专题1.15 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.15 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。 【方法1】连接两点构造全等 【方法2】作垂直构造全等； 【方法3】作平行线构造全等； 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【方法5】构造双垂直等角全等； 【方法6】倍长中线构造全等； 【方法7】截长补短构造全等； 【方法8】旋转构造全等； 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【方法14】截长补短构造全等拓展； 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】连接两点构造全等； 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明． 【变式1】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，连接，设交于点P，结论：①；②；③点P在的平分线上．以上结论中正确个数为（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，点D，E分别在AB，BC上，且，，连接DE，过点C作，交DE的延长线于点F，则．的面积为 ． 【方法2】作垂直构造全等； 【例1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：． (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点． (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    【方法3】作平行线构造全等； 【例3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．   (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（21-22八年级上·山东日照·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【变式2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【例4】（23-24七年级下·山东东营·期末）已知在等腰三角形中，，点D，E在射线上，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图①，当点E在线段上，是的角平分线时，求证：（提示：延长，交于点M）． (2)如图②，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时；如图③，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，请直接写出线段之间的数量关系，不需要证明． (3)在（1）（2）的条件下，若，则______． 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ． 【方法5】构造双垂直等角构造全等； 【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F． （1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF． （2）若AB=2，求四边形DECF的面积． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【方法6】倍长中线构造全等； 【例6】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【方法7】截长补短构造全等； 【例7】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，，，分别平分和，经过点．求证：． 【变式1】（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　） A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90° 【变式2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 【方法8】旋转构造全等； 【例8】（21-22八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【变式1】（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【变式2】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【例9】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．45° 【变式2】（21-22八年级上·全国·期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是 ． 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【例10】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【变式1】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    【方法11】作平行线构造全等拓展； 【例11】（21-22九年级上·辽宁大连·期中）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【变式2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝ ． 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【例12】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【变式1】（20-21八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为    【变式2】 在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【例13】（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是 °．（用含x的式子表示） 【变式1】如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③若，则；④． 【方法14】截长补短构造全等拓展. 【例14】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.15 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。 【方法1】连接两点构造全等 【方法2】作垂直构造全等； 【方法3】作平行线构造全等； 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【方法5】构造双垂直等角全等； 【方法6】倍长中线构造全等； 【方法7】截长补短构造全等； 【方法8】旋转构造全等； 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【方法14】截长补短构造全等拓展. 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】连接两点构造全等； 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等． 方法一：连接，证明，再证明即可；方法二：连接，证明即可． 解：证明：方法一： 连接． 在和中， ， 在和中， ， ， 证明：方法二：连接． ，，， ， 【变式1】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，连接，设交于点P，结论：①；②；③点P在的平分线上．以上结论中正确个数为（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理． 根据全等三角形的判定和角平分线的性质解答即可． 解：连接 在与中， ， ∴，①正确； ∴； ∵， 在与中， ， ∴，②正确； ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即点P在的平分线上，③正确． 故选D． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，点D，E分别在AB，BC上，且，，连接DE，过点C作，交DE的延长线于点F，则．的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，连接，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，三角形的中线平分面积，求出的面积，再证明，即可． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：8． 【方法2】作垂直构造全等； 【例1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：． (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点． (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3）解：，理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 即． 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与与性质、灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 作于M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 解：如图：作于M，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法3】作平行线构造全等； 【例3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．   (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴，即． 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级上·山东日照·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 解：（1）证明：如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中， ， ∴△PDF≌△QDC（AAS），解 ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC， ∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【例4】（23-24七年级下·山东东营·期末）已知在等腰三角形中，，点D，E在射线上，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图①，当点E在线段上，是的角平分线时，求证：（提示：延长，交于点M）． (2)如图②，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时；如图③，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，请直接写出线段之间的数量关系，不需要证明． (3)在（1）（2）的条件下，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，.