第07讲 探索勾股定理（第1课时）（2个知识点+13大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第07讲 探索勾股定理（第1课时）（2个知识点+13大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.勾股定理的真麻烦发； 2.勾股定理的逆定理； 3.用勾股定理构造三角形证明； 1.掌握勾股定理的证明方法； 2.掌握勾股数的概念； 3、学会用勾股定理构造图形解决问题； 4、勾股定理逆定理； 知识点01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即学即练1】 1．若的两边长为和，则第三边长为（    ） A． B． C． D．或 【即学即练2】 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．20 知识点02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即学即练3】 3．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若为直角三角形，则 D．若，则是直角三角形 题型01 勾股定理的证明方法 1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．  B．  C．   D．   3．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 题型02 以弦图为背景的计算题 1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 2．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ． 4．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 5．我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，．    (1)与的比值为 　 　； (2)补全弦图． 题型03 勾股定理与无理数 1．如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 2．如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    4．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 5．我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小，某数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题． (1)借助网格，并用尺规画出与﹣1在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得______； (3)若a为的小数部分，b为的整数部分，求． 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 1．一个长方形抽屉长，宽，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，长方体盒内长、宽、高分别是、、，盒内可放木棒最长的长度是 ．    4．一座城墙高，墙外有一条宽的护城河，那么一架云梯至少要 m才能到达城墙的顶端． 5．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？    题型05 勾股数问题 1．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 2．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 4．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 5．定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． (1)数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 题型06 勾股定理与网格问题 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成等腰三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是 ． 5．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上： (1)在图中画出以为斜边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为腰的等腰，其的面积为4，点F在正方形的顶点上； (3)连接，请直写出线段EF的长． 题型07 勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 2． 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 3． 如图，在三角形纸片中，，，，点E在线段上，将沿着折叠，的对应边刚好过点B，则的长   ． 4．如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 5．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 题型08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 4．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    5．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 题型09 利用勾股定理证明线段平方关系 1．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 4．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 5．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 4．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 5．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 题型11 用勾股定理解三角形 1．如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 2．如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 3．把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则 ． 4．如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 5．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 4．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 5．如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 题型13 勾股定理逆定理的实际应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 2．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 3．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 4．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 5．台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．32 B．28 C．8 D．4 2．已知的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 5．如图，在对角线互相垂直的四边形中，，．A到距离为6，D到距离为4，则四边形面积等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，，点为的中点，于点，若，，则的面积为（　　）    A． B． C． D． 7．一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 8．如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 9．如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 11．如图，在中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点M，且M为的中点，连接交于点N，若，，则点B到的距离为 ． 12．如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 13．若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 14．如图，在中，于，，，求的长．    15．如图，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 17．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 18．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 探索勾股定理（第1课时）（2个知识点+13大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.勾股定理的真麻烦发； 2.勾股定理的逆定理； 3.用勾股定理构造三角形证明； 1.掌握勾股定理的证明方法； 2.掌握勾股数的概念； 3、学会用勾股定理构造图形解决问题； 4、勾股定理逆定理； 知识点01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即学即练1】 1．若的两边长为和，则第三边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑：若为直角边，可得出也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若为斜边，可得和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边． 【详解】解：若为直角边，可得为直角边，第三边为斜边， 根据勾股定理得第三边为； 若为斜边，和第三边都为直角边， 根据勾股定理得第三边为， 则第三边长为或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【即学即练2】 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．20 【答案】A 【分析】连接，由勾股定理得，代入a，b，c，d整理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，，    在和中， ∵，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 知识点02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即学即练3】 3．