2.5 根的判别式及根系关系 基础讲义 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第五讲 根的判别式及根系关系 目录 【知识清单】 2 1、根的判别式 2 2．根与系数的关系 2 3． 常见的公式变形： 2 【考点一】不解方程直接判断根的情况 3 【考点二】根据根的情况求参数值或取值范围 3 【考点三】证明根的情况 4 【考点四】根的判别式与三角形 5 【考点五】由根系关系求代数式的值（对称型） 6 【考点六】由根系关系求代数式的值（非对称型） 7 【考点七】由根系关系求代数式方程的另一根 7 【考点八】由根系关系求参数的值 8 【考点九】利用同系数方程与逆系数方程构造一元二次方程 9 【课堂过关检测】 10 【综合达标训练】 13 【知识清单】 1、根的判别式 由根的判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 2．根与系数的关系 若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 根与系数的关系又叫韦达定理． 注意：（1）运用根与系数关系的前提条件是． （2）在一元二次方程中，注意隐含条件． 3． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4） 【考点归纳】 【考点一】不解方程直接判断根的情况 【例1】（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【针对训练】1、（2024•和平区校级模拟）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【针对训练】2、（2024•惠民县二模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【针对训练】3、（2024•文山市二模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【考点二】根据根的情况求参数值或取值范围 【例2】（2023秋•冠县期末）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　． 【针对训练】1、（2024•谯城区二模）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 【针对训练】2、（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 【针对训练】3、（2024•新城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围． 【考点三】证明根的情况 【例3】（2024春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 【针对训练】1、（2023秋•和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【针对训练】2、（2024•大洼区校级二模）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与m的取值有关，无法确定根的情况 【针对训练】3、（2024•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【考点四】根的判别式与三角形 【例4】（2023秋•沈丘县期末）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 【针对训练】1、（2024春•南岗区校级月考）某等腰三角形的一边长为5，另外两边长是关于x的方程x2﹣12x+k＝0的两根，则k＝　 　． 【针对训练】2、（2024春•姑苏区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【针对训练】3、（2024春•东营区期末）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①m＝2时，求△ABC的周长； ②当△ABC为等边三角形时，求m的值． 【考点五】由根系关系求代数式的值（对称型） 【例5】（2024春•鼓楼区校级期末）方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 　 　． 【针对训练】1、（2024•钢城区校级三模）已知关于x的方程2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x2+x1的值为 　 　． 【针对训练】2、（2024春•金安区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（a+1）（b+1）＝　 　． 【针对训练】3、（2024•雁塔区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【考点六】由根系关系求代数式的值（非对称型） 【例6】（2024•兴宁区校级开学）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 　 　． 【针对训练】1、（2024春•乳山市期末）若m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根，则m2﹣2024m﹣2n的值为 　 　． 【针对训练】2、（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　 　． 【针对训练】3、（2024•锦江区校级模拟）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　 　． 【考点七】由根系关系求代数式方程的另一根 【例7】（2024•顺德区三模）已知1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1 B．﹣4 C．2 D．1 【针对训练】1、（2024春•丽水期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【针对训练】2、（2024春•南岗区校级月考）已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 【针对训练】3、（2023秋•东西湖区期末）已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 【考点八】由根系关系求参数的值 【例8】（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2． （1）求实数m的取值范围； （2）满足，求m的值． 【针对训练】1、（2024•东港区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 　 　． 【针对训练】2、（2024•祁东县校级模拟）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m＝　 　． 【针对训练】3、（2023秋•亭湖区校级期末）已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值． 【考点九】利用同系数方程与逆系数方程构造一元二次方程 【例9】（2024•河东区一模）已知a、b满足，a2+2a﹣3＝0，b2+2b﹣3＝0，且a≠b，则　 　． 【针对训练】1、（2024•兴庆区校级一模）已知实数m，n满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是 　 　． 【针对训练】2、（2022春•龙口市期中）已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1＝0，2n2+4n+1＝0，则　 　． 