2.1～2.4 认识和解一元二次方程 基础讲义 -2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第四讲 认识和解一元二次方程 目录 【知识清单】 2 1． 一元二次方程的概念： 2 2． 一元二次方程的一般形式 2 3． 一元二次方程的解（根） 2 4． 直接开平方法 2 5． 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 2 6． 根的判别式 3 7． 公式法解一元二次方程 3 8． 因式分解法 3 【考点一】一元二次方程的概念 4 【考点二】一元二次方程的定义，求参数的值或取值范围 5 【考点三】一元二次方程的一般形式 7 【考点四】一元二次方程的解：求字母或代数式的值 8 【考点五】用直接开平方法解一元二次方程 9 【考点六】用配方法解一元二次方程:二次项系数为1 11 【考点七】用配方法解一元二次方程：二次项系数不为1 14 【考点八】配方法的应用 17 【考点九】公式法解一元二次方程 19 【考点十】用因式分解法解一元二次方程 22 【考点十一】用整体思想解一元二次方程 26 【考点十二】解一元二次方程综合 29 【课堂过关检测】 33 【综合达标训练】 41 【知识清单】 1． 一元二次方程的概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 注意：判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准． 2． 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：，其中，，分别叫做二次项、一次项、常数项，分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 3． 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 4． 直接开平方法 直接开平方法：利用平方根的定义通过直接开平方将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根． 5． 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）移项，将常数项移到方程的右边； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （4） 配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； 6． 根的判别式 求出判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 7． 公式法解一元二次方程 先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式． 这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 8． 因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法； （2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式； （3）十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根． 【考点归纳】 【考点一】一元二次方程的概念 【例1】（2024•城厢区校级开学）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程可知是一元二次方程； 故选：． 【针对训练】1、（2023秋•曹县校级月考）下列方程中，是一元二次方程的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； ⑤是一元二次方程； 一元二次方程有3个， 故选：． 【针对训练】2、（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、含有2个未知数，故错误； 、当时不是一元二次方程，故错误； 、为分式方程，故错误； 、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确； 故选：． 【针对训练】3、（2024秋•汉川市校级月考）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【考点二】一元二次方程的定义，求参数的值或取值范围 【例2】（2023秋•新市区校级期末）关于的方程是是一元二次方程，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：关于的方程是是一元二次方程， ， 解得：， 故选：． 【针对训练】1、（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•霍邱县月考）若是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】4． 【解答】解：由题意得： 且， 解得． 即的值为4． 【针对训练】3、（2024春•池州校级月考）关于的方程， （1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【解答】解：（1）关于的方程是一元二次方程， ， ， 所以时关于的方程是一元二次方程； （2）关于的方程是一元一次方程， 且， ， 时关于的方程是一元一次方程． 【考点三】一元二次方程的一般形式 【例3】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程化成一般形式后得到二次项系数是 　1　，一次项系数是 　　，常数项是 　　． 【答案】1，2，． 【解答】解：方程整理为一般形式为， 二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是， 故答案为：1，2，． 【针对训练】1、（2024春•崇川区校级月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：由题意，，且， 解得． 故答案为：2． 【针对训练】2、（2023秋•西平县校级月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【答案】（1）一般形式是：，二次项系数是1、一次项系数是，常数项是； （2）一般形式是：，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是． 【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：，二次项系数是1、一次项系数是，常数项是； （2）一元二次方程的一般形式是：，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是． 【针对训练】3、（2023秋•江阳区校级期中）若关于的一元二次方程常数项为4，则一次项系数 　10　． 【答案】10． 【解答】解：关于的一元二次方程常数项为4， ， 解得：， 一次项系数为：． 故答案为：10． 【考点四】一元二次方程的解：求字母或代数式的值 【例4】（2024•泰安二模）若关于的一元二次方程有一个根是，则　　． 【答案】． 【解答】解：把代入方程得， 解得，， 因为， 所以的值为． 故答案为：． 【针对训练】1、（2023秋•成武县期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是 　　． 【解答】解：把代入得，解得，， 而， 所以． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024•深圳模拟）已知是关于的方程的一个根，则　11　． 【答案】11． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ， ， ． 故答案为：11． 【针对训练】3、（2024•临夏州二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：把代入一元二次方程得， 所以， 所以． 