1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞（举一反三）【十三大题型】-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第一册）

1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞【十三大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：碰撞 2 【题型1 碰撞的特点及规律】 2 【题型2 碰撞问题的合理性分析】 5 知识点2：弹性碰撞和非弹性碰撞 10 【题型3 弹性碰撞和非弹性碰撞的判断】 10 【题型4 碰撞的图像】 14 【题型5 弹性碰撞】 18 【题型6 非弹性碰撞】 22 【题型7 “一动碰一静”模型】 25 【题型8 子弹打木块模型】 31 【题型9 滑块-弹簧模型】 35 【题型10 滑块-光滑圆弧轨道模型】 39 【题型11 连接体模型】 45 【题型12 多次碰撞问题】 49 【题型13 多过程的碰撞问题】 56 知识点1：碰撞 1、碰撞的特点 ①时间特点：作用时间极短，相对物体运动的全过程可忽略。 ②受力特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大然后急剧减小。 ③动量特点：系统所受外力远小于内力，可认为系统的总动量守恒。 ④位移特点：可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后在同一位置。 ⑤能量特点：碰撞前的总动能总是大于或等于碰撞后的总动能。 2、碰撞的分类 ①按能量的损失情况，可分为弹性碰撞和非弹性碰撞。 ②按碰撞前后动量是否共线分类，可分为对心碰撞（正碰）和非对心碰撞（斜碰）。 3、碰撞合理性的“三个原则” ①碰撞过程中，碰撞双方构成的系统，总动量应该守恒，即。 ②碰撞结束时，碰撞双方构成的系统，总动能不会增加，即 。 ③若碰前两物体同向运动，碰前，后面运动物体的速度一定要大于前面运动物体的速度（否则无法实现碰撞），即；碰后，原来在前的物体速度一定增大。若碰后两物体同向运动，则应有。两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。 【题型1 碰撞的特点及规律】 【例1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度，静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　） A．将1号移至高度h释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度h。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度h B．将1、2号一起移至高度h释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 C．将右侧涂胶的1号移至高度h释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号不能摆至高度h D．将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度h释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 【答案】C 【解析】A．1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为零，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度h，故A错误； B．1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故B错误； C．1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度h，故C正确； D．碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D错误。 故选C。 【变式1-1】（22-23高二上·湖南长沙·阶段练习）下列关于碰撞的说法不正确的是（　　） A．弹性碰撞是一个理想化模型 B．两个小球碰撞过程作用时间极短，即内力远远大于外力，故两小球系统的动量守恒 C．两个弹性钢球发生弹性碰撞，碰撞发生过程中任何时刻两钢球总动能都守恒 D．发生完全非弹性碰撞的两个物体，系统损失的机械能都转化成了内能 【答案】C 【解析】A．弹性碰撞是一个在理想情况下，碰撞不发热，没有动能损失的理想化模型，A正确； B．两个小球碰撞过程作用时间极短，即内力远远大于外力，不管是弹性碰撞还是非弹性碰撞，动量都守恒，B正确； C．两个弹性钢球发生弹性碰撞，碰撞前后总动能守恒，但是并不是碰撞过程中任何时刻总动能都守恒，在碰撞中，两球形变还未完全恢复时，因形变产生的弹性势能没有完全释放，此时总动能不守恒，C错误； D．发生完全非弹性碰撞的两个物体，碰撞后结合在一起，系统的机械能损失最大，损失的机械能转化成因碰撞产生的热量，D正确. 本题选错误的，故选C。 【变式1-2】（23-24高二下·北京顺义·期中）2023年9月，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，神舟十六号航天员在梦天实验舱内进行授课。航天员用0.3kg的大球与静止的0.1kg的小球发生正碰，某同学观看实验时发现：碰撞后，大球向前移动1格长度时，小球向前移动3格的长度，忽略实验舱内空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．碰撞后大球的动量大于小球的动量 B．碰撞后大球的动能大于小球的动能 C．该碰撞过程有机械能损失 D．大球碰撞前后的速度比为 【答案】D 【解析】A．大球向前移动1格长度时，小球向前移动3格的长度，则 根据 可知碰撞后大球的动量等于小球的动量，故A错误； B．根据 可知碰撞后大球的动能小于小球的动能，故B错误； D．根据动量守恒 得 故D正确； C．根据动能的公式可知碰前 碰后 该碰撞过程有机械能没有损失，故C错误。 故选D。 【变式1-3】（2023·辽宁大连·一模）篮球运动深受同学们喜爱。在某次篮球比赛中，质量为m的篮球以水平速度大小v撞击竖直篮板后，以水平速度大小被弹回，已知，篮球与篮板撞击时间极短。下列说法正确的是（　　） A．撞击时篮球受到的冲量大小为 B．撞击时篮板受到的冲量大小为 C．撞击过程中篮球和篮板组成的系统动量不守恒 D．撞击过程中篮球和篮板组成的系统机械能守恒 【答案】C 【解析】AB．取初速度方向为正方向，则由动量定理可得冲量大小为 故AB错误； C．撞击过程中篮球和篮板组成的系统所受合外力不等于零，则系统动量不守恒，故C正确； D．由于反弹速度减小，则撞击过程中篮球和篮板组成的系统机械能不守恒，故D错误。 故选C。 【题型2 碰撞问题的合理性分析】 【例2】（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）打弹珠是小朋友经常玩的一个游戏。如图所示，光滑水平地面上有两个不同材质的弹珠甲和乙，质量分别是m和km，现让甲以初速度v0向右运动并与静止的乙发生碰撞，碰后乙的速度为，若碰后甲、乙同向运动，则k的值可能是（    ） A．0.4 B．1.6 C．1.2 D．2.1 【答案】C 【解析】设甲与乙发生碰撞后甲的速度为v，由动量守恒定律得 解得 碰撞后甲、乙同向运动，则 解得 碰后甲球速度不能越过乙球，有 解得 碰撞过程中总动能不增加，有 解得 综上所述，k的取值范围为 故选C。 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，已知，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【解析】A．根据题中数据可知 ， 碰前总动量与总动能分别为 碰后总动量与总动能分别为 可知，碰撞过程动量守恒，总动能减小，碰后A的速度小于B的速度，符合要求，故A正确； B．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能减小，碰后A的速度小于B的速度，符合要求，故B正确； C．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能不变，但是给出的数据中，碰后A的速度大于B的速度，且速度方向不变，不符合实际，故C错误； D．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能增大，不符合要求，故D错误。 故选AB。 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，动量大小分别为 和的小球A和B在光滑水平面上沿着同一直线同向运动。A追上B并发生碰撞，若已知碰撞后A的动量大小减少了，而方向不变，那么，小球A、B的质量之比可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据动量守恒定律得 又 解得 碰撞过程系统的总动能不增加，则有 代入得 又由题，碰撞前A的速度大于B的速度，则有 碰撞后A的速度不大于B的速度，则有 由以上不等式组解得 故选ABC。 【变式2-3】（多选）（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）在光滑水平桌面上质量为的物体A以某一速度与质量为m等大物体B发生正碰，碰撞前物体B处于静止状态。已知碰撞后物体B的动能为E，则碰撞之前物体A的动能可能为（　　） A．E B． C． D． 【答案】BC 【解析】设物体A碰前速度，若两物体发生完全非弹性碰撞，则 此时 解得碰撞之前物体A的动能 若两物体发生弹性碰撞，则由动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 ， 此时 解得碰撞之前物体A的动能 则碰撞之前物体A的动能的范围为 本题选可能的，故选BC。 知识点2：弹性碰撞和非弹性碰撞 1、弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。通常情况下，钢球、玻璃球等坚硬物体之间的碰撞以及分子、原子等之间的碰撞皆可视为弹性碰撞。 【注】①碰撞过程中既有发生形变的阶段，又有完全恢复原状的阶段；②碰撞前后系统动量守恒，机械能守恒，即碰撞前后两物体的总动能不变。 2、非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞。例如用橡皮泥捏成的球之间的碰撞是典型的非弹性碰撞。 【注】①物体在碰撞过程中发生形变后不能完全恢复原状；②碰撞前后系统动量守恒，但有一定的动能损失。 表达式：由动量守恒定律可得。动能减少，损失的动能转化为内能， 。 3、完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合为一体或者具有共同的速度，动能损失最大，这样的碰撞叫作完全非弹性碰撞。例如：子弹射入木块并停留在木块中、列车车厢的挂接等。 【注】①属于非弹性碰撞的一种特殊情况；②该碰撞过程中仅有压缩阶段，没有恢复阶段；③碰撞前后系统动量守恒，动能损失最大。 表达式：由动量守恒定律可得。碰撞过程中动能损失最多， 。 【题型3 弹性碰撞和非弹性碰撞的判断】 【例3】（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）小球甲、乙的质量之比为，两小球沿光滑的水平面在同一直线上以大小相等、方向相反的速度相对运动，经过一段时间两小球发生碰撞，碰后小球甲静止在光滑的水平面上，则下列说法正确的是（　　） A．