第六讲 一元二次方程实际应用基础讲义(9个类型) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第六讲 一元二次方程实际应用 目录 【知识清单】 2 1.解决一元二次方程应用题的一般步走骤 2 2.平均变化率问题 2 3.利润问题 2 4.单循环与双循环 2 【考点一】增长率问题 3 【考点二】双循环问题 4 【考点三】单循环问题 5 【考点四】传播问题 6 【考点五】通道问题 7 【考点六】边框设计问题 9 【考点七】靠墙围栏问题 11 【考点九】几何动态问题 15 【课堂过关检测】 17 【综合达标训练】 21 【知识清单】 1.解决一元二次方程应用题的一般步走骤 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系． （2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数． （3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系． （4）列：根据等量关系列出一元二次方程． （5）解：解一元二次方程，求出未知数的值． （6）验：检验所求解的合理性． （7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”． 注意：不要忘记检验方程的解是否符合实际意义． 2.平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n 3.利润问题 常用关系式：总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 单价×销售量=销售额 利润率= 利润÷进价 4.单循环与双循环 （1）单循环问题（握手、两队打一场比赛）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为； （2）双循环问题（两队打两场比赛、互赠卡片）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为． 【考点归纳】 【考点一】增长率问题 【例1】（2024•昌平区校级开学）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　） A．25（1+x）+25（1+2x）＝109 B．25（1﹣x）2＝109 C．25（1+x）2＝109 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝109 【针对训练】1、（2024•香坊区校级开学）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　 　． 【针对训练】2、（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 【针对训练】3、（2024•海陵区校级三模）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【考点二】双循环问题 【例2】（2024•虎林市校级二模）在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学人数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【针对训练】1、（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【针对训练】2、（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 【针对训练】3、（2020秋•湖里区校级月考）中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？ 【考点三】单循环问题 【例3】（2023秋•石嘴山校级月考）某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？ 【针对训练】1、（2023秋•江岸区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 【针对训练】2、（2024•鼓楼区校级二模）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有x个，则可列方程（　　） A． B．x（x﹣1）＝28 C． D．x（x+1）＝28 【针对训练】3、（2024•南岗区校级开学）要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【考点四】传播问题 【例4】（2024春•九龙坡区校级期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（　　） A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256 C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256 【针对训练】1、（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【针对训练】2、（2024春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 　个． 【针对训练】3、（2023秋•永善县期中）诈骗是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取款额较大的公私财物的行为．某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？ 【考点五】通道问题 【例5】（2024•新疆二模）如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　 　m． 【针对训练】1、（2023秋•北海期末）如图，在长为12m，宽为8m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77m2，则道路的宽为多少m？ 【针对训练】2、（2023秋•怀仁市期末）如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．（16+2x）（10+x）＝126 B．（16+x）（10+2x）＝126 C．（16﹣2x）（10﹣x）＝126 D．（16﹣x）（10﹣2x）＝126 【针对训练】3、（2024春•栖霞市期末）某校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪． （1）如图①，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度； （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 【考点六】边框设计问题 【例6】（2024•龙岗区三模）“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 【针对训练】1、（2024•八步区三模）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（　　） A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800 C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800 【针对训练】2、（2024•海淀区校级开学）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．已知原作品的长为60cm，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【针对训练】3、（2024春•田阳区期末）如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为　 　dm，宽为　 　dm（用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x． 【考点七】靠墙围栏问题 【例7】（2023秋•崇仁县期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、AD两边），设AB＝x米． （1）若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； （2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【针对训练】1、（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【针对训练】2、（2024•西城区校级开学）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【针对训练】3、（2024•新城区校级开学）如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形ABCD分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃ABCD，那么AD的长为多少米？ 