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、∵， ∴此三角形的最大角为， ∴不是直角三角形； B、∵，， ∴，即， ∴为直角三角形； C、∵， ∴设， ∵， ∴为直角三角形； D、∵， ∴， ∴为直角三角形； 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 【即学即练4】 4．已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若为直角三角形，则 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】先写出每个命题的逆命题，然后利用直角三角形的性质和判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A选项的逆命题为：若为直角三角形，则，不成立，不合题意； B选项的逆命题为：若，则，不成立，不合题意； C选项的逆命题为：若，则为直角三角形， ∵ ∴，故为直角三角形， ∴选项成立，符合题意； D、选项的逆命题为：若是直角三角形，则，不成立，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握直角三角形的性质和判定方法是解题关键． 题型01 勾股定理的证明方法 1．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 3．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 题型02 以弦图为背景的计算题 1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理；和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可利用勾股定理得出的值． 【详解】解：，，即和为两条直角边长时， 小正方形的边长， 故选：A． 2．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∴，故②符合题意， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①符合题意， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：， 即；故③符合题意； ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴；故④不符合题意， ∴正确结论有①②③． 故选：A． 3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ． 【答案】1或4 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质；分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可得出小正方形的面积；即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①5为斜边时， 由勾股定理得：另一直角边长， 小正方形的边长， 小正方形的面积； ②3和5为两条直角边长时， 小正方形的边长， 小正方形的面积； 综上所述：小正方形的面积为1或4； 故答案为：1或4． 4．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 5．我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，．    (1)与的比值为 　 　； (2)补全弦图． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格，解题的关键是读懂题意，理解弦图证明勾股定理． （1）观察正方形和正方形的关系可得答案； （2）按要求补全图形即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，，， ∴正方形放大为原来的2倍即得正方形， ∴与的比值为2； 故答案为：2； （2）解：补全弦图如下：    题型03 勾股定理与无理数 1．如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 2．如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选：． 3．如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 4．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 5．我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小，某数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题． (1)借助网格，并用尺规画出与﹣1在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得______； (3)若a为的小数部分，b为的整数部分，求． 【答案】(1)见解析 (2)＜ (3)4 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为2和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【详解】（1）如图，点A为，点B为， （2）∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：＜； （3）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 1．一个长方形抽屉长，宽，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，， 这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是， 故选：C． 2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 3．如图，长方体盒内长、宽、高分别是、、，盒内可放木棒最长的长度是 ．    【答案】/11厘米 【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是． 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形． 4．一座城墙高，墙外有一条宽的护城河，那么一架云梯至少要 m才能到达城墙的顶端． 【答案】13 【分析】根据已知得出两条直角边，再利用勾股定理求出梯子的高度即可． 【详解】解：根据题意， ∵一座城墙高，墙外有一条宽的护城河， 由勾股定理，则 一架云梯至少要米； 故答案为：13 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键． 5．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？    【答案】米 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到：（米）， 答：为米．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度． 题型05 勾股数问题 1．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 3．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 4．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 5．定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． (1)数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 【答案】(1)是 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，定义新运算，理解定义新运算的规则，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据定义，运用勾股定理即可求解； （2）运用完全平方公式，偶次幂的非负性，分别算出的值，根据定义新运算的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐勾股数”， 故答案为：是； （2）证明：已知， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，都是正实数， ∵，，， ∴， ∴是“和谐勾股数”． 题型06 勾股定理与网格问题 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可知，，再根据三角形面积找出与距离的格点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个； 故选：D． 2．如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成等腰三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题综合考查了勾股定理及等腰三角形的定义．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用等腰三角形的定义进行分析． 【详解】解：根据勾股定理， 得， ，则是等腰三角形，，则是等腰三角形， 共2个等腰三角形． 故选：B． 3．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案． 【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得： ， 故易知阴影为正方形， 故 故答案为： 4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】①结合图形及等腰三角形的判定进行分析即可； ②利用勾股定理求得各边的长度，从而可判断； ③求得的面积，再求点C到边的距离即可判断． 本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 【详解】 解：方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， ∴， ， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； ∵， ∴的周长为：， 故②的结论错误； ∵ ， ∴点C到边的距离为：， 故③结论正确． 故答案为：①③． 5．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上： (1)在图中画出以为斜边的等腰直角，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为腰的等腰，其的面积为4，点F在正方形的顶点上； (3)连接，请直写出线段EF的长． 【答案】(1)如图所示 (2)如图所示 (3)5 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可； （2）根据网格特点和勾股定理，结合等腰三角形的判定与性质作图即可； （3）利用网格特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 证明：，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求： 理由：， ∴，则是等腰三角形，． （3）解：，则． 题型07 勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 故选：A． 2． 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 3． 