故答案为：4． 【考点五】用直接开平方法解一元二次方程 【例5】（2024春•岫岩县月考）（1）． （2）． 【答案】（1）；（2）或． 【解答】解：（1）， ， ， 解得：； （2）， ， ， ， 解得：或； 【针对训练】1、（2024春•斗门区校级期中）解方程：． 【答案】，． 【解答】解：； ， ，． 【针对训练】2、（2023秋•萍乡期末）解方程：． 【解答】解：由原方程，得 ， 则或， 整理，得 或， 解得，． 【针对训练】3、（2023秋•扬州期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ，． 【考点六】用配方法解一元二次方程:二次项系数为1 【例6】（2023秋•合川区期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2）． 【解答】解：（1），，， △， ； ，． （2）整理得：， ， 则或， ． 【针对训练】1、（2024春•船营区校级月考）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ （1）上述解答过程中，从第 　②　步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】（1）②； （2）见解析． 【解答】解：（1）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）移项得：， 配方得：，即， ， 或， ，． 【针对训练】2、（2023秋•澄海区期末）解方程：． 【答案】，． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ，． 【针对训练】3、（2023秋•武昌区校级月考）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解答】解：（1）， ， ， ， 则， 所以，． （2）， ， ， ， 则， 所以． 【考点七】用配方法解一元二次方程：二次项系数不为1 【例7】（2023秋•金台区校级月考）解下列方程： （1）； （2）（配方法）． 【答案】（1）； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， ， 解得：； （2）， ， ， 配方，得， ， 开方得：， 解得：，． 【针对训练】1、（2023秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：． 【答案】，． 【解答】解：， 方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得，． 【针对训练】2、（2023秋•泌阳县月考）下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得第一步， 移项，得第二步， 配方，得，即第三步， 由此可得第四步， ，第五步， （1）“配方法”所依据的公式是 　完全平方式　；（填“完全平方式”或“平方差公式” （2）上面解答过程，从第 　　步开始出现错误； （3）写出正确的解答过程； （4）根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）完全平方式； （2）三； （3）见解答； （4）先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）． 【解答】解：（1） “配方法”所依据的公式是完全平方式． 故答案为：完全平方式； （2）上面解答过程，从第三步开始出现错误； 故答案为：三； （3）解：， 二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得，即， 由此可得， ，； （4）配方法解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）． 【针对训练】3、（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【解答】解：（1）原方程可化为， ，即， ， ，； （2）原方程可化为， ，即， ， ，； （3）原方程可化为， ，即， ， ，； （4）原方程可化为， ，即， ， ，． 【考点八】配方法的应用 【例8】（2024春•南京期末）代数式的最小值为 　1　． 【答案】1． 【解答】解： ， ， ， 代数式的最小值为1， 故答案为：1． 【针对训练】1、（2024春•新华区期末）若，则　　． 【答案】． 【解答】解：， ， ， ， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•玄武区校级月考）已知、、是的三边长，且，其中为奇数，求的周长． 【答案】8． 【解答】解：， ， ， ，， ，， ， ， 又为奇数， ， ， 故的周长为8． 【针对训练】3、（2024春•瓜州县校级月考）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2023的最小值． 温馨提示 求代数式x2+4x+8的最小值 解：x2+4x+8 ＝x2+4x+4﹣4+8 ＝（x+2）2+4 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+4≥4 ∴x2+4x+8的最小值是4 【答案】2022． 【解答】解：m2﹣2m+2023 ＝m2﹣2m+1﹣1+2023 ＝（m﹣1）2+2022， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+2022≥2022， ∴m2﹣2m+2023的最小值是2022． 【考点九】公式法解一元二次方程 【例9】（2023•南京月考）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1），． （2）． 【解答】解：（1）， ，，， ， ， ，． （2）， ，，， ， ， ． 【针对训练】1、（2023•兰州模拟）用公式法解一元二次方程：． 【答案】，． 【解答】解：整理成一般式，得：， ，，， △， 则， ，． 【针对训练】2、（2024春•池州月考）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）， ，，， △， ， ，； （2）； ，，， △， ， ； （3）， 化简，得 ， ，，， △， 此方程无实数根． 【针对训练】3、（2024春•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：； （2）用公式法：． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）原方程整理得：， ，，， △， 则， 即，． 【考点十】用因式分解法解一元二次方程 【例10】（2024春•江岸区校级月考）用因式分解法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， ， 或， ，； （3）整理，得， ， ，； （4）提取公因式，得， 或， ，． 【针对训练】1、（2023秋•宁河区期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， ， ， 或， ，． 【针对训练】2、（2023秋•沂水县期末）用因式分解法解一元二次方程 （1） ； （2）； （2） ； （4）； （5）； （6）． 【解答】解：（1）， ， ，； （2） ， ，； （3） ， ，； （4） ， ，； （5）， ， ， ， 或， ，． （6）， ， 或， ，． 【针对训练】3、（2023秋•榆林期末）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解一元二次方程：． 原方程可化为．① 合并问类项．得．② 所以．③ 所以．④ （1）小明的解法是从第　①　步开始出现错误的，此题的正确结果是　 　； （2）用因式分解法解方程：． 【解答】解：（1）， ， ，， 或， 小明的解法是从第①步开始出现错误的，此题的正确结果是或3.2， 故答案为：①，或3.2； （2）， ， ， ，， ，． 