【针对训练】3、（2023•嘉善县一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，则　 　． 【课堂过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2024•商丘模拟）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对 2．（2024•汇川区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C． D． 3．（2024•蒸湘区校级模拟）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（　　） A．2026 B．2027 C．2024 D．2029 4．（2024•大连模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•鄂伦春自治旗校级期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 6．（2024•沈丘县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•上饶期末）已知α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2024α﹣β的值等于 　 　． 8．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则　 　． 9．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 10．（2024•武都区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　． 11．（2024春•南岗区校级月考）已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 12．（2024春•招远市期末）若a、b是方程x2+4x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2+5a+b的值为 　 　． 13．（2024•赣州模拟）已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则的值为 　 　． 14．（2024•枣庄三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 16．（2024春•龙口市期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两根x1，x2，则，， 则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． 请在上面填写你发现的结论，并根据结论解答下面问题： 已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，不解方程，求下列式子的值． （1）； （2）； （3）（x1+1）（x2+1）． 17．（2023秋•高青县期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围． 18．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 19．（2024春•平谷区期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 20．（2023秋•宁强县期末）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0． （1）当该方程有实数根时，求m的范围； （2）若该方程的两个根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2，求m的值． 【综合达标训练】 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•旌阳区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝3 B．m＝2，n＝2 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣2 2．（2023秋•成华区校级月考）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．kk≠1 C．k且k≠1 D．k 3．（2024春•阜南县期末）若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 4．（2024春•余姚市期末）关于一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（2024•江阳区校级模拟）如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（　　） A．﹣4 B．2 C．2或﹣4 D．﹣2或4 6．（2023秋•镇江期中）关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别是4、﹣2，则b、c的值分别是（　　） A．﹣2、4 B．4、﹣6 C．﹣2、6 D．2、﹣8 二．填空题（共8小题） 7．（2022•修水县一模）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为 　 　． 8．（2024•叙永县模拟）已知m，n满足m2﹣m﹣2025＝0，n2﹣n﹣2025＝0（m，n是实数，且m≠n），则的值为 　 　． 9．一元二次方程x2﹣kx+3＝0的根的判别式的值是6，则k的值是　 　． 10．（1）已知方程x2+bx+3＝0的一根为，则方程的另一根为 　 　． （2）设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个根（x1＜x2），且x1+x2﹣x1•x2＝1，则x1＝　 　，x2＝　 　． 11．（2022•东坡区校级模拟）若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两根，则式子m2+2m+n的值是 　 　． 12．（2023秋•射洪市校级期中）已知α、β是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+β＝　 　． 13．（2022秋•运城月考）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+1＝0没有实数根，则m的取值范围为 　 　． 14．（2022春•洞头区期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 16．（2023秋•自流井区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围． （2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值． 17．（2023秋•江阴市校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0 （1）求证：方程有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 18．（2023秋•吉安县期末）已知方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4，求这两个根和m的值． 19．（2022秋•韩城市校级期末）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2，求m的取值范围． 20．（2023秋•三河市期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲 根的判别式及根系关系 目录 【知识清单】 2 1、根的判别式 2 2．