专题02 勾股定理中的最短路径问题及折叠问题（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题02 勾股定理中的最短路径问题及折叠问题 以长方体为背景的最短路径问题 1．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南·期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 4．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 5．（23-24八年级上·全国·期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 以圆柱为背景的最短路径问题 6．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 10．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 11．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 将军饮马与最短路径问题 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 13．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 14．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 15．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 16．（23-24八年级上·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 17．（23-24八年级上·重庆南川·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 折叠问题 18．（23-24八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 19．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 20．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 21．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，已知在中，，点D是边上的任意一点，以为折痕翻折，使点B落在点E处，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    22．（23-24八年级上·天津河西·期中）四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边沿直线折叠，使点B落在边上的点D处． (1)的大小=______（度）； (2)若，，用含k的代数式表示，，．则______，______，______． (3)在（2）的条件下，已知折痕的长为，求点E的坐标． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 24．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 勾股定理的应用（是否受台风影响问题） 25．（23-24八年级上·山东青岛·期中）公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 26．（23-24八年级上·河南信阳·期中）台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 27．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 29．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 4．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 5．（23-24八年级上·浙江·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 8．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时，； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 9．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 10．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间? 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理中的最短路径问题及折叠问题 以长方体为背景的最短路径问题 1．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将棱柱展开如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级上·河南·期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：， ， 在中， ， 则它爬行的最短距离为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 以圆柱为背景的最短路径问题 6．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴，， ∴在中，， ∴， 故选：． 9．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故选：． 10．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 【答案】 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，    则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为， 即， 过作交延长线于点D， ∵， ∴， 中，由勾股定理可得， ∴该圆柱底面周长为， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【详解】解：将半圆面展开可得： 米，米， 在中，（米）． 即滑行的最短距离为22米． 故选：C． 将军饮马与最短路径问题 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 13．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 【答案】 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 14．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 15．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)小智走过的最短路程为1.7千米 【详解】（1）如图： 步骤：①作A关于的对称点， ②连接交于点， 点即为所求； （2）过作交其延长线于，则四边形为矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即小智走过的最短路程为1.7千米． 16．（23-24八年级上·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 17．（23-24八年级上·重庆南川·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)60000元 【详解】（1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 折叠问题 18．（23-24八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 19．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 21．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，已知在中，，点D是边上的任意一点，以为折痕翻折，使点B落在点E处，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】12或6/6或12 【详解】解：在中，， ∴， 根据题意得：，，， 若，点E在上，如图，    ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， 即； 若，则，如图，      根据题意得： ， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，的长为12或6, 故答案为：12或6． 22．（23-24八年级上·天津河西·期中）四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边沿直线折叠，使点B落在边上的点D处． (1)的大小=______（度）； (2)若，，用含k的代数式表示，，．则______，______，______． (3)在（2）的条件下，已知折痕的长为，求点E的坐标． 【答案】(1)90 (2)，， (3) 【详解】（1）解：∵边沿直线折叠，使点落在边上的点处， ∵由折叠的性质可知：， ∵， 故答案为：90； （2）由题意可知：， ∴在中，由勾股定理得：， 即：， 由折叠的性质可知：， ∴，， 故答案为：，，； （3）设 四边形是长方形， ，，， 由折叠后点与点重合，由折叠的性质可知：， 在中，由勾股定理得： 即：，解得：， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得负值舍去， ，， 点的坐标为． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【详解】∵将直角边沿直线折叠， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 24．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 勾股定理的应用（是否受台风影响问题） 25．（23-24八年级上·山东青岛·期中）公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时， 又∵， ∴， ∴学校受影响的时间为秒． 故答案为：． 26．（23-24八年级上·河南信阳·期中）台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 27．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响，理由见解析； (3)4小时 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （3）解：当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， 小时， 答：海港C受台风影响的时间会持续4小时． 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 29．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 【答案】(1)学校受到噪音影响．理由见解析 (2)学校受影响的时间为32秒． 【详解】（1）解：学校受到噪音影响．理由如下： 如图：作于B， ∵， ∴， ∵， ∴消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响． （2）解：如图：以点A为圆心，为半径作交于C、D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵消防车的速度， ∴消防车在线段上行驶所需要的时间（秒）， ∴学校受影响的时间为32秒． 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分三种情况： （1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为． 故选：C 2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：C． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 4．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，， ∴， ∴， 当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长， 由题意知，，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则：， 连接，，    在中，， 在中，， ∵折叠， ， ， 即， 解得，即， 故选：B． 7．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)图见解析；周长最小为 【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，； （2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形； （3）解：连接，则， ，， ， 即的周长最小值为． 8．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时，； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 9．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)5小时 【详解】（1）解： 市会受到台风的影响． 理由：过点作于 中，， ， 市会受到台风的影响； （2）解：以为圆心，为半径画弧交于点、 在中，， ∵以的速度向北偏西的方向移动， ∴（小时）． 市受这次台风影响的时间为5小时． 10．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间? 【答案】(1)城会受台风影响 (2)6小时 【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为， 在中，，则， 因为，所以城会受台风影响； （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， 有勾股定理得，（千米） 则千米， 遭受台风影响的时间是：小时 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响；理由见解析． (2)7小时． 【详解】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作于H，    ∵， ∴， ∴， ∵的面积 ∴， ∴， ∵， ∴农场A会受到台风的影响； （2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴台风影响该农场持续时间是（小时）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$