专题04 一元二次不等式重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题04 一元二次不等式重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 求二次函数的解析式 题型三 二次函数的图象分析与判断 题型四 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型五 与二次函数相关的复合函数问题 题型六 一元二次不等式的概念及辨析 题型七 解不含参数的一元二次不等式 题型八 解含有参数的一元二次不等式 题型九 由一元二次不等式的解确定参数 题型十 一元二次方程根的分布问题 题型十一 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十四 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十五 一元二次不等式的实际应用 题型十六 分式不等式 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，则当时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．5， B．5，1 C．5， D．1， 1．（21-22高一上·北京·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最小值为 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【经典例题二 求二次函数的解析式】 【例2】（17-18高三上·重庆铜梁·阶段练习）如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（    ） A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4 1．（17-18高一上·北京通州·期中）已知函数的图象的对称轴是，并且经过点，则等于（      ）． A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知（b，c为实数），且，，则的解析式为 . 3．（22-23高一上·四川巴中·期中）已知，为常数，且，，，方程有两个相等实根． (1)求函数的解析式； (2)当 时，求函数的值域． 【经典例题三 二次函数的图象分析与判断】 【例3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，则的值是（    ） A．负数 B．正数 C．零 D．正负与有关 1.（19-20高一·全国·课后作业）已知，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·北京西城·期中）已知二次函数， (1)若函数的对称轴为，则 ； (2)若集合，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·北京·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数 (1)若，求函数在上的值域； (2)当___________时，求函数的最小值以及相应的的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【经典例题四 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例4】（17-18高一上·北京西城·期中）二次函数，的最小值为，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 1．（18-19高一上·北京西城·期中）函数的一个单调递减区间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 3．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【经典例题五 与二次函数相关的复合函数问题】 【例5】（2019·北京·一模）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 A．或； B．或； C．或； D．或； 1．（21-22高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（17-18高一上·北京西城·期中）函数的单调递减区间是 ． 3．（19-20高一上·北京西城·期中）已知函数f（x）=x2-2ax+1，x∈[0，2]上． （1）若a=-1，则f（x）的最小值； （2）若，求f（x）的最大值； （3）求f（x）的最小值． 【经典例题六 一元二次不等式的概念及辨析】 【例6】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 1．（21-22高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【经典例题七 解不含参数的一元二次不等式】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 2．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）对于实数x，若（且），则规定，解不等式． 【经典例题八 解含有参数的一元二次不等式】 【例8】（24-25高三上·山东·开学考试）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京朝阳·期末）已知，则关于的不等式的解集是 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式 【经典例题九 由一元二次不等式的解确定参数】 【例9】（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京顺义·期中）若不等式的解集为或，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【经典例题十 一元二次方程根的分布问题】 【例10】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象与轴有交点，求的取值范围. 【经典例题十一 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例11】（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（19-20高一上·北京·期中）已知二次函数满足下表所给对应关系： 1 2 4 0 0 则不等式的解集为 . 3．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题十二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例12】（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 3．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【经典例题十三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例13】（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【经典例题十四 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例14】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 （2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【经典例题十五 一元二次不等式的实际应用】 【例15】（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【经典例题十六 分式不等式】 【例16】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一·上海·课堂例题）“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）不等式组的解集为 ． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 1．（2019高一·浙江·专题练习）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 7．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 8．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 9．（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24高一上·辽宁·期中）下列命题正确的是（   ） A．设，不等式的一个必要不充分条件是 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设则“”是“”的必要不充分条件 D．命题“”是真命题的实数的取值范围为 11．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为 ． 12．（23-24高三上·江苏徐州·开学考试）若函数的最小值为0，则的取值范围为 . 13．