根与系数的关系 2 3． 常见的公式变形： 2 【考点一】不解方程直接判断根的情况 3 【考点二】根据根的情况求参数值或取值范围 4 【考点三】证明根的情况 6 【考点四】根的判别式与三角形 8 【考点五】由根系关系求代数式的值（对称型） 10 【考点六】由根系关系求代数式的值（非对称型） 12 【考点七】由根系关系求代数式方程的另一根 14 【考点八】由根系关系求参数的值 15 【考点九】利用同系数方程与逆系数方程构造一元二次方程 18 【课堂过关检测】 19 【综合达标训练】 27 【知识清单】 1、根的判别式 由根的判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 2．根与系数的关系 若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 根与系数的关系又叫韦达定理． 注意：（1）运用根与系数关系的前提条件是． （2）在一元二次方程中，注意隐含条件． 3． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4） 【考点归纳】 【考点一】不解方程直接判断根的情况 【例1】（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵2k﹣5＞0， ∴k， ∵x2+2x+k＝0， ∴Δ＝22﹣4k＝4（1﹣k）， ∵k， ∴1﹣k＜0， ∴Δ＜0， ∴该方程没有实数根， 故选：A． 【针对训练】1、（2024•和平区校级模拟）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0， 所以方程没有实数根． 故选：C． 【针对训练】2、（2024•惠民县二模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【针对训练】3、（2024•文山市二模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0， ∵a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0， 则方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【考点二】根据根的情况求参数值或取值范围 【例2】（2023秋•冠县期末）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【解答】解：根据题意得， ， 解得，，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【针对训练】1、（2024•谯城区二模）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤0且k≠﹣1　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0且k≠﹣1． 故答案为k≤0且k≠﹣1． 【针对训练】2、（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k且k≠0　． 【答案】k且k≠0． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0， 解得k且k≠0． 即实数k的取值范围是k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 【针对训练】3、（2024•新城区校级开学）已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，若方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】m≤1． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得m≤1， ∴m的取值范围是m≤1． 【考点三】证明根的情况 【例3】（2024春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为a， 则， ∴k2﹣3k+2＝0， ∴（k﹣1）（k﹣2）＝0， ∴k﹣1＝0或k﹣2＝0， 解得，k＝1或k＝2． 【针对训练】1、（2023秋•和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）m； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）解：将x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0； 解得m； （2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【针对训练】2、（2024•大洼区校级二模）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与m的取值有关，无法确定根的情况 【答案】A 【解答】解：关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣5＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝（2m﹣1）2+20， ∵（2m﹣1）2≥0， ∴（2m﹣1）2+20≥20＞0， ∴方程有两个不相等的实根， 故选：A． 【针对训练】3、（2024•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣1；（2）见解析． 【解答】（1）解：当m＝2，n＝﹣5时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0， x2+2x＝5， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， x+1＝±， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）证明：当m＝n+2时， 原方程可化为x2+（n+2）x+n＝0， Δ＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根.. 【考点四】根的判别式与三角形 【例4】（2023秋•沈丘县期末）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 【答案】B 【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0， 解得：k＝27， ∴原方程为x2﹣12x+27＝0， ∴x1＝3，x2＝9， ∵3+3＜9， ∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形 ∴k＝27舍去； 当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0， 解得：k＝36， ∴原方程为x2﹣12x+36＝0， ∴x1＝x2＝6， ∵3+6＝9＞6， ∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形， ∴k＝36符合题意． 故选：B． 【针对训练】1、3． 14．（2024春•南岗区校级月考）某等腰三角形的一边长为5，另外两边长是关于x的方程x2﹣12x+k＝0的两根，则k＝　35或36　． 【答案】35或36． 【解答】解：当腰长为5时，则x＝5是方程x2﹣12x+k＝0的一个根， ∴52﹣12×5+k＝0， 解得k＝35； 当底边长为5时，则方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0， 解得k＝36； 综上所述，k的值为35或36， 故答案为：35或36． 