专题强化05：二次函数的实际应用大题归纳（8大题型）-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化05：二次函数的实际应用大题归纳 【题型归纳】 · 题型一：图形问题 · 题型二：拱桥问题 · 题型三：销售问题 · 题型四：投球问题 · 题型五：喷水问题 · 题型六：增长率问题 · 题型七：图形运动问题 【题型探究】 题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 题型二：拱桥问题 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱挢、抛物线拱桥和悬链线拱桥， 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升3m时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系，    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 题型三：销售问题 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元． (1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ (2)购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低元，若购买奖品的金额为元，求获一等奖的学生人数； (3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额． 题型四：投球问题 7．（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 题型五：喷水问题 9．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为． (1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式； (2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明． 题型六：增长率问题 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 12．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 13．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 14．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以1单位长度/秒的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒． (1)当点P运动到的中点，求此时x的值和的面积； (2)①当时，求y与x之间的函数关系式； ②当时，求y与x之间的函数关系式； (3)求在运动过程中面积的最大值．（直接写出结果即可） 【专题强化】 15．（23-24九年级上·山东济南·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … … 每天销售数量y/件 … … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 16．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为，如图2所示．掷出时，测得起点处高度，竖直高度，水平距离．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 17．（23-24九年级下·北京·期中）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 18．（23-24九年级下·江西九江·期中）足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．    (1)求足球运动路线的函数解析式． (2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）． (3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离． 19．（23-24九年级下·福建福州·期中）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． (1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？ (2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 22．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．    (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 23．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 24．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 25．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 26．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 27．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且秒时，米． (1)求h关于t的函数表达式． (2)已知A点的离地高度为米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离． 28．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 29．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图①，排球场长为，宽为，网高为．某校排球队员站在底线O点处向正前方发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运动到最高点A处时，高度为，即，这时水平距离．以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．    (1)求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出x的取值范围） (2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发球（即能否过网？是否出界？），并说明理由． 30．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 31．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的．通风口是一个倒立的等腰，其顶点固定在矩形底边的中点O上，横杆在和两侧移动且保持与底边平行．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，． (1)设等腰的底边上的高为x，结合图1和图2分别表示并写出x的范围； (2)横杆在两侧滑动时，有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化05：二次函数的实际应用大题归纳 【题型归纳】 · 题型一：图形问题 · 题型二：拱桥问题 · 题型三：销售问题 · 题型四：投球问题 · 题型五：喷水问题 · 题型六：增长率问题 · 题型七：图形运动问题 【题型探究】 题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)苗圃的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）． 故答案为：． （2）根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8． （3）设矩形的面积为， 则， ∵， ∴时，的值最大，最大值为108， ∴苗圃的面积不能为． 题型二：拱桥问题 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 【答案】(1) (2)3米 (3)这个支架总长的最大值为15米 【分析】本题主要考查二次函数解析式，二次函数图象与性质以及二次函数的应用： （1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入解析式，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）把代入解析式，求出的值，再减去即可； （3）设点，则 ，，然后根据列出函数解析式，由二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∵（米） ∴通过隧道车辆的高度限制应为3米； （3）解：设点，则 ，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是15， ∴这个支架总长的最大值为15米． 4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱挢、抛物线拱桥和悬链线拱桥， 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升3m时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系，    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)能安全通过 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，根据水位上升的高度计算水面距离拱桥最高点的距离，之后与2的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，水位上升的高度为：， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 题型三：销售问题 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元． (1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ (2)购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低元，若购买奖品的金额为元，求获一等奖的学生人数； (3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额． 【答案】(1)钢笔的单价为元，笔记本的单价为元 (2)人 (3)一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的应用， （1）设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据“购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设获得一等奖的人数为人，则获得二等奖的人数为人，钢笔的单价为元，根据购买奖品的金额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）设购买奖品的总金额为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：钢笔的单价为元，笔记本的单价为元； （2）设获得一等奖人数为人，则获得二等奖人数为个，则钢笔的单价为元， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴获得一等奖学生人数为人； （3）设购买奖品的总金额为元，则， 即， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∵，为整数， ∴当，随的增加而减小， ∴当，有最小值为元， ∴一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元． 题型四：投球问题 7．（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)王阳在此次投掷中得到满分 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； （2）设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 题型五：喷水问题 9．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为． (1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式； (2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)喷出的水柱不会落在水池外，计算见解析． 【分析】本题考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键，（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，点，设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值与7比较即可． 【详解】（1）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为， 把点的坐标代入函数表达式，得， 解得，， 即， （2）解：由题意，令 解方程得：， （不合题意，舍去）， ． ∵， ∴，． ∴喷出的水柱不会落在水池外． 题型六：增长率问题 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 12．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 13．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是． 14．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以1单位长度/秒的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒． (1)当点P运动到的中点，求此时x的值和的面积； (2)①当时，求y与x之间的函数关系式； ②当时，求y与x之间的函数关系式； (3)求在运动过程中面积的最大值．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，如图所示，过点作于点，由题 意得，当时，，则，解得到，则，当点P运动到的中点，则，则； （2）由（1）可得当时，；当时，过点Q作于H，先求出，根据题意得，，解得到，则，据此可得答案； （3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 如图所示，过点作于点， 由题意得，当时，， ∴， 在中，， ∴， 当点P运动到的中点，则， ∴； （2）解：由（1）可得当时，； 当时，过点Q作于H， ∵， ∴， 由题意得，， 在中，， ∴； 综上所述，； （3）解：∵， ∴由二次函数的性质可得当时，； 当时，y随x增大而增大，则当时， ； 综上所述，， ∴在运动过程中面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的意义，解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的性质与判定等等，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【专题强化】 15．