(3)或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型． （1）延长，交于点M．证明，得到，并利用角平分线加平行的模型证明，，从而得证； （2）延长，交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，； （3）分三种情况，利用（1）（2）中的结论结合图形，并利用线段的和差求出答案． 解：（1）如图①，延长，交于点M． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是的角平分线 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 即； （2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，， 如图②，延长，交于点M． 由①同理可证， ∴， 由①证明过程同理可得出， ∴； 当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，. 如图③，延长交于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ （3）或6 当时，图①中，， ∴； 图②中，当时，， ∵， ∴； 图③中，小于，故不存在． 故答案为：或． 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件的确定方法是解题的关键：延长交的延长线于F，证明，推出，再证明，得到，由此得到． 解：延长交的延长线于F，如下图所示： ∵平分交的延长线于E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【方法5】构造双垂直等角构造全等； 【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F． （1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF． （2）若AB=2，求四边形DECF的面积． 【答案】（1）证明见解析．（2）． 分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积． 解：（1）连CD，如图， ∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点， ∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA， ∴∠BCD=45°，∠CDA=90°， ∵DM⊥DN， ∴∠EDF=90°， ∴∠CDE=∠ADF， 在△DCE和△ADF中， ， ∴△DCE≌△ADF（ASA）， ∴DE=DF； （2）∵△DCE≌△ADF， ∴S△DCE=S△ADF， ∴四边形DECF的面积=S△ACD， 而AB=2， ∴CD=DA=1， ∴四边形DECF的面积=S△ACD=CD•DA=． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了梯形面积的计算，本题中求证是解题的关键．作，易证，求四边形的面积即可解题． 解：过点E作于点A，于点E， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积＝四边形的面积， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积为； 故选C． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；；如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，则可证明得到，根据三角形面积公式得到，进而得到，由此求解即可． 解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法6】倍长中线构造全等； 【例6】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 解：（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系．延长至，使，连接，则，证明，得到，再根据三角形三边关系进行计算即可得到答案． 解：如图设边上的中线为， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使，连接，则，   ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． ∴． 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 解：延长至E，使，连接． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 【方法7】截长补短构造全等； 【例7】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，，，分别平分和，经过点．求证：． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，证明和，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 证明：如图，在上截取，连接， ，分别平分和， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　） A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90° 【答案】C 【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果． 解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAC， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）， ∴BC＝EC，∠B＝∠AEC， ∵CB＝CD， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴∠B＝∠CDE， ∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°． 故选：C． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE． 【变式2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 【答案】 64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上截取，连接，根据“”证明即可； （2）由，求出的长，再由面积公式求得即可． 解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；64． 【方法8】旋转构造全等； 【例8】（21-22八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)在图1中，连接，为了证明结论“ ”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可． （2）把绕点逆时针旋转，使 与 重合，点 与点 对应到 ，证明 即可求得 ． 解：（1）证明：如图1， 由旋转可得 , , 四边形 为正方形 、 、 三点在一条直线上 在 和 中 （2）结论： ． 理由：如图2，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应，同（1）可证得 ,且 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． 【变式1】（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】C 【分析】过A作，过D作，垂足为E，证明，根据四边形的面积即可求解． 解：过A作，过D作，垂足为E，如图， ∴， ∵且， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积为 ． 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 【答案】，，． 【分析】通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。 解：将逆时针旋转，得到， ∵，是等边三角形，且旋转角相等，则, ∴是等边三角形. 则 又∵ ∴ 故以线段三边构成的三角形为 所以 故答案为： . 【点拨】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键. 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【例9】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【点拨】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解． 解：如图所示，连接AE． ∵AB=DE，AD=BC ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，可得AE=DE ∵AB=AC，∠BAC=20°， ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°， 在△ADE与△CBA中， ， ∴△ADE≌△CBA（ASA）， ∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°， ∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°， ∴△DCE是等腰三角形， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°， ∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°． 故选B． 【点拨】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度． 【变式2】（21-22八年级上·全国·期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是 ． 【答案】DE+BG＝EG 【分析】连接，利用全等三角形的判定和性质，求解即可． 解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下： 连接AC，如图所示， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴ 又∵∠ECG＝60°， ∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG， ∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°， 又∵∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（SAS）， ∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF， ∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°， ∴∠ECG＝∠FCG， 在△CEG和△CFG中， ， ∴△CEG≌△CFG（SAS）， ∴EG＝FG， 又∵DE＝BF，FG＝BF+BG， ∴DE+BG＝EG 故答案为：DE+BG＝EG 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【例10】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 解：（1）证明：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）证明：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点拨】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 【变式1】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 解：分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，    ∵平分， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点重合时，最大，最大值为， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    【答案】3 【分析】过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长． 