专题强化04：二次函数综合大题题型归纳（8大题型）培优-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化04：二次函数综合大题题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：动点问题 · 题型二：线段问题 · 题型三：周长问题 · 题型四：面积问题 · 题型五：角度问题 · 题型六：特殊三角形问题 · 题型七：特殊四边形问题 · 题型八二次函数与其他知识交汇综合 【题型探究】 题型一：动点问题 1．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 题型二：线段问题 1．（2023秋·全国·九年级专）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 题型三：周长问题 5．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标； (3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标． 题型四：面积问题 7．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)当P是抛物线顶点时，求面积． (3)在P点运动过程中，求面积的最大值． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 题型五：角度问题 9．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 10．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于和两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过点E作直线轴于H，过点C作于F． (1) 求抛物线解析式； (2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长； (3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六：特殊三角形问题 11．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 题型七：特殊四边形问题 13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 14．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 题型八二次函数与其他知识交汇综合 15．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N． (1)若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标； (2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由． 16．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图抛物线，与轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最大，求此点P的坐标； (3)点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 【专题强化】 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 19．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 20．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标. 21．（2024·山东聊城·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）且，抛物线与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一点，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若P是y轴上一动点，当值最小时，求点P的坐标． (3)点M为抛物线上一动点，且横坐标为，过点M作轴交直线于点Q，过点M作轴，交抛物线于点N，求的最大值． 22．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标． 23．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 24．（23-24九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标． 25．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线． (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 27．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 28．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 30．（23-24九年级上·山西朔州·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化04：二次函数综合大题题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：动点问题 · 题型二：线段问题 · 题型三：周长问题 · 题型四：面积问题 · 题型五：角度问题 · 题型六：特殊三角形问题 · 题型七：特殊四边形问题 · 题型八二次函数与其他知识交汇综合 【题型探究】 题型一：动点问题 1．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 题型二：线段问题 1．（2023秋·全国·九年级专）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过P点作轴交于于E点，直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于、两点， ∴ ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点E，如图，    ∵抛物线交y轴于点C， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析． 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． 题型三：周长问题 5．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 6．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标； (3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)有最大值1．点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查了抛物线的解析式求解以及二次函数与线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）把，代入抛物线即可求解； （2）求出直线的解析式，设可得，进一步可得，即可求解； （3）作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为点N．据此即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中得： ， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为． 把，代入， 得， ∴． ∴直线的解析式为． 设， 在中，令，得， ∴． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时点P的坐标为． （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点M的坐标为． 作点A关于x轴的对称点E，则， 连接与x轴的交点即为点N，则， 此时，周长，即周长最小， 设直线的解析式为，把，代入， 有． 解得． ∴直线的解析式为． 当时，， ∴． 题型四：面积问题 7．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)当P是抛物线顶点时，求面积． (3)在P点运动过程中，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）由题意分别将、代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式； （2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点，进而利用割补法求面积； （3）根据题意过点作轴交于点并设点的坐标为()，则点的坐标为，进而得到，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：分别将、代入二次函数解析式中， 当时，，则， 当时，，， 根据二次函数的图像可知，点， 设直线的解析式为： 将，代入， 得：， 解得： ∴直线的解析式为． （2）由，将其化为顶点式为，可知顶点P为， 如图P为顶点时连接并延长交x轴于点G， 设直线的解析式为， 将P点和C点代入得，解得， 则的解析式为， 即G为， 那么=3； （3）过点作轴交于点． 设点的坐标为()，则点的坐标为 ∴， 当时，取最大值，最大值为． ∵， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴， 由抛物线的对称性可知：点与点关于对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点， 设，如图所示，过点作轴交于点， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值是， ∴， 此时点坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键． 题型五：角度问题 9．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，最短路径，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得当最大时，的周长最大，设D点坐标为，求出直线的解析式，可得F点的坐标为，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 10．