【针对训练】2、（2024春•姑苏区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 【针对训练】3、（2024春•东营区期末）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①m＝2时，求△ABC的周长； ②当△ABC为等边三角形时，求m的值． 【答案】①； ②m＝1． 【解答】解：①m＝2时，原方程为：， 解方程得：， 当等腰三角形ABC的三边长为：时， ∵， ∴此种情况不成立； ∴等腰三角形ABC的三边长为：， ∴△ABC的周长， ②∵△ABC为等边三角形， ∴关于x的方程有两个相等是实数根， ∴， 解得：m＝1． 【考点五】由根系关系求代数式的值（对称型） 【例5】（2024春•鼓楼区校级期末）方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根分别是x1，x2， 根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝2， ∴x1+x2﹣x1x2＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 【针对训练】1、（2024•钢城区校级三模）已知关于x的方程2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x2+x1的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2，x1x2， ∴x2+x1x1x2（x1+x2）（）． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•金安区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（a+1）（b+1）＝　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴a+b＝2，ab＝﹣3， ∴（a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1 ＝﹣3+2+1 ＝0． 故答案为：0． 【针对训练】3、（2024•雁塔区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【答案】（1）见解答； （2）0． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0． 【考点六】由根系关系求代数式的值（非对称型） 【例6】（2024•兴宁区校级开学）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 　2023　． 【答案】2023． 【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023， 故答案为：2023． 【针对训练】1、（2024春•乳山市期末）若m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根，则m2﹣2024m﹣2n的值为 　﹣4043　． 【答案】﹣4043． 【解答】解：因为m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根， 所以m2﹣2022m﹣1＝0，m+n＝2022， 则m2﹣2022m＝1， 所以m2﹣2024m﹣2n＝m2﹣2022m﹣2（m+n）＝1﹣2×2022＝﹣4043． 故答案为：﹣4043． 【针对训练】2、（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根， ∴m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，m+n＝2022，mn＝2023， ∴m2﹣2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1， ∴（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝2023﹣2022+1＝2， 故答案是：2． 【针对训练】3、（2024•锦江区校级模拟）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　﹣18　． 【答案】﹣18． 【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m2+3m﹣1＝0，且m≠0，m+n＝﹣3， ∴m2＝﹣3m+1， ∴m3＝﹣3m2+m， ∴m3﹣5m+5n ＝﹣3m2+m﹣5m+5n ＝﹣3（﹣3m+1）﹣4m+5n ＝5m+5n﹣3 ＝5（m+n）﹣3， ∴原式＝5×（﹣3）﹣3＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【考点七】由根系关系求代数式方程的另一根 【例7】（2024•顺德区三模）已知1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1 B．﹣4 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：设方程x2﹣3x+m＝0的另外一个根为x2， ∵1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根， ∴（1）+x2＝3， 解得x2＝2， 故选：C． 【针对训练】1、（2024春•丽水期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：∵方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是， ∴m﹣m＝0， ∴m＝1， ∴方程为2x2﹣x﹣1＝0， （2x+1）（x﹣1）＝0， ∴2x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1． 故另一个根为1． 故选：C． 【针对训练】2、（2024春•南岗区校级月考）已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a， 则有：，即：． 故答案为：． 【针对训练】3、（2023秋•东西湖区期末）已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 【答案】k＝7，另一根为4． 【解答】解：∵方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3， ∴32﹣k×3+12＝0， 解得k＝7， 设另一根为x， ∵3x＝12， ∴x＝4， ∴另一根为4． 【考点八】由根系关系求参数的值 【例8】（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2． （1）求实数m的取值范围； （2）满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）m＝1． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0， ∴； （2）∵x1，x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 解得：m＝﹣3或m＝1， ∵， ∴m＝1． 【针对训练】1、（2024•东港区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m， ∵α+2β＝5， ∴α＝﹣1，β＝3， ∴﹣m＝3×（﹣1）＝﹣3， ∴m＝3， 故答案为：3． 【针对训练】2、（2024•祁东县校级模拟）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝（4m）2﹣4×2m， ＝16m2﹣8m， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2， ∴4m2﹣2， （8m﹣3）（8m+1）＝0， 解得：m1，m2， 当m1时，Δ＝1683＜0，不符合题意，舍去； 当m2时，Δ＝168×（）0，符合题意； 综上，m． 