A B D E 【分析】如图，利用倍长中线法，结合 BD=CD、∠BDE=∠CDA、ED=AD ⇒△BED≌△CAD ⇒BE=CA=4 ⇒AB-AC<AE<AB+AC ⇒2＜AD<10，即1＜AD<5。 AD<5 归纳总结 (1)已知两边 思路一(找第三边) 思路二(找角) AB=DE, BC=EF 首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等 ①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用“SAS”判定全等;②找直角:用“HL”判定全等 (2)已知两角 思路一(找夹边) 思路二(找角的对边) ∠A=∠D, ∠B=∠E 首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等 首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用“AAS”判定全等 (3)已知一边一角 思路一(找夹角的另一边) 思路二(找夹边的另一角) 思路三(找边的对角)   边为角的邻边: AB=DE,∠B=∠E 首先找出BC=EF,然后应用“SAS”判定全等 首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全等 首先找出∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等 边为角的对边: AC=DF,∠B=∠E 找边的邻角对应相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等 灵活选用适当的方式求证三角形全等 18 $$