专题训练1-1：集合题型专练（8大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

集合题型专练 题型一：集合的基本概念 例1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 例3．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练 1．下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 2．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 题型二：元素与集合和集合元素特性求参 例1．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 例2．集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 例3．（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．若的三边长可构成集合，则不可能是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．集合，若，则 3．非零实数，构成的数能组成的集合是 . 4．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 题型三：集合基本关系的判断 例1．已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 例2．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 例3．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 变式训练 1．已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则下列的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：集合基本关系求参数范围 例1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 例3．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 2．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 题型五：子集和真子集个数问题 例1．集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 例2．已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 例3．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 题型六：集合的运算 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例2．设全集，集合，，则 ． 例3．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 变式训练 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 题型七：集合的运算求参数范围 例1．已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 例2．已知集合，，且，则实数的取值集合是 例3．集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 变式训练 1．已知集合，，且. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 2．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 题型八：集合新定义 例1．定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 例3．已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 变式训练 1．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 2．集合论是德国数学家康托尔（G. Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（    ）    A．293 B．260 C．205 D．154 3．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 4．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合题型专练 题型一：集合的基本概念 例1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 例2．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 例3．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④错误； 是无理数，故，故⑤错误. 则正确的有3个. 故选：. 变式训练 1．下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解. 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 2．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 3．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 题型二：元素与集合和集合元素特性求参 例1．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 例2．集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得. 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 例3．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 变式训练 1．若的三边长可构成集合，则不可能是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性，得到互不相等，即可得到答案. 【详解】由题意，集合中，根据集合元素的互异性，可得互不相等， 故一定不是等腰三角形，所以不可能是等腰直角三角形. 故选：D. 2．集合，若，则 【答案】 【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：因为， 所以，若，则可得或2， 当时，，不满足互异性，舍去， 当时，，满足题意; 若，则，此时，不满足互异性，舍去； 综上 故答案为： 3．非零实数，构成的数能组成的集合是 . 【答案】 【分析】分别讨论，的符号，分四种情况讨论，计算的值结合元素的互异性即可求解. 【详解】当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由元素的互异性可知数能组成的集合是， 故答案为： . 4．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 题型三：集合基本关系的判断 例1．已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的关系得到结果； 【详解】集合的关系如图：    故选：B. 例2．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 例3．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 变式训练 1．已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用描述法化简集合,再根据集合间的关系判断即可. 【详解】, , 所以, 故选：D. 2．下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据子集的定义分析判断，对于B，根据相等集合的定义分析判断，对于C，根据元素与集合的关系分析判断，对于D，根据空集的定义分析判断. 【详解】对于A，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知，故B正确； 对于C，0是集合的元素，所以，故C正确； 对于D，是集合的子集而非元素，故D错误. 故选：D. 3．已知集合，，，则下列的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 而为奇数，为整数，又， 所以 故选：B. 题型四：集合基本关系求参数范围 例1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 例2．已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】利用相等集合的概念及集合元素的性质即可得出结论. 【详解】，，， 或，解得或或， 当，时，，，符合题意，， 当，时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当，时，，，符合题意， 故选：CD. 3．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系求解即可. 【详解】集合，集合， 若集合，则. 故选：A. 变式训练 1．设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据子集的定义，结合集合的互异性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，符合题意. 故选：D 2．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解． 【详解】因为，且， 若，则， 故选：D 3．已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由为的真子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可. 【详解】因为BA，所以. 故答案为： 题型五：子集和真子集个数问题 例1．集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】求出集合，再求其真子集的个数. 【详解】由题可得：，所以集合的真子集个数为； 故选：D 例2．已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【答案】，，，，，， 【分析】利用集合间的包含关系求解，按集合的元素个数由少到多进行列举． 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 例3．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 变式训练 1．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2．已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 3．已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 题型六：集合的运算 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何交集运算求解即可. 【详解】由集合， 可得. 故选：B. 例2．设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 例3．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 变式训练 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的概念进行求解. 【详解】. 故选：C 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集及交集运算即可. 【详解】由题意得,所以. 故选：B. 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 4．设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 故选：ABD 题型七：集合的运算求参数范围 例1．已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论B是否为空集计算即可； （2）利用补集、并集的概念化条件为，计算即可. 【详解】（1）若，则，即时，此时显然符合题意； 若，则，要满足，则，解得， 综上所述实数a的取值范围为； （2）由题意可知若，则， 所以有，解之得， 则实数a的取值范围. 例2．已知集合，，且，则实数的取值集合是 【答案】，或 【分析】化简集合，由条件可得，结合集合的包含关系列关系式，由此可得结论. 【详解】因为方程的解集为， 所以， 因为，所以或或或， 又， 所以或或或， 所以或， 所以的取值集合是，或. 故答案为：，或. 例3．集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 变式训练 1．已知集合，，且. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，又由题知，可得，即可求得的取值范围； （2）由，则，由，则要满足，解得，则的取值范围是. 【详解】（1）∵，又由题知，所以， 解得，故的取值范围是. （2）由于，又，所以，所以， 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，，故的取值范围是. 2．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果； （2）对集合分类讨论参数的取值范围； （3）若，对集合分类讨论参数的取值范围； 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 题型八：集合新定义 例1．定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 例2．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 例3．已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. (1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； (2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； (3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析 (2)具有，理由见解析 (3)1333 【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断； （2）根据集合，任取，因为，说明，可得，即可说明，继而结合定义即可得结论； （3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（）个元素不超过1000，从而可得不等式，结合k为正整数，可得，再结合定义，即可确定答案. 【详解】（1）当时，集合，， 则集合B不具有性质P，理由如下： 因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素， 使得成立； 集合具有性质P，理由如下： 因为可取，对于该集合中的任意一对元素， 都有； （2）当时，集合， 若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下： 首先因为集合，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，故, 由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 对于上述正整数m，从集合中任取一对元素， 其中，则有， 故集合具有性质P. （3）设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P， 任给，则x与中必有一个不超过1000， 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S中有t（）个元素不超过1000， 由集合S具有性质P可知存在正整数， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 所以一定有， 又，故， 因此集合A中至少有t个元素不在子集S中， 故，即，结合k为正整数，可得， 当时，取， 则可知集合S中任意两个元素，都有， 即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素， 因此集合S中元素个数的最大值为1333. 【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题. 变式训练 1．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】对于，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确； 对于，因为，所以， 即与是相同的，所以，B正确； 对于，因为，所以， 所以，即错误； 对于，由于 , 而，故，即错误． 故选：AB． 2．集合论是德国数学家康托尔（G. Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（    ）    A．293 B．260 C．205 D．154 【答案】B 【分析】代入条件中并集的元素个数的公式，即可求解. 【详解】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学 录取通知书的学生构成集合， 根据， . 故选：B 3．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有 (填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案. 【详解】集合,对于任意, 且任意,都有 可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确; 对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误; 对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 4．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【详解】（1）若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$