故答案为：． 【针对训练】3、（2023秋•亭湖区校级期末）已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8 ＝8m﹣4≥0， ∴m； （2）∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∴由x1+x2＝x1x2得2（m+1）＝m2+2， 解得：m1＝0，m2＝2， ∵m， ∴m＝2． 【考点九】利用同系数方程与逆系数方程构造一元二次方程 【例9】（2024•河东区一模）已知a、b满足，a2+2a﹣3＝0，b2+2b﹣3＝0，且a≠b，则　　． 【答案】． 【解答】解：∵a2+2a﹣3＝0，b2+2b﹣3＝0，且a≠b， ∴a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根， 解方程x2+2x﹣3＝0得x＝1或x＝﹣3， 不妨设a＝1，b＝﹣3， ∴， 故答案为：． 【针对训练】1、（2024•兴庆区校级一模）已知实数m，n满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是 　﹣6或2　． 【答案】﹣6或2． 【解答】解：当实数m，n（m≠n） 满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根， ∴m+n＝2，mn＝﹣1， ∴； 当实数m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，且m＝n时， ∴； 故答案为：﹣6或2． 【针对训练】2、（2022春•龙口市期中）已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1＝0，2n2+4n+1＝0，则　2或6　． 【答案】2或6． 【解答】解：当m≠n时， 由于m、n是方程2x2+4x+1＝0的两根， ∴m+n＝﹣2，mn， ∴原式6， 当m＝n时， ∴原式＝1+1＝2， 故答案为：2或6． 【针对训练】3、（2023•嘉善县一模）已知2m2﹣8m﹣3＝0，，且m≠n，则　　． 【答案】． 【解答】解：由题意知：m≠0，n≠0， 把2m2﹣8m﹣3＝0变形为， ∵，，且m≠n， ∴把，看成3x2+8x﹣2＝0的两个实数根， ∴． 故答案为：． 【课堂过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2024•商丘模拟）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0， ∴（m+3）×02+0+m2+2m﹣3＝0， 即m2+2m﹣3＝0， 解得：m＝1或﹣3． 又关于x的方程的另一根不为0， 所以Δ＞0， 即1﹣4（m+3）（m2+2m﹣3）＞0， 解得：m∈（﹣∞，+∞），当m＝﹣3时，m+3＝0，此方程不可能有两根， 故选：A． 2．（2024•汇川区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵x2﹣3x﹣5＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 3．（2024•蒸湘区校级模拟）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（　　） A．2026 B．2027 C．2024 D．2029 【答案】C 【解答】解：由题意知，a2+2a﹣2026＝0，a+b＝﹣2， ∴a2+2a＝2026， ∴a2+3a+b ＝（a2+2a）+（a+b） ＝2026﹣2 ＝2024， 故选：C． 4．（2024•大连模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+3＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2+3）≥0， 解得m． 故选：C． 5．（2023秋•鄂伦春自治旗校级期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠0． ∴k的取值范围为k且k≠0． 故选：D． 6．（2024•沈丘县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 则． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•上饶期末）已知α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2024α﹣β的值等于 　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根， ∴α2﹣2023α﹣2024＝0，α+β＝2023， ∴α2﹣2023α＝2024， ∴α2﹣2024α﹣β ＝（α2﹣2023α）﹣（α+β） ＝2024﹣2023 ＝1， 故答案为：1． 8．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则　7　． 【答案】7． 【解答】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b， ∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴由根与系数的关系得：a+b＝3，ab＝1， ∴． 故答案为：7． 9．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 10．（2024•武都区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个相等的实数根，则a＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4a×（﹣2）＝0， ∴a． 故答案为：． 11．（2024春•南岗区校级月考）已知关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的一个根是1，则另一个根是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设关于x的方程3x2﹣（k﹣1）x+2＝0的两根分别为1和a， 则有：，即：． 故答案为：． 12．（2024春•招远市期末）若a、b是方程x2+4x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2+5a+b的值为 　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵a、b是方程x2+4x﹣5＝0的两个实数根， ∴a2+4a﹣5＝0，a+b＝﹣4， ∴a2+4a＝5， ∴a2+5a+b＝a2+4a+（a+b）＝5+（﹣4）＝1． 故答案为：1． 13．（2024•赣州模拟）已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则的值为 　19　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝5，x1x2＝3， 则（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×3＝19， 故答案为：19． 14．（2024•枣庄三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∵x1x2＝x1+x2， ∴m2+2＝2（m+1），即m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2． ∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）≥0， ∴8m﹣4≥0， ∴m， 故m的值是2． 