如图，在三角形纸片中，，，，点E在线段上，将沿着折叠，的对应边刚好过点B，则的长   ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据折叠的性质得，，设为x，将用含x的代数式表示出来，然后在中根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：∵在中，， ， 根据折叠的性质得，， ∴， 设，则， 在Rt中，根据勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 4．如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 5．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 题型08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 4．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 5．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 题型09 利用勾股定理证明线段平方关系 1．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 4．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 5．如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 2．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是．则，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，从而得出规律． 【详解】解：设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是． 根据勾股定理，得， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 即所有正方形的面积和是， 由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故选：D． 3．在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 4．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 5．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 题型11 用勾股定理解三角形 1．如图，在中，为的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半和勾股定理是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，过点C作交的延长线于点E，先由等边对等角和平行线的性质证明，即平分．再由角平分线的性质得到，则可证明得到，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点E． ∵， ． ∵， ， ，即平分． ∵，即，且， ． ∴ ， ． 在中，由勾股定理得， ． 故选A． 3．把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理的综合应用，充分利用等腰直角三角形这一条件，作边的高，构造直角三角形是本题的重点．根据等腰三角形的判定，可知也是等腰三角形，从而求出的长，作边上的高，求出和，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可． 【详解】解：过点A作于F，如下图所示，    在中，， ∴， ∴，， 又∵和是两个同样大小的含角的三角尺， ∴， ∴在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：，， 是的中线，， 是的中点， 是的中位线， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， 的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为： 5．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得． ∴． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 2．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 3．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 5．如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 题型13 勾股定理逆定理的实际应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 2．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 3．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 4．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 5．台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．32 B．28 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．直接根据勾股定理得出即可求解． 【详解】解：在中，斜边， ， ， 故选：A． 2．已知的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴ ∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴ 即为直角三角形，故该选项不符合题意； C、∵ ∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3．已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵翻折后与完全重合， ， 设，则， ∵在中，， 即， 解得，， ， 故选：C． 4．如图，在中，，，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握“角所对的直角边等于斜边的一半”．过作于，在与中结合角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出、即可． 【详解】解：过作于， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ． 故选：C． 5．如图，在对角线互相垂直的四边形中，，．A到距离为6，D到距离为4，则四边形面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，直角三角形的特征，四边形面积，根据题意，作出辅助线，得出，是解题关键． 分别过点A和D作和边上的高，利用勾股定理得出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A和D作和边上的高． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ， ∴四边形面积. 故选：C． 6．如图，，点为的中点，于点，若，，则的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，点为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积 ， 故选：． 7．一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质．根据非负数的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当，是两直角边， ， ，， 解得，，， 当a，b都是直角边时，由勾股定理得，斜边， 当为斜边时，第三边， 故答案为：或1． 8．如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即． 解得： 故答案为． 9．如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积边长边长，则，由所给数据可知，结合勾股定理逆定理的知识求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ∵， ②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：． 11．如图，在中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点M，且M为的中点，连接交于点N，若，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，由三角形中线求三角形面积，由M是的中点，可知，再由折叠可知，可求，再求出，，则，可求，在中，，再由折叠可知，设B到的距离为h，由，即可求点B到的距离． 【详解】解：由折叠可知，， 是的中点， ， ， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 设B到的距离为h， ， ， ， ∴点B到的距离为， 故答案为：． 12．如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 13．若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理： （1）根据算术平方根的性质可得，从而得到，即可求解； （2）分两种情况：若第三边为斜边，若为斜边，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若第三边为斜边，第三边的长为； 若为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． 14．如图，在中，于，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据，在中运用勾股定理求出的值，在中运用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为． 15．如图，，垂足分别为D，E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 16．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【答案】(1)①；② (2)还成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：，，， 、、之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ，，，， ； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ，，，， ； ； （3）解：图中阴影部分的面积，， ． 故答案为：8． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 17．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 18．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）的长为或． ∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！66 学科网（北京）股份有限公司 $$