两小球发生的碰撞为弹性碰撞 B．两小球发生的碰撞为非弹性碰撞 C．两小球发生的碰撞为完全非弹性碰撞 D．由于题中的条件不充分，则该碰撞无法确定 【答案】A 【解析】根据题意，设碰前两小球的速度大小为v，碰后小球乙的速度大小为。由动量守恒定律有 所以 碰前总动能 碰后总动能 则有 即两小球发生的碰撞为弹性碰撞。 故选A。 【变式3-1】（22-23高二下·浙江·阶段练习）如图，在光滑水平面上，一质量为100g的A球，以2m/s的速度向右运动，与质量为200g大小相同的静止B球发生对心碰撞，撞后B球的速度大小为1.2m/s，取A球初速方向为正方向，下列说法正确的是（　　） A．该碰撞为弹性碰撞 B．该碰撞为完全非弹性碰撞 C．碰撞前后A球的动量变化为 D．碰撞前后A球的动量变化为 【答案】D 【解析】CD．以A球初速方向为正方向，碰撞过程根据动量守恒可得 解得A球碰后的速度为 碰撞前后A球的动量变化为 故C错误，D正确； AB．碰撞前系统的机械能为 碰撞后系统的机械能为 由于，且碰后A、B速度并不相同，则该碰撞不是弹性碰撞，也不是完全非弹性碰撞，故AB错误。 故选D。 【变式3-2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）A、B两滑块在光滑水平面上发生正碰，其位移x与时间t的图像如图所示。已知A的质量为，碰撞时间不计，则（　　） A．B的质量为，发生的碰撞是非弹性碰撞 B．B的质量为，发生的碰撞是弹性碰撞 C．B的质量为，发生的碰撞是弹性碰撞 D．B的质量为，发生的碰撞是非弹性碰撞 【答案】B 【解析】位移—时间图像的斜率表示滑块的速度，由图像可得两滑块A、B碰撞前后的速度分别为、、、；由动量守恒定律有 解得 碰前总动能 碰后总动能 代入数据可得 碰撞前后总动能不变，所以发生的碰撞是弹性碰撞。 故选B。 【变式3-3】（20-21高二下·天津·期中）如图所示，一个质量为0.8kg的物块沿光滑水平地面以v1=4m/s的速度向右运动，与竖直墙壁碰撞后以v2=3m/s的速度弹回，物块与墙壁发生相互作用的时间为0.1s，以向右为正方向。则（　　） A．碰撞前后，物块的速度变化量为1m/s B．碰撞过程中，物块的动量变化量为-5.6kg·m/s C．碰撞过程中，物块受到的平均作用力为-14N D．物块与墙壁之间发生的碰撞为弹性碰撞 【答案】B 【解析】A．碰撞前后，物块的速度变化量为 A错误； B．碰撞过程中，物块的动量变化量为 B正确； C．由动能定理可知碰撞过程中，物块受到的平均作用力为 方向向左，C错误； D．碰撞前后速度大小变化，能量减少，为非弹性碰撞，D错误； 故选B。 【题型4 碰撞的图像】 【例4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将两质量分别为和的物体放在光滑的水平面上，现给两物体沿水平方向的初速度，如图所示为两物体正碰前后的位移随时间的变化规律。已知。则（　　） A．图线1为碰后物体的图像 B．碰撞过程对的力冲量大小为 C．碰撞前物体的速度大小为 D．物体 【答案】B 【解析】AC．根据图像的斜率表示物体的速度，则碰前的速度为 ， 即沿着正方向运动与静止的发生碰撞，故碰后一定沿正方向运动，才可能反弹，有 即图线1为碰后物体的图像，碰撞前物体的速度大小为，碰撞后物体的速度大小为，故AC错误； B．由动量定理可知碰撞过程对的力冲量为 即冲量大小为，方向沿负方向，故B正确； D．对碰撞过程由动量守恒定律有 代入数据解得 故D错误。 故选B。 【变式4-1】（2021·广东·模拟预测）作为时尚青年热爱的运动．溜旱冰又炫又酷，备受追捧。如图甲所示，水平地面上有A、B两位同学，A的质量为50kg，B静止在地面上，A以一定的初速度向B滑去，一段时间后抱住B一起向右运动。若以向右为正，A运动的位移—时间图像（图像）如图乙所示，不计空气阻力以及地面对人的阻力，则A抱住B的过程中损失的机械能为（    ） A．375J B．250J C．200J D．125J 【答案】A 【解析】根据题图乙，A抱住B前A的速度大小 A抱住B后他们的共同速度大小 根据动量守恒定律有 A抱住B的过程中损失的机械能 解得 故选A。 【变式4-2】（24-25高三上·北京·开学考试）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为的另一物体B以水平速度滑上原来静止的长木板A的表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，取，则下列说法正确的是（　　） A．A、B间的动摩擦因数为0.1 B．系统损失的机械能为4J C．木板A的最小长度为2m D．木板获得的动能为2J 【答案】A 【解析】A．物体B加速度大小为 根据牛顿第二定律得 解得 A正确； B．根据动量守恒定律得 解得 损失的机械能为 B错误； C．木板A的最小长度为 C错误； D．木板获得的动能为 D错误。 故选A。 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（　　） A．从开始计时到这段时间内，物块A、B在时刻相距最远 B．物块A、B在与两个时刻各自的加速度相同 C．到这段时间弹簧处于伸长状态 D． 【答案】C 【解析】ABC．结合图象弄清两物块的运动过程，开始时逐渐减速，逐渐加速，弹簧被压缩，时刻二者速度相等，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩得最短，然后弹簧逐渐恢复原长，依然加速，先减速为零，然后反向加速，时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两木块均减速，当时刻，二木块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，此时两物体相距最远，因此到这段时间弹簧处于拉伸状态，物块A、B在与两个时刻各自所受的弹力相同，但质量不同，加速度不相同，故AB错误，C正确； D．物块A、B组成的系统动量守恒，时刻有 由图可知 ， 可得 故D错误。 故选C。 【题型5 弹性碰撞】 【例5】（23-24高二下·湖北咸宁·期末）设在无摩擦的桌面上置有5个相同的钢球，其中三个紧密连接排放一列，另两个一起自左方以速度正面弹性碰撞此三球，如图，碰撞后向右远离的小球个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】设钢球从左到右分别为求1、2、3、4、5，球2先与球3相碰，根据动量守恒以及能量守恒可得 解得 ， 可知球2与球3互换速度，接着球3先与球4相碰，同理可得球3与球4互换速度，依此类推，最终球2、3、4静止，球5以速度向右运动。接着球1与球2相碰，同理可得，最终球1、2、3静止，球4以速度向右运动，故碰撞后向右远离的小球个数为2个。 故选B。 【变式5-1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，用长度均为l的轻质细绳悬挂三个形状相同的弹性小球，质量依次满足（“≫”表示“远大于”）。将左边第一个小球拉起一定角度θ后释放，则最后一个小球开始运动时的速度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设碰撞前瞬间第一个小球的速度为，根据机械能守恒定律，有 解得 设第一个小球与第二个小球碰撞后两个小球的速度分别为和，根据动量守恒定律，有 根据机械能守恒定律，有 联立可得 ，则，同理，，所以 故选D。 【变式5-2】（23-24高二下·北京丰台·期末）如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 【答案】D 【解析】A．不考虑空气阻力，下落过程是自由落体运动，完全失重状态，则两个小球之间没有力的作用，A错误； B．下降过程为自由落体运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得 解得触地时两球速度相同，为 B球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，故B错误； CD．选A与B碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后A、B速度大小分别为v1、v2，选向上方向为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得 碰后小球A弹起的最大高度 故D正确，C错误。 故选D。 【变式5-3】（21-22高二下·河北·阶段练习）如图所示，大小、形状相同的两小球A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，小球A的质量为、速度大小为、方向水平向右，小球B的质量为m、速度大小为、方向水平向左，两小球发生弹性正碰后（　　） A．小球A将静止 B．小球B将向左运动 C．小球A的动能将增加 D．小球B的动量变化量的大小为 【答案】D 【解析】小球A、B发生弹性碰撞，选向右为正方向，设碰后小球B的速度为，小球A的速度为，则有 解得 A．碰撞后小球A向左运动，A错误； B．碰撞后小球B将向右运动，B错误； C．碰撞后小球A的动能增加量 C错误； D．小球B的动量变化量 小球B的动量变化量的大小为，D正确。 故选D。 【题型6 非弹性碰撞】 【例6】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）如图所示，大小相同、质量分别为0.2kg和0.1kg的小球，在光滑水平面上分别以0.3m/s和0.9m/s的速度沿同一直线相向运动，相撞之后粘住成为一个整体，则整体的速度大小为（    ） A．0.1m/s B．0.3m/s C．0.6m/s D．1.2m/s 【答案】A 【解析】取向左为正方向，根据动量守恒可知 代入数据可得 故选A。 【变式6-1】（23-24高一下·辽宁·期末）超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为原来静止的小物块。已知车的净质量均为，将1号车以速度向右推出，先与2碰撞结合为一体后再撞击3，最终三车合为一体。忽略一切摩擦和阻力，则第二次碰撞过程中损失的机械能为（　　） A．18J B．36J C．54J D．72J 【答案】B 【解析】依题意，碰撞过程系统动量守恒，可得 解得 ， 则第二次碰撞过程中损失的机械能为 故选B。 【变式6-2】（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量分别为，速度的大小分别为的A、B两小球沿同一直线相向运动并发生碰撞，则（　　） A．它们碰撞后的总动量是，方向水平向右 B．它们碰撞前的总动量是，方向水平向左 C．它们碰撞后如果A球以的速度被反向弹回，则B球的速度大小为 D．它们碰撞后如果A球、B球粘在一起，则两球共同运动的速度大小为 【答案】A 【解析】AB．以右为正方向，它们碰撞前的总动量是 方向水平向右，碰撞过程动量守恒，碰撞后的总动量是2kg·m/s，方向水平向右，故A正确，B错误； C．如果球以的速度被反向弹回，由动量守恒得 解得 故C错误； D．碰撞后如A球B球粘在一起，则由动量守恒得 解得 故D错误。 故选A。 【变式6-3】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）如图所示，一个小孩在冰面上进行“滑车”练习，开始小孩站在A车前端与车以共同速度vo=11m/s（向右做匀速直线运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，又立即从B车跳回A车，此时A、B两车恰好不相撞，已知小孩的质量，A车B车质量均为，若小孩跳离A车与跳离B车时对地速度的大小相等、方向相反，则下列说法不正确的是（    ） A．