【考点十一】用整体思想解一元二次方程 【例11】（2023秋•洞口县期中）阅读材料：解方程 时，我们可以将视为一个整体，设，则 原方程化为．解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．类比应用：运用上述方法解方程：． 【答案】，． 【解答】解：设，则原方程转化为， 整理，得． 解此方程，得，． 当时，，； 当时，，此时该方程无解． 原方程的解为，． 【针对训练】1、（2023秋•汨罗市月考）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性； 解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为．① 解得：，． 或． 解得：，，，． 根据上面的解析，解答下列问题： （1）填空：在原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到降次的目的，体现了　　的数学思想． （2）利用换元法解方程：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）换元．转化； （2），，； （3）． 【解答】解：（1）设，则原方程换元为，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为换元．转化； （2）设，则原方程换元为， ， 解得：，， 或， 解得：，，； （3）设，则原方程换元为， ， 解得：，， 即或（不合题意，舍去）， ． 【针对训练】2、（2022秋•资中县月考）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，； 当时，，． 原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：． （2）解方程：． （3）若实数满足，求的值． 【解答】解：（1）设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，，； 当时，，； （2）设，则原方程可化为，即， ， 解得：或， 当时，，即，由△知此时方程无解； 当时，，即，解得：或， 经检验和都是原分式方程的解； （3）设，则原方程可化为：，即， ， 解得：或， 即（方程无解，舍去）或， 故． 【针对训练】3、（2023•固始县校级开学）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程，就可利用该思维方式，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，解出，再求．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题： （1）若，则的值为 　0　． （2）解方程：． 【答案】（1）0； （2），． 【解答】解：（1）设，原方程转化为，解得，， 当时，；当时，（舍去）； 所以的值为0； 故答案为：0； （2）设，原方程转化为，解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，，则，解得，， 经检验，原方程的解为，． 【考点十二】解一元二次方程综合 【例12】（2023秋•太平区校级月考）解下列方程： （1）；（用配方法解一元二次方程） （2）．（用公式法解一元二次方程） （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3），； （4）． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， 整理得， △， 方程有两个不相等实数根， ， 即， ； （3）， ， ， ， ，； （4）， 整理得：， ， ， ， ， ； 【针对训练】1、（2024•朝阳区校级开学）解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）， ，，， △， 该方程有两个不相等的实数根， ， ，； （2） 化简，得：， ，，， △， 该方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【针对训练】2、（2024春•魏县校级期末）解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）方程无实数根． 【解答】解：（1）， ， ， 解得：，； （2）， ， ， 解得：，； （3）， ，，， ， ， ，； （4）， ，，， ， 方程无实数根． 【针对训练】3、（2024春•宽城县期末）如图所示，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是 　丁　． 【答案】丁． 【解答】解：， ， ， ， ， 或， ，， 这位同学是丁， 故答案为：丁． 【课堂过关检测】 一．选择题（共4小题） 1．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1， 而a+1≠0， 所以a＝1． 故选：D． 2．（2023秋•成都期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 3．（2024•阿克苏地区模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意； B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：x2+2x+5＝x3，是三元一次方程，不符合题意； D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 4．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】D 【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴3a2﹣a＝1， ∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 5．（2023秋•闵行区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：由已知方程得到：（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0． 根据题意得：m2﹣1＝0， 解得：m＝1或m＝﹣1， 当m＝1时，方程为5x＝0，不合题意， 则m的值为﹣1， 故答案为：﹣1． 6．（2024•济南二模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　x1＝0，x2＝2　． 【答案】x1＝0，x2＝2． 【解答】解：∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 7．（2024•兰陵县三模）若一元二次方程x2+mx+1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则mn的值为 　48　． 【答案】48． 【解答】解：∵（x+3）2＝n， ∴x2+6x+9＝n， x2+6x+9﹣n＝0， ∵x2+mx+1＝0， ∴m＝6，9﹣n＝1， 解得：n＝8， ∴mn＝6×8＝48， 故答案为：48． 8．（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程x2＝2023x的解是 　x1＝0，x2＝2023　． 【答案】x1＝0，x2＝2023． 【解答】解：x2﹣2023x＝0， x（x﹣2023）＝0， x＝0或x﹣2023＝0， 所以x1＝0，x2＝2023． 故答案为：x1＝0，x2＝2023． 9．（2022秋•崇川区校级月考）多项式x2﹣4x+16的最小值是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：∵x2﹣4x+16 ＝x2﹣4x+4+12 ＝（x﹣2）2+12， ∴x2﹣4x+16的最小值是12， 故答案为：12． 10．