24.4弧长和扇形面积（课件+教学设计）-【数学一起课件】初中数学九年级上册同步PPT课件（人教版）

一起课件 专注教学课件制作 24.4弧长和扇形公式 一、内容及其解析 （一）内容 弧长和扇形公式 （二）内容解析 1.内容本质 弧长公式用于计算圆弧的长度，‌其基本公式为，‌其中代表圆心角的度数，代表半径。‌这个公式描述了圆弧的长度与圆心角和半径之间的关系。‌此外，‌弧长公式还涉及到圆心角与弧度的转换，‌即圆心角弧度数等于圆心角角度数乘以。‌ 扇形面积公式用于计算扇形的面积，‌其基本公式为​，‌其中代表圆心角的度数，‌代表半径。‌这个公式描述了扇形面积与圆心角和半径之间的关系。‌扇形面积的计算也可以采用弧度制，‌即如果圆心角采用弧度单位，‌则扇形面积公式可以简化为，‌其中代表圆心角的弧度数。‌ 2.蕴含的思想和方法 弧长和扇形公式的推导和应用蕴含了数学中的基本思想和方法，‌包括几何图形的性质分析、‌公式推导和实际应用。‌ 首先，‌弧长和扇形公式的推导基于几何图形的性质分析。‌弧长和扇形面积的计算涉及到对几何图形的理解和分析。‌弧长公式和扇形面积公式的推导，‌需要对扇形的几何特性有深入的理解，‌包括扇形的定义、‌扇形与圆的关系等。‌这些公式的推导过程体现了从具体到抽象的思维过程，‌通过对具体图形的分析，‌总结出适用于一般情况的公式。‌ 其次，‌这些公式的应用体现了数学中的方法论。‌弧长和扇形公式的应用不仅限于计算，‌还包括对几何图形的性质和关系的探索。‌例如，‌通过弧长公式，‌可以计算圆的某一段弧的长度，‌这在几何、‌物理等领域有广泛的应用。‌而扇形面积公式则用于计算扇形的面积，‌这在建筑设计、‌工程计算等方面非常有用。‌ 最后，‌这些公式还体现了数学中的精确性和逻辑性。‌弧长和扇形公式的推导和应用都需要严格的数学逻辑和精确的计算。‌ （三）教学重点 1.弧长、扇形面积公式的导出及应用. 2.圆锥侧面积和全面积的计算公式的探索与运用. 二、教学目标及及教学难点 （一）教学目标 1.掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算. 2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力、分析问题、解决问题的能力. 3.了解圆锥母线的概念； 4.理解圆锥侧面面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用. （二）教学难点 1.对图形的分析. 2.探索圆锥侧面积计算公式. （三）教学理念 以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源 四、教学过程 （一）复习导入 1.半径为3cm的圆的周长是_____cm，面积是_____cm2. 2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为_____. 【设计意图】通过复习导入，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂. （二）探究新知 活动一 与弧长相关的计算 思考 (1)半径为R的圆，周长是多少？C=2πR (2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？360° (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 (4)80°的圆心角所对的弧长是多少？ 注意：也用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义．表示圆心角的倍数，它是不带单位的. 可以用表示的长. 师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析. 活动二 与扇形面积相关的计算 扇形 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 问题1 半径为r的圆,面积是多少？ 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析,并一起归纳： 扇形面积公式：半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积：​ 注意： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ 圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大. 圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大. 师生活动：教师提问并引导学生思考，学生积极作答，教师对学生的答案进行评析,并一起总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. 问题4：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：S扇形= 其中l为扇形的弧长，R为半径. 活动三 锥及相关概念 圆锥的相关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高. 母线有无数条，且都相等. 圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：h2+r2=l2 思考 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为 【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养 （三）应用新知，解决问题 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 解：由弧长公式，可得的长 (mm) 因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm) 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 解：连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵ OC=0.6m，DC=0.3m ∴ OD=OC-DC=0.3(m)，∴ OD=DC 又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线 ∴ AC=AO=OC，从而 ∠AOD=60°，∠AOB=120° 有水部分的面积：S=S扇形OAB-S△OAB =×0.62-AB•OD =0.12π-×0.6×0.3 ≈0.22(m2) 弓形面积 弓形面积＝扇形面积±三角形的面积 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？ 解：右图是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2=1.8m；上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4(m). 圆柱的底面圆的半径 侧面积为 圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡. 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养. （四）反思小结，构建网络 1.本节课是按照什么思路来进行学习的？ 2.本节课学习了知识？ 3.本节课的学习用到了哪些思想方法？ 