专题04 绝对值的化简（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版2024）

专题04 绝对值的化简 根据数轴化简 1．（23-24七年级上·山东日照·期中）若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A到达点B的位置，点B表示的数为x，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，若数轴上两点所对应的有理数分别为，则化简的结果为 ．    4．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 5．（23-24七年级·全国·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 根据字母的取值范围化简 6．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 7．（23-24七年级上·天津南开·期中）若，那么 ． 8．（23-24七年级上·四川广元·期中）已知有理数，则化简的结果是 ． 利用非负性化简 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 10．（23-24七年级上·全国·期中）如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 11．（23-24七年级上·江苏南通·期中）若，则 ． 12．（23-24七年级上·山东青岛·期中）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 13．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 新定义问题中的化简 14．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 ． 16．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 17．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义：在数轴上，表示数的点到表示数1的点的距离，叫作数关于1的绝对值． （1）数关于1的绝对值是 ； （2）若数关于1的绝对值是2023，则数的值为 ． 18．（23-24七年级上·重庆巴南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数，则称是的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为2，1，1，那么的“绝对数”为．则的“绝对数”为 ；若一个三位正整数的“绝对数”是，则满足条件的所有中最大为 ． 分类讨论化简 19．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）若，，且，则 ． 20．（23-24七年级上·甘肃张掖·开学考试）已知，，，则 ． 21．（23-24七年级上·山东德州·期中）若，且，则 ． 22．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为 ． 23．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，数轴上，点A、B、C所对应的数分别为a、b、c，且都不为0，C是线段的中点，若，则原点O的位置是（    ） A．在线段上 B．在线段的延长线上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 24．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 利用绝对值的几何意义化简 25．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合所学知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或4；②若，则；③若，则；④若且，则式子的值为；⑤关于x的方程有3个解．⑥若，那么的最大值为7，最小值为； A．3 B．4 C．5 D．6 26．（23-24七年级上·广东广州·期中）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 27．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 1．（23-24七年级上·安徽·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（        ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江·开学考试）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）有一组非负整数：．从开始，满足某一数学团队对前述数组进行了深入的探讨与研究，得出以下结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，或； ④当为整数)时，； 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·福建厦门·期中）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 6．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是 ． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 9．（23-24七年级上·河南新乡·期中）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 10．（23-24七年级上·河南新乡·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则；当时，则. (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 11．（23-24七年级上·江苏南通·期中）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 绝对值的化简 根据数轴化简 1．（23-24七年级上·山东日照·期中）若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图知，，， ∴，，， ∴ = ， 故选：A． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A到达点B的位置，点B表示的数为x，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：圆的直径为1个单位长度，则周长为， 将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A到达点B的位置， 则点B表示的数， 即， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，若数轴上两点所对应的有理数分别为，则化简的结果为 ．    【答案】/ 【详解】解：由数轴可知，且， 故， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：根据数轴，得， ， ． 5．（23-24七年级·全国·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m    (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意得：， 则的值为； （2）当时，原式． 根据字母的取值范围化简 6．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 【答案】4 【详解】解：， ，， ． 故答案为：4 7．（23-24七年级上·天津南开·期中）若，那么 ． 【答案】7 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 8．（23-24七年级上·四川广元·期中）已知有理数，则化简的结果是 ． 【答案】 【详解】∵a < - 1， ∴a + 1< 0，1- a > 0， ∴ = (- a -1) + (1- a) = - a -1+1- a = -2a， 故答案为： -2a． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键． 利用非负性化简 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【答案】C 【详解】解：， ． 故选：C． 10．（23-24七年级上·全国·期中）如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 【答案】B 【详解】解：∵，， 又∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 11．（23-24七年级上·江苏南通·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．（23-24七年级上·山东青岛·期中）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【答案】 大 2021 3 【详解】解：∵， ∴当时，的最小值为0， ∴的最大值为2021，此时． 故答案为：大；2021；3． 新定义问题中的化简 14．