（2024春•温江区校级月考）已知x2+y2﹣6x+2y+10＝0，则xy＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵x2+y2﹣6x+2y+10＝0， ∴x2﹣6x+32+y2+2y+1＝0， ∴（x﹣3）2+（y+1）2＝0， ∴x﹣3＝0，y+1＝0， ∴x＝3，y＝﹣1， ∴xy＝3﹣1， 故答案为：． 11．（2024春•凤凰县期末）方程3x2＝12的解是　x1＝﹣2，x2＝2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3x2＝12， 系数化为1，得x2＝4， 解得x1＝﹣2，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 12．（2024春•长沙期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　10　． 【答案】10． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10， 当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为10． 故答案为：10． 三．解答题（共8小题） 13．（2024春•瓜州县校级月考）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2013的最小值． 温馨提示 求代数式x2+4x+8的最小值 解：x2+4x+8 ＝x2+4x+4﹣4+8 ＝（x+2）2+4 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+4≥4 ∴x2+4x+8的最小值是4 【答案】2012． 【解答】解：m2﹣2m+2013 ＝m2﹣2m+1﹣1+2013 ＝（m﹣1）2+2012， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+2012≥2012， ∴m2﹣2m+2013的最小值是2012． 14．（2024•宛城区校级开学）用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0；（公式法） （4）x2+10x﹣11＝0．（配方法） 【答案】（1），； （2）x1＝3，x2＝1； （3），x2＝1； （4）x1＝﹣11，x2＝1． 【解答】解：（1）∵9（x﹣2）2＝16， ∴， ∴， ∴，； （2）移项得，（3﹣x）x﹣（3﹣x）＝0， ∴（3﹣x）（x﹣1）＝0， ∴3﹣x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （3）a＝2，b＝1，c＝﹣3， ∵Δ＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0， ∴， ∴，x2＝1； （4）∵x2+10x﹣11＝0， ∴x2+10x＝11， ∴x2+10x+25＝11+25， 即（x+5）2＝36， ∴x+5＝±6， ∴x1＝﹣11，x2＝1． 15．（2023秋•凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 16．（2024春•肇源县期末）解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x11，x21； （2）x1，x2． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， x+1＝±， x11，x21； （2）3x（2x+1）＝4x+2， 3x（2x+1）＝2（2x+1）， 3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （3x﹣2）（2x+1）＝0， 3x﹣2＝0或2x+1＝0， x1，x2． 17．（2024•兴隆台区校级开学）解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）2x2﹣5x+1＝0； （3）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1＝2，x2＝2； （2）x1，x2； （3）x1＝﹣0.5，x2． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x2﹣5x+1＝0， a＝2，b＝﹣5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， 方程有两个不相等的实数根， ∴x， ∴x1，x2； （3）3x（2x+1）＝4x+2， 3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得x1＝﹣0.5，x2． 18．（2021秋•梁子湖区期中）先阅读以下材料，再解答问题： 在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4﹣5x2+4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 请解答问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　整体　的数学思想； （2）仿照以上方法解方程：（x2﹣x）2+（x2﹣x）﹣6＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由阅读材料可知解题过程中使用的换元法，体现了数学中的整体思想， 故答案为：换元，整体； （2）设x2﹣x＝t，原方程化为t2+t﹣6＝0， ∴（t+3）（t﹣2）＝0， ∴t1＝﹣3，t2＝2， ∴x2﹣x＝﹣3或x2﹣x＝2， 方程x2﹣x＝﹣3中Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，无实数根， 方程x2﹣x＝2可化为（x﹣2）（x+1）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1， ∴原方程的解为：x1＝2，x2＝﹣1． 19．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边， ∴第三边的长为2或． 20．（2024春•凤阳县月考）已知x＝a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，求的值． 【答案】2． 【解答】解：由题意，将x＝a代入方程x2﹣2024x﹣3＝0， 得a2﹣2024a﹣3＝0， ∴a2﹣3＝2024a，a2﹣2024a＝3， ∴ ＝a2﹣2023a﹣a﹣1， ＝a2﹣2024a﹣1 ＝2 ∴的值为2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 10:49:04；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•邵阳期中）将一元二次方程（2x﹣1）（x+2）＝3化成一般形式正确的是（　　） A．2x2+3x﹣5＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣5＝0 D．2x2+3x﹣2＝0 【答案】A 【解答】解：（2x﹣1）（x+2）＝3， 去括号：2x2+4x﹣x﹣2＝3， 移项：2x2+4x﹣x﹣2﹣3＝0， 合并同类项：2x2+3x﹣5＝0． 故选：A． 2．（2023秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a＞1 D．a≤2 【答案】B 【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴a﹣1≠0， 解得a≠1． 故选：B． 3．（2023秋•沙坪坝区校级月考）若x＝2是方程ax2﹣bx﹣1＝0的解，则代数式2a﹣b+1的值为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵x＝2是方程ax2﹣bx﹣1＝0的解， ∴4a﹣2b＝1， ∴2a﹣b， ∴2a﹣b+1 ． 故选：D． 4．（2023春•临潼区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　） A．0 B．±2 C．