第一章 勾股定理 单元测试2024-2025学年北师大版数学 八年级上册

第一章《勾股定理》 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．1，，2 C．6，8，10 D．4，5，6 2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB边的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（　　）米，却踩伤了花草． A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 4．（3分）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？（　　） A．8米 B．6米 C．10米 D．4米 5．（3分）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 6．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝2寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸 7．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（　　） A．10 B．10或 C． D．或 8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，则S2的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 10．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图7中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝　 　． 12．（4分）如图，有一个棱长为4cm的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边AB的中点P处，发现上方顶点C′处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点C′处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为 　 　． 13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝17，BC＝16，则四边形EBFC的面积为 　 　． 14．（4分）张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（Hippocrate'sTheorem）”：如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 　 　． 15．（4分）已知AB的长为10，平面内存在两个动点P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下结论正确的是 　 　． ①AQ的最小值是7，最大值是13； ②PB的最大值是9； ③PA的最小值是1； ④PQ的最大值是10． 三．解答题（共5小题，满分50分） 16．（8分）汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地A，江边有两个景点B，C．其中BA＝BC，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路AD，测得AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求原路线AB的长． 17．（10分） 设计生日蛋糕包装盒 素材1 某兴趣小组在数学社团活动中进行了项目化学习研究“如何设计生日蛋糕包装盒？”为便于研究，他们提出合理假设：为圆形生日蛋糕设计包装盒，包装盒由一个顶部为正方形的无底长方体盒子和一个正方形的底部托盘组成，其中顶部正方形和底部托盘边长相同． 蛋糕装好后，用一根彩带从盒子上方缠绕一周，在底部打一个十字，再将彩带两端拉上来在盒子顶部打一个蝴蝶结，打包后的蛋糕如图1所示． 素材2 已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圆形糕的直径分别为15cm，20cm，25cm，30cm． 若要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为10cm的圆形蛋糕的包装盒．图2是该兴趣小组设计的正方形托盘的平面示意图，虚线圆圈是放置蛋糕的区域，正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为1cm，托盘高为1cm． 素材3 该兴趣小组利用边长为72cm的正方形透明塑料板制作顶部为正方形的无底长方体盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，如图3所示．将剩余部分折成一个无底长方体盒子．蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为8cm． 设顶部正方形边长为a cm，剪掉的小正方形边长为h cm． 任务1 （1）写出a，h之间的关系式； 任务2 （2）求a的取值范围； 任务3 （3）若用一根长为240cm的彩带打包，要求预留40cm的彩带打蝴蝶结，则彩带是否够用？ 18．（10分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 19．（10分）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20m，∠AOB＝90°． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被因人员？ 20．（12分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　 　，AB＝　 　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 第一章《勾股定理》 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．1，，2 C．6，8，10 D．4，5，6 【考点】勾股定理的逆定理．版权所有 【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【解答】解：A、32+42＝52，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B、12+22＝（）2，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、62+82＝102，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、42+52≠62，此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB边的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】勾股定理；角平分线的性质．版权所有 【分析】＝根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DH＝CD＝4作答即可 【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥AB ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，且DH⊥AB， ∴DH＝CD＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（　　）米，却踩伤了花草． A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，然后求出两直角边和与斜边的差即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，已知AB＝3m，AC＝4m， ∴， 所以他们仅仅少走了3+4﹣5＝2（m）． 故选：B． 【点评】此题考查勾股定理的应用，解题关键是理解题意，利用勾股定理求出斜边后还需要继续求出多走的部分． 4．（3分）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？（　　） A．8米 B．6米 C．10米 D．4米 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】先求出滑动前，梯子的底端到墙的距离，再设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，列式计算b＝15，即可作答． 【解答】解：滑动前，梯子的底端到墙的距离为（米）， 设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米， 得方程，b2+（24﹣4）2＝252， 解得：b＝15， 则15﹣7＝8（米）， 所以梯子向后滑动了8米． 