小孩跳回A车后，他和A车的共同速度大小为 B．小孩跳离A车时对地速度的大小为 C．小孩跳离B车时相对B车的速度大小为 D．整个过程中，小孩对B车所做的功为 【答案】C 【解析】A．因为A、B恰好不相撞，则最后具有相同的速度。在人跳的过程中，把人、A车、B车看成一个系统，该系统所受合外力为零，动量守恒，由动量守恒定律得 代入数据解得 故A正确； B．依题意，设该同学跳离A车和B车时对地的速度大小分别为，则人、B车根据动量守恒定律有 解得 故B正确； C．小孩跳离B车时相对B车的速度为 故C错误； D．该同学跳离B车过程中，对B车做的功等于B车动能的变化量，即 故D正确。 本题选不正确的，故选C。 【题型7 “一动碰一静”模型】 【例7】（23-24高二下·福建泉州·期末）如图所示，光滑水平地面上的轻弹簧一端拴接着质量为1kg的物块Q，初始时弹簧处于原长，Q静止在光滑水平地面上，质量为2kg的物块P静止在距弹簧右端一定距离处。现给物块P一方向水平向左、大小为6N·s的瞬时冲量，从物块P开始接触弹簧到离开弹簧的过程中，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．弹簧压缩量最大时物块Q的速度最大 B．物块Q的最大速度为4m/s C．弹簧的最大弹性势能为9J D．物块P离开弹簧时的速度大小为2m/s 【答案】B 【解析】A．当弹簧恢复原长时，物块Q的速度最大，当弹簧压缩量最大时，两个物块速度相同，物块Q的速度不最大，故A错误； BD．当弹簧恢复原长时，物块Q的速度最大，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律 根据动量定理得 解得 物块Q的最大速度为4m/s ，物块P离开弹簧时的速度大小为1m/s ，故B正确，D错误； C．弹簧最短时，弹簧的弹性势能最大，两物块速度相同，根据动量守恒定律得 弹簧的最大弹性势能为 解得 故C错误。 故选B。 【变式7-1】（23-24高二下·北京通州·期末）动量守恒定律是一个独立的实验定律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。运用动量守恒定律解决二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量分别为和的球1和球2构成一系统，不考虑系统的外力作用。球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生弹性碰撞，若速度不在两球球心的连线上，碰撞之后两球的速度、都会偏离的方向，偏角分别为、。下列说法正确的是（　　） A．两小球在球心连线方向动量不守恒 B．两小球的相互作用力方向与速度方向共线 C．两小球碰后速度大小满足 D．两小球碰后速度大小满足 【答案】C 【解析】A．碰撞为弹性碰撞，动量守恒和机械能守恒，则两小球在球心连线方向动量守恒，A错误； B．对球1，由动量定理得 与不共线，故两小球的相互作用力方向与方向共线，与方向不共线，B错误； C．规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下 规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下 C正确； D．球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生完全弹性碰撞，机械能守恒，则 D错误； 故选C。 【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，光滑水平面上放有A、B两小球，B球静止，某时刻给A球一个水平向右的速度，一段时间后A、B发生正碰，已知A球质量为，A、B两球碰撞过程的相互作用时间为。 （1）若B球质量为，且碰后B球获得水平向右的速度，求碰后A球的速度以及碰撞过程中A、B两球之间的平均作用力F的大小； （2）若B球质量可调节，A球仍以速度与静止的B球正碰，碰后A、B两球的动量大小为1：4，求B球的质量m'的范围。 【答案】（1），方向水平向右；1200N；（2）碰后A、B同向运动，则；碰后A、B反向运动，则 【解析】（1）以水平向右方向为正方向，由动量守恒定律有 代入数据解得 即碰后A球速度大小为3m/s，方向水平向右；对B由动量定理有 代入数据解得 （2）以水平向右方向为正方向，碰前A球动量为 设碰后A球动量为，B球动量为，若碰后A、B同向运动，则有 由动量守恒有 碰后应满足A球速度小于B球速度，则有 碰后系统机械能不增加，则有 联立解得 若碰后A、B反向运动，则有 由动量守恒有 碰后系统机械能不增加，则有 联立解得 综上可得：碰后A、B同向运动，则 碰后A、B反向运动，则 【变式7-3】（21-22高二·全国·课时练习）如图所示，三个小球的质量均为m，B、C两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上，A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，则： （1）A、B两球刚粘在一起时的速度为多大？ （2）弹簧压缩至最短时三个小球的速度为多大？ （3）弹簧的最大弹性势能是多少？ （4）弹簧恢复原长时，三个小球的速度为多大？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），或， 【解析】（1）在A、B两球碰撞的过程中弹簧的压缩量是极其微小的，可忽略不计，产生的弹力可忽略不计，因此A、B两球组成的系统所受合外力为零，动量守恒，以A球的初速度方向为正方向，有 解得 （2）粘在一起的A、B两球向右运动，压缩弹簧，由于弹簧弹力的作用，C球做加速运动，速度由零开始增大，而A、B两球做减速运动，速度逐渐减小，当三个球速度相等时弹簧压缩至最短，在这一过程中，三个球和弹簧组成的系统动量守恒，有 解得 （3）当弹簧被压缩至最短时，弹性势能最大，由能量守恒定律得最大弹性势能为 （4）弹簧恢复原长过程中，A、B、C三个球和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒，弹簧恢复原长时，由动量守恒定律和能量守恒定律，得 解得 或 结合“一动碰一静”模型，拓展到带弹簧的碰撞，作出v-t图像，可知上面的两组解都是有意义的，第一组解对应碰撞开始和弹簧再一次恢复原长的时刻，第二组解对应弹簧从最短时刻到最长时刻中间的原长时刻。 【题型8 子弹打木块模型】 【例8】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）质量为的物块从距离地面高度为处自由下落，在下落到距离地面高度为时，质量为的子弹以的水平速度瞬间击中物块并留在其中。重力加速度取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为 B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为 C．物块与子弹组成的系统机械能守恒 D．物块下落的总时间为2s 【答案】AD 【解析】C．子弹瞬间击中物块并留在其中，此过程系统产生内能，所以物块与子弹组成的系统机械能不守恒，故C错误； AB．物块被子弹击中前做自由落体运动，则有 ， 代入数据解得 ， 子弹瞬间击中物块过程，根据系统水平方向动量守恒和竖直方向动量守恒分别可得 ， 解得子弹击中物块后瞬间，物块水平方向和竖直方向的分速度大小分别为 ， 故A正确，B错误； D．设物块被击中后继续下落所用时间为，竖直方向根据运动学公式可得 代入数据解得 或（舍去） 则物块下落的总时间为 故D正确。 故选AD。 【变式8-1】（多选）（23-24高二下·贵州贵阳·期末）如图所示，小木块A用细线悬挂在O点，此刻小木块的重力势能为零。一颗子弹以一定的水平速度射入木块A中，并立即与A有共同的速度，然后一起摆动到最大摆角为处。如果保持子弹入射的速度大小不变，而使子弹的质量增大，则最大摆角、子弹的初动能与木块和子弹一起达到最大摆角时的机械能之差有（　　） A．角增大 B．角减小 C．增大 D．减小 【答案】AC 【解析】AB．依题意，子弹与木块相互作用过程，系统动量守恒，可得 二者上摆过程，根据机械能守恒，可得 联立，可得 可知当子弹质量增大时，增大。故A正确；B错误； CD．子弹和木块上摆过程机械能守恒，可知子弹的初动能与木块和子弹一起达到最大摆角时的机械能之差等于子弹的初动能与木块和子弹共速时的动能之差，即 可知当子弹质量增大时，增大。故C正确；D错误。 故选AC。 【变式8-2】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0、质量为m的子弹击中，子弹嵌在其中（作用时间极短），已知物体A的质量是物体B的质量的，子弹的质量是物体B的质量的。求： （1）物体A获得的最大速度； （2）子弹射入木块过程中损失的动能； （3）弹簧压缩量最大时物体B的速度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由题意，对子弹进入物体A中的过程，由动量守恒定律得 解得它们的共同速度，即物体A获得的最大速度 （2）子弹射入物体A的过程中损失的动能为 （3）以子弹及物体A、B组成的系统作为研究对象，整个作用过程中总动量守恒，弹簧具有最大压缩量时，它门的速度相等，由动量守恒定律得 求得三者的共同速度，即弹簧具有最大压缩量时，物体B的速度为 【变式8-3】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）如图所示，有一质量的物块B，以的水平初速度冲上一个质量的静止木板A。物块在木板上滑行一段距离后相对木板静止。已知物块与木板间的动摩擦因数为0.8，木板与地面间的摩擦可忽略不计，重力加速度。求： （1）物块相对木板静止时，木板速度的大小； （2）物块所受摩擦力对物块做的功； （3）物块在木板上运动的距离。 【答案】（1）1m/s （2）-240J （3）1.25m 【解析】（1）对物体和木板用动量守恒定律，得 解得 （2）对物块用动能定理，有 解得 （3）对系统用能量守恒定律，有 解得 【题型9 滑块-弹簧模型】 【例9】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，甲木块的质量为m，以速度v沿光滑水平地面向前运动，正前方有一静止的、质量也为m的乙木块，乙上连有一轻质弹簧，甲木块与弹簧接触后（　　） A．甲乙两木块和弹簧所组成的系统动量不守恒 B．甲乙两木块和弹簧所组成的系统动能守恒 C．当两木块速度相等时，弹簧的弹性势能最大，且为 D．从弹簧开始压缩到恢复原长，乙木块先做加速运动，后做减速运动 【答案】C 【解析】A．根据动量守恒定律的条件可知，甲乙两木块和弹簧所组成的系统动量守恒，故A错误； B．甲、乙的一部分动能转化为弹簧的弹性势能，甲乙两木块和弹簧所组成的系统动能不守恒，故B错误； C．当甲乙速度相等时，弹簧被压缩到最短，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 联立解得 故C正确； D．从弹簧开始压缩到恢复原长，对乙受力分析可知，乙木块一直做加速运动，故D错误。 故选C。 【变式9-1】（多选）（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速度—时间图像如图乙，则有（　　） A．在时刻两物块达到共同速度且弹簧都处于压缩状态 B．从到过程中，弹簧由压缩状态恢复原长 C．两物块的质量之比 D．