【考点八】销售利润问题 【例8】（2023秋•青羊区校级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【针对训练】1、（2024•鹿城区校级开学）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 　 　盒（用含x的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由． 【针对训练】2、（2023秋•余江区期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）当销售量为30件时，产品售价为 　 　元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【针对训练】3、（2024•滨海新区模拟）某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆． 请根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 　 　元，每天可售出 　 　盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 　 　元，每天可售出 　 　盆；（用含x的代数式表示）； （Ⅱ）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 【考点九】几何动态问题 【例9】（2024•城关区校级模拟）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【针对训练】1、（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【针对训练】2、（2023秋•焦作期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）那么运动几秒时，它们相距15cm？ （2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【针对训练】3、（2023秋•淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问： （1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ （3）P，Q两点间距离何时最小？ 【课堂过关检测】 1．（2024春•青阳县期末）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 2．（2024春•青秀区校级期末）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 3．（2024•黑龙江三模）在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．3cm 4．（2024春•宁阳县期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80 5．（2024•重庆模拟）由导演宁浩执导的电影《孤注一掷》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房约为2亿元，接下来两天票房每天按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达7.28亿元．设增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．2+2x+2x2＝7.28 B．2+2（1+x）2＝7.28 C．2（1+x）2＝7.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝7.28 二．填空题（共3小题） 6．（2023秋•三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　 　（方程化为一般形式）． 7．（2024春•道里区校级月考）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出了 　 　个小分支． 8．（2024•道里区校级模拟）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人同班，最长需要的天数是70天，则x＝　 　． 三．解答题（共6小题） 9．（2024•朝阳区校级开学）如图，要利用一面墙（墙长为25m）建羊圈（矩形ABCD），用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长BC的长度． 10．（2024春•惠山区校级期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为x米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时x的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出x的值；若不可能，请说明理由． 11．（2024•沙坪坝区校级开学）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃，据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于10%．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和脆桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 12．（2024春•诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 13．（2024•湖北模拟）某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件． （1）求该文具的进价； （2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 14．（2024•哈尔滨开学）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 【综合达标训练】 1．（2023•青羊区模拟）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（　　） A．50（1+x）2＝60 B．50（1+x）2＝120 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120 D．50（1+x）+50（1+x）2＝120 2．（2023秋•南宫市期末）某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　） A．2000（1+x）2＝2880 B．2000（1﹣x）2＝2880 C．2000（1+2x）＝2880 D．2000x2＝2880 3．某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（2024•立山区模拟）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 5．（2023秋•桃江县期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价定为x元，则可卖出（350﹣10x）件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价x．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．21（350﹣10x）＝400 B．（x﹣21）（350﹣10x）＝400 C．（21﹣x）（350﹣10x）＝400 D．21+（350﹣10x）＝400 6．（2024春•栖霞市期末）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•电白区期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　米． 8．（2023秋•晋安区校级期中）下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是“一个矩形面积864平方步，只知道宽比长少12步，问宽与长各几步”若设宽为x步，依题意可列方程为 　 　． 9．（2024•新市区校级三模）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 　 　折． 10．（2022秋•遵义月考）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有 　 　人． 