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于和两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过点E作直线轴于H，过点C作于F． (1) 求抛物线解析式； (2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长； (3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)在直线l上，存在点G，使，点G的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过，得出，即可求得的长； （3）连接，得出，过D点作，交直线l于，过D点作，交直线l于，则，求得直线的解析式为，求出直线的解析式为，即可求出点的坐标，设的坐标为，再利用两点间距离公式表示，，，根据勾股定理求出n的值， 即可得到的坐标，问题得到解答． 【详解】（1）∵抛物线交轴于和， ∴， 解得， 即所求抛物线的解析式为. （2）在中,令,则， ∴ ∵,轴 ∴轴 ∴点F的纵坐标为3， 把代入，， 解得（舍去）, ， ∴ ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∵,， ∴， ∵， ∴； （3）连接， ∵， ∴， 过D点作，交直线l于，过D点作，交直线l于，则， ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为，把点C和点E的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 设的坐标为， 则，，， 由勾股定理得到，， 即 解得， ∴； 综上，在直线l上，存在点G，使，点G的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质、勾股定理等知识，数形结合思想的应用是解题的关键． 题型六：特殊三角形问题 11．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）先求出，由旋转的性质得到，则，解方程求出，再把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线，设，则，，，分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 解方程得， ∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧， ∴， 设经过A、B、C的抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴经过A、B、C的抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键． 12．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将点、代入计算即可得； （2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，将用含的式子表示出来，利用二次函数的性质求解即可得； （3）设点的坐标为，先求出，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得， 所以此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，最大，最大值为， ， 所以当最大时，点的坐标为． （3）解：二次函数的对称轴为直线， 则可设点的坐标为， 所以，，， ①当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得或， 所以此时点的坐标为或； ②当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； ③当时，以点为顶点的三角形为直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 题型七：特殊四边形问题 13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①最大值为；②存在，点P有或或． 【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）①过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； ②分三种情况进行讨论分析：当、和为对角线时，利用中点坐标公式列式计算求解即可． 【详解】（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）解：①过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， 则， ∴ ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 此时点E的坐标为； ②如图：、， ，对称轴为直线， 设，， a．当为对角线时， 则， 即， ，所以； b．当为对角线时， 则， 即， ，所以； c．当为对角线时， 则， 即 ，所以 所以，符合题意的点P有或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想． 14．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)满足题意的点M的横坐标为2或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）连接，交对称轴于点P，连接，当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再把代入即可求解； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出点M的横坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： 连接，交对称轴于点P，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴； （3）解：，， 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍），或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍），或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得或， ∴或 综上所述，满足题意的点M的横坐标为2或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 题型八二次函数与其他知识交汇综合 15．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N． (1)若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标； (2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为， (2)取最大值时，点N是的中点．理由见解析 【分析】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，属二次函数与一次函数综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）①由待定系数法即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （2）求出，有最大值，此时，即可求解． 【详解】（1）解：①点、点在直线上时，则点、的坐标分别为：、． 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； ②设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为，此时点； （2）解：设直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 故有最大值，此时， 即， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则的中点坐标得横坐标为：， 点恰好是的中点． 16．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图抛物线，与轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最大，求此点P的坐标； (3)点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在点满足要求，点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合， （1）用待定系数法求二次函数表达式； （2）根据抛物线特征得出当三点共线时，最大，求出直线的解析式为，即可求出结论； （3）设直线与轴交于点，过点作于，先求出直线的解析式为，证出，设点，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的对称性得，点关于抛物线对称轴的对称点是点A， ， ， 当三点共线时，最大， 如图，连接，并延长交抛物线的对称轴于点， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 点； （3）存在满足条件，理由如下： 抛物线与轴交于两点， 点， ， 顶点为， 点为，点， 直线的解析式为：， 如图，设直线与轴交于点，过点作于， 点， ， ， ， ， ， ， 设点， 点到直线的距离等于点到点A的距离， ， ， ，即， ， ， 存在点满足要求，点坐标为或． 【专题强化】 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式； （2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答． （3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答． 此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，， 故点的坐标为， ，两点的纵坐标相同， 轴， 点到的距离为， ． （3）解：∵，，， ∴关于对称轴对称， ∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接， 此时周长最小， ∵， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得出， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴． 19．