在时刻A与B的动能之比 【答案】CD 【解析】A．由图乙可知t1时刻之后一小段时间，A速度减小，B速度增大，则t1时刻弹簧处于压缩状态，t3时刻之后一小段时间，A速度增大，B速度减小，则t3时刻处于伸长状态。故A错误； B．由图乙可知在t3时刻处于伸长状态，二物块速度相等，弹簧最长，t4时刻两物块速度恢复到初始状态即弹簧恢复原长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长。故B错误； C．根据动量守恒定律，t=0时刻和t=t1时刻系统总动量相等，有 由图乙可得 ， 代入数据解得 故C正确； D．由图乙可知在t2时刻A的速度为，B的速度为。根据 可得 故D正确。 故选CD。 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图所示，在光滑的水平面上有两个滑块P、Q，滑块Q的左端固定一轻质弹簧。两个滑块以大小为的速度沿同一直线相向运动，滑块P的质量为2m，速度方向水平向右，滑块Q的质量为m，速度方向水平向左。不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．P、Q两个滑块（包括弹簧）组成的系统动量守恒 B．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能为 D．两个滑块最终能以的共同速度一起水平向右运动 【答案】ABC 【解析】A．P、Q两个滑块（包括弹簧）组成的系统受合外力为零，则系统的动量守恒，A正确； B．开始时两物块都做减速运动，弹簧逐渐被压缩，滑块Q速度先减小到零，然后向右反向加速，弹簧继续被压缩，当两个滑块的速度相等时，弹簧的形变量最大，此时弹簧的弹性势能最大，B正确； C．以向右为正方向，则当两个滑块的速度相等时，由动量守恒定律可知 此时弹簧的弹性势能为 C正确； D．设最终P、Q两个滑块的速度分别为v1和v2．规定向右为正方向，根据动量守恒定律得： 2mv0-mv0=2mv1+mv2 根据系统的机械能守恒得 解得 ， D错误。 故选ABC。 【变式9-3】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示，在一个倾角为的固定斜面底端固定一个挡板，挡板连接一个劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧上端与一质量为的光滑滑块相连且处于静止状态，静止时所在位置为。某时刻将一个质量也为的滑块从离点距离处由静止释放，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。两滑块均可视为质点，滑块与滑块碰后粘连在一起，在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，已知重力加速度。求： （1）滑块与滑块碰撞前瞬间的速度大小； （2）二者共同运动过程中的最大速度（结果可保留根号）。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）滑块下滑过程中由动能定理得 解得 （2）开始时平衡，故 之间发生碰撞，动量守恒 碰后共同向下运动，达到最大速度时 由功能关系得 解得二者共同运动过程中的最大速度 【题型10 滑块-光滑圆弧轨道模型】 【例10】（多选）（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且与水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度v0向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是（　　） A．滑块b沿a上升的最大高度为 B．物块a运动的最大速度为 C．物块a对滑块b的冲量大小 D．物块a对滑块b的所做的功 【答案】BC 【解析】A．ab组成的系统水平方向动量守恒，有 解得 故A错误； B．当滑块b滑离a时，a的速度最大，则有 解得 ， 故B正确； C．根据动量定理可得，物块b受到滑块a的冲量为 即物块a对滑块b的冲量大小为，故C正确； D．物块a对滑块b的所做的功为 故D错误。 故选BC。 【变式10-1】（多选）（23-24高二下·福建三明·期末）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g，不考虑任何阻力，则下列说法不正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向右做平抛运动 【答案】CD 【解析】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 得 结合图乙可得 ， 求得 故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 解得 故B正确； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得 解得 故C错误； D．对小球和圆弧滑块组成的系统，分离时有 解得小球在与圆弧滑块分离时的速度为 若时，，即小球的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D错误。 由于本题选择错误的，故选CD 。 【变式10-2】（多选）（23-24高二下·福建泉州·期中）如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为2m的小车，小车的四分之一圆弧轨道在最低点B与水平轨道相切，圆弧轨道表面光滑，半径为R，水平轨道表面粗糙。在小车的右端固定一个轻弹簧，弹簧的原长小于水平轨道的长度。一个质量为m的小球从圆弧轨道与圆心等高的A点开始自由滑下，经B到达水平轨道，压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球、小车及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．小球第一次到达B点时对小车的压力mg C．弹簧具有的最大弹性势能为mgR D．从开始到弹簧具有最大弹性势能时，摩擦生热mgR 【答案】CD 【解析】A．小球、小车及弹簧组成的系统由于克服阻力做功，机械能不守恒，水平方向外力为零，水平方向动量守恒，但竖直方向合力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．将小车和小球、弹簧当成一个系统，在运动过程中，系统的水平动量守恒，取向右为正 小球第一次到达B点时 解得 根据牛顿第三定律，对小车的压力，故B错误； CD．弹簧具有的最大弹性势能时，系统共速 解得 根据能量守恒，设克服阻力做功为 压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，可知 最终共速为0，根据能量守恒 解得 故CD正确。 故选CD。 【变式10-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图所示，可固定的四分之一圆槽AB的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，圆槽底端B点的切线水平，距离B点为R处有一质量为3m的小球2。现将质量为m的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的A点由静止释放，重力加速度为g，不计一切摩擦，两小球大小相同，所有的碰撞均为弹性碰撞。 （1）若圆槽固定，求小球2最终的速度大小； （2）若圆槽不固定，求小球1刚与小球2接触时，与圆槽底端B点的距离； （3）若圆槽不固定，求小球1最终的速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）若圆槽固定，则小球1下落速度为 接下来小球1与小球2发生弹性碰撞，动量守恒有 机械能守恒有 解得 （2）设小球1刚离开圆槽时，圆槽的位移为，此时小球的位移为，有 小球1滑下过程水平方向动量守恒，设小球1运动方向为正方向，有 由于两者运动时间相同，整理有 即 解得 小球1滑下过程，由能量守恒有 小球滑下后，到与小球2接触过程做匀速直线运动，则有 该时间内圆槽运动为 综上所述，其小球1与圆槽底端距离为 （3）结合之前的分析可知，小球1与小球2发生碰撞，动量守恒有 机械能守恒有 解得 即小球1与小球2碰撞后速度大小为，所以小球1与小球2碰后速度大小大于圆槽的速度，最终会追上圆槽并滑上后再滑下来，该过程类似于弹性碰撞。设圆槽运动方向为正方向，有 能量方面有 解得 所以小球1最终以速度匀速运动下去。 【题型11 连接体模型】 【例11】（2022·河北唐山·二模）如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m的木板A，通过不可伸长的轻绳与质量2m的足够长的木板B连接。质量为m可看成质点的物块C静止在木板B右端。开始时，A、B、C均静止，绳未拉紧。现在使木板A以的速度向右运动，经过一段时间后系统达到稳定状态。绳子拉直绷紧后瞬间，A、B同速，在绳子绷紧后瞬间，下列说法中正确的是（　　） A．木板A的速度大小为 B．木板B的速度大小为 C．物块C的速度大小为0 D．木板A、B、C共速 【答案】C 【解析】绳子从拉直到绷紧过程极短，对A、B组成的系统，C对B的摩擦力远小于系统内力，所以A、B组成的系统水平方向动量守恒，设绳子绷紧后瞬间AB的速度为v，则有 解得 在极短的时间内，C所受摩擦力的冲量可以忽略，所以C的速度仍然是0，故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式11-1】（多选）（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）如图所示，可视为质点的完全相同的A、B两小球分别拴接在一轻弹性绳的两端，两小球质量均为m，且处于同一位置（离地面足够高），弹性绳始终处于弹性限度内。某时刻，A球自由下落，同时B球以速度v0水平向右抛出。已知两个小球发生的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球组成的系统动量守恒 B．弹性绳最长时，A、B两小球的速度不相同 C．弹性绳第一次恢复原长时，A小球的水平分速度为v0 D．弹性绳的最大弹性势能为 【答案】CD 【解析】A．A、B两小球组成的系统水平方向动量守恒，故A错误； B．弹性绳最长时，A、B两小球的速度相同，故B错误； C．弹性绳第一次恢复原长时，由于两球质量相等，所以水平方向上两球速度交换，即A小球的水平分速度为v0，故C正确； D．根据水平方向动量守恒有 弹性绳的最大弹性势能为 故D正确。 故选CD。 【变式11-2】（多选）（21-22高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）光滑水平面上放着质量的物块A与质量的物块B，A与B均可视为质点，物块A、B相距，A、B间系一长的轻质细绳，开始时A、B均处于静止状态，如图所示。现对物块B施加一个水平向右的恒力，物块B运动一段时间后，绳在短暂时间内被拉断，绳断后经时间，物块B的速度达到。则下列说法正确的是（   ） A．绳拉断后瞬间的速度 B．绳拉断后瞬间的速度 C．绳拉断过程绳对物块A所做的功 D．绳拉断过程绳对物块B的冲量大小为 【答案】BCD 【解析】AB．绳断之后，对B应用动量定理有 Ft = mBv - mBvB 解得 vB = 1m/s A错误、B正确； C．设绳断之前瞬间B的速度大小为v0，对B应用动能定理有 F(L - L0) = mBv02 解得 v0 = 2m/s 设绳拉断后A获得的速度大小为vA。