解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3．    【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【例11】（21-22九年级上·辽宁大连·期中）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 解：（1）∠DEF＝∠ACE．理由如下： 证明：∵∠DEC是△ACE的外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ACE， ∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF， ∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE， ∵∠CEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠ACE； （2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵EM∥AC， ∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE， ∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM， ∴ED＝EM， 又∵EF＝EC， ∴△DEF≌△MEC（SAS）， ∴∠EDF＝∠EMC， ∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°， ∴∠BDF＝∠EMC， ∵EM∥AC， ∴∠DEM＝∠A， ∵∠A＝∠CEF， ∴∠DEM＝∠CEF， ∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝， ∴∠EMD＝∠EFC， ∴∠BDF＝∠EFC； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵EG＝AG， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°， ∴∠DAC＝∠GED， ∵∠CEF＝∠DAC， ∴∠DEG＝∠CEF， ∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF， 即∠GEF＝∠DEC， ∵△DEF≌△MEC， ∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC， 又∵EF＝EC， ∴△EFG≌△ECD（ASA）， ∴GF＝DC， ∴DC﹣MC＝GF﹣DF， 即GD＝DM， ∵EM∥AC， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 解：如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 【变式2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝ ． 【答案】2 【分析】过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，证明△ADG是等边三角形，再证明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，进而证明∠BDE＝30°，得EH＝BD，再根据三角形的面积公式求得BD． 解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD， ∵∠DAG＝∠BAC＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AD＝AG＝DG， ∵AD＝CE， ∴AB+AG＝AC+AD， ∴BG＝CD， 在△BDG和△DEC中， ， ∴△BDG≌△DEC（SAS）， ∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°， ∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°， ∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴EH＝DE， ∴EH＝BD， ∵△DBE的面积为2， ∴，即， ∴BD＝2 ． 故答案为2． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形． 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【例12】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 【变式1】（20-21八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为    【答案】 【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题； 解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ∵， ， ∴≌ ， ， ， 即， ， 故答案为．    【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】 在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【例13】（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是 °．（用含x的式子表示） 【答案】（180﹣） 【分析】延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO，由等腰三角形的性质可得∠E＝＝90°﹣，由“SAS”可证△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°﹣，由角平分线的性质和外角的性质可求解． 解：如图，延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO， ∵AB＝OC﹣AC， ∴AB+AC＝OC＝AE+AC， ∴EC＝OC， ∴∠E＝∠EOC， ∴∠E＝＝90°﹣， ∵AO平分∠NAC， ∴∠NAO＝∠OAC， ∵∠BAC＝∠EAN， ∴∠EAO＝∠BAO， 在△EAO和△BAO中， ， ∴△EAO≌△BAO（SAS）， ∴∠E＝∠ABO＝90°﹣， ∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O， ∴OB平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABO＝180°﹣x°， ∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠NAC＝180°﹣x+180°﹣2x＝360°﹣3x， ∴∠OAC＝180°﹣， 故答案为：（180﹣）． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 【变式1】如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根据线段的和可得结论； ②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：； ④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论． 解：①过点E作EH⊥AB于H，如图1， ∵∠ABC=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴EH=BH， ∵AE平分∠CAB， ∴EH=CE， ∴CE=BH， 在△ACE和△AHE中， ∵ ， ∴△ACE≌△AHE(AAS)， ∴AH=AC， ∴AB−AC=AB−AH=BH=CE， 故①正确； ②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135° 故②正确； ③如图2，延长BD、AC交于点G， ∵AD平分∠BAG，AD⊥BG， ∴BD=DG， ∴CD是Rt△BCG的斜边的中线， ∴CD=BD， ， ∴∠DBC=∠DCB=22.5°， ∴∠CBG=∠CAE=22.5°， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCG， ∴△ACE≌△BCG， ∴ ， 故③正确； ④∵AB=AG=AC+CG， ∵BG=2CD>AC，CD>CG， ∴AB≠3CD， 故④错误， 故选B． 【点拨】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键. 【变式2】（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的． 解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， （SAS）， ，，故②是正确的； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ，故③是正确的； ， ， ， ， ， ， 故④是正确的． 故答案为：②③④． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键． 【方法14】截长补短构造全等拓展. 【例14】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 解：（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答． 解：在BE上截取BG＝DF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ADF与△ABG中 ， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠FAE＝∠GAE， 在△AEG与△AEF中 ， ∴△AEG≌△AEF（SAS） ∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4． 故选：B． 【点拨】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角性质，在上截取，连接，证明，得到，，由三角形内角和定理得到，由三角形外角性质得到，得到，进而得到，由平分，可得到，进而得到，即可求证，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 解：证明：在上截取，连接， ∵平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$