2 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0， （a﹣2）（a+2）＝0， 可得a﹣2＝0或a+2＝0， 解得：a＝2或a＝﹣2， 当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为﹣2． 故选：D． 二．填空题（共9小题） 5．（2023秋•船营区校级月考）把方程（1﹣2x）（1+2x）＝2x2﹣4化为一元二次方程的一般形式为　6x2﹣5＝0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 原方程可化为：1﹣4x2＝2x2﹣4， 整理，得6x2﹣5＝0． 故答案为：6x2﹣5＝0． 6．（2024•北京开学）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是 　x1＝0，x2＝4　． 【答案】x1＝0，x2＝4． 【解答】解：x（x﹣3）＝x， 移项，得x（x﹣3）﹣x＝0， 提取公因式x，得x（x﹣3﹣1）＝0， 整理，得x（x﹣4）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4． 故答案为：x1＝0，x2＝4． 7．（2023秋•渠县期末）将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　﹣3　． 【答案】﹣3． 【解答】解：x2﹣6x﹣10＝0， x2﹣6x＝10， x2﹣6x+9＝10+9， （x﹣3）2＝19， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 8．（2022秋•洪泽区期中）关于x的方程x2＝x的解是 　x1＝0，x2＝1　． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 9．（2024•商丘模拟）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b＝　2023　． 【答案】2023． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根， ∴a2+a＝2024，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2024﹣1＝2023． 故答案为：2023． 10．（2022春•诸暨市校级期中）若实数a，b满足a2﹣4ab+5b2﹣4b+4＝0，则ab的值为 　16　． 【答案】16． 【解答】解：∵实数a，b满足a2﹣4ab+5b2﹣4b+4＝0， ∴a2﹣4ab+4b2+b2﹣4b+4＝0， ∴（a﹣2b）2+（b﹣2）2＝0， ∴， ∴， ∴ab＝42＝16． 故答案为：16． 11．（2024春•霍邱县月考）已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝　﹣5或2　． 【答案】﹣5或2． 【解答】解：∵m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn， ∴（m2+2mn+n2）+3（m+n）＝10， ∴（m+n）2+3（m+n）﹣10＝0， ∴（m+n+5）（m+n﹣2）＝0， ∴m+n＝﹣5或m+n＝2， 故答案为：﹣5或2． 12．（2023秋•隆回县校级月考）已知等腰三角形底边长为9，腰长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的腰长为　5　． 【答案】5． 【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0， ∴（x﹣3）（x﹣5）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝3，x2＝5， 若腰长为3，此时三边长度为3、3、9，不能够成三角形； 若腰长为5，此时三边长度为5、5、9，可以构成三角形； 故答案为：5． 13．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：令方程的另一个根为m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝2， 解得m＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题） 14．（2022春•宁阳县期中）解方程 （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9； （4）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16+8＝24， ∴， ∴； （2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0， [2（x﹣3）+5（x﹣2）][2（x﹣3）﹣5（x﹣2）]＝0， 即（7x﹣16）（﹣3x+4）＝0， 解得； （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9， 5（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3）， （x﹣3）（5x﹣15﹣x﹣3）＝0， （x﹣3）（4x﹣18）＝0， 解得； （4）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0， [（2x+1）+2]2＝0， （2x+3）2＝0， 解得． 15．（2023秋•滕州市校级月考）解方程： （1）3x2+8x+4＝0（配方法）； （2）x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （3）4x（2x+1）＝3（2x+1）； （4）3x2﹣x﹣2＝0． 【答案】（1）x1，x2＝﹣2；（2）x1，x2；（3）x1，x2；（4）x1＝1，x2． 【解答】解：（1）∵3x2+8x+4＝0， ∴3x2+8x＝﹣4， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， 则x±， ∴x1，x2＝﹣2； （2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 则Δ， 即x1，x2； （3）∵4x（2x+1）＝3（2x+1）， ∴4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， 则（2x+1）（4x﹣3）＝0， ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0， 解得x1，x2； （4）∵3x2﹣x﹣2＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， 则x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2． 16．（2023秋•西平县校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，试求的值． 【答案】的值为﹣1． 【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣2023x+1＝0中得： a2﹣2023a+1＝0， ∴a2+1＝2023a，a2﹣2023a＝﹣1， ∴a2﹣2022a ＝a2﹣2022a﹣a ＝a2﹣2023a ＝﹣1， ∴的值为﹣1． 17．（2023秋•潮阳区期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值． 【答案】10． 【解答】解：把x＝1代入方程，得：a+b＝20，又a≠b 所以，10． 18．（2023秋•盐都区期中）数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下面例子： 例：求代数式x2+4x+5的最小值； 方法1： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1． ∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的最小值是1． 