绳拉断的过程中，根据动量守恒定律有 mBv0 = mBvB + mAvA 解得 vA = 0.6m/s 根据动能定理有 W = mAvA2 = 0.45J C正确； D．对A 应用动量定理有 I = mAvA = 由于绳对A的力与绳对B的力等大，则绳拉断过程绳对物块B的冲量大小也为，D正确。 故选BCD。 【变式11-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，倾角为的斜面足够长，区间光滑，长度为，其余部分粗糙程度相同。长为的轻绳连接两个相同的小滑块、。开始时处于点，轻绳恰好伸直。由静止同时释放、，经过一段时间后，、发生弹性碰撞。再经过一段时间轻绳突然绷紧，、达到共同速度，并一起匀速运动。已知重力加速度大小为，求 （1）滑块与斜面粗糙部分之间的动摩擦因数； （2）滑块从静止释放至运动到点的时间； （3）滑块、一起匀速运动的速率。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）、一起匀速运动时，对、整体有 解得 （2）、一起下滑距离，对、整体有 解得 由位移公式可得 解得 此时、的速度为 从运动至，因绳子松弛，故对有 由位移公式可得 解得 又 解得 （3）运动至点后匀速运动，此时速度为 之后、发生弹性碰撞，由于质量相同，所以碰后交换速度，直至轻绳绷紧，二者以相同的速度匀速运动，该过程系统动量守恒，则有 解得 【题型12 多次碰撞问题】 【例12】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，两侧带有固定挡板的平板车乙静止在光滑水平地面上，挡板的厚度可忽略不计，车长为2L，与平板车质量相等的物块甲（可视为质点）由平板车的中点处以初速度v0向右运动，已知甲、乙之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，忽略甲、乙碰撞过程中的能量损失，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙达到共同速度所需的时间为 B．甲、乙共速前，乙的速度一定始终小于甲的速度 C．甲、乙相对滑动的总路程为 D．如果甲、乙碰撞的次数为n（n≠0），则最终甲距离乙左端的距离可能为 【答案】C 【解析】AB．设甲、乙质量均为，碰前瞬间甲的速度为，乙的速度为，碰后瞬间甲的速度为，乙的速度为，由动量守恒定律和机械能守恒定律有 解得 即甲、乙发生碰撞时速度互换，设甲、乙最终的共同速度为，则 得 则达到共速所需的时间为 碰撞使得两者速度互换，即甲、乙共速前，乙的速度不一定小于甲的速度，故A错误，B错误； C．从开始到相对静止过程中，甲、乙相对滑动的总路程为，根据动能定理可得 解得 故C正确； D．甲、乙碰撞的次数为n，最终相对静止时甲距离乙左端的距离为，若第次碰撞发生在平板车的左挡板，则有 解得 若第次碰撞发生在平板车的右挡板，则有 解得 即最终甲距离乙左端的距离不可能为，故D错误。 故选C。 【变式12-1】（多选）（24-25高三上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，一个固定斜面与水平地面平滑连接，斜面与水平地面均光滑。小物块P放在水平地面上，小物块Q自斜面上某位置处由静止释放，P、Q之间的碰撞为弹性正碰，斜面与水平面足够长，则下列说法正确的是（　　） A．若，则P，Q只能发生一次碰撞 B．若，则P、Q只能发生两次碰撞 C．若，则P、Q只能发生一次碰撞 D．若，则P、Q只能发生两次碰撞 【答案】ABD 【解析】A．设Q滑到水平面上时速度大小为，P、Q相碰，由动量守恒知 由能量守恒知 联立解得第一次碰后 之后Q滑上斜面并返回，速度等大反向，若不能追上P，则有 解得 A正确； B．同理若，第一次碰后 之后Q滑上斜面并返回，与P发生第二次碰撞后有 故P、Q只能发生两次碰撞，B正确； C．由A选项知，当，则P，Q只能发生一次碰撞，C错误； D．同理若，第一次碰后 之后Q滑上斜面并返回，与P发生第二次碰撞后有 故P、Q只能发生两次碰撞，D正确。 故选ABD。 【变式12-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图所示，可视为质点的两滑块A、B均静止在粗糙水平地面上，两者之间有一被压缩的轻质弹簧（长度不计），A与竖直墙壁距离L=8m。现解除弹簧锁定，使A、B瞬间分离，并立即取走弹簧，此时两物块获得的动能之和为28J。已知A、B质量分别为mA=1kg、mB=7kg，所有碰撞均为弹性碰撞，A、B均沿同一水平直线运动，A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速度取g=10m/s2，求： （1）取走弹簧时A、B获得的速度大小； （2）A、B都停止运动后，两者之间的距离； （3）改变L的大小，使A、B第1次碰撞时，B已经停止，且能发生第2次碰撞，求L的取值范围。 【答案】（1）7m/s，1m/s （2） （3） 【解析】（1）解锁瞬间A、B动量守恒、能量守恒，则有 ， 解得 ， （2）根据牛顿第二定律有 结合上述可知 可知，A、B分离后能再次碰撞且相碰时B已停止运动，设碰前A的速度为v，则有 解得 A、B第一次弹性碰撞，则有 ， 解得 ， A、B都停止运动后，两者之间的距离 解得 （3）B停止运动时间 B刚好停止运动有 解得 L1=3m 当A、B第一次相碰时，A速度为v，则有 A、B第一次弹性碰撞 ， A、B第二次碰撞时A恰好停止运动，则有 解得 综合上述有 【变式12-3】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，半径为R的竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑连接，水平轨道上有2024个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1号球的质量为2m，2~2024号球的质量均为m。若将质量为2m的A球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。 （1）求1号球与2号球第一次碰撞后1号球的速度大小； （2）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远小于1、2号球碰撞时的相互作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1号球的速度相等，直到1~2024号球速度第一次都相等时撤去外力，求 ⅰ.外力F的大小； ⅱ.最终1号球与2024号球之间的距离。 【答案】（1） （2）i.；ii. 【解析】（1）A球运动至水平轨道，根据机械能守恒有 解得 A球与1号球发生弹性碰撞，因两球质量相等，故交换速度，即碰后1号球的速度为，1号球与2号球发生弹性碰撞，根据动量守恒和能守恒有 ， 联立解得碰撞后1号球的速度为 ， （2）ⅰ.F作用在1号球上，使其速度大小由增大到，由动能定理得 解得 ii. 设F作用下1号球的总位移为x，对号小球组成的整体，由动能定理得 最终，号小球的速度大小均为，设F作用的总时间为t，对整体，由动量定理得 1号球与2024号球之间的距离为 联立解得 【题型13 多过程的碰撞问题】 【例13】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，半径的光滑半圆轨道与光滑水平轨道相切于点，质量均为1kg的两个小球、（可视为质点）之间压缩一轻弹簧并锁定（弹簧与两小球均不拴连）。某时刻解除弹簧的锁定，两小球被弹开，小球离开弹簧后恰好能沿半圆轨道通过最高点，重力加速度取。求： （1）离开弹簧时小球的速度大小； （2）弹簧锁定时所具有的弹性势能。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）小球恰好能通过半圆轨道的最高点，根据牛顿第二定律有 小球从点运动到点的过程，根据动能定理有 联立解得 （2）弹簧将两小球弹开的过程系统所受外力之和为零，根据系统动量守恒有 弹簧的弹性势能全部转化为、的动能，根据机械能守恒有 解得 代入数据 【变式13-1】（2025·湖南益阳·一模）如图所示，足够长“L”型平板B静置在地面上，上表面光滑，物块A处于平板B上的点，用长为0.8m的轻绳将质量为3kg的小球悬挂在点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞。物块A沿平板滑动直至与B右侧挡板发生碰撞，假设小物块A与平板B的碰撞均为弹性碰撞，测得小物块A与平板B。发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是9m，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，已知A的质量为1kg，B的质量0.5kg，g取，求： （1）小球摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞前轻绳的拉力； （2）小物块A第一次与平板B碰撞后到第二次碰撞的时间； （3）平板B在水平面上通过的总路程。 【答案】（1）90N （2） （3） 【解析】（1）静止释放至最低点过程机械能守恒，有      得                              在最低点由牛顿第二定律得          联立解得                     90N     （2）A与B发生弹性碰撞，有           解得                          接着A与B发生弹性碰撞           解得 =8 设A与B碰后经过时间t1最大距离为Δx=9m，有 （vA1+vB1）t1-vA1t1=Δx 得                             则B的加速度                   2     B第一次碰后至停下的时间       则B在t2时间内前进的位移为     =1m     A从最大位移处与平板B第二次相撞的时间 =5s 所以                                 （3）由题意可知，A、B最终停止运动，则对AB由能量守恒得      对B由牛顿第二定律得    解得 【变式13-2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图所示，质量M=4kg、长度L=2m的木板A静止在光滑水平面上，其左端上表面与半径R=0.5m的四分之一竖直圆轨道相切，A的右侧某位置竖直固定一挡板P。将质量m=2kg的物块B从轨道最高点由静止释放，A、B共速后A与P发生碰撞，碰后A以某一速度反弹，B最终恰好没有从A上滑离。已知B经轨道最低点时对轨道的压力FN=56N，A、B间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s2。求： （1）B在圆轨道运动过程中克服阻力做的功； （2）从B滑上A至A、B第一次共速，系统产生的热量； （3）A与P碰撞损失的机械能。 【答案】（1）1J （2）6J （3） 【解析】（1）在轨道最低点，由牛顿第二定律得 B从轨道最高点下滑到最低点的过程中，由动能定理得 联立以上两式，代入已知数据，可得 （2）对A，根据牛顿第二定律 对B，根据牛顿第二定律 A、B第一次共速 共速时二者速度为 由能量守恒定律得 联立可得 （3）如图分析可知 因为 设碰撞后A的速度大小为v2，从碰撞后到第二次共速的时间为t2，则共速时 A向左运动位移大小 B向右运动位移大小 另有 联立可得 【变式13-3】（23-24高一下·广东清远·期末）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面由粗糙水平轨道与四分之一圆弧光滑轨道组成。