（23-24九年级上·山东济南·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … … 每天销售数量y/件 … … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）依题意得，，根据二次函数的图象与性质求最值，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． （3）解：依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识，熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 16．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为，如图2所示．掷出时，测得起点处高度，竖直高度，水平距离．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】该男生在此项考试中能得满分 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键；设y关于x的函数表达式为，先求出函数表达式，再令，且，解方程求解即可． 【详解】解：该男生在此项考试中能得满分． 设y关于x的函数表达式为， 把代入解析式得：，解得：， ∴y关于x的函数表达式为， 令，则，解得：， ∵实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分， ∴该男生在此项考试中能得满分． 17．（23-24九年级下·北京·期中）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 【答案】(1)； (2)，售价为50元或70元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数与一元二次方程的应用： （1）设，把，；，代入求解即可； （2）利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，再令函数值为1600并求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，；，代入，得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：由题意得： ， ∴当时，， 解得∴，， 经检验，，均符合题意． 答：W与x之间的函数表达式为；当售价为50元或70元时，利润为1600元 18．（23-24九年级下·江西九江·期中）足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．    (1)求足球运动路线的函数解析式． (2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）． (3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离． 【答案】(1) (2)足球不能射门成功 (3)移动的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将代入抛物线求出的值即可； （2）求出当时，，即可得出答案； （3）设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为，由题意得出平移后的抛物线经过点，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：米， 当时，， 足球不能射门成功； （3）解：小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入， 设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为， ， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 移动的距离为米． 19．（23-24九年级下·福建福州·期中）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． (1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？ (2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【答案】(1)三月份每件产品的成本是20万元； (2)，四月份最少利润是500万元． 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． （1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求得y与x的函数关系式；再求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程，求解即可； （2）列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； （2）解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得： ， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； （2）解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 【答案】(1) (2)①②5 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法，二次函数性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则，求解即可； ②把代入求得t值，从而可求得当时，，则可得t的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设s与t满足的二次函数关系为：， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则 解得：， ∴当斜面足够长时，第1颗钢珠出发后会和第2颗钢珠相距3米． ②当米时，则， 解得：(负数已舍)， ∴当时， ∴， ∴t的整数解为0，1，2，3，4 ∵在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠 ∴若斜面长13米，则斜面上同时最多有5颗小钢珠． 22．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．    (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)3； (2)点M到地面的距离为2.25米 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 23．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 24．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 25．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】任务1：； 任务2：本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3： 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 任务1：利用猜想y与x之间是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数解析式，并验证即可； 任务2：分和两种情况分别进行求解即可； 任务3：根据任务2得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知y与x之间是一次函数关系，设， 当时，；当时，，则 ， 解得 ∴y与x之间的关系式是， 当时，； 当时，， 当时，， 即一次函数模型成立， ∴y与x的函数关系式为． 任务2：由题意得，当时，， 令，得 ∴对称轴 ∵ ∴当时，随着x的增大增大， ∴当时，此时， 取得最大值为：（万元） 即本月前20天的日利润W万元第20天达到最大，最大值为万元； 当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， 综上可知，本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3：由题意可得， 令，得 ∴对称轴 ∵前20天的日销售额W'万元随着时间x的增大而增大 ∴，且， 解得， 即a的取值范围为． 26．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)这批消毒洗手液每瓶的售价为27元 (3)售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元 【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式． （1）设与之间的函数关系式为，将表格中的数据代入求解即可； （2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可， （3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的确定自变量的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将时，和时代入得， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵尽量给顾客实惠， ∴． 答：这批消毒洗手液每瓶的售价为27元． （3） ， ∵每瓶利润不允许高于进价的， ∴， 解得：， ∴当时，总利润为最大，此时（元）． ∴售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元． 27．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且秒时，米． (1)求h关于t的函数表达式． (2)已知A点的离地高度为米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，二次函数的实际应用． （1）根据题意设，把代入求出k的值，即可得出h关于t的函数表达式； （2）求出时t的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴h关于t的函数表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：（舍去）， ∴米． 28．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)0.2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可； （2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为，求出A的坐标为，然后把A的坐标代入（1）中所求解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为． 由题意可知，抛物线上的点B的坐标为． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为． ，． 由题意可得点A的坐标为， ∴， ∴． ∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米； 29．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图①，排球场长为，宽为，网高为．某校排球队员站在底线O点处向正前方发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运动到最高点A处时，高度为，即，这时水平距离．以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．    (1)求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出x的取值范围） (2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发球（即能否过网？是否出界？），并说明理由． 【答案】(1) (2)这次发球为有效发球，见解析 【分析】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键． （1）求出抛物线表达式，设y与x的函数关系式为，根据题意可知点为函数的顶点，将点代入求解即可； （2）确定和时，对应函数的值即可求解 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为      由题可知：点为函数的顶点                                      将点代入， 得 与x的函数关系式为 （2）解：这次发球为有效发球．                 当时， 球可以过网．                                   令，则， 解得 由题可知（舍）， 球没有出界 故这次发球为有效发球． 30．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 31．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的．通风口是一个倒立的等腰，其顶点固定在矩形底边的中点O上，横杆在和两侧移动且保持与底边平行．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，． (1)设等腰的底边上的高为x，结合图1和图2分别表示并写出x的范围； (2)横杆在两侧滑动时，有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，最大，最大为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答，当当时利用三角形的面积公式解答即可，当时，利用等腰直角三角形的判定与性质求得的长度，再利用三角形的面积公式解答即可； （2）利用（1）中的函数解析式运用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，过点M作于点G，过点N作于点H， ∵四边形为矩形， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴； （2）解：时， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大为； 当时，， ∴当时，最大，最大为； 综上所述，当时，最大，最大为． 学科网（北京）股份有限公司 $$