1.2 集合间的基本关系（2024优化版）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 集合间的基本关系 授课：XXX 学习目标 理解集合之间的包含与相等的含义. 01 能识别给定集合的子集，了解空集含义. 02 能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养. 03 核心素养 逻辑推理 由集合的元素的关系推导集合之间的关系. 数学抽象 集合间的关系的含义. 数学运算 由集合与集合之间的关系求值. 知识回顾 集合的概念 含义 集合中元素的性质 元素与集合的关系 集合的表示方法 元素 集合 确定性 互异性 无序性 自然语言 列举法 描述法 情景导入 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？ 类比实数的学习. 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系. 例如：对两个数，应有 或 或 . 而对于两个集合 ，它们之间是否也有类似的关系呢？ 集合间的基本关系 01 子集 1 观察下面两个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1），； （2）为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，为这个班全体学生组成的集合. 可以发现：集合的任何一个元素都是集合的元素. 这时我们说集合包含于集合，或集合包含集合. 集合与集合也有这种关系. 子集 1 写法 （或 ） 读法 “A包含于B”（或“B包含A”） 通俗来讲，谁“大”开口就朝谁. 与大于、小于符号类似. 子集 一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. Venn 图 2 为了更直观地理解包含关系，数学上经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做Venn图. B A 集合A与集合B的包含关系 可以用上图表示. Venn 图 2 注意 表示集合的Venn图得到边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线. 用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显，画图时要注意区分“大小”关系. 1 2 集合相等 3 ，是等腰三角形. 集合和集合存在包含关系吗？你可以类比到实数中的什么关系吗？ 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合都是由所有等腰三角形组成的集合. 即集合中任何一个元素都是集合中的元素，同时，集合中任何一个元素也都是集合中的元素. 这样，集合的元素与集合的元素是一样的，即这两个集合相等. 集合相等 3 一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 . 也就是说，若 ，且，则 . 集合包含与相等的联系 集合相等 3 集合A与集合B的相等关系 可用Venn图表示： A(B) 集合相等 3 由“若 ，且，则 ”，你能联想到两个数之间的什么关系？ 联想到了实数中的结论： 若，，则 . 可见 中包含 的情况，是否有更准确的符号表示（1）和（2）的关系呢？ 真子集 4 真子集 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合是集合的真子集. 写法 （或 ） 读法 “A真包含于B”（或“B真包含A”） 例如，在（1）， 中， ，但 ，且 ，所以集合A是集合B的真子集. 真子集 4 集合A与集合B的真包含关系 可用Venn图表示： B A 空集 5 观察下列集合，并指出集合中的元素是什么. 因为方程 没有实数根， 所以方程 的实数根组成的集合中没有元素. 空集 空集 5 规定 空集是任何集合的子集. 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 空集是任何非空集合的真子集，即 (为非空集合). 空集只有一个子集，即它的本身. 空集 5 你能举出几个空集的例子吗？ 方程 的解组成的集合. 不等式 的解集. 空集 5 ∅，0，{0} 与 {∅} 之间有怎样的关系？ 比较对象 ∅ 与 0 ∅ 与 {0} ∅ 与 {∅} 相同点 不同点 关系 都表示无的意思 都是集合 都是集合 ∅ 是集合 0 是实数 ∅ 不含任何元素 {0} 含有一个元素0 ∅ 不含任何元素 {∅}含有一个元素∅ 或 空集 5 包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释. 包含关系发生在两个集合之间，而属于关系发生在元素与集合之间. 与 的区别： 表示元素与集合之间的关系，如 ，； 表示集合与集合之间的关系，如 ，. 再如 ， 等， 不能写成 ，. 子集的性质 6 与实数类比，“若，且，则”，我们得到集合“若 ，且，则 ”的结论. 你能类比实数的关系，得出更多集合间基本关系的结论吗？ 实数 集合 对于实数，有. 对于实数， 如果，且，那么. 对于集合，有. 对于集合， 如果，且，那么. 子集的性质 6 结论 任何一个集合是它本身的子集，即 对于集合， 如果，且，那么. 1 2 例题解析 7 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 例1 解： 集合的所有子集为 真子集为 例题解析 7 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： 例2 解： （1）因为3不是8的约数， 所以集合A不是集合B的子集. （1），； （2），. （2）因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集. 跟踪训练 8 1. 写出集合 的所有子集. 解： 集合 的所有子集为 跟踪训练 8 2. 用适当的符号填空： （1） ； （2）0 ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （1）将集合A，B表示在同一数轴上，如图所示. 0 1 A B 由图易知 . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （2）∵ ，且 ，， ∴ 能被6整除的数也一定能被3整除，反之不一定， ∴ . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （3） 即 A=B . 