（19-20高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，均为非零向量，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为 ． 15．（23-24高一上·河南·阶段练习）函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 . 16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 18．（17-18高一上·上海嘉定·阶段练习）解不等式组． 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； (2)关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 20．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）因式分解：； （2）画出二次函数的图象； （3）已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次不等式重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 求二次函数的解析式 题型三 二次函数的图象分析与判断 题型四 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型五 与二次函数相关的复合函数问题 题型六 一元二次不等式的概念及辨析 题型七 解不含参数的一元二次不等式 题型八 解含有参数的一元二次不等式 题型九 由一元二次不等式的解确定参数 题型十 一元二次方程根的分布问题 题型十一 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十四 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十五 一元二次不等式的实际应用 题型十六 分式不等式 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，则当时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．5， B．5，1 C．5， D．1， 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，结合闭区间求最值即可. 【详解】由，开口向上且对称轴为， 又，故当有最大值为5，当有最小值为. 故选：A 1．（21-22高一上·北京·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数直接求解即可. 【详解】因为函数, 所以当时，， 故函数值域为. 故选：C 2．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数性质直接求解即可. 【详解】函数对称轴为，函数图象开口向上， 所以函数在上的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【答案】(1)最大值为12，最小值为-4 (2) 【分析】（1）配方后利用二次函数的性质求解即可. （2）根据对称轴的位置，分类讨论，,求其最小值并为1，得到的值. 【详解】（1）当时，， 又，所以，， 所以函数的最大值为12，最小值为-4. （2）的对称轴为，开口向上， ①    当，即时，，即，符合题意； ②    当，即时，，即，不符合题意； ③    当，即时，，无解，不符合题意； 综上，可得. 【经典例题二 求二次函数的解析式】 【例2】（17-18高三上·重庆铜梁·阶段练习）如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（    ） A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4 【答案】B 【分析】由题得且，解方程组即得解. 【详解】由题得，解之得a=2，b=－4. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 1．（17-18高一上·北京通州·期中）已知函数的图象的对称轴是，并且经过点，则等于（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴与过点求解析式，再求出即可. 【详解】， 对称轴为，得， 过，知， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．（2023高三·全国·专题练习）已知（b，c为实数），且，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】解法一：代入直接解方程即可求解； 解法二：利用二次函数的对称性求出b，然后代入即可求值. 【详解】解法一：由题意知，解得， 所以的解析式为. 解法二：由题意知，得，则，得， 所以的解析式为. 故答案为： 3．（22-23高一上·四川巴中·期中）已知，为常数，且，，，方程有两个相等实根． (1)求函数的解析式； (2)当 时，求函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意得到，，再分别解方程即可得到答案. （2）首先根据题意得到，再结合单调性求解值域即可. 【详解】（1）因为方程有两个相等实根， 所以，，即. 又因为，解得. 所以. （2）因为， 所以 函数是开口向下的抛物线，对称轴是， 所以当时，取得最大值； 当时，， 所以的值域是. 【经典例题三 二次函数的图象分析与判断】 【例3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，则的值是（    ） A．负数 B．正数 C．零 D．正负与有关 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点坐标得到，设的两根为，，由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而求出，由得到，从而得到. 【详解】开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 因为，故， 又因为，所以， 设的两根为，， 则， 所以， 因为，故，，所以 故选：B. 1.（19-20高一·全国·课后作业）已知，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画二次函数图象，再进行平移即得到，，，的大小关系. 【详解】二次函数图象如图，向下平移2个单位即得图象， 由图可知，. 故选：C. 2．（20-21高一上·北京西城·期中）已知二次函数， (1)若函数的对称轴为，则 ； (2)若集合，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】(1)利用二次函数对称轴的公式即可求解；(2)结合已知条件可转化为与轴最多只有一个交点，然后利用判别式求解即可. 【详解】(1)由题意，的对称轴为，解得； (2)因为， 所以二次函数与轴最多只有一个交点，且开口向上， 故判别式，解得， 从而的取值范围是． 故答案为：(1)-8；(2) . 3．（22-23高一上·北京·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数 (1)若，求函数在上的值域； (2)当___________时，求函数的最小值以及相应的的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次函数的单调性即可求得在上的值域 （2）利用二次函数轴动区间定进行分类讨论，从而得到的最小值以及相应的的值. 【详解】（1）因为，所以， 易得开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 又，所以，则， 故在上的值域. （2）选择条件①的解析： 因为开口向上，对称轴为，， 所以当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减， 则； 综上：当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时. 选择条件②的解析： 因为开口向上，对称轴为，， 所以当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时； 【经典例题四 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例4】（17-18高一上·北京西城·期中）二次函数，的最小值为，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知中二次函数，的最小值为，我们易判断出函数图象的形状，进而分析出函数的性质，根据函数的图象开口方向朝上，对称轴为直线，我们可以判断三个自变量离对称轴的距离，进而得到答案． 【详解】解：二次函数，的最小值为（1）， 函数的图象开口方向朝上，对称轴为直线 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，其中根据已知条件判断出函数图象的形状（开口方向和对称轴方程）是解答本题的关键，属于基础题． 1．（18-19高一上·北京西城·期中）函数的一个单调递减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质判断. 【详解】解：函数， 其对称轴为，单调递减区间为， 因为仅有选项C：， 故选：C. 