专题01 勾股定理及其逆定理（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题01 勾股定理及其逆定理 勾股树问题 1．（23-24八年级上·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是 ． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 利用勾股定理求长度 4．（23-24八年级上·山东济宁·期中）中，，，，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 6．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）已知三角形的三边长分别为3、4、a，如果这个三角形是直角三角形，则 7．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 8．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 9．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，交延长线于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求、的长． 10．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 利用勾股定理求面积 11．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（    ） A． B． C．4 D．2 12．（23-24八年级上·广西崇左·期中）图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知中，中线，，，则的面积是 ． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）已知中，，周长为36，直角边，求的面积． 15．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 16．（23-24八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，过点B作于点E，与交于点F，于点D，，． (1)求证：； (2)求的面积． 赵爽弦图 17．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 18．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 19．（23-24八年级上·广东广州·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为 ．    20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    判断直角三角形 21．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·云南昭通·期中）若以下列各组数作为三角形的三边长，则能构成直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 23．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有面积分别是1，2，3，4，5的5种型号的正方形纸片各若干张，选取其中三张，按图的方式组成图案，则下列选项中，能围成直角三角形且面积最小的是（    ）． A．1，2，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．1，3，4 利用勾股定理的逆定理求解 24．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 25．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 26．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 27．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积． 28．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 29．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 勾股定理的应用(梯子问题) 30．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 31．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 32．（23-24八年级上·广西南宁·期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为 米． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 34．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 35．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 勾股定理的应用(航海问题) 36．（23-24八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东方向走了，乙往南偏东方向走了，这时两人相距 ． 37．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 38．（23-24八年级上·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 39．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 40．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 41．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等边的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，的两直角边长分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第3个；……以此类推，第个直角三角形的斜边长是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北衡水·期中）在边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，，点是的中点，平分，若，，则的长度为 ． 6．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 7．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 9．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 10．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 11．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图所示，有一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理及其逆定理 勾股树问题 1．（23-24八年级上·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是 ． 【答案】 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 利用勾股定理求长度 4．（23-24八年级上·山东济宁·期中）中，，，，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】中，，，， ， 故选：A． 5．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵点A在x轴的负半轴，以点为原点， 以的长为半径画弧， ∴点A的坐标是． ， ， 点A的横坐标介于6和5之间 故选：B． 6．（23-24八年级上·贵州黔南·期中）已知三角形的三边长分别为3、4、a，如果这个三角形是直角三角形，则 【答案】7或25 【详解】解：当4为直角边时，由勾股定理可得：； 当4为斜边时，由勾股定理可得：， 故答案为：7或25． 7．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得． ∴． 9．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，交延长线于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求、的长． 【答案】(1) (2)的长为2，的长为 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ． 设，则，． 在直角中，， ， 即， 解得， 故的长为2，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关定理与性质是解题的关键． 10．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 利用勾股定理求面积 11．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：在等腰中，，，且， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 12．（23-24八年级上·广西崇左·期中）图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由正方形的面积公式可知，， 根据勾股定理，， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知中，中线，，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】如图所示， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）已知中，，周长为36，直角边，求的面积． 【答案】 【详解】解：， ，即， 在 中, 得， 解得， ∴． 15．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，且，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式，构造辅助线将特殊角放在直角三角形中是解题的关键． 16．（23-24八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，过点B作于点E，与交于点F，于点D，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明： ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即是的平分线． ∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∴ 设，则， ∴由勾股定理可得： ，即， 解得： ∴ 赵爽弦图 17．