故答案为：2． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•大观区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）k＝4或k＝3． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0． ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， （x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， ∴x1＝k，x2＝k+1 即AB、AC的长为k、k+1， 当AB＝BC时，即 k＝4，满足三角形构成条件； 当AC＝BC时，k+1＝4，解得 k＝3，满足三角形构成条件． 综上所述，k＝4或 k＝3． 16．（2024春•龙口市期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两根x1，x2，则，， 则x1+x2＝　　，x1x2＝　　． 请在上面填写你发现的结论，并根据结论解答下面问题： 已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，不解方程，求下列式子的值． （1）； （2）； （3）（x1+1）（x2+1）． 【答案】，； （1）3； （2）﹣1； （3）1． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两根x1，x2，则，， ∴x1+x2，x1x2； 故答案为：，； ∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1， ∴（1）（x1+x2）2﹣2x1x2＝1﹣2×（﹣1）＝3； （2）； （3）（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣1+1+1＝1． 17．（2023秋•高青县期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0， 解得：m≤4． 故m的取值范围是m≤4； （2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1， ∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8， ∴2（2m+1）+6≥8， 解得m≥0， 由（1）可得m≤4， ∴m的取值范围是0≤m≤4． 18．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）m＝2． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3≥0， 解得：， 即m的取值范围是； （2）∵x1+x2＝﹣（2m+1），， ∴， ∵， ∴2m2+4m﹣1＝15，即m2+2m﹣8＝0， 解得m＝2或m＝﹣4． ∵， ∴m＝2． 故m的值为2． 19．（2024春•平谷区期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， 无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 整理，得 2﹣k＝0． 解得 k＝2， 此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0． 解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 20．（2023秋•宁强县期末）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0． （1）当该方程有实数根时，求m的范围； （2）若该方程的两个根x1，x2满足x1+x2＝x1•x2，求m的值． 【答案】（1）m； （2）﹣1． 【解答】解：（1）由题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， ∴m． 故实数m的取值范围为m； （2）依题意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2， ∵x1x2＝x1+x2， ∴m2＝﹣（2m﹣1）， 解得m1＝﹣1（舍去），m2＝﹣1． 故m的值是﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 13:51:44；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•旌阳区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝3 B．m＝2，n＝2 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣2 【答案】B 【解答】解：将x＝1代入原方程，得：12﹣3×1+m＝0， ∴m＝2． 又∵1+n＝﹣（﹣3）， ∴n＝2． 故选：B． 2．（2023秋•成华区校级月考）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．kk≠1 C．k且k≠1 D．k 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠1． 故选：C． 3．（2024春•阜南县期末）若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限， ∴k＜0， ∵一元二次方程x2﹣x+k＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．（2024春•余姚市期末）关于一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【解答】解：由Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，知关于一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根． 故选：C． 5．（2024•江阳区校级模拟）如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（　　） A．﹣4 B．2 C．2或﹣4 D．﹣2或4 【答案】A 【解答】解：设OA＝α，OB＝β，则α+β＝﹣（2m+1）＞0，αβ＝m2﹣4， Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）≥0，解得m， ∴m的范围为m， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOB中：OA2+OB2＝AB2， 即α2+β2＝52， ∴（α+β）2﹣2αβ＝25， ∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝25， ∴2m2+4m﹣16＝0， （m+4）（m﹣2）＝0，解得m1＝﹣4，m2＝2， ∵m＝2时，m2﹣4＝0，不合题意， ∴m的值为﹣4， 故选：A． 6．（2023秋•镇江期中）关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别是4、﹣2，则b、c的值分别是（　　） A．﹣2、4 B．4、﹣6 C．﹣2、6 D．2、﹣8 【答案】D 【解答】解：4+（﹣2）， 解得b＝2； 4×（﹣2）， 解得c＝﹣8． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 7．（2022•修水县一模）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为 　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣1， 所以a+b+ab＝2+（﹣1）＝1． 