精品解析：河南省开封市杞县高中2024-2025学年高二宏志班上学期开学检测数学试卷

高二宏志班数学开学检测卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知复数，则（ ） A B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，∥，则 4. 向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 8 6. 已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166 C. 166.5 D. 168 8. 在如图所示电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ） A. 若，，则或 B. 若，则 C. 若，，则向量在向量上的投影数量为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. a的值为0.018 B. 估计员工平均服务时长为45小时 C. 估计员工服务时长中位数为48.6小时 D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人 11. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知向量的夹角为，且，则___________. 13. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 14. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米. 四、解答题（15小题13分，16-17小题15分，18-19小题17分，共5小题77分） 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求A； （2）若，求周长的最大值． 17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差. 附： 18. 如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. （1）若点为中点，求证：平面； （2）若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二宏志班数学开学检测卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2. 在中，角对边分别为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为 ， 所以， 因为，所以，或舍去，可得， 因为，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，可得， ，所以. 故选：D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，∥，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可. 【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误， 对于B，如图，当，时，∥，所以B错误， 对于C，如图当，，时，∥，所以C错误， 对于D，设，在平面内作，因为，所以， 因为∥，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 4. 向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 则，且， 所以. 故选：A. 5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解. 【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10， 因为， 所以第60百分位数是第5个数6. 故选：C 6. 已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，故A错误； 对于B，若，，则可能，故B错误； 对于C，若，，则可能，故C错误； 对于D，若，在平面内能找到直线，使得， 由，可得，又因为，则，故D正确. 故选：D. 7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166 C. 166.5 D. 168 【答案】B 【解析】 【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：，， 抽取的样本的均值为. 故选：B. 8. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题. 【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ） A. 若，，则或 B. 若，则 C. 若，，则向量在向量上的投影数量为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，计算出，根据向量垂直得到方程，求出或，A正确；B选项，两边平方，求出；C选项，根据垂直关系得到，从而根据投影向量的模长公式求出C正确；D选项，在C选项基础上，根据投影向量的公式进行求解. 【详解】A选项，， 因为，所以， 解得或，A正确； B选项，两边平方得，， 因为，所以， 故，则，B正确； C选项，因为，所以， ，故， 则向量在向量上的投影数量为，C错误； D选项，由C选项知，， 向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 10. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. a的值为0.018 B. 估计员工平均服务时长为45小时 C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时 D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据各组的频率和为1可求出，对于B，利用平均数的定义求解判断，对于C，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断. 【详解】对于A，由频率分布直方图得， 解得，所以A正确， 对于B，员工平均服务时长为小时，所以B错误， 对于C，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为，则， 解得，所以C正确， 对于D，因为服务时长超过50小时的频率为， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有人，所以D错误. 故选：AC 11. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平移法可求出直线与所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值，判断D. 【详解】对于A，连接，则，即为正三角形， 又，分别为，的中点，故， 故直线与所成的角即为所成角或其补角，而， 故直线与所成的角的大小为，A正确； 对于B，由于，故四边形为平行四边形， 故，而，故, 又平面，平面，故平面，B正确； 对于C，取EF中点为M，连接DM，显然，故， 假设平面平面，而平面平面， 平面，则平面，又平面， 则，这与二者交于D点矛盾，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d， 则， 而， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则，D正确， 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知向量的夹角为，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量，的夹角为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 【答案】68 【解析】 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 14. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以, 求出h即可 详解】设 在中，，. 在中， ,, 在中，,. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为, 所以， 即，. 故答案： 四、解答题（15小题13分，16-17小题15分，18-19小题17分，共5小题77分） 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可. 【小问1详解】 因为， 又因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 所以， 所以. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）若，，求A； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理直接求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值． 【小问1详解】 由正弦定理知，所以，解得， 因为B为钝角，所以． 【小问2详解】 解：由余弦定理得， 又由，，则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为4， 所以周长的最大值为． 17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为.“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差. 附： 【答案】（1）平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45. （2） （3）26.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式和百分位数的求法即可； （2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可； （3）根据分层方差公式计算即可. 【小问1详解】 这些人的平均年龄为 (岁). 由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 在的频率为， 则第80百分位数为，由，解得. 所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45. 【小问2详解】 第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1. 若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为;第四组抽取2人， 记为;第五组抽取1人，记为; 对应的样本空间， ， 所以; 设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， 则， ，所以. 所以. 【小问3详解】 设第三组、第四组的年龄的平均数分别为，方差分别为.则. 由第三组有30人，第四组有20人， 设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为， 则 所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8. 18. 如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明； （2）应用面面垂直判定定理证明； （3）等体积法求三棱锥的体积. 【小问1详解】 连接，因为直三棱柱，，，又 ∴是正方形且O为线段的中点， 又M为线段AC中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵，，平面平面，∴平面， 又平面，∴平面平面； 【小问3详解】 ∵M为线段AC中点， ∴， 即三棱锥的体积为． 19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. （1）若点为中点，求证：平面； （2）若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，从而证得平面；（2）（i）首先证明平面PBC，从而证明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，根据边长关系求出即可得到答案. 【小问1详解】 中，点，分别为棱，的中点， ∴ 又四边形是正方形，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 （i）在四棱锥中， 平面，四边形正方形, ,, ,平面，平面， 平面 平面 在中，，为中点 ，，平面，平面 平面 平面 又，，平面，平面 平面，又平面 . （ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角， 在中，，，则 又，∴， ∴ 故直线与平面所成的角的正切值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$