第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.用HL判断三角形全等； 2.全等的性质与HL 的综合； 1.掌握用HL证三角形全等； 2.掌握全等的性质与HL的综合； 知识点01：HL证明三角形全等 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即学即练1】 1．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ） A．28° B．59° C．60° D．62° 题型01 用HL证明三角形全等 1．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 4．如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 5．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 题型02 利用直角三角形全等的判定求角度 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知于点A，于点B，且，，，则 ． 4．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 5．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 题型03 利用直角三角形全等的判定求长度 1．如图，在中，的平分线交于点于点D，若的周长为的周长为6，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．8 2．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点，，垂足为，则为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是 ． 4．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 5．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加 1．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 4．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    5．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型05 全等的性质和HL综合 1．如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图所示，在中，分别是上的点，作，，垂足分别为点，若，，．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 4．如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 5．如图，已知在中，，，，D是上的一点，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？请直接写出t的值． 1．如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在中，，是的平分线且交于点D，于点E，则的周长为 ． 8．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 9．如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 10．如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 11．如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ． 12．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 13．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 14．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 15．如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 16．如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的度数． 17．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 18．已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.用HL判断三角形全等； 2.全等的性质与HL 的综合； 1.掌握用HL证三角形全等； 2.掌握全等的性质与HL的综合； 知识点01：HL证明三角形全等 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即学即练1】 1．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， cm， cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【即学即练2】 2．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ） A．28° B．59° C．60° D．62° 【答案】B 【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°， AD=AC，DE⊥AB交BC于点E， ∴△CAE≌△DAE， ∴∠CAE=∠DAE=∠CAB， ∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°， ∴∠CAB=90°﹣28°=62°， ∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题． 题型01 用HL证明三角形全等 1．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定和是直角三角形．利用点O到，的距离，可知和是直角三角形，然后可直接利用求证，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 又，为公共边， ． 故选：A． 2．如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 在和中， ， ∴， 故选：C． 3．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 4．如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定内容．“”的内容是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题目中的已知条件只需添加两条斜边相等即可． 【详解】解：，， ， 和是直角三角形， 和有公共直角边， 以“”为依据判定需要添加斜边相等，即， 故答案为：． 5．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型02 利用直角三角形全等的判定求角度 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，连接，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 点在线段的垂直平分线上， ， ， 点在的角平分线上， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键． 3．如图，已知于点A，于点B，且，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．由“”可证，可得，由外角可求解． 【详解】解：于，于， ， ，， ， ， ， 故答案为： 4．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 5．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 题型03 利用直角三角形全等的判定求长度 1．如图，在中，的平分线交于点于点D，若的周长为的周长为6，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形的判定方法与性质，以及线段之间的等量关系． 根据角平分线的性质得出，进而求证推出，根据三角形的周长，得出，，结合线段之间的和差关系，即可解答． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴ ∵的周长为， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 2．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点，，垂足为，则为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质． 由勾股定理可求得，由作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵平分，于D，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵垂直， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 4．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 5．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加 1．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性，过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 3．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 4．如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 5．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得：，证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型05 全等的性质和HL综合 1．如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，直接证明，即可求证③，再利用等腰三角形的性质导角，可以判定，可判断②． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴，故③符合题意； ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，  故②符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 2．如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确； ②设，则，表示和的长，可判断②正确； ③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确； ④分别表示和的长，可判断④不正确； ⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断⑤错误． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 设，则， ，， 中，， ， ，故②正确； ③如图，过N作于H，连接， 在等边三角形中， ， 平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故③正确； 是的垂直平分线， ， 等边中，， ， ，故④错误； ， ， ， ， ，故①错误；， 综上所述，正确的②③⑤，共3个， 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图所示，在中，分别是上的点，作，，垂足分别为点，若，，．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，证明即可判断①；由角平分线的判定定理即可判断②；由全等三角形的判定定理即可判断③；由角平分线的定义和三角形的外角性质得到，即可判断④；掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴点在的平分线上， 即平分，故②正确； 在和中，，，无法找到满足全等的第三个条件，所以无法判断，故③错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 4．如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的判定定理和性质定理．全等三角形的判定和性质等知识，如图，作于M，于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得是的平分线，由，，推出，，由，推出，由，推出即可一一判断． 【详解】解：如图，作于M，于N． ∵， ∴， 同理， ∴， ∴平分， ∴，故①正确， ∵在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴，故②正确， 在中，∵， ∴，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 5．如图，已知在中，，，，D是上的一点，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当点P在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）求出，再用勾股定理解即可； （2）由垂直平分线的性质得，设，则，用勾股定理解即可； （3）分P在线段上、在线段的延长线上两种情况，先证，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 在中，， ∵ ，， ∴； （2）∵点P在线段垂直平分线上， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， 解得， ∴ ∴ ； （3）解：5或11 ①当P在线段上时，连接， ∵ ，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中， ， ∴ 解得； ②当P在线段延长线上，连， 同①可证，， 则，， ∵在中， ∴， 解得， 综上：或11． 1．如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 2．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 3．如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，连接，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 点在线段的垂直平分线上， ， ， 点在的角平分线上， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键． 5．如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ∵的平分线交于点P，，，， ，， ， ∴，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确；    ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点E在线段上，且时，②当点E在线段延长线上，且时，③当点E在线段上，且时和④当点E在线段延长线上，且时，再分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ②当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ③当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ④当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：． 综上可知符合条件的t值有4个． 故选C． 7．如图，在中，，是的平分线且交于点D，于点E，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，角平分线的性质得到，证明，得到，进而得到的周长，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线且交于点D，于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 8．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质． 过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，利用“”证明和，再根据题意得出方程，解方程即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ 设， ∴， 解得：， ∴的面积为6． 故答案为：6 9．如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析证明是解题的关键．过点D作，证明得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出答案即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：48． 10．如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ， 解得：， ， 故答案：． 11．如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ． 【答案】3 【分析】如图，过作于，证明，，可得，再进一步解答可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 13．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得：，证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据条件可证得，然后根据角的关系即可得证；②连接，根据条件可证得，然后根据边长关系等量代换即可得解； （2）由三角形全等的性质可得到，根据等边对等角性质得到，由三角形内角和计算出，然后由即可得解． 【详解】（1）证明：①，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； ②连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 由①知， ， ； （2）解：， ， 由①知， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和等知识，熟练掌握相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 17．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 18．已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为32． 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． （1）由点为平分线上一点，于于，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）由角平分线的性质易证得，又由，即可证得结论； （3）由，即可求得的长，又由，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：点为平分线上一点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据解析（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$