小结及随堂练习 02 课堂小结 1 集合间的 基本关系 集合𝐴是集合𝐵的子集 集合𝐴与集合𝐵相等 集合𝐴是集合𝐵的真子集 不含任何元素的集合 集合𝐴中任意一个元素都是集合𝐵中的元素 空集 若 ，且 若，但，且 (或) (或) 随堂练习 2 1、已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 由已知 是正方形，则 必是矩形，所以. 随堂练习 2 2、已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） ① ② ③ ④ 【解析】 ∵ ， 则，集合与集合之间不能与属于符号，所以①不正确； ，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确； ，符合子集的定义，所以③正确； 符合子集的定义，所以④正确. 因此，正确的式子有2个，故选B. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 2 3、下列正确表示集合和关系的Venn图是（ ） 【解析】 由，知 ，故选 B. A. B. C. D. N M N M N M M N 随堂练习 2 4、若集合，，则满足的集合的个数为（ ） 【解析】 ∵ 集合，， 则满足的集合有： 、、、、、 、、，共8个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 随堂练习 2 5、已知集合，，若是的子集，则实数的取值范围为（ ） 【解析】 因为，，且， 所以分 或 两种情况： A. B. C D. 当 时，；当 时，，解得 . 综上，实数的取值范围为. 随堂练习 2 6、已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是 . 【解析】 因为集合有且仅有两个子集， 所以集合仅有一个元素，即方程仅有一根， 当时，方程化为 ，，符合题意； 当时，，解得此时或，符合题意. 综上所述 或 . 0 或±1 随堂练习 2 7、设集合，，若，则 . 【解析】 因为集合，， 若 ，则 或 ， 2 解得 或 当 时，不成立， 当 ，时，，，满足条件， 所以 . 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （1）当，即时，，满足题意； 当，即时，要使成立， （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 则有 ， 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 结合 解得 . 综上，实数 的取值范围是 . （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （2）当时， ，共8个元素， 所以的非空真子集的个数为 . （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （3）若不存在实数使，同时成立， 则A，B没有公共元素. 当，即时，，满足题意； （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 当，即时，要使A，B没有公共元素， （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 则有 或 ， 解得 . 综上所述，实数的取值范围是 . 授课：XXX 谢谢观看 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 集合间的基本关系 授课：XXX 学习目标 理解集合之间的包含与相等的含义. 01 能识别给定集合的子集，了解空集含义. 02 能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养. 03 核心素养 逻辑推理 由集合的元素的关系推导集合之间的关系. 数学抽象 集合间的关系的含义. 数学运算 由集合与集合之间的关系求值. 知识回顾 集合的概念 含义 集合中元素的性质 元素与集合的关系 集合的表示方法 元素 集合 确定性 互异性 无序性 自然语言 列举法 描述法 情景导入 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？ 类比实数的学习. 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系. 例如：对两个数，应有 或 或 . 而对于两个集合 ，它们之间是否也有类似的关系呢？ 集合间的基本关系 01 子集 1 观察下面两个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1），； （2）为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，为这个班全体学生组成的集合. 可以发现：集合的任何一个元素都是集合的元素. 这时我们说集合包含于集合，或集合包含集合. 集合与集合也有这种关系. 子集 1 写法 （或 ） 读法 “A包含于B”（或“B包含A”） 通俗来讲，谁“大”开口就朝谁. 与大于、小于符号类似. 子集 一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. Venn 图 2 为了更直观地理解包含关系，数学上经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做Venn图. B A 集合A与集合B的包含关系 可以用上图表示. Venn 图 2 注意 表示集合的Venn图得到边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线. 用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显，画图时要注意区分“大小”关系. 1 2 集合相等 3 ，是等腰三角形. 集合和集合存在包含关系吗？你可以类比到实数中的什么关系吗？ 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合都是由所有等腰三角形组成的集合. 即集合中任何一个元素都是集合中的元素，同时，集合中任何一个元素也都是集合中的元素. 这样，集合的元素与集合的元素是一样的，即这两个集合相等. 集合相等 3 一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 . 也就是说，若 ，且，则 . 集合包含与相等的联系 集合相等 3 集合A与集合B的相等关系 可用Venn图表示： A(B) 集合相等 3 由“若 ，且，则 ”，你能联想到两个数之间的什么关系？ 联想到了实数中的结论： 若，，则 . 可见 中包含 的情况，是否有更准确的符号表示（1）和（2）的关系呢？ 