则代数式x2+4x+5的最小值为1． 方法2： 设x2+4x+5＝y． ∴方程x2+4x+（5﹣y）＝0有实数根． ∴b2﹣4ac＝16﹣4（5﹣y）≥0，解得y≥1． 则代数式x2+4x+5的最小值为1． 请利用上述方法解决下列问题： （1）请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值； （2）请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5，求a的值． 【答案】（1）3； （2）a＝6或﹣6． 【解答】解：（1）设﹣x2+4x﹣1＝y， ∴方程x2﹣4x+（y+1）＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝16﹣4（y+1）≥0， 解得：y≤3， 则代数式﹣x2+4x﹣1的最大值为3； （2）设x2+ax+4＝y， ∴方程x2+ax+（4﹣y）＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝a2﹣4（4﹣y）≥0， 解得：， 而x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5， 则， 解得：a＝6或﹣6． 19．（2023秋•麻城市校级月考）解下列方程． ①x2﹣5＝0； ②x2﹣4x﹣4＝0； ③3x（x﹣1）＝2﹣2x； ④（2x﹣3）2＝（x+2）2． 【答案】①x1，x2； ②x1＝2+2，x2＝2﹣2； ③x1＝1，x2； ④x1＝5，x2． 【解答】解：①∵x2﹣5＝0， ∴x2＝5， 则x，即x1，x2； ②∵x2﹣4x﹣4＝0， ∴x2﹣4x＝4， 则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8， ∴x﹣2＝±2， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2； ③∵3x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， 则x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2； ④∵（2x﹣3）2＝（x+2）2， ∴2x﹣3＝x+2或2x﹣3＝﹣x﹣2， 解得x1＝5，x2． 20．（2023秋•灌云县校级月考）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的两个实数根，求该三角形的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣16x+60＝0， （x﹣6）（x﹣10）＝0， 所以x1＝6，x2＝10， 所以另一条直角边的长8， 所以该三角形的面积6×8＝24． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 10:54:53；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 认识和解一元二次方程 目录 【知识清单】 2 1． 一元二次方程的概念： 2 2． 一元二次方程的一般形式 2 3． 一元二次方程的解（根） 2 4． 直接开平方法 2 5． 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 2 6． 根的判别式 3 7． 公式法解一元二次方程 3 8． 因式分解法 3 【考点一】一元二次方程的概念 4 【考点二】一元二次方程的定义，求参数的值或取值范围 4 【考点三】一元二次方程的一般形式 5 【考点四】一元二次方程的解：求字母或代数式的值 5 【考点五】用直接开平方法解一元二次方程 6 【考点六】用配方法解一元二次方程:二次项系数为1 7 【考点七】用配方法解一元二次方程：二次项系数不为1 8 【考点八】配方法的应用 9 【考点九】公式法解一元二次方程 10 【考点十】用因式分解法解一元二次方程 11 【考点十一】用整体思想解一元二次方程 13 【考点十二】解一元二次方程综合 16 【课堂过关检测】 17 【综合达标训练】 21 【知识清单】 1． 一元二次方程的概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 注意：判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准． 2． 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：，其中，，分别叫做二次项、一次项、常数项，分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 3． 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 4． 直接开平方法 直接开平方法：利用平方根的定义通过直接开平方将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解． 解形如的方程： 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程有两个不相等的实数根，即； 当时，方程没有实数根． 5． 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）移项，将常数项移到方程的右边； （3）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （4） 配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； 6． 根的判别式 求出判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根． （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 7． 公式法解一元二次方程 先将方程化为一般形式（）．当时，方程（）的实数根可以写成的形式． 这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式． 8． 因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法； （2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式； （3）十字相乘法． 2．可化为的方程，用因式分解法求解． 注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根． 【考点归纳】 【考点一】一元二次方程的概念 【例1】（2024•城厢区校级开学）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2023秋•曹县校级月考）下列方程中，是一元二次方程的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【针对训练】2、（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【针对训练】3、（2024秋•汉川市校级月考）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【考点二】一元二次方程的定义，求参数的值或取值范围 【例2】（2023秋•新市区校级期末）关于的方程是是一元二次方程，则　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 【针对训练】2、（2024春•霍邱县月考）若是关于的一元二次方程，求的值． 【针对训练】3、（2024春•池州校级月考）关于的方程， （1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【考点三】一元二次方程的一般形式 【例3】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程化成一般形式后得到二次项系数是 　　，一次项系数是 　　，常数项是 　　． 