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值是13 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）设交点式，再确定，然后把点坐标代入求出即可； （2）由于，则，所以，再利用点和点关于直线对称得到，所以矩形的周长，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）利用数形结合的方式来求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 当时，， ， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （2）解：， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点和点关于直线对称， ， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值是13． （3）解：当时，即， 解得，， 当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时， 则， 解得； 当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时， 则， 综上所述，n的取值范围为或． 20．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，求面积的最大值； (3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）先根据一次函数的解析式求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作轴交于点，设，则，可得，根据，再根据二次函数的性质即可求解； （3）连接、，交直线于点，先求出点的坐标，结合，可得，进而得到，再结合对称性可得，推出，可得点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， ，， 把、两点的坐标分别代入线， 可得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）作轴交于点，如图， 设，则， 点是第二象限内抛物线上一点 ； ， ， 当时，的最大值为， 面积的最大值为； （3）连接、，交直线于点，如图， 令， 解得：，， ， ，， ， ∴， 点、关于直线对称， ， ， 点是纵坐标为， ． 21．（2024·山东聊城·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）且，抛物线与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一点，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若P是y轴上一动点，当值最小时，求点P的坐标． (3)点M为抛物线上一动点，且横坐标为，过点M作轴交直线于点Q，过点M作轴，交抛物线于点N，求的最大值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数表达式及二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点P，求出直线的表达式，进而求出结论； （3）先求直线解析式，设M点坐标为，Q点坐标，表示出，再利用二次函数性质求最大值即可； 【详解】（1）解：把代入中， ， 得， ∴； （2）解：在中， 当时：， ∴点D的坐标为， 当时：， ∴点A的坐标为， 作点A关于y轴的对称点E， ∵A点坐标为， ∴E点坐标为， 连接交y轴于点P， 此时最小， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为 ∴点P的坐标为  ； （3）解：如下图： 在中， 当时：， ∴点C的坐标为， 设直线解析式为，则 解得， ∴直线表达式：， 设M点坐标为， Q点坐标， ∴， ∵M和N关于对称轴对称，对称轴为直线， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时有最大值． 22．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点M的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q，设点M的坐标为，则，再根据四边形面积，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q， 设点M的坐标为，则， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 当时，，即， ∵， ∴， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大为9，此时点M的坐标为． 23．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)m有最小值， 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解． （3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由，，得 ， 即， 把A，B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于M点，如图1 由，得的解析式为， 设P点坐标为． 的长为， ， ； 由，得 ． 化简，得，解得， 点坐标为或； （3）解：m有最小值，理由如下： 在上作，如图2 作关于对称轴的对称点，连接， 取得最小值为． 在中，由勾股定理，得 ， ． 24．（23-24九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）先设二次函数的交点式为，然后将点代入函数解析式求得的值，即可得到函数的解析式； （2）先求得直线的解析式，再设点的坐标，得到点和点的坐标，进而得到和的长，然后利用二次函数的性质求得的最大值，即可得到对应的点的坐标； （3）先求得平移后的抛物线解析式，然后得到新的对称轴，设和的坐标，进而利用平行四边形的中心对称性分情况列出方程，求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可设二次函数的交点式为， 将点代入函数解析式，得， ， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，则 ，解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， 点的坐标为， ， ，， 当时，有最大值， 此时，点的坐标为 （3）解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的抛物线解析式为， 新的对称轴为直线， 设，， 以为对角线时， ， 解得：， 点的坐标为； 以为对角线时， ， 解得：， 点的坐标为； 以为对角线时， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 25．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，根据二次函数求最值，二次函数面积问题等知识． （1）直接把点代入抛物线解析式即可得出m的值，则可得出抛物线解析式． （2）①若，则，求出，B，C点的坐标，设点，然后用待定系数法求出的解析式，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，可得出，再证明是等腰直角三角形，进一步得出，则，再利用二次函数的性质即可得出当，取得最大值．②在①的条件下，，可得出当时，的面积最大，即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为， （2）①若，则， ∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， 设点 设直线BC的解析式为， ∴解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得， ∴， 由，可知 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值 ∵，符合题意，取得最大值时，． ②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下： 由①可知． ∵， ∴当时，的面积最大． 26．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线． (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数和图形面积综合，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求出点．分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴是直线． ∴， 解得， （2）由（1）得抛物线为． 当时，； 当时，． ∴点． 设对应的函数表达式为， 把代入得 ， 对应的函数表达式为， ∴点． ①当时，如图①，过点D作于点F，则． 此时． 由． 解得． ②当时，点B与D重合，四点B、C、D、E不构成四边形． ③当时，如图②，过点D作于点H，则． 此时． ． 解得（舍），（舍）． 综上所述，． 27．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，如图1， 则， ， ； ②设，由①可知， ， ， ， 解得或， 点坐标为或， 即存在满足条件的点，其坐标为或． 28．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物线与轴的交点，利用交点式即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，表示出即可求解； （3）分类讨论为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)函数最大值与最小值的差为9； (3)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把和代入解析式求得函数值，据此求解即可； （3）先求得时，的值，当线段与二次函数图象的交点分别为或时，据此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵在范围内， ∴当时，函数有最小值为； 当时，； 当时，； ∴当时，求函数最大值与最小值的差为； （3）解：令得， 解得或； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 综上，的取值范围为或． 30．（23-24九年级上·山西朔州·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)①，；②点P的坐标为；③点P的坐标为 (3)点的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的图象和性质，正确确定线段的长度是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①根据点的坐标，即可求解； ②若，则，即可求解； ③若，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则； ①则，； 故答案为：，； ②若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：（舍去）或或， 故点的坐标为：或或． 综上，点的坐标为：或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$