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并可轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已知细线长，小球质量，物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长为s，物块与水平轨道间的动摩擦因数，圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，。 （1）求小球运动到最低点的速度大小； （2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块的速度大小； （3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求小车上的水平轨道长度s的取值范围。 【答案】（1）5m/s；（2）4m/s；（3） 【解析】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理 解得 （2）小球与物块碰撞后的瞬间，小球的速度的大小为，物块速度的大小为，小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律 解得 （3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体，由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞【十三大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：碰撞 2 【题型1 碰撞的特点及规律】 2 【题型2 碰撞问题的合理性分析】 4 知识点2：弹性碰撞和非弹性碰撞 5 【题型3 弹性碰撞和非弹性碰撞的判断】 6 【题型4 碰撞的图像】 7 【题型5 弹性碰撞】 9 【题型6 非弹性碰撞】 10 【题型7 “一动碰一静”模型】 12 【题型8 子弹打木块模型】 14 【题型9 滑块-弹簧模型】 16 【题型10 滑块-光滑圆弧轨道模型】 18 【题型11 连接体模型】 20 【题型12 多次碰撞问题】 22 【题型13 多过程的碰撞问题】 25 知识点1：碰撞 1、碰撞的特点 ①时间特点：作用时间极短，相对物体运动的全过程可忽略。 ②受力特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大然后急剧减小。 ③动量特点：系统所受外力远小于内力，可认为系统的总动量守恒。 ④位移特点：可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后在同一位置。 ⑤能量特点：碰撞前的总动能总是大于或等于碰撞后的总动能。 2、碰撞的分类 ①按能量的损失情况，可分为弹性碰撞和非弹性碰撞。 ②按碰撞前后动量是否共线分类，可分为对心碰撞（正碰）和非对心碰撞（斜碰）。 3、碰撞合理性的“三个原则” ①碰撞过程中，碰撞双方构成的系统，总动量应该守恒，即。 ②碰撞结束时，碰撞双方构成的系统，总动能不会增加，即 。 ③若碰前两物体同向运动，碰前，后面运动物体的速度一定要大于前面运动物体的速度（否则无法实现碰撞），即；碰后，原来在前的物体速度一定增大。若碰后两物体同向运动，则应有。两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。 【题型1 碰撞的特点及规律】 【例1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度，静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　） A．将1号移至高度h释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度h。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度h B．将1、2号一起移至高度h释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 C．将右侧涂胶的1号移至高度h释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号不能摆至高度h D．将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度h释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 【变式1-1】（22-23高二上·湖南长沙·阶段练习）下列关于碰撞的说法不正确的是（　　） A．弹性碰撞是一个理想化模型 B．两个小球碰撞过程作用时间极短，即内力远远大于外力，故两小球系统的动量守恒 C．两个弹性钢球发生弹性碰撞，碰撞发生过程中任何时刻两钢球总动能都守恒 D．发生完全非弹性碰撞的两个物体，系统损失的机械能都转化成了内能 【变式1-2】（23-24高二下·北京顺义·期中）2023年9月，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，神舟十六号航天员在梦天实验舱内进行授课。航天员用0.3kg的大球与静止的0.1kg的小球发生正碰，某同学观看实验时发现：碰撞后，大球向前移动1格长度时，小球向前移动3格的长度，忽略实验舱内空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．碰撞后大球的动量大于小球的动量 B．碰撞后大球的动能大于小球的动能 C．该碰撞过程有机械能损失 D．大球碰撞前后的速度比为 【变式1-3】（2023·辽宁大连·一模）篮球运动深受同学们喜爱。在某次篮球比赛中，质量为m的篮球以水平速度大小v撞击竖直篮板后，以水平速度大小被弹回，已知，篮球与篮板撞击时间极短。下列说法正确的是（　　） A．撞击时篮球受到的冲量大小为 B．撞击时篮板受到的冲量大小为 C．撞击过程中篮球和篮板组成的系统动量不守恒 D．撞击过程中篮球和篮板组成的系统机械能守恒 【题型2 碰撞问题的合理性分析】 【例2】（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）打弹珠是小朋友经常玩的一个游戏。如图所示，光滑水平地面上有两个不同材质的弹珠甲和乙，质量分别是m和km，现让甲以初速度v0向右运动并与静止的乙发生碰撞，碰后乙的速度为，若碰后甲、乙同向运动，则k的值可能是（    ） A．0.4 B．1.6 C．1.2 D．2.1 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，已知，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，动量大小分别为 和的小球A和B在光滑水平面上沿着同一直线同向运动。A追上B并发生碰撞，若已知碰撞后A的动量大小减少了，而方向不变，那么，小球A、B的质量之比可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）在光滑水平桌面上质量为的物体A以某一速度与质量为m等大物体B发生正碰，碰撞前物体B处于静止状态。已知碰撞后物体B的动能为E，则碰撞之前物体A的动能可能为（　　） A．E B． C． D． 知识点2：弹性碰撞和非弹性碰撞 1、弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。通常情况下，钢球、玻璃球等坚硬物体之间的碰撞以及分子、原子等之间的碰撞皆可视为弹性碰撞。 【注】①碰撞过程中既有发生形变的阶段，又有完全恢复原状的阶段；②碰撞前后系统动量守恒，机械能守恒，即碰撞前后两物体的总动能不变。 2、非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞。例如用橡皮泥捏成的球之间的碰撞是典型的非弹性碰撞。 【注】①物体在碰撞过程中发生形变后不能完全恢复原状；②碰撞前后系统动量守恒，但有一定的动能损失。 表达式：由动量守恒定律可得。动能减少，损失的动能转化为内能， 。 3、完全非弹性碰撞：碰撞后两物体合为一体或者具有共同的速度，动能损失最大，这样的碰撞叫作完全非弹性碰撞。例如：子弹射入木块并停留在木块中、列车车厢的挂接等。 【注】①属于非弹性碰撞的一种特殊情况；②该碰撞过程中仅有压缩阶段，没有恢复阶段；③碰撞前后系统动量守恒，动能损失最大。 表达式：由动量守恒定律可得。碰撞过程中动能损失最多， 。 【题型3 弹性碰撞和非弹性碰撞的判断】 【例3】（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）小球甲、乙的质量之比为，两小球沿光滑的水平面在同一直线上以大小相等、方向相反的速度相对运动，经过一段时间两小球发生碰撞，碰后小球甲静止在光滑的水平面上，则下列说法正确的是（　　） A．两小球发生的碰撞为弹性碰撞 B．两小球发生的碰撞为非弹性碰撞 C．两小球发生的碰撞为完全非弹性碰撞 D．由于题中的条件不充分，则该碰撞无法确定 【变式3-1】（22-23高二下·浙江·阶段练习）如图，在光滑水平面上，一质量为100g的A球，以2m/s的速度向右运动，与质量为200g大小相同的静止B球发生对心碰撞，撞后B球的速度大小为1.2m/s，取A球初速方向为正方向，下列说法正确的是（　　） A．该碰撞为弹性碰撞 B．该碰撞为完全非弹性碰撞 C．碰撞前后A球的动量变化为 D．碰撞前后A球的动量变化为 【变式3-2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）A、B两滑块在光滑水平面上发生正碰，其位移x与时间t的图像如图所示。已知A的质量为，碰撞时间不计，则（　　） A．B的质量为，发生的碰撞是非弹性碰撞 B．B的质量为，发生的碰撞是弹性碰撞 C．B的质量为，发生的碰撞是弹性碰撞 D．B的质量为，发生的碰撞是非弹性碰撞 【变式3-3】（20-21高二下·天津·期中）如图所示，一个质量为0.8kg的物块沿光滑水平地面以v1=4m/s的速度向右运动，与竖直墙壁碰撞后以v2=3m/s的速度弹回，物块与墙壁发生相互作用的时间为0.1s，以向右为正方向。则（　　） A．碰撞前后，物块的速度变化量为1m/s B．碰撞过程中，物块的动量变化量为-5.6kg·m/s C．碰撞过程中，物块受到的平均作用力为-14N D．物块与墙壁之间发生的碰撞为弹性碰撞 【题型4 碰撞的图像】 【例4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将两质量分别为和的物体放在光滑的水平面上，现给两物体沿水平方向的初速度，如图所示为两物体正碰前后的位移随时间的变化规律。已知。则（　　） A．图线1为碰后物体的图像 B．碰撞过程对的力冲量大小为 C．碰撞前物体的速度大小为 D．物体 【变式4-1】（2021·广东·模拟预测）作为时尚青年热爱的运动．溜旱冰又炫又酷，备受追捧。如图甲所示，水平地面上有A、B两位同学，A的质量为50kg，B静止在地面上，A以一定的初速度向B滑去，一段时间后抱住B一起向右运动。若以向右为正，A运动的位移—时间图像（图像）如图乙所示，不计空气阻力以及地面对人的阻力，则A抱住B的过程中损失的机械能为（    ） A．375J B．250J C．200J D．125J 【变式4-2】（24-25高三上·北京·开学考试）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为的另一物体B以水平速度滑上原来静止的长木板A的表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，取，则下列说法正确的是（　　） A．