4.你还有什么其他收获？ 【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养. （五）巩固练习，深化提高 1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积S扇= ． 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)？ 解：因为弧长公式 所以 (m) 答：这段圆弧所在圆的半径R大约为8.5m. 3.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 解：圆锥的底面周长是80πcm 侧面积是×80π×50=2000π(cm2) 因此，制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮100×2000π=200000π(cm2)=20π(m2) 【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识 五、板书设计 24.4弧长和扇形公式 知识点区 PPT展示区 例题讲解区 学科网（北京）股份有限公司 $$null 弧长和扇 形面积 九年级上 数学 人教版 24.4 授课人：一起课件 1 学习内容 掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算. 01 通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力、分析问题、解决问题的能力. 02 了解圆锥母线的概念. 03 掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算. 04 2 复习导入 1.半径为3cm的圆的周长是_______cm，面积是_______cm2. 2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为_______. 18.84 28.26 根据图形得：小圆扫过的阴影部分的面积是 32 故答案为32． 3 新知探究 半径为的圆，周长是多少？ 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ 360° 与弧长相关的计算 4 新知探究 1°的圆心角所对的弧长是多少？ 若设半径为，°的圆心角所对的弧长为 (4)80°的圆心角所对的弧长是多少？ 与弧长相关的计算 5 新知探究 注意：也用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义。表示𝟏°圆心角的倍数，它是不带单位的。 ( ( 与弧长相关的计算 6 新知探究 与弧长相关的计算 牛刀小试 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“ 展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直 长度(结果取整数)。 ( 解：由弧长公式，可得的长 因此所要求的展直长度 7 新知探究 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 与扇形面积相关的计算 8 新知探究 问题1 半径为的圆，面积是多少？ 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 与扇形面积相关的计算 9 新知探究 与扇形面积相关的计算 180° r O 90° O r 45° O r n° O r 圆心角占周角比例 扇形占圆面积比例 扇形的面积 10 新知探究 与扇形面积相关的计算 180° r O 90° O r 45° O r n° O r 圆心角占周角比例 扇形占圆面积比例 扇形的面积 扇形面积公式：半径为的圆中，圆心角为°的​ 扇形的面积：​ 11 新知探究 与扇形面积相关的计算 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ ①公式中的意义。表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）。 注意 12 新知探究 与扇形面积相关的计算 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ 圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大。 13 新知探究 与扇形面积相关的计算 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ 圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大。 扇形的面积与圆心角、半径有关。 14 新知探究 与扇形面积相关的计算 问题4 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 比较扇形面积公式和弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：扇形其中为扇形的弧长，为半径。 15 新知探究 与扇形面积相关的计算 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)。 解：连接，，作弦的垂直平分线，垂足为，交于点，连接 ， 牛刀小试 16 新知探究 与扇形面积相关的计算 又 ， 是线段的垂直平分线 ， 从而 ，有水部分的面积：扇形 ​• 17 新知探究 与扇形面积相关的计算 弓形面积扇形面积三角形的面积 18 新知探究 圆锥及相关概念 19 新知探究 圆锥及相关概念 母线有无数条，且都相等。 圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系： 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 圆锥的相关概念 20 新知探究 圆锥及相关概念 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为 思考 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 21 新知探究 圆锥及相关概念 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(取3.142，结果取整数)？ 实际问题 数学问题 牛刀小试 22 新知探究 圆锥及相关概念 解：根据题意，下部圆柱的底面积为，高；上部圆锥的高 圆柱的底面圆的半径 侧面积为 圆锥的母线长侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡 23 课堂小结 弧长 弓形面积扇形面积三角形的面积 扇形的弧长：， 圆锥的侧面积：， 圆锥的全面积： ​ 扇形面积： 24 课后练习 1.已知半径为的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积扇 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是，弧所对的圆心角是。这段圆弧所在圆的半径是多少米(结果保留小数点后一位)？ 25 课后练习 3.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 26 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$