11．（2024•香坊区校级开学）超市为了促销原价200元的某种化妆品，将价格进行了两次下降调整，现价为162元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率是 　 　． 三．解答题（共7小题） 12．某药店推出两类消毒液，稀释消毒液的单价是浓缩消毒液单价的2倍，用20元购买浓缩消毒液的数量比用20元购买稀释消毒液的数量多2瓶． （1）求浓缩消毒液和稀释消毒液的单价； （2）药店出售消毒液的效益逐渐增高，于是决定组合出售消毒液（稀释加浓缩），已知组合消毒液每件进价为40元，当每件售价为60元时，每周可卖出300件，为了尽快减少库存，该药店决定降价销售，经市场调查发现，每降价1元，每周可多卖出20件，设每件组合消毒液的售价为a元，当每件组合消毒液售价为多少元时，每周可获得6000元销售利润？ 13．（2023秋•大理市期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米． （1）AB＝　 　米．（用含x的代数式表示） （2）若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长． （3）矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 14．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 15．（2022秋•横县期中）某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为多少件？（用含x的式子表示） （2）当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？ 16．（2024春•顺河区校级期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）某药房最近售出了普通医用口罩和N95医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于N95医用口罩的5倍，每盒N95医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出N95医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 17．（2024•化德县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 一元二次方程实际应用 目录 【知识清单】 2 1.解决一元二次方程应用题的一般步走骤 2 2.平均变化率问题 2 3.利润问题 2 4.单循环与双循环 2 【考点一】增长率问题 3 【考点二】双循环问题 4 【考点三】单循环问题 6 【考点四】传播问题 7 【考点五】通道问题 9 【考点六】边框设计问题 11 【考点七】靠墙围栏问题 14 【考点九】几何动态问题 20 【课堂过关检测】 24 【综合达标训练】 31 【知识清单】 1.解决一元二次方程应用题的一般步走骤 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系． （2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数． （3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系． （4）列：根据等量关系列出一元二次方程． （5）解：解一元二次方程，求出未知数的值． （6）验：检验所求解的合理性． （7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”． 注意：不要忘记检验方程的解是否符合实际意义． 2.平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n 3.利润问题 常用关系式：总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 单价×销售量=销售额 利润率= 利润÷进价 4.单循环与双循环 （1）单循环问题（握手、两队打一场比赛）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为； （2）双循环问题（两队打两场比赛、互赠卡片）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为． 【考点归纳】 【考点一】增长率问题 【例1】（2024•昌平区校级开学）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　） A．25（1+x）+25（1+2x）＝109 B．25（1﹣x）2＝109 C．25（1+x）2＝109 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝109 【答案】D 【解答】解：根据题意列出方程，得25+25（1+x）+25（1+x）2＝109． 故选：D． 【针对训练】1、（2024•香坊区校级开学）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 　20%　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每次下降的百分率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得x＝20%或x（舍去）， ∴每次下降的百分率是20%； 故答案为：20%． 【针对训练】2、（2024春•宁波期末）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． （1）若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 【答案】（1）土豆平均亩产量的年增长率为20%； （2）该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 【解答】解：（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x． 根据题意，得1000（1+x）2＝1440． 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．（不合题意，舍去） 答：土豆平均亩产量的年增长率为20%． （2）设增加土豆种植面积a亩． 根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100． 解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20． 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 【针对训练】3、（2024•海陵区校级三模）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%． （2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件）， ∵43.91＜45， ∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件 【考点二】双循环问题 【例2】（2024•虎林市校级二模）在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学人数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：设参加晚会的同学人数是x，由题意得：x（x﹣1）＝110， 解得：x＝11或x＝﹣10（舍去）； 故选：C． 【针对训练】1、（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】九年级（1）班共有41名学生． 【解答】解：设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1640， 整理得：x2﹣x﹣1640＝0， 解得：x1＝41，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）． 答：九年级（1）班共有41名学生． 【针对训练】2、（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】A 【解答】解：设有x支队伍． 由题意得：x（x﹣1）＝56． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）． 故选：A． 【针对训练】3、（2020秋•湖里区校级月考）中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？ 【答案】15． 【解答】解：设这个数学兴趣小组有x名学生， x（x﹣1）＝210， 解得，x1＝15，x2＝﹣14（舍去）， 答：这个数学兴趣小组有15名学生． 