24.1.2垂直与弦的直径（课件+教学设计）-【数学一起课件】初中数学九年级上册同步PPT课件（人教版）

垂直于弦 的直径 九年级上 数学 人教版 24.1.2 授课人：一起课件 1 学习目标 重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。 难点：1.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分。 2 情境导入 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 问题： 3 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形;圆有无数条对称轴 探究新知 a 问题2 你是怎么得出结论的？ 圆的对称轴 用折叠的方法 4 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 探究新知 a 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 圆的对称轴 5 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上。 证明：如图，设是的任意一条直径，为上点，以外的任意一点.过点作′，交于点′，垂足为， 连接，′。 在′中， ′ ′是等腰三角形 又 ′ 探究新知 圆的对称轴 6 探究新知 圆的对称轴 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 ′ 即是′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线的对称点′，因此关于直线对称.即 7 探究新知 从前面的证明我们知道，如果的直径垂直于弦′，垂足为，那么点和点′是对称点.把圆沿着直径折叠时，点与点′重合，与′重合，分别与弧′，弧′重合. 因此，′，弧′，弧′即直径平分弦′，并且平分弧 ′，弧′. 垂径定理及其推论 8 探究新知 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 · O A B C D E 是直径， ， , , . ( ( ( ( 垂径定理 定理格式 垂径定理及其推论 9 探究新知 a 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 垂径定理及其推论 10 探究新知 a 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 不是，因为没有过圆心 垂径定理及其推论 11 探究新知 a 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理及其推论 12 探究新知 解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为.经过圆心作弦的垂线，为垂足， 与相交于点，连接.根据垂径定理，是的中点，是的中点， 就是拱高。   垂径定理及其推论 13 探究新知 37，7.23. 解得27.3(). 即主桥拱半径约为27.3. 18.5(7.23) 18.5， , 7.23 垂径定理及其推论 14 课堂练习 · 1.如图，于，若的半径为10 , 6,则 解析：连接， ， 16 15 课堂练习 2.已知：中弦,求证：。 证明：作直径. ， . 则弧弧，弧弧 （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） 弧弧弧弧 弧弧 . M 16 课堂练习 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 解决有关弦的问题应该怎样做更简单呢？ 17 课堂练习 3. 如图,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7，则弓形的高为________________. 图 图 2或12 18 课堂练习 在圆中有关弦长,半径, 弦心距（圆心到弦的距离），弓形高的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 垂径定理辅助线的添加方法 19 课堂练习 弦，弦心距，弓形高，半径之间有以下关系 弓形中重要数量关系 20 课堂小结 · 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 是直径， ， , , . ( ( ( ( 垂径定理 定理格式 21 一条直线满足: ①过圆心; ②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧. 满足其中两个条件就可以推出 其它三个结论（“知二推三”） 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造利用勾股定理计算或建立方程 课堂小结 垂径定理及其推论 22 课后练习 1.已知中，弦8，圆心到的距离为3，则此圆的半径为 . 2. 的直径20, ∠30°则弦 . 23 课后练习 3.如图，在中， 、为互相垂直且相等的两条弦，于， 于，求证四边形是正方形。 · 24 课后练习 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧,点是弧的圆心),其中600, 为弧上的一点,且 ，垂足为, 90.求这段弯路的半径。 ● ┗ 25 课后练习 5. （选做）如图， 的直径为10，弦8,为上的一个动点，那么长的取值范围 。 26 $$ 一起课件 专注教学课件制作 24.1.2 垂直于弦的直径 一、内容及其解析 （一）内容 垂径定理的探索、证明和简单应用. （二）内容解析 1.内容本质 垂径定理是圆的重要性质，是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为和圆有关的其他计算、证明、作图提供了重要的方法和依据。此外，垂径定理也为研究弦、弧、圆心角关系定理提供了研究方法，圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础前提，垂径定理正是圆的轴对称性的具体体现。 垂径定理的条件是：1过圆心，2垂直于弦，结论是③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，事实上，以其中任意两个为条件都可以得出其余结论. 2.蕴含的思想和方法 在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，培养学生几何直观的数学素养. 3.知识的上下位关系 由于垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，所以在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，让学生体会图形变化的方法在发现问题、解决问题的作用，也为从圆的旋转对称性发现弦、弧、圆心角的关系起到一定的铺垫作用. .4.育人价值 由于垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，所以在研究垂径定理时，采用图形变化的方法，通过圆的轴对称性引导学生发现并证明，让学生体会图形变化的方法在发现问题、解决问题的作用， （三）教学重点 垂径定理的探索及初步应用. 二、教学目标及及教学难点 （一）教学目标 1.充分认识圆的轴对称性； 2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理； 3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图. 4..让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力； 5.让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力. 6.通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神. （二）教学难点 1.垂径定理的证明； 2.垂径定理的题设与结论的区分. 三、教学过程 （三）教学理念 以问题为主线，以学生为主轴，以教材为主源 四、教学过程 （一）情境导入 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 【设计意图】通过情境导入，以提问的方式开启本节课的学习，激发学生的学习兴趣，帮助学生明白本节课的学习内容，使学生更好的融入课堂. （二）探究新知 活动一 圆的对称 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （圆是轴对称图形。圆有无数条对称轴） 问题2 你是怎么得出结论的？（用折叠的方法） 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 活动二 垂径定理 从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合，分别与，重合. 因此， 即直径CD平分弦AA′，并且平分 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E. ∴ AE=BE，=，=. 进一步，我们还可以得到推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE ∴ CD⊥AB，=，=. 活动三 垂径定理的实际应用 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 【设计意图】通过让学生听、看、讲、想、做，充分发挥学生的主体地位，培养学生动手画图能力和几何直观的核心素养 （三）应用新知，解决问题 1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. 解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， cm 2.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD. 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则弧AM＝弧BM，弧CM＝弧DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） 弧AM－弧CM＝弧BM－弧DM ∴弧AC＝弧BD 3. 如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 【设计意图】根据桑代克的练习率以及斯金纳的强化理论，设计有针对性的练习题，并以小组合作法、问答法等多种学习方法巩固其所学，进一步培养学生数学运算的素养. （四）反思小结，构建网络 1.本节课是按照什么思路来进行学习的？ 2.本节课学习了知识？ 3.本节课的学习用到了哪些思想方法？ 4.你还有什么其他收获？ 【设计意图】针对四基设计问题，帮助学生从知识、技能、思想方法以及活动经验多角度进行反思，构建学习网络，明晰知识的来龙去脉，体会在知识形成过程所渗透的数学思想方法，从而提升数学素养. （五）巩固练习，深化提高 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 5.（选做）如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 【设计意图】除了分层布置作业以外，还需学生阅读课本，查阅相关资料，培养学生自主阅读教材的意识 五、板书设计 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点区 PPT展示区 例题讲解区 学科网（北京）股份有限公司 $$