A、B间的动摩擦因数为0.1 B．系统损失的机械能为4J C．木板A的最小长度为2m D．木板获得的动能为2J 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（　　） A．从开始计时到这段时间内，物块A、B在时刻相距最远 B．物块A、B在与两个时刻各自的加速度相同 C．到这段时间弹簧处于伸长状态 D． 【题型5 弹性碰撞】 【例5】（23-24高二下·湖北咸宁·期末）设在无摩擦的桌面上置有5个相同的钢球，其中三个紧密连接排放一列，另两个一起自左方以速度正面弹性碰撞此三球，如图，碰撞后向右远离的小球个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，用长度均为l的轻质细绳悬挂三个形状相同的弹性小球，质量依次满足（“≫”表示“远大于”）。将左边第一个小球拉起一定角度θ后释放，则最后一个小球开始运动时的速度约为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·北京丰台·期末）如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 【变式5-3】（21-22高二下·河北·阶段练习）如图所示，大小、形状相同的两小球A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，小球A的质量为、速度大小为、方向水平向右，小球B的质量为m、速度大小为、方向水平向左，两小球发生弹性正碰后（　　） A．小球A将静止 B．小球B将向左运动 C．小球A的动能将增加 D．小球B的动量变化量的大小为 【题型6 非弹性碰撞】 【例6】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）如图所示，大小相同、质量分别为0.2kg和0.1kg的小球，在光滑水平面上分别以0.3m/s和0.9m/s的速度沿同一直线相向运动，相撞之后粘住成为一个整体，则整体的速度大小为（    ） A．0.1m/s B．0.3m/s C．0.6m/s D．1.2m/s 【变式6-1】（23-24高一下·辽宁·期末）超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为原来静止的小物块。已知车的净质量均为，将1号车以速度向右推出，先与2碰撞结合为一体后再撞击3，最终三车合为一体。忽略一切摩擦和阻力，则第二次碰撞过程中损失的机械能为（　　） A．18J B．36J C．54J D．72J 【变式6-2】（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量分别为，速度的大小分别为的A、B两小球沿同一直线相向运动并发生碰撞，则（　　） A．它们碰撞后的总动量是，方向水平向右 B．它们碰撞前的总动量是，方向水平向左 C．它们碰撞后如果A球以的速度被反向弹回，则B球的速度大小为 D．它们碰撞后如果A球、B球粘在一起，则两球共同运动的速度大小为 【变式6-3】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）如图所示，一个小孩在冰面上进行“滑车”练习，开始小孩站在A车前端与车以共同速度vo=11m/s（向右做匀速直线运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，又立即从B车跳回A车，此时A、B两车恰好不相撞，已知小孩的质量，A车B车质量均为，若小孩跳离A车与跳离B车时对地速度的大小相等、方向相反，则下列说法不正确的是（    ） A．小孩跳回A车后，他和A车的共同速度大小为 B．小孩跳离A车时对地速度的大小为 C．小孩跳离B车时相对B车的速度大小为 D．整个过程中，小孩对B车所做的功为 【题型7 “一动碰一静”模型】 【例7】（23-24高二下·福建泉州·期末）如图所示，光滑水平地面上的轻弹簧一端拴接着质量为1kg的物块Q，初始时弹簧处于原长，Q静止在光滑水平地面上，质量为2kg的物块P静止在距弹簧右端一定距离处。现给物块P一方向水平向左、大小为6N·s的瞬时冲量，从物块P开始接触弹簧到离开弹簧的过程中，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．弹簧压缩量最大时物块Q的速度最大 B．物块Q的最大速度为4m/s C．弹簧的最大弹性势能为9J D．物块P离开弹簧时的速度大小为2m/s 【变式7-1】（23-24高二下·北京通州·期末）动量守恒定律是一个独立的实验定律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。运用动量守恒定律解决二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量分别为和的球1和球2构成一系统，不考虑系统的外力作用。球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生弹性碰撞，若速度不在两球球心的连线上，碰撞之后两球的速度、都会偏离的方向，偏角分别为、。下列说法正确的是（　　） A．两小球在球心连线方向动量不守恒 B．两小球的相互作用力方向与速度方向共线 C．两小球碰后速度大小满足 D．两小球碰后速度大小满足 【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，光滑水平面上放有A、B两小球，B球静止，某时刻给A球一个水平向右的速度，一段时间后A、B发生正碰，已知A球质量为，A、B两球碰撞过程的相互作用时间为。 （1）若B球质量为，且碰后B球获得水平向右的速度，求碰后A球的速度以及碰撞过程中A、B两球之间的平均作用力F的大小； （2）若B球质量可调节，A球仍以速度与静止的B球正碰，碰后A、B两球的动量大小为1：4，求B球的质量m'的范围。 【变式7-3】（21-22高二·全国·课时练习）如图所示，三个小球的质量均为m，B、C两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上，A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，则： （1）A、B两球刚粘在一起时的速度为多大？ （2）弹簧压缩至最短时三个小球的速度为多大？ （3）弹簧的最大弹性势能是多少？ （4）弹簧恢复原长时，三个小球的速度为多大？ 【题型8 子弹打木块模型】 【例8】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）质量为的物块从距离地面高度为处自由下落，在下落到距离地面高度为时，质量为的子弹以的水平速度瞬间击中物块并留在其中。重力加速度取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．子弹击中物块后瞬间，物块水平方向的速度大小变为 B．子弹击中物块后瞬间，物块竖直方向的速度大小变为 C．物块与子弹组成的系统机械能守恒 D．物块下落的总时间为2s 【变式8-1】（多选）（23-24高二下·贵州贵阳·期末）如图所示，小木块A用细线悬挂在O点，此刻小木块的重力势能为零。一颗子弹以一定的水平速度射入木块A中，并立即与A有共同的速度，然后一起摆动到最大摆角为处。如果保持子弹入射的速度大小不变，而使子弹的质量增大，则最大摆角、子弹的初动能与木块和子弹一起达到最大摆角时的机械能之差有（　　） A．角增大 B．角减小 C．增大 D．减小 【变式8-2】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0、质量为m的子弹击中，子弹嵌在其中（作用时间极短），已知物体A的质量是物体B的质量的，子弹的质量是物体B的质量的。求： （1）物体A获得的最大速度； （2）子弹射入木块过程中损失的动能； （3）弹簧压缩量最大时物体B的速度。 【变式8-3】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）如图所示，有一质量的物块B，以的水平初速度冲上一个质量的静止木板A。物块在木板上滑行一段距离后相对木板静止。已知物块与木板间的动摩擦因数为0.8，木板与地面间的摩擦可忽略不计，重力加速度。求： （1）物块相对木板静止时，木板速度的大小； （2）物块所受摩擦力对物块做的功； （3）物块在木板上运动的距离。 【题型9 滑块-弹簧模型】 【例9】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，甲木块的质量为m，以速度v沿光滑水平地面向前运动，正前方有一静止的、质量也为m的乙木块，乙上连有一轻质弹簧，甲木块与弹簧接触后（　　） A．甲乙两木块和弹簧所组成的系统动量不守恒 B．甲乙两木块和弹簧所组成的系统动能守恒 C．当两木块速度相等时，弹簧的弹性势能最大，且为 D．从弹簧开始压缩到恢复原长，乙木块先做加速运动，后做减速运动 【变式9-1】（多选）（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上。现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速度—时间图像如图乙，则有（　　） A．在时刻两物块达到共同速度且弹簧都处于压缩状态 B．从到过程中，弹簧由压缩状态恢复原长 C．两物块的质量之比 D．在时刻A与B的动能之比 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图所示，在光滑的水平面上有两个滑块P、Q，滑块Q的左端固定一轻质弹簧。两个滑块以大小为的速度沿同一直线相向运动，滑块P的质量为2m，速度方向水平向右，滑块Q的质量为m，速度方向水平向左。不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．P、Q两个滑块（包括弹簧）组成的系统动量守恒 B．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．当两个滑块的速度相等时，弹簧的弹性势能为 D．两个滑块最终能以的共同速度一起水平向右运动 【变式9-3】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示，在一个倾角为的固定斜面底端固定一个挡板，挡板连接一个劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧上端与一质量为的光滑滑块相连且处于静止状态，静止时所在位置为。某时刻将一个质量也为的滑块从离点距离处由静止释放，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。两滑块均可视为质点，滑块与滑块碰后粘连在一起，在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，已知重力加速度。求： （1）滑块与滑块碰撞前瞬间的速度大小； （2）二者共同运动过程中的最大速度（结果可保留根号）。 【题型10 滑块-光滑圆弧轨道模型】 【例10】（多选）（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且与水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度v0向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是（　　） A．