【考点三】单循环问题 【例3】（2023秋•石嘴山校级月考）某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？ 【答案】参加会议的人员有20人． 【解答】解：设参加会议的人员有x人，根据题意列方程得， x（x﹣1）＝190， 解得x1＝20，x2＝﹣19（不合题意，舍去）； 答：参加会议的人员有20人． 【针对训练】1、（2023秋•江岸区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x﹣1＝21， 即21， ∴x2﹣x﹣42＝0， ∴x＝7或x＝﹣6（不合题意，舍去）． 答：应邀请7个球队参加比赛． 【针对训练】2、（2024•鼓楼区校级二模）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有x个，则可列方程（　　） A． B．x（x﹣1）＝28 C． D．x（x+1）＝28 【答案】A 【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：A． 【针对训练】3、（2024•南岗区校级开学）要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【答案】A 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 【考点四】传播问题 【例4】（2024春•九龙坡区校级期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（　　） A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256 C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256 【答案】C 【解答】解：∵每轮传染平均一个人传染x人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝256． 故选：C． 【针对训练】1、（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 【针对训练】2、（2024春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　8　个． 【答案】8． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支， 则1+x+x2＝73， 解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去）， ∴每个支干长出8个小分支． 故答案为：8． 【针对训练】3、（2023秋•永善县期中）诈骗是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取款额较大的公私财物的行为．某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？ 【答案】每个人计划发展下线7人． 【解答】解：设每个人计划发展下线x人，则第一轮发展下线2x人，第二轮发展下线2x2人， 根据题意得：2+2x+2x2＝114， 整理得：x2+x﹣56＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣8（ 不符合题意，舍去）． 答：每个人计划发展下线7人． 【考点五】通道问题 【例5】（2024•新疆二模）如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　1　m． 【答案】1． 【解答】解：设道路的宽为x m，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522， 整理得：x2﹣40x+39＝0， 解得：x1＝1，x2＝39（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为1m． 故答案为：1． 【针对训练】1、（2023秋•北海期末）如图，在长为12m，宽为8m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77m2，则道路的宽为多少m？ 【答案】1m． 【解答】解：设道路的宽为x m，则余下的部分可合成长为（12﹣x）m，宽为（8﹣x）m的矩形， 根据题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝77， 整理得：x2﹣20x+19＝0， 解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽为1m． 【针对训练】2、（2023秋•怀仁市期末）如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为126m2．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．（16+2x）（10+x）＝126 B．（16+x）（10+2x）＝126 C．（16﹣2x）（10﹣x）＝126 D．（16﹣x）（10﹣2x）＝126 【答案】C 【解答】解：设小路的入口宽度为x m， 由题意可得：（16﹣2x）（10﹣x）＝126， 故选：C． 【针对训练】3、（2024春•栖霞市期末）某校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪． （1）如图①，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度； （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 【答案】（1）2m； （2）5m． 【解答】解：（1）设道路的宽度为x m，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得：x2﹣70x+136＝0， 解得：x1＝2，x2＝68（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为2m； （2）设道路的宽度应设计为y m，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形， 根据题意得：（40﹣2y）（30﹣2y）＝40×30， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得：y1＝5，y2＝30（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为5m． 【考点六】边框设计问题 【例6】（2024•龙岗区三模）“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 【答案】C 【解答】解：设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm， 根据题意得（50+2x）（80+2x）＝5400． 故选：C． 【针对训练】1、（2024•八步区三模）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（　　） A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800 C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800 【答案】D 【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm， （80﹣2x）（50﹣2x）＝2800， 故选：D． 【针对训练】2、（2024•海淀区校级开学）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．已知原作品的长为60cm，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】装裱后左右两边的边宽均为4cm． 【解答】解：设装裱后左右两边的边宽均为x cm，则天头长与地头长均为5x cm， 由题意得：60×24（60+5x+5x）（24+x+x）， 整理得：x2+18x﹣88＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣22（不符合题意，舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽均为4cm． 【针对训练】3、（2024春•田阳区期末）如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为　（12﹣2x）　dm，宽为　（6﹣2x）　dm（用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为（12﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）． 