故答案为：1． 8．（2024•叙永县模拟）已知m，n满足m2﹣m﹣2025＝0，n2﹣n﹣2025＝0（m，n是实数，且m≠n），则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵m，n满足m2﹣m﹣2025＝0，n2﹣n﹣2025＝0（m，n是实数，且m≠n）， ∴m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣2025， ∴， 故答案为：． 9．一元二次方程x2﹣kx+3＝0的根的判别式的值是6，则k的值是　±3　． 【答案】±3． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4×1×3＝6． 解得k＝±3． 故答案为：±3． 10．（1）已知方程x2+bx+3＝0的一根为，则方程的另一根为 　　． （2）设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个根（x1＜x2），且x1+x2﹣x1•x2＝1，则x1＝　1　，x2＝　2　． 【答案】（1）； （2）1，2． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为c， ∵（）c＝3， ∴c 故答案为：； （2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个根， ∵x1+x2＝m，x1x2＝2， ∵x1+x2﹣x1x2＝1， ∴m﹣2＝1， 解得m＝3， ∴x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2． 故答案为：1，2． 11．（2022•东坡区校级模拟）若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两根，则式子m2+2m+n的值是 　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1， ∴m2+2m+n＝m+n+1， ∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴m+n＝﹣1， ∴m2+2m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 12．（2023秋•射洪市校级期中）已知α、β是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+β＝　2022　． 【答案】2022． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根， ∴将x＝α代入原方程得：α2﹣α﹣2021＝0， ∴α2＝α+2021，α+β＝1， ∴α2+β＝α+β+2021＝1+2021＝2022． 故答案为：2022． 13．（2022秋•运城月考）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+1＝0没有实数根，则m的取值范围为 　m　． 【答案】m． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+1＝0没有实数根， ∴Δ＜0，即（﹣1）2﹣4×1×（﹣m+1）＜0， 解得，m， 故答案为：m． 14．（2022春•洞头区期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　10　． 【答案】10． 【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0， 解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2， 在等腰△ABC中， ①4为底时，则b＝a＝2， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形； ②4为腰时，b＝4， ∵2+4＞4， ∴能组成三角形， ∴△ABC的周长＝4+4+2＝10． 综上可知，△ABC的周长是10． 故答案为：10． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3． （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， ∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 16．（2023秋•自流井区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围． （2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0， ∴k， ∴实数k的取值范围为k． （2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两根为x1和x2， ∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2． ∵（x1+1）（x2+1）＝2，即x1x2+（x1+x2）+1＝2， ∴k2+2（k﹣1）+1＝2， 解得：k1＝﹣3，k2＝1． ∵k， ∴k＝﹣3． 17．（2023秋•江阴市校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0 （1）求证：方程有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程有两个实数根； （2）解：当BC为腰时：方程有一个根为5，把x＝5代入方程得52﹣5（k+3）+2k+2＝0，解得k＝4； 当BC为底时：AB＝AC，方程有两个相等实数根，Δ＝（k﹣1）2＝0，解得k＝1，此时AB＝AC＝2，不满足三边关系，舍去． 综上所述：k的值为4． 18．（2023秋•吉安县期末）已知方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4，求这两个根和m的值． 【答案】两个根为﹣4和0，m的值为0． 【解答】解：设α、β是方程x2+4x﹣2m＝0的两个根， ∵方程x2+4x﹣2m＝0的一个根比另一个根小4， ∴α+β＝﹣4，α•β＝﹣2m，α＝β﹣4， 解得：α＝﹣4，β＝0，m＝0． 故此方程的两个根为﹣4和0，m的值为0． 19．（2022秋•韩城市校级期末）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2，求m的取值范围． 【答案】m≤3． 【解答】解：因为方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根x1、x2， 所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m≥0， 解得m≤3． 故m的取值范围为m≤3． 20．（2023秋•三河市期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）2030． 【解答】（1）证明：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， 所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将x＝2代入原方程中，得4﹣4m+m2﹣1＝0， 即m2﹣4m＝﹣3， ∴﹣3m2+12m+2021＝﹣3（m2﹣4m）+2021＝﹣3×（﹣3）+2021＝2030． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 14:01:11；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$