【点睛】， 本题考查二次函数的单调性，是基础题. 2．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上，时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 3．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知函数， (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)， 【分析】（1）由二次函数开口和对称轴可直接判断； （2）由定区间的图像特征直接求解即可. 【详解】（1）由，函数对称轴为，又因函数开口向上， 故在上函数单调递减，在上函数单调递增； （2）因为，时单减，时单增， ，. 【经典例题五 与二次函数相关的复合函数问题】 【例5】（2019·北京·一模）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 A．或； B．或； C．或； D．或； 【答案】D 【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可. 【详解】由题函数单调递减，所以在; 则在的最小值大于等于f(2)=1； 令t= ，则t≥2在恒成立，即 -2≥0恒成立， 令g(x)= -2,其对称轴x=, ∴或综上解得或 故选D. 【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数 -2≥0恒成立是本题关键，是难题. 1．（21-22高一上·陕西榆林·阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增. ，故，解得； ，，B正确； ，，D错误； 取，，，满足条件， ，A错误；，C错误； 故选：B 2．（17-18高一上·北京西城·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，的单调递减区间为； 的单调递减区间为， 故的单调递减区间是. 故答案为： 3．（19-20高一上·北京西城·期中）已知函数f（x）=x2-2ax+1，x∈[0，2]上． （1）若a=-1，则f（x）的最小值； （2）若，求f（x）的最大值； （3）求f（x）的最小值． 【答案】（1）f（x）min=1    （2）f（x）max=3    （3） 【分析】（1）（2）根据二次函数的性质可以求得f（x）的最值；（3）轴动区间定，分类讨论求最小值即可． 【详解】（1）当a=-1时，f（x）=x2+2x+1， 因为x∈[0，2]，f（x）min=1； （2）当，f（x）=x2-x+1， 因为x∈[0，2]，f（x）max=3； （3）当a＜0时，f（x）min=1， 当0≤a≤2时，f（x）min=1-a2， 当a＞2时，f（x）min=5-4a， 综上：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，属于基础题． 【经典例题六 一元二次不等式的概念及辨析】 【例6】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 1．（21-22高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由真子集列不等式组求解可得. 【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”， ∴，则或，解得． ∴实数a的取值范围为． 故选：D 2．（20-21高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①为二次函数；②为一元一次不等式；③④为一元二次不等式. 【经典例题七 解不含参数的一元二次不等式】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】先解不等式求出命题中变量的范围，再利用充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由或，解之得， 由，解之得， 显然是的真子集， 所以命题q是p的充分不必要条件. 故选：D 2．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为, 所以或. 故答案为： 3．（24-25高一·上海·课堂例题）对于实数x，若（且），则规定，解不等式． 【答案】 【分析】解一元二次不等式得到，故，3，…，7，从而得到不等式解集. 【详解】， 即，3，…，7，由题意得． 【经典例题八 解含有参数的一元二次不等式】 【例8】（24-25高三上·山东·开学考试）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知不等式的解集是解集的子集，分类讨论，利用集合的关系列不等式即得. 【详解】因为不等式的解集为或 由题可知不等式的解集是解集的子集， 不等式，即， ①当时，不等式的解集为，满足或； ②当时，不等式的解集为， 若或；，则， 所以； ③当时，不等式的解集为，满足或；则，所以 综上所述，实数a的取值范围为． 故选：C． 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 2．（22-23高二下·北京朝阳·期末）已知，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果. 【详解】关于的不等式等价于， 由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：.. 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式 【答案】答案见解析 【分析】结合二次不等式的解法进行分类讨论即可求解； 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【经典例题九 由一元二次不等式的解确定参数】 【例9】（25-26高一上·上海·单元测试）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对m进行分类讨论，结合判别式求得m的取值范围. 【详解】当时，不等式的解集不是空集，不符合题意， 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 所以的取值范围是. 故选：B 2．（23-24高一上·北京顺义·期中）若不等式的解集为或，则 ． 【答案】1 【分析】由题意可知：2，3是方程的两根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：2，3是方程的两根， 则，可得，所以. 故答案为：1. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解； （2）根据题意，分与讨论，即可求解. 【详解】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【经典例题十 一元二次方程根的分布问题】 【例10】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象与轴有交点，求的取值范围. 【答案】 【分析】分别在，条件下转化条件，列关系式求的范围. 【详解】当时，函数可化为， 函数与轴有交点，满足要求， 当时，由已知可得二次方程有解， 所以，且， 所以且. 综上，. 【经典例题十一 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例11】（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由不等式的解集是R，则， 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 2．（19-20高一上·北京·期中）已知二次函数满足下表所给对应关系： 1 2 4 0 0 则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据所给数据，可判断的图象的开口方向，由， 即可解． 【详解】由题意二次函数与轴交于，且,可判断函数的图象的开口向上，故解集为 故答案为 【点睛】本题考查二次函数的图象，结合图象解一元二次不等式，属于基础题． 3．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 【经典例题十二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例12】（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围. 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】分及进行讨论，结合二次函数的图象性质即可得解. 【详解】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 【经典例题十三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例13】（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【详解】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得，故选：A． 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值. 【详解】由题设，令，则， 所以，在上恒成立， 当，则，不满足题设； 当，对称轴为，只需，可得. 