故答案为：（12﹣2x）；（6﹣2x）． （2）依题意，得：（12﹣2x）（6﹣2x）＝40， 整理，得：x2﹣9x+8＝0， 解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为1dm． 【考点七】靠墙围栏问题 【例7】（2023秋•崇仁县期末）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、AD两边），设AB＝x米． （1）若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； （2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）x的值为10或30； （2）不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由见解析． 【解答】解：（1）∵AB＝x米， ∴AD＝（40﹣x）米， 由题意得：x（40﹣x）＝300， 即x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 即x的值为10或30． （2）不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由如下： 由题意得：x（40﹣x）＝500， 即x2﹣40x+500＝0， Δ＝（﹣40）2﹣4×1×500＝﹣400＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为500平方米的矩形花园． 【针对训练】1、（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【答案】活动场地的长为14米，宽为13米． 【解答】解：设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米， 依题意，得：x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 【针对训练】2、（2024•西城区校级开学）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】（1）AB的长为25米； （2）不能围成500平方米的矩形花园；理由见解答过程． 【解答】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12， ∴（60﹣12+2）＝25（米）， 答：AB的长为25米； （2）不能围成500平方米的矩形花园，理由如下： 若矩形花园面积为500平方米，则： （60﹣x+2）x＝500， 化简得：x2﹣62x+1000＝0， ∵Δ＝622﹣4000＝﹣156＜0， ∴该方程无解， ∴不能围成500平方米的矩形花园． 【针对训练】3、（2024•新城区校级开学）如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形ABCD分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃ABCD，那么AD的长为多少米？ 【答案】AD的长应为6米． 【解答】解：设花圃的宽AD为x米，则AB＝（27﹣3x）米， x（27﹣3x）＝54， 解得：x1＝3，x2＝6， 当x＝3时，27﹣3x＝18，不符合题意， 当x＝6时，27﹣3x＝9，符合题意， 答：AD的长应为6米． 【考点八】销售利润问题 【例8】（2023秋•青羊区校级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理，得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【针对训练】1、（2024•鹿城区校级开学）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 　（60）　盒（用含x的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由． 【答案】（1）（60）； （2）当月饼每盒售价为170元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）该商场每天所获得的利润不能达到2700元． 【解答】解：（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出（605）盒，即（60）盒， 故答案为：（60）； （2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出（605）盒，即（60）盒， 由题意得：（180﹣x﹣140）（60）＝2550， 整理得：x2+8x﹣180＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣18（不符合题意，舍去）， ∴180﹣x＝180﹣10＝170， 答：当月饼每盒售价为170元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）该商场每天所获得的利润不能达到2700元，理由如下： 设月饼每盒售价下降y元， 由题意得：（180﹣y﹣140）（60）＝2700， 整理得：y2﹣32y+240＝0， ∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×240＝﹣64＜0， ∴此方程没有实数根， ∴该商场每天所获得的利润不能达到2700元． 【针对训练】2、（2023秋•余江区期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）当销售量为30件时，产品售价为 　105　元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）110 ＝110 ＝110﹣5 ＝105（元/件）， ∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件． 故答案为：105； （2）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240， ∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）； （3）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200， 整理得：x2﹣190x+9000＝0， 解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）． 答：该产品的售价每件应定为90元． 【针对训练】3、（2024•滨海新区模拟）某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆． 请根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 　40　元，每天可售出 　40　盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 　（45﹣x）　元，每天可售出 　（20+4x）　盆；（用含x的代数式表示）； （Ⅱ）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 【答案】（Ⅰ）①40，40； ②（45﹣x），（20+4x）； （Ⅱ）每盆花应降价25元． 【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得：若每盆花降价5元，则每盆花盈利45﹣5＝40（元）； 每天可售出20+4×5＝40（盆）． 故答案为：40，40； ②根据题意得：若每盆花降价x元，则每盆花盈利（45﹣x）元； 每天可售出（20+4x）盆． 故答案为：（45﹣x），（20+4x）； （Ⅱ）根据题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2400， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， ∵要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每盆花应降价25元． 【考点九】几何动态问题 【例9】（2024•城关区校级模拟）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　3t cm　，BP＝　（16﹣3t）cm　，CQ＝　2t cm　，DQ＝　（16﹣2t）cm　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【答案】（1）3t cm，（16﹣3t）cm，2t cm，（16﹣2t）cm； （2）t＝5； （3）t或． 