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【答案】30 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 18．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ∵， ②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·广东广州·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为 ．    【答案】 【详解】解：设，则， 由图可得，， ， ， ， 在中， ，， ． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    【答案】9 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 判断直角三角形 21．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，故是直角三角形，故选项A不符合题意； 设， ，故是直角三角形，故选项B不符合题意； ， ，故是直角三角形，故选项C不符合题意； ，故不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 22．（23-24八年级上·云南昭通·期中）若以下列各组数作为三角形的三边长，则能构成直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故是直角三角形，故此选项符合题意； B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 23．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有面积分别是1，2，3，4，5的5种型号的正方形纸片各若干张，选取其中三张，按图的方式组成图案，则下列选项中，能围成直角三角形且面积最小的是（    ）． A．1，2，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．1，3，4 【答案】D 【详解】解：A、，无法组成直角三角形，不符合题意； B、，能组成直角三角形，两条直角边分别为，三角形的面积为； C、，能组成直角三角形，两条直角边分别为，三角形的面积为； D、，能组成直角三角形，两条直角边分别为，三角形的面积为； ∵， 故符合题意的是选项D； 估选D． 利用勾股定理的逆定理求解 24．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【详解】解：，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 25．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：，． 26．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 27．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴是直角三角形 ∴ 28．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， ，， ，， ， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 29．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 勾股定理的应用(梯子问题) 30．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 31．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 32．（23-24八年级上·广西南宁·期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为 米． 【答案】8 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)杆子底端B外移的距离小于顶端下滑距离，理由见解析 【详解】（1）解：，， ， 梯子的顶端A沿墙下滑至C点，， ， ， 由勾股定理得：， ， 即杆子底端B外移； （2）解：由（1）可知杆子底端B外移的距离为， 杆子顶端下滑距离为， ， ， ， ， 杆子底端B外移的距离小于顶端下滑距离． 34．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】(1)2米 (2)不相等，理由见解析 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：点将向外移动米； （2）解：不相等．理由如下： 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 35．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 勾股定理的应用(航海问题) 36．（23-24八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东方向走了，乙往南偏东方向走了，这时两人相距 ． 【答案】25 【详解】解∶如图， ∵甲往北偏东方向走，乙往南偏东方向走， ∴，，， ∴． 故答案为∶25． 37．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 【答案】轮船继续向东航行没有触礁的危险 【详解】解：过点C作于点D， 由题意可知，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∵， ∴轮船继续向东航行没有触礁的危险． 38．（23-24八年级上·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)货船从A港口到B港口需要5小时 (2)这艘船在本次运输中是合航行安全标准，理由见解析 【详解】（1）解：由已知得：， （海里）， （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得（海里） ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵且， ∴（海里）， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 39．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1)B，C间的距离为80 (2)这辆小汽车没有超速 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， 答：B，C间的距离为80； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：∵小汽车速度为， ， ∴这辆小汽车没有超速． 40．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 【答案】此车没有超速，详见解析 【详解】解：过点C作于点H． ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴小车平均速度 而 ∴此车没有超速． 41．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 【答案】C 【详解】解：作轴于． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等边的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：作于点，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 延长到点，使，连结，则， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为4， 故选：A 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，的两直角边长分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第3个；……以此类推，第个直角三角形的斜边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】】解：在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 依此类推，第个直角三角形的斜边长为． ∴第个直角三角形的斜边长是 故选：D． 4．（23-24八年级上·河北衡水·期中）在边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点D作于点E，    ∵边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点， ∴,, ∴, ∴， ∴， 过点作于点F， ∵边长为6的等边三角形中，为边AC上的一个三等分点， ∴,, ∴, ∴， ∴， 故选A． 5．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，，点是的中点，平分，若，，则的长度为 ． 【答案】12 【详解】解：过点E作于点F，则，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 6．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 9．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 若，如图，    ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图，    则在中，， 解得：； 若，如图，    则，解得： ∴当为等腰三角形时，的值为或或； 10．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)小智走过的最短路程为1.7千米 【详解】（1）如图： 步骤：①作A关于的对称点， ②连接交于点， 点即为所求； （2）过作交其延长线于，则四边形为矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即小智走过的最短路程为1.7千米． 11．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图所示，有一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】24平方米 【详解】解：如图，连接． 在中，米，米，， 米， 又， 是直角三角形， 这块地的面积的面积的面积（平方米）． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$