【针对训练】1、（2024春•崇川区校级月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 　　． 【针对训练】2、（2023秋•西平县校级月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【针对训练】3、（2023秋•江阳区校级期中）若关于的一元二次方程常数项为4，则一次项系数 　　． 【考点四】一元二次方程的解：求字母或代数式的值 【例4】（2024•泰安二模）若关于的一元二次方程有一个根是，则　　． 【针对训练】1、（2023秋•成武县期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是 　　． 【针对训练】2、（2024•深圳模拟）已知是关于的方程的一个根，则　　． 【针对训练】3、（2024•临夏州二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 　　． 【考点五】用直接开平方法解一元二次方程 【例5】（2024春•岫岩县月考）（1）． （2）． 【针对训练】1、（2024春•斗门区校级期中）解方程：． 【针对训练】2、（2023秋•萍乡期末）解方程：． 【针对训练】3、（2023秋•扬州期中）解方程： （1）； （2）． 【考点六】用配方法解一元二次方程:二次项系数为1 【例6】（2023秋•合川区期末）解方程： （1）； （2）． 【针对训练】1、（2024春•船营区校级月考）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： ① ② ③ ，④ （1）上述解答过程中，从第 　　步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【针对训练】2、（2023秋•澄海区期末）解方程：． 【针对训练】3、（2023秋•武昌区校级月考）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【考点七】用配方法解一元二次方程：二次项系数不为1 【例7】（2023秋•金台区校级月考）解下列方程： （1）； （2）（配方法）． 【针对训练】1、（2023秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：． 【针对训练】2、（2023秋•泌阳县月考）下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得第一步， 移项，得第二步， 配方，得，即第三步， 由此可得第四步， ，第五步， （1）“配方法”所依据的公式是 　　；（填“完全平方式”或“平方差公式” （2）上面解答过程，从第 　　步开始出现错误； （3）写出正确的解答过程； （4）根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议． 【针对训练】3、（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点八】配方法的应用 【例8】（2024春•南京期末）代数式的最小值为 　　． 【针对训练】1、（2024春•新华区期末）若，则　　． 【针对训练】2、（2024春•玄武区校级月考）已知、、是的三边长，且，其中为奇数，求的周长． 【针对训练】3、（2024春•瓜州县校级月考）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2023的最小值． 温馨提示 求代数式x2+4x+8的最小值 解：x2+4x+8 ＝x2+4x+4﹣4+8 ＝（x+2）2+4 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+4≥4 ∴x2+4x+8的最小值是4 【考点九】公式法解一元二次方程 【例9】（2023•南京月考）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 【针对训练】1、（2023•兰州模拟）用公式法解一元二次方程：． 【针对训练】2、（2024春•池州月考）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【针对训练】3、（2024春•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：； （2）用公式法：． 【考点十】用因式分解法解一元二次方程 【例10】（2024春•江岸区校级月考）用因式分解法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【针对训练】1、（2023秋•宁河区期末）解下列方程： （1）； （2）． 【针对训练】2、（2023秋•沂水县期末）用因式分解法解一元二次方程 （1） ； （2）； （2） ； （4）； （5）； （6）． 【针对训练】3、（2023秋•榆林期末）小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解一元二次方程：． 原方程可化为．① 合并问类项．得．② 所以．③ 所以．④ （1）小明的解法是从第　 　步开始出现错误的，此题的正确结果是　 　； （2）用因式分解法解方程：． 【考点十一】用整体思想解一元二次方程 【例11】（2023秋•洞口县期中）阅读材料：解方程 时，我们可以将视为一个整体，设，则 原方程化为．解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．类比应用：运用上述方法解方程：． 【针对训练】1、（2023秋•汨罗市月考）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性； 解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为．① 解得：，． 或． 解得：，，，． 根据上面的解析，解答下列问题： （1）填空：在原方程得到方程①的过程中，利用　　法达到降次的目的，体现了　　的数学思想． （2）利用换元法解方程：； （3）已知，求的值． 【针对训练】2、（2022秋•资中县月考）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，； 当时，，． 原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：． （2）解方程：． （3）若实数满足，求的值． 【针对训练】3、（2023•固始县校级开学）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程，就可利用该思维方式，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，解出，再求．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题： （1）若，则的值为 　　． （2）解方程：． 【考点十二】解一元二次方程综合 【例12】（2023秋•太平区校级月考）解下列方程： （1）；（用配方法解一元二次方程） （2）．（用公式法解一元二次方程） （3）； （4）． 【针对训练】1、（2024•朝阳区校级开学）解一元二次方程： （1）； （2）． 【针对训练】2、（2024春•魏县校级期末）解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【针对训练】3、（2024春•宽城县期末）如图所示，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是 　　． 【课堂过关检测】 1．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 2．（2023秋•成都期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 3．（2024•阿克苏地区模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0 4．