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 【答案】或 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：或． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 ． 【答案】或 【详解】解：， ， 即 ， 相差2， 或， 当时， 时，，无解； 时，，解得， 时，，无解； 当时， 时，，无解， 时，，解得， 时，，无解； 综上所述，x的值为：或 ， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，解决本题的关键是会进行分类讨论． 16．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 17．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义：在数轴上，表示数的点到表示数1的点的距离，叫作数关于1的绝对值． （1）数关于1的绝对值是 ； （2）若数关于1的绝对值是2023，则数的值为 ． 【答案】 2 或 【详解】解：（1）数关于1的绝对值是； 故答案为：2； （2）由题意得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，理解数关于1的绝对值的定义是解题的关键． 18．（23-24七年级上·重庆巴南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数，则称是的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为2，1，1，那么的“绝对数”为．则的“绝对数”为 ；若一个三位正整数的“绝对数”是，则满足条件的所有中最大为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的“绝对数”为． ∵， ∴x的百位数字最大是9．十位数字最大是7，个位数字最大是6， ∴满足条件的所有中最大为， 故答案为：， 【点睛】此题主要考查了新定义，弄清“绝对数”的意义是解题的关键． 分类讨论化简 19．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）若，，且，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴或；或， ∴，或，， ∵， ∴是负数或0； ∴或， ∴或， 故答案为或 20．（23-24七年级上·甘肃张掖·开学考试）已知，，，则 ． 【答案】343或1 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． ，；或，． 当，时，； 当，时，． 故答案为：343或1． 21．（23-24七年级上·山东德州·期中）若，且，则 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，或， 故答案为：或． 22．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，则； ，，则； 故答案为：或． 23．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，数轴上，点A、B、C所对应的数分别为a、b、c，且都不为0，C是线段的中点，若，则原点O的位置是（    ） A．在线段上 B．在线段的延长线上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 【答案】A 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点O在A左侧时，a、b、c均为正，则，把代入，得(舍)， ②当点O在线段上，则，得； ③当点O在线段上，则，把代入，得(舍)， ④当点O在B右侧时，a、b、c均为负，则，把代入，得(舍)， ∴点O在线段上， 故选：A． 24．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】8 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 利用绝对值的几何意义化简 25．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合所学知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或4；②若，则；③若，则；④若且，则式子的值为；⑤关于x的方程有3个解．⑥若，那么的最大值为7，最小值为； A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意知，∵， 解得或4；①正确，故符合要求； ∵， 解得；②正确，故符合要求； 若，与的大小无法确定；③错误，故不符合要求； ∵且， ∴，， ∴式子的值为；④正确，故符合要求； ∵， 当时，，解得，； 当时，，无解； 当时，，解得，； ∴方程有2个解，⑤错误，故不符合要求； 当时，， ∴， 当时，， ∴最大值为7，最小值为；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 26．（23-24七年级上·广东广州·期中）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 【答案】 【详解】解：①， 可以表示为与两数在数轴上对应两点之间的距离． 故答案为：． ②可以表示为x到1，，两数的距离之和等于3， ， x是整数， x的值为：， 所有整数解的和为： 故答案为：． 27．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； (5)． 【详解】（1）解：若，那么的值为或， 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为: 或； （3）∵，且 ∴， ∵是整数， ∴的值有， ， ， ，， ，共个， 故答案为：； （4）由（）可得当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或； （5）∵的中间一项是， ∴时， 原式有最小值，， 故答案为：． 1．（23-24七年级上·安徽·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴得， ，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江·开学考试）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）有一组非负整数：．从开始，满足某一数学团队对前述数组进行了深入的探讨与研究，得出以下结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，或； ④当为整数)时，； 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：根据题意有， ①当时，，故①结论错误； ②当时，， ，故②结论正确； ③当时， 则有：， 解得：或，故③结论错误； ④当为整数时， ， ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论个数为2个． 故选：B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 5．（23-24七年级上·福建厦门·期中）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【答案】4.5或0.5 【详解】解：， 点C在点A和点B之间，， ， ， 不妨设点A在点B左侧， 如图，若点D在点A的左侧， 线段的长为； 如图，若点D在点A的右侧， 线段的长为． 故答案为：4.5或0.5 6．（23-24七年级上·四川达州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，分四种情况： 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即时成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即此时不成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即此时不成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即时成立； 综上所述，若，则原点可能是或， 故答案为：或． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 8．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 【答案】或． 【详解】解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 9．（23-24七年级上·河南新乡·期中）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 10．（23-24七年级上·河南新乡·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则；当时，则. (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 11．（23-24七年级上·江苏南通·期中）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$