【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【针对训练】1、（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时， t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 【针对训练】2、（2023秋•焦作期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）那么运动几秒时，它们相距15cm？ （2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【答案】（1）运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；（2）不能． 【解答】解：（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152， 解得：t1＝9，t2＝12， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； （2）△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下： 设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米， 依题意，得：x（21﹣x）＝60， 整理，得：x2﹣21x+120＝0， ∵Δ＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0， ∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米． 【针对训练】3、（2023秋•淮安区期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问： （1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ （3）P，Q两点间距离何时最小？ 【答案】（1）5秒； （2）1.6秒或4.8秒； （3）秒． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm， 依题意，得：， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）设出发x秒后P、Q两点间的距离是10厘米． 则AP＝3x，CQ＝2x． 作QM⊥AB于M， 则PM＝|16﹣2x﹣3x|＝|16﹣5x|， （16﹣5x）2+62＝102， 解得：或， ∴P、Q出发1.6或4.8秒时，P，Q间的距离是10厘米； （3）∵， ∴当16﹣5x＝0时，即时，PQ最小． 【课堂过关检测】 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•青阳县期末）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【答案】B 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 2．（2024春•青秀区校级期末）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】A 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 即x（x﹣1）＝28． 故选：A． 3．（2024•黑龙江三模）在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．3cm 【答案】A 【解答】解：设小华添加的边框的宽度是x cm，则整个图形的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm， 根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝704， 整理得：x2+25x﹣26＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣26（不符合题意，舍去）， ∴小华添加的边框的宽度是1cm． 故选：A． 4．（2024春•宁阳县期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80 【答案】A 【解答】解：∵篱笆的总长度为25m，与墙垂直的一边长为x m， ∴平行于墙的一边长为25+1﹣2x＝（26﹣2x）m． 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 5．（2024•重庆模拟）由导演宁浩执导的电影《孤注一掷》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房约为2亿元，接下来两天票房每天按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达7.28亿元．设增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．2+2x+2x2＝7.28 B．2+2（1+x）2＝7.28 C．2（1+x）2＝7.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝7.28 【答案】D 【解答】解：∵第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元． 依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7.28． 故选：D． 二．填空题（共3小题） 6．（2023秋•三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 　x2﹣60x+864＝0　（方程化为一般形式）． 【答案】x2﹣60x+864＝0． 【解答】解：∵长与宽和为60步，且长为x步， ∴宽为（60﹣x）步． 依题意得：x（60﹣x）＝864， 即x2﹣60x+864＝0． 故答案为：x2﹣60x+864＝0． 7．（2024春•道里区校级月考）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出了 　6　个小分支． 【答案】6． 【解答】解：设每个枝干长出了x个小分支， 根据题意得：1+x+x2＝43， 整理得：x2+x﹣42＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴每个枝干长出了6个小分支． 故答案为：6． 8．（2024•道里区校级模拟）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人同班，最长需要的天数是70天，则x＝　21　． 【答案】21． 【解答】解：由题意得两个人下次轮换最长经过210次轮班， 护士x人，每个人都需要和其他x﹣1个人轮换，总共为x（x﹣1）次， 此时每两个人之间轮换了两次，由题意得，每两个人之间轮换了一次， 由此可得x（x﹣1）＝210， 解得：x＝﹣20（舍）或x＝21， 故答案为：21． 三．解答题（共6小题） 9．（2024•朝阳区校级开学）如图，要利用一面墙（墙长为25m）建羊圈（矩形ABCD），用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长BC的长度． 【答案】羊圈的边长BC的长度是20米． 【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x＝400， 解得 x1＝20，x2＝5． 则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80． ∵80＞25， ∴x2＝5舍去． 即AB＝20，BC＝20． 答：羊圈的边长BC的长度是20米． 10．（2024春•惠山区校级期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为x米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时x的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出x的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）x＝2； （2）养牛场的总面积不可能达到180平方米，理由见解答． 【解答】解：（1）∵较小长方形的宽为x米，中间再用栅栏把它分成两个面积为5：1的长方形， ∴养牛场的长为6x米，宽为（48﹣6x）米， 根据题意得：6x•（48﹣6x）＝144， 整理得：x2﹣8x+12＝0， 解得：x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，6x＝6×2＝12＜15，符合题意； 当x＝6时，6x＝6×6＝36＞15，不符合题意，舍去． 