故选：A． 【点评】本题考查了求梯子滑落高度（勾股定理的应用），解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（3分）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．版权所有 【分析】利用勾股定理求出BC长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 6．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝2寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．26寸 B．50.5寸 C．52寸 D．101寸 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】取AB的中点为点O，由题意可得AC＝AO，设AE＝x寸，则AC＝AO＝（x+1）寸，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，取AB的中点为O，则EF的中点也为O， 根据题意可知：CD＝EF＝2寸， ∴寸， 设AE＝x寸，则AC＝AO＝（x+1）寸， ∵AE2+CE2＝AC2，CE＝DF＝1尺＝10寸， ∴x2+102＝（x+1）2， 解得：x＝49.5， ∴AB＝49.5+49.5+2＝101（寸）． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键． 7．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（　　） A．10 B．10或 C． D．或 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【解答】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股定理，正确分情况讨论是解题关键． 8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（　　） A．7 B．2 C． D．7 【考点】勾股定理的证明．版权所有 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决． 【解答】解：∵AE＝5，AB＝13， ∴BE＝＝12， ∴小正方形的面积为：132﹣4××5×12＝49， 由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍， ∴EF2的值是49×2＝98， ∴EF的值是7， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，则S2的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2＝AB2﹣AC2， ∵分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3， ∴AB2＝10，AC2＝3， ∴BC2＝10﹣3＝7， 即S2的值是7， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，正确识图，得出S2＝S1﹣S3是解题的关键． 10．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图7中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50， ......， ∴图7中所有正方形的面积为6×25+50＝200， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝　　． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝3， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键． 12．（4分）如图，有一个棱长为4cm的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边AB的中点P处，发现上方顶点C′处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点C′处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为 　2　． 【考点】平面展开﹣最短路径问题．版权所有 【分析】将正方体侧面展开，连接PC'，在Rt△PCC'中，由勾股定理求出PC'的长即可． 【解答】解：如图，侧面展开图如图所示，连接PC'， ∵正方体的棱长为4cm， ∴CP＝PB+BC＝2+4＝6（cm）， 在Rt△PCC'中，由勾股定理得， PC'＝＝2（cm）， 即它需要爬行的最短距离为2cm， 故答案为：2． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝17，BC＝16，则四边形EBFC的面积为 　120　． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】将四边形EBFC的面积转化为S△CBF+S△CBE，然后进行求解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴BC平分∠ABF， 过点C作CM⊥AB，CN⊥BF， ∴CM＝CN， ∵S△ACE＝AE•CM，S△CBF＝BF•CN，且BF＝AE， ∴S△CBF＝S△ACE， ∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA， ∵AC＝17， ∴AB＝17， 设AM＝x，则BM＝17﹣x， 由勾股定理得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2， ∴172﹣x2＝162﹣（17﹣x）2， 解得：x＝， ∴CM＝＝， ∴S△CBA＝AB•CM＝×17×＝120， ∴四边形EBFC的面积为120， 故答案为：120． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 14．（4分）张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（Hippocrate'sTheorem）”：如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 　30　． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝5，b＝12，AB＝c ∴c2＝a2+b2， ∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ＝ ＝ ＝ ＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，找准求阴影面积的关系式是解答的关键． 15．（4分）已知AB的长为10，平面内存在两个动点P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下结论正确的是 　①②③　． ①AQ的最小值是7，最大值是13； ②PB的最大值是9； ③PA的最小值是1； ④PQ的最大值是10． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】先证明PA2+PB2＝2PD2+2AD2，这是解答第一步．①利用圆外一点到圆上一点求最值即可．②③④均利用三角形三边关系判断即可． 【解答】解：取AB中点D，连PD．过P作PM⊥AB，以B为圆心，以BQ为半径作⊙B，QQ'为⊙B直径． ∴设AD＝DB＝a， 设DM＝b，则MB＝a﹣b． ∵PA2+PB2 ＝PM2+AM2+PM2+MB2 ＝2PM2+（a+b）2+（a﹣b）2 ＝2PM2+2a2+2b2， 又PD2+AD2 ＝PM2+b2+a2， ∴PA2+PB2＝2PD2+2AD2， ∴82＝2PD2+2×（×10）2， ∴PD＝4． ①如图，AQ最小＝AB﹣BQ＝10﹣3＝7， AQ'最大＝AB+BQ'＝10+3＝13， 故①正确． ②如图，PB≤PD+DB， ∴PB最大＝PD+DB＝4+5＝9， 故②正确． ③如图，PA≥AD﹣PD， ∴PA最小＝AD﹣PD＝5﹣4＝1， 故③正确． ④如图，PQ'≤PD+DB+BQ'， ∴PQ'最大＝PD+DB+BQ'＝4+5+3＝11， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了勾股定理，作垂线构造直角三角形是解题关键． 三．解答题（共5小题，满分50分） 16．（8分）汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地A，江边有两个景点B，C．