滑块b沿a上升的最大高度为 B．物块a运动的最大速度为 C．物块a对滑块b的冲量大小 D．物块a对滑块b的所做的功 【变式10-1】（多选）（23-24高二下·福建三明·期末）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g，不考虑任何阻力，则下列说法不正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向右做平抛运动 【变式10-2】（多选）（23-24高二下·福建泉州·期中）如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为2m的小车，小车的四分之一圆弧轨道在最低点B与水平轨道相切，圆弧轨道表面光滑，半径为R，水平轨道表面粗糙。在小车的右端固定一个轻弹簧，弹簧的原长小于水平轨道的长度。一个质量为m的小球从圆弧轨道与圆心等高的A点开始自由滑下，经B到达水平轨道，压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球、小车及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．小球第一次到达B点时对小车的压力mg C．弹簧具有的最大弹性势能为mgR D．从开始到弹簧具有最大弹性势能时，摩擦生热mgR 【变式10-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图所示，可固定的四分之一圆槽AB的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，圆槽底端B点的切线水平，距离B点为R处有一质量为3m的小球2。现将质量为m的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的A点由静止释放，重力加速度为g，不计一切摩擦，两小球大小相同，所有的碰撞均为弹性碰撞。 （1）若圆槽固定，求小球2最终的速度大小； （2）若圆槽不固定，求小球1刚与小球2接触时，与圆槽底端B点的距离； （3）若圆槽不固定，求小球1最终的速度大小。 【题型11 连接体模型】 【例11】（2022·河北唐山·二模）如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m的木板A，通过不可伸长的轻绳与质量2m的足够长的木板B连接。质量为m可看成质点的物块C静止在木板B右端。开始时，A、B、C均静止，绳未拉紧。现在使木板A以的速度向右运动，经过一段时间后系统达到稳定状态。绳子拉直绷紧后瞬间，A、B同速，在绳子绷紧后瞬间，下列说法中正确的是（　　） A．木板A的速度大小为 B．木板B的速度大小为 C．物块C的速度大小为0 D．木板A、B、C共速 【变式11-1】（多选）（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）如图所示，可视为质点的完全相同的A、B两小球分别拴接在一轻弹性绳的两端，两小球质量均为m，且处于同一位置（离地面足够高），弹性绳始终处于弹性限度内。某时刻，A球自由下落，同时B球以速度v0水平向右抛出。已知两个小球发生的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球组成的系统动量守恒 B．弹性绳最长时，A、B两小球的速度不相同 C．弹性绳第一次恢复原长时，A小球的水平分速度为v0 D．弹性绳的最大弹性势能为 【变式11-2】（多选）（21-22高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）光滑水平面上放着质量的物块A与质量的物块B，A与B均可视为质点，物块A、B相距，A、B间系一长的轻质细绳，开始时A、B均处于静止状态，如图所示。现对物块B施加一个水平向右的恒力，物块B运动一段时间后，绳在短暂时间内被拉断，绳断后经时间，物块B的速度达到。则下列说法正确的是（   ） A．绳拉断后瞬间的速度 B．绳拉断后瞬间的速度 C．绳拉断过程绳对物块A所做的功 D．绳拉断过程绳对物块B的冲量大小为 【变式11-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，倾角为的斜面足够长，区间光滑，长度为，其余部分粗糙程度相同。长为的轻绳连接两个相同的小滑块、。开始时处于点，轻绳恰好伸直。由静止同时释放、，经过一段时间后，、发生弹性碰撞。再经过一段时间轻绳突然绷紧，、达到共同速度，并一起匀速运动。已知重力加速度大小为，求 （1）滑块与斜面粗糙部分之间的动摩擦因数； （2）滑块从静止释放至运动到点的时间； （3）滑块、一起匀速运动的速率。 【题型12 多次碰撞问题】 【例12】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，两侧带有固定挡板的平板车乙静止在光滑水平地面上，挡板的厚度可忽略不计，车长为2L，与平板车质量相等的物块甲（可视为质点）由平板车的中点处以初速度v0向右运动，已知甲、乙之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，忽略甲、乙碰撞过程中的能量损失，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙达到共同速度所需的时间为 B．甲、乙共速前，乙的速度一定始终小于甲的速度 C．甲、乙相对滑动的总路程为 D．如果甲、乙碰撞的次数为n（n≠0），则最终甲距离乙左端的距离可能为 【变式12-1】（多选）（24-25高三上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，一个固定斜面与水平地面平滑连接，斜面与水平地面均光滑。小物块P放在水平地面上，小物块Q自斜面上某位置处由静止释放，P、Q之间的碰撞为弹性正碰，斜面与水平面足够长，则下列说法正确的是（　　） A．若，则P，Q只能发生一次碰撞 B．若，则P、Q只能发生两次碰撞 C．若，则P、Q只能发生一次碰撞 D．若，则P、Q只能发生两次碰撞 【变式12-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图所示，可视为质点的两滑块A、B均静止在粗糙水平地面上，两者之间有一被压缩的轻质弹簧（长度不计），A与竖直墙壁距离L=8m。现解除弹簧锁定，使A、B瞬间分离，并立即取走弹簧，此时两物块获得的动能之和为28J。已知A、B质量分别为mA=1kg、mB=7kg，所有碰撞均为弹性碰撞，A、B均沿同一水平直线运动，A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速度取g=10m/s2，求： （1）取走弹簧时A、B获得的速度大小； （2）A、B都停止运动后，两者之间的距离； （3）改变L的大小，使A、B第1次碰撞时，B已经停止，且能发生第2次碰撞，求L的取值范围。 【变式12-3】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，半径为R的竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑连接，水平轨道上有2024个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1号球的质量为2m，2~2024号球的质量均为m。若将质量为2m的A球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。 （1）求1号球与2号球第一次碰撞后1号球的速度大小； （2）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远小于1、2号球碰撞时的相互作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1号球的速度相等，直到1~2024号球速度第一次都相等时撤去外力，求 ⅰ.外力F的大小； ⅱ.最终1号球与2024号球之间的距离。 【题型13 多过程的碰撞问题】 【例13】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，半径的光滑半圆轨道与光滑水平轨道相切于点，质量均为1kg的两个小球、（可视为质点）之间压缩一轻弹簧并锁定（弹簧与两小球均不拴连）。某时刻解除弹簧的锁定，两小球被弹开，小球离开弹簧后恰好能沿半圆轨道通过最高点，重力加速度取。求： （1）离开弹簧时小球的速度大小； （2）弹簧锁定时所具有的弹性势能。 【变式13-1】（2025·湖南益阳·一模）如图所示，足够长“L”型平板B静置在地面上，上表面光滑，物块A处于平板B上的点，用长为0.8m的轻绳将质量为3kg的小球悬挂在点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞。物块A沿平板滑动直至与B右侧挡板发生碰撞，假设小物块A与平板B的碰撞均为弹性碰撞，测得小物块A与平板B。发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是9m，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，已知A的质量为1kg，B的质量0.5kg，g取，求： （1）小球摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞前轻绳的拉力； （2）小物块A第一次与平板B碰撞后到第二次碰撞的时间； （3）平板B在水平面上通过的总路程。 【变式13-2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图所示，质量M=4kg、长度L=2m的木板A静止在光滑水平面上，其左端上表面与半径R=0.5m的四分之一竖直圆轨道相切，A的右侧某位置竖直固定一挡板P。将质量m=2kg的物块B从轨道最高点由静止释放，A、B共速后A与P发生碰撞，碰后A以某一速度反弹，B最终恰好没有从A上滑离。已知B经轨道最低点时对轨道的压力FN=56N，A、B间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s2。求： （1）B在圆轨道运动过程中克服阻力做的功； （2）从B滑上A至A、B第一次共速，系统产生的热量； （3）A与P碰撞损失的机械能。 【变式13-3】（23-24高一下·广东清远·期末）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面由粗糙水平轨道与四分之一圆弧光滑轨道组成。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并可轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已知细线长，小球质量，物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长为s，物块与水平轨道间的动摩擦因数，圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，。 （1）求小球运动到最低点的速度大小； （2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块的速度大小； （3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求小车上的水平轨道长度s的取值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$