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 二．填空题（共8小题） 5．（2023秋•闵行区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　 　． 6．（2024•济南二模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　 　． 7．（2024•兰陵县三模）若一元二次方程x2+mx+1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则mn的值为 　 　． 8．（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程x2＝2023x的解是 　 　． 9．（2022秋•崇川区校级月考）多项式x2﹣4x+16的最小值是 　 　． 10．（2024春•温江区校级月考）已知x2+y2﹣6x+2y+10＝0，则xy＝　 　． 11．（2024春•凤凰县期末）方程3x2＝12的解是　 　． 12．（2024春•长沙期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　 　． 三．解答题（共8小题） 13．（2024春•瓜州县校级月考）请你仿照旁边的提示，求代数式m2﹣2m+2013的最小值． 温馨提示 求代数式x2+4x+8的最小值 解：x2+4x+8 ＝x2+4x+4﹣4+8 ＝（x+2）2+4 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+4≥4 ∴x2+4x+8的最小值是4 14．（2024•宛城区校级开学）用合适的方法解下列方程． （1）9（x﹣2）2＝16； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）； （3）2x2+x﹣3＝0；（公式法） （4）x2+10x﹣11＝0．（配方法） 15．（2023秋•凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 16．（2024春•肇源县期末）解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 17．（2024•兴隆台区校级开学）解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）2x2﹣5x+1＝0； （3）3x（2x+1）＝4x+2． 18．（2023秋•梁子湖区期中）先阅读以下材料，再解答问题： 在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4﹣5x2+4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 请解答问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想； （2）仿照以上方法解方程：（x2﹣x）2+（x2﹣x）﹣6＝0． 19．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 20．（2024春•凤阳县月考）已知x＝a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，求的值． 【综合达标训练】 1．（2023秋•邵阳期中）将一元二次方程（2x﹣1）（x+2）＝3化成一般形式正确的是（　　） A．2x2+3x﹣5＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣5＝0 D．2x2+3x﹣2＝0 2．（2023秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a＞1 D．a≤2 3．（2023秋•沙坪坝区校级月考）若x＝2是方程ax2﹣bx﹣1＝0的解，则代数式2a﹣b+1的值为（　　） A． B．0 C． D． 4．（2023春•临潼区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　） A．0 B．±2 C．2 D．﹣2 二．填空题（共9小题） 5．（2023秋•船营区校级月考）把方程（1﹣2x）（1+2x）＝2x2﹣4化为一元二次方程的一般形式为　 　． 6．（2024•北京开学）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是 　 　． 7．（2023秋•渠县期末）将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　 　． 8．（2022秋•洪泽区期中）关于x的方程x2＝x的解是 　 　． 9．（2024•商丘模拟）设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b＝　 　． 10．（2022春•诸暨市校级期中）若实数a，b满足a2﹣4ab+5b2﹣4b+4＝0，则ab的值为 　 　． 11．（2024春•霍邱县月考）已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝　 　． 12．（2023秋•隆回县校级月考）已知等腰三角形底边长为9，腰长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的腰长为　 　． 13．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　． 三．解答题（共7小题） 14．（2022春•宁阳县期中）解方程 （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0； （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9； （4）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0． 15．（2023秋•滕州市校级月考）解方程： （1）3x2+8x+4＝0（配方法）； （2）x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （3）4x（2x+1）＝3（2x+1）； （4）3x2﹣x﹣2＝0． 16．（2023秋•西平县校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，试求的值． 17．（2023秋•潮阳区期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣20＝0的一个解，且a≠b，求的值． 18．（2023秋•盐都区期中）数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下面例子： 例：求代数式x2+4x+5的最小值； 方法1： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1． ∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的最小值是1． 则代数式x2+4x+5的最小值为1． 方法2： 设x2+4x+5＝y． ∴方程x2+4x+（5﹣y）＝0有实数根． ∴b2﹣4ac＝16﹣4（5﹣y）≥0，解得y≥1． 则代数式x2+4x+5的最小值为1． 请利用上述方法解决下列问题： （1）请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值； （2）请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5，求a的值． 19．（2023秋•麻城市校级月考）解下列方程． ①x2﹣5＝0； ②x2﹣4x﹣4＝0； ③3x（x﹣1）＝2﹣2x； ④（2x﹣3）2＝（x+2）2． 20．（2023秋•灌云县校级月考）直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的两个实数根，求该三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$