其中BA＝BC，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路AD，测得AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求原路线AB的长． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．版权所有 【分析】（1）利用勾股定理即可判断； （2）设BD＝x千米，则BA＝BC＝（x+2.5）千米，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下： ∵AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米， ∴AD2+DC2＝62+2.52＝42.25，AC2＝6.52＝42.25， ∴AD2+DC2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形； （2）由（1）可知AD⊥BC， 设BD＝x千米，则BA＝BC＝（x+2.5）千米， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∴62+x2＝（x+2.5）2， 解得x＝5.95千米， ∴AB＝8.45千米． 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 17．（10分） 设计生日蛋糕包装盒 素材1 某兴趣小组在数学社团活动中进行了项目化学习研究“如何设计生日蛋糕包装盒？”为便于研究，他们提出合理假设：为圆形生日蛋糕设计包装盒，包装盒由一个顶部为正方形的无底长方体盒子和一个正方形的底部托盘组成，其中顶部正方形和底部托盘边长相同． 蛋糕装好后，用一根彩带从盒子上方缠绕一周，在底部打一个十字，再将彩带两端拉上来在盒子顶部打一个蝴蝶结，打包后的蛋糕如图1所示． 素材2 已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圆形糕的直径分别为15cm，20cm，25cm，30cm． 若要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为10cm的圆形蛋糕的包装盒．图2是该兴趣小组设计的正方形托盘的平面示意图，虚线圆圈是放置蛋糕的区域，正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为1cm，托盘高为1cm． 素材3 该兴趣小组利用边长为72cm的正方形透明塑料板制作顶部为正方形的无底长方体盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，如图3所示．将剩余部分折成一个无底长方体盒子．蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为8cm． 设顶部正方形边长为a cm，剪掉的小正方形边长为h cm． 任务1 （1）写出a，h之间的关系式； 任务2 （2）求a的取值范围； 任务3 （3）若用一根长为240cm的彩带打包，要求预留40cm的彩带打蝴蝶结，则彩带是否够用？ 【考点】平面展开﹣最短路径问题；展开图折叠成几何体．版权所有 【分析】任务1 根据图3，结合题意列出a与h的关系式即可； 任务2 根据要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为10cm的圆形蛋糕的包装盒且正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为1cm，托盘高为1cm，蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为8cm，求出a的范围即可； 任务3 当a取最小值时，求出需要的彩带长度，判断即可． 【解答】解：任务1 根据题意得：a+2h＝72， ∴a与h的关系式为a＝﹣2h+72； 任务2 根据题意得：a≥30+1+1＝32，h≥10+1+8＝19， 即， 解得：32≤a≤34； 任务3 根据题意得：4×（32+19）+40＝244（cm）＞240cm， ∴彩带不够用． 【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，展开图折叠成几何体，弄清题意是解本题的关键． 18．（10分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】由勾股定理求出BD2＝45，再证BC2+CD2＝BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，即可得出结论． 【解答】解：该车符合安全标准，证明如下： 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键． 19．（10分）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20m，∠AOB＝90°． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被因人员？ 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【分析】（1）根据勾股定理列式计算即可； （2）先求出OA′，再根据勾股定理求出OB′，进一步即可求出BB′； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为7m，根据7m＞5m，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA＝＝＝15（m）， 答：OA的长为15m； （2）∵OA＝15m，AA′＝8m， ∴OA′＝OA﹣AA′＝15﹣8＝7（m）， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'＝＝＝24（m）， ∴BB′＝OB′﹣OB＝24﹣20＝4（m）， 答：BB′的长度为4m； （3）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为＝7（m）， ∵25×＝5（m），7m＞5m， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出OA、OB'的长是解题的关键． 20．（12分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　9　，AB＝　12　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可； （2）仿照（1）的作法解答． 【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D， ∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝2∠A， ∵∠BCA＝∠D+∠CBD， ∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A， ∴∠CBD＝∠A， ∴DC＝BC＝8， ∴AD＝DC+AC＝8+10＝18， ∴AE＝AD＝9， ∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1． ∴在直角△BCE和直角△AEB中， 由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92， 解得，AB＝12， 故答案为：9；12； （2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是边AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D． ∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴2∠A+∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠D+∠DBC， ∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC， ∵∠A＝∠D， ∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC， ∴DB＝DC＝c， 由题意得，DE＝AE＝， ∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝， 在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2， 在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2， ∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2， 整理得，b＝． 【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 19:04:22；用户：蒋颖；邮箱：15700352442；学号：21497789 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$