真子集 4 真子集 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合是集合的真子集. 写法 （或 ） 读法 “A真包含于B”（或“B真包含A”） 例如，在（1）， 中， ，但 ，且 ，所以集合A是集合B的真子集. 真子集 4 集合A与集合B的真包含关系 可用Venn图表示： B A 空集 5 观察下列集合，并指出集合中的元素是什么. 因为方程 没有实数根， 所以方程 的实数根组成的集合中没有元素. 空集 空集 5 规定 空集是任何集合的子集. 空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 空集是任何非空集合的真子集，即 (为非空集合). 空集只有一个子集，即它的本身. 空集 5 你能举出几个空集的例子吗？ 方程 的解组成的集合. 不等式 的解集. 空集 5 ∅，0，{0} 与 {∅} 之间有怎样的关系？ 比较对象 ∅ 与 0 ∅ 与 {0} ∅ 与 {∅} 相同点 不同点 关系 都表示无的意思 都是集合 都是集合 ∅ 是集合 0 是实数 ∅ 不含任何元素 {0} 含有一个元素0 ∅ 不含任何元素 {∅}含有一个元素∅ 或 空集 5 包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释. 包含关系发生在两个集合之间，而属于关系发生在元素与集合之间. 与 的区别： 表示元素与集合之间的关系，如 ，； 表示集合与集合之间的关系，如 ，. 再如 ， 等， 不能写成 ，. 子集的性质 6 与实数类比，“若，且，则”，我们得到集合“若 ，且，则 ”的结论. 你能类比实数的关系，得出更多集合间基本关系的结论吗？ 实数 集合 对于实数，有. 对于实数， 如果，且，那么. 对于集合，有. 对于集合， 如果，且，那么. 子集的性质 6 结论 任何一个集合是它本身的子集，即 对于集合， 如果，且，那么. 1 2 例题解析 7 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 例1 解： 集合的所有子集为 真子集为 例题解析 7 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： 例2 解： （1）因为3不是8的约数， 所以集合A不是集合B的子集. （1），； （2），. （2）因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集. 跟踪训练 8 1. 写出集合 的所有子集. 解： 集合 的所有子集为 跟踪训练 8 2. 用适当的符号填空： （1） ； （2）0 ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （1）将集合A，B表示在同一数轴上，如图所示. 0 1 A B 由图易知 . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （2）∵ ，且 ，， ∴ 能被6整除的数也一定能被3整除，反之不一定， ∴ . 跟踪训练 8 3. 判断下列两个集合之间的关系： （1）； （2）； （3）. 解： （3） 即 A=B . 小结及随堂练习 02 课堂小结 1 集合间的 基本关系 集合𝐴是集合𝐵的子集 集合𝐴与集合𝐵相等 集合𝐴是集合𝐵的真子集 不含任何元素的集合 集合𝐴中任意一个元素都是集合𝐵中的元素 空集 若 ，且 若，但，且 (或) (或) 随堂练习 2 1、已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 由已知 是正方形，则 必是矩形，所以. 随堂练习 2 2、已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） ① ② ③ ④ 【解析】 ∵ ， 则，集合与集合之间不能与属于符号，所以①不正确； ，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确； ，符合子集的定义，所以③正确； 符合子集的定义，所以④正确. 因此，正确的式子有2个，故选B. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 2 3、下列正确表示集合和关系的Venn图是（ ） 【解析】 由，知 ，故选 B. A. B. C. D. N M N M N M M N 随堂练习 2 4、若集合，，则满足的集合的个数为（ ） 【解析】 ∵ 集合，， 则满足的集合有： 、、、、、 、、，共8个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 随堂练习 2 5、已知集合，，若是的子集，则实数的取值范围为（ ） 【解析】 因为，，且， 所以分 或 两种情况： A. B. C D. 当 时，；当 时，，解得 . 综上，实数的取值范围为. 随堂练习 2 6、已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是 . 【解析】 因为集合有且仅有两个子集， 所以集合仅有一个元素，即方程仅有一根， 当时，方程化为 ，，符合题意； 当时，，解得此时或，符合题意. 综上所述 或 . 0 或±1 随堂练习 2 7、设集合，，若，则 . 【解析】 因为集合，， 若 ，则 或 ， 2 解得 或 当 时，不成立， 当 ，时，，，满足条件， 所以 . 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （1）当，即时，，满足题意； 当，即时，要使成立， （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 则有 ， 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 结合 解得 . 综上，实数 的取值范围是 . （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （2）当时， ，共8个元素， 所以的非空真子集的个数为 . （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 （3）若不存在实数使，同时成立， 则A，B没有公共元素. 当，即时，，满足题意； （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 随堂练习 2 8、已知集合，. 【解析】 当，即时，要使A，B没有公共元素， （1）若，求实数的取值范围 ； （2）当时，求的非空真子集的个数； （3）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围. 则有 或 ， 解得 . 综上所述，实数的取值范围是 . 授课：XXX 谢谢观看 $$