答：此时x的值为2； （2）养牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 假设有可能达到180平方米，根据题意得：6x•（48﹣6x）＝180， 整理得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，6x＝6×3＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝5时，6x＝6×5＝30＞15，不符合题意，舍去． ∴养牛场的总面积不可能达到180平方米． 11．（2024•沙坪坝区校级开学）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃，据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于10%．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和脆桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 【答案】（1）每斤哈密瓜的进价是8元，每斤脆桃的进价是2元； （2）每斤哈密瓜的售价为11元． 【解答】解：（1）设每斤脆桃的进价是x元，则每斤哈密瓜的进价是（x+6）元， 根据题意得：2， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意， ∴x+6＝2+6＝8． 答：每斤哈密瓜的进价是8元，每斤脆桃的进价是2元； （2）设每斤哈密瓜的售价为y元，则每斤哈密瓜的销售利润为（y﹣8）元，平均每天可售出205＝（160﹣10y）斤， 根据题意得：（y﹣8）（160﹣10y）+（5﹣2）×40＝270， 整理得：y2﹣24y+143＝0， 解得：y1＝11，y2＝13， ∵降价幅度不低于10%，14×（1﹣10%）＝12.6（元）， ∴y＝11． 答：每斤哈密瓜的售价为11元． 12．（2024春•诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 【答案】（1）40元； （2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由见解答． 【解答】解：（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出4010＝（140﹣2x）篮， 根据题意得：x（140﹣2x）＝2400， 整理得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40． 答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额； （2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由如下： 假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出4010＝（140﹣2y）篮， 根据题意得：y（140﹣2y）＝2500， 整理得：y2﹣70y+1250＝0， ∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元． 13．（2024•湖北模拟）某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件． （1）求该文具的进价； （2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1）该玩具的进价为5元/件； （2）y＝﹣10x2+210x﹣800； （3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元． 【解答】解：（1）设该玩具的进价为x元/件，根据题意，得： ， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原方程的解，也符合题意， ∴该玩具的进价为5元/件； （2）由题意，得， 故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800； （3）∵每件文具利润不超过80%， ∴，得x≤9， ∴文具的销售单价为6≤x≤9， 由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5， ∵对称轴为x＝10.5， ∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大， ∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280， 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元． 14．（2024•哈尔滨开学）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆． （1）若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？ 【答案】（1）25%； （2）21个． 【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意可得：64（1+x）2＝100， 解得：x＝0.25或﹣2.25（舍去）， 0.25＝25%， 答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%； （2）设该小区可建室内车位a个，则露天车位150000﹣5000a 1000个， 根据题意可得：，解得：， ∵a为整数， ∴小区最多可建室内车位21个． 答：小区最多可建室内车位21个． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 16:34:38；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共6小题） 1．（2023•青羊区模拟）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（　　） A．50（1+x）2＝60 B．50（1+x）2＝120 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120 D．50（1+x）+50（1+x）2＝120 【答案】D 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：50（1+x）， 三月份生产机器为：50（1+x）2； 又知二、三月份共生产120台； 所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2＝120． 故选：D． 2．（2023秋•南宫市期末）某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　） A．2000（1+x）2＝2880 B．2000（1﹣x）2＝2880 C．2000（1+2x）＝2880 D．2000x2＝2880 【答案】A 【解答】解：根据题意得2000（1+x）2＝2880． 故选：A． 3．某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【解答】解：设该校八年级共有班级x个， 根据题意得：x（x﹣1）＝21， 整理得：x2﹣x﹣42＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴该校八年级共有班级7个． 故选：B． 4．（2024•立山区模拟）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【答案】A 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：A． 5．（2023秋•桃江县期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价定为x元，则可卖出（350﹣10x）件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价x．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．21（350﹣10x）＝400 B．（x﹣21）（350﹣10x）＝400 C．（21﹣x）（350﹣10x）＝400 D．21+（350﹣10x）＝400 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400． 故选：B． 6．（2024春•栖霞市期末）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 【答案】A 【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m， 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•电白区期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 8．（2023秋•晋安区校级期中）下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是“一个矩形面积864平方步，只知道宽比长少12步，问宽与长各几步”若设宽为x步，依题意可列方程为 　x（x+12）＝864　． 【答案】x（x+12）＝864． 【解答】解：若设宽为x步，则长为（x+12）步， 依题意得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 9．（2024•新市区校级三模）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打 　九　折． 【答案】九． 【解答】解：设这件商品每次打x折， 依题意得：100×（）2＝81， 解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 即这件商品每次打九折销售． 故答案为：九． 10．（2022秋•遵义月考）在一次同学聚会上，参加聚会的每两个同学都要握手一次．若所有参加聚会的同学共握手45次，则参加此次聚会的同学有 　10　人． 【答案】10． 【解答】解：设参加此次聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝﹣9（不符合题意，舍去），x2＝10， ∴参加此次聚会的同学有10人． 故答案为：10． 11．（2024•香坊区校级开学）超市为了促销原价200元的某种化妆品，将价格进行了两次下降调整，现价为162元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率是 　10%　． 【答案】10%． 【解答】解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， ∴每次下降的百分率为10%． 故答案为：10%． 三．解答题（共7小题） 12．某药店推出两类消毒液，稀释消毒液的单价是浓缩消毒液单价的2倍，用20元购买浓缩消毒液的数量比用20元购买稀释消毒液的数量多2瓶． （1）求浓缩消毒液和稀释消毒液的单价； （2）药店出售消毒液的效益逐渐增高，于是决定组合出售消毒液（稀释加浓缩），已知组合消毒液每件进价为40元，当每件售价为60元时，每周可卖出300件，为了尽快减少库存，该药店决定降价销售，经市场调查发现，每降价1元，每周可多卖出20件，设每件组合消毒液的售价为a元，当每件组合消毒液售价为多少元时，每周可获得6000元销售利润？ 【答案】（1）浓缩消毒液的单价是5元/瓶，稀释消毒液的单价是10元/瓶； （2）当每件组合消毒液售价为55元时，每周可获得6000元销售利润． 【解答】解：（1）设浓缩消毒液的单价是x元/瓶，则稀释消毒液的单价是2x元/瓶， 根据题意得：2， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×5＝10． 答：浓缩消毒液的单价是5元/瓶，稀释消毒液的单价是10元/瓶； （2）当每件组合消毒液的售价为a元时，每件的销售利润为（a﹣40）元，每周可卖出300+20（60﹣a）＝（1500﹣20a）件， 根据题意得：（a﹣40）（1500﹣20a）＝6000， 整理得：a2﹣115a+3300＝0， 解得：a1＝55，a2＝60， 又∵要尽快减少库存， ∴a＝55． 答：当每件组合消毒液售价为55元时，每周可获得6000元销售利润． 13．（2023秋•大理市期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米． （1）AB＝　（45﹣3x）　米．（用含x的代数式表示） （2）若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长． （3）矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 【答案】（1）（45﹣3x）； （2）10米； （3）矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米． 【解答】解：（1）设篱笆BC长为x米， ∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB＝43+2﹣3x＝45﹣3x（米）． 故答案为：（45﹣3x）． （2）依题意，得：（45﹣3x）x＝150， 整理，得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当x＝5时，AB＝45﹣3x＝30＞20，不合题意，舍去； 当x＝10时，AB＝45﹣3x＝15，符合题意． 答：篱笆BC的长为10米． （3）不可能，理由如下： 依题意，得：（45﹣3x）x＝210， 整理得：x2﹣15x+70＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×70＝﹣55＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米． 14．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【解答】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2＝20应舍去， 故x＝10为所求． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 15．（2022秋•横县期中）某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为多少件？（用含x的式子表示） （2）当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？ 【答案】（1）（20+2x）件； （2）当每件服装降价20元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元． 【解答】解：（1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为（20+2x）件； （2）设每件服装降价x元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元， 根据题意得：（60﹣x）（20+2x）＝2400， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝20，x2＝30， ∵要求每件盈利不少于35元， ∴x2＝30应舍去， ∴x＝20， 答：当每件服装降价20元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元． 16．（2024春•顺河区校级期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）某药房最近售出了普通医用口罩和N95医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于N95医用口罩的5倍，每盒N95医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出N95医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了6个人； （2）售出N95医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 由题意，得1+x+x（1+x）＝49解得x1＝6，x2＝﹣8．经检验，x＝6符合题意． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． （2）设售出N95医用口罩的盒数是a盒，则售出普通医用口罩的盒数是（180﹣a）盒．总销售额为y元． 由题意，得5a≤180﹣a， 解得a≤30． y＝10a+4（180﹣a）＝6а+720． ∵6＞0， ∴y随a的增大而增大． ∴当a＝30时，y有最大值，此时180﹣30＝150． 答：售出N95医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多． 17．（2024•化德县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P，点Q运动的时间为t秒，根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t． （1）根据三角形的面积公式，得 PB•BQ＝8， t（6﹣t）＝8， t2﹣6t+8＝0， 解得t＝2或4． 故经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2； （2）根据勾股定理，得 PQ2＝BP2+BQ2＝（6﹣t）2+（2t）2＝32， 5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，x2． 故2或秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$