综上，，故整数的最小值为2. 故选：B 2．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】条件可转化为的根一个小于1，另一个大于2，结合二次方程区间根结论列不等式求范围. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得，    所以的取值范围是. 【经典例题十四 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例14】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C （2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式在R上有解， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是. 故选：A. 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【详解】解：将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在 上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故答案为：. 3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 【经典例题十五 一元二次不等式的实际应用】 【例15】（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】设船的速度为，由题可知， 由题意得，，由去分母，整理得， 解得（不合题舍去）或， 所以船的速度至少要达到． 【经典例题十六 分式不等式】 【例16】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于，即，所以． 【详解】因为， 所以原不等式等价于， 即， 即，所以． 故选：A． 1．（24-25高一·上海·课堂例题）“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 【答案】A 【分析】解不等式求出，再根据充要条件的定义判断可得答案. 【详解】由得，由得， 所以是成立的充要条件. 故选：A. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，求出解集. 【详解】，等价于， 解得或， ，等价与， 解得， 因为与或同时成立， 所以，故解集为 故答案为：. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 1．（2019高一·浙江·专题练习）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为， 要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值， 可得函数在区间为单调函数，则满足或， 解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 4．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】ABC 【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题. 【详解】因为抛物线开口向下，则， 又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得， 且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则， 对于选项A：可得，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值， 则（m为任意实数）， 所有（m为任意实数），故C正确； 对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 可知当时，，所以，故D错误． 故选：ABC. 7．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 8．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 9．（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 10．（23-24高一上·辽宁·期中）下列命题正确的是（   ） A．设，不等式的一个必要不充分条件是 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设则“”是“”的必要不充分条件 D．命题“”是真命题的实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由得， 所以是的充分不必要条件，所以A选项错误. B选项，，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以B选项正确. C选项，若“”，则； 若，则可能，不能得到； 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C选项错误. D选项，“”是真命题，即在区间上恒成立， 所以，解得，所以D选项正确. 故选：BD 11．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为 ． 【答案】150 【分析】结合三角形的内接矩形的性质，以及二次函数的最值问题. 【详解】 如图，过点向作垂线，垂足为，交于点， 设矩形与，分别交于点，与交于点，且，， 由题意知，， 所以， 又因为，， 所以，即，其中， 矩形面积，， 当时，取得最大值150. 故答案为：150. 12．（23-24高三上·江苏徐州·开学考试）若函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，，由题意可得恒成立. 则的取值范围为. 故答案为： 13．（19-20高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，均为非零向量，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可． 【详解】非零向量，夹角为，若，， 不等式对任意恒成立 ， ， 即； 整理可得，恒成立， ，， ， 解得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的集合． 【详解】由， 得或， 由， 得， 当时，，无解，不合题意； 当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意； 当时，， 因为原不等式组的解集中只有一个整数， 如图，结合数轴可知，，， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一上·河南·阶段练习）函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意可得恒成立，即恒成立，然后分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可得恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，由解得； 故的取值范围为. 故答案为：. 16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别在、和的情况下，根据二次函数单调性确定最大值，由此可得； （2）根据（1）中结论可得，由二次函数性质可得结果. 【详解】（1）； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，； 当时，在上单调递减， ； 综上所述：. （2）由（1）知：当时，； 当时，； 综上所述：当时，的最大值为. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值． 【答案】最小值为 【分析】根据对称轴分三种情况讨论结合单调性得出最小值即可. 【详解】∵的图像开口向上，对称轴为． （1）当，即时，在上严格减，故当时，函数的最小值为． （2）当，即时，在上严格增，故当时，函数的最小值为． （3）当时，对称轴，故当时，函数的最小值为． 综上，记最小值为，则 18．（17-18高一上·上海嘉定·阶段练习）解不等式组． 【答案】或 【分析】先将，移项，通分，合并同类项，变形为，转化为等价的整式不等式组解不等式组，再分类讨论，当时，解不等式，；当时，解不等式，画数轴，即可. 【详解】 解得或 当时，变形为，解得 当时，变形为，解得 画数轴为： 由图可知，或 所以，解集为：或. 【点睛】本题考查分式不等式以及一元二次不等式的解法.属于中档题. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； (2)关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与进行分类讨论，判断求解即可； （2）由题意可知，且，因为，由韦达定理转化为关于的不等式求解即可. 【详解】（1）当时，即时，解得或，                          当时，的图像不可能都在轴上方，不符合题意，舍去，                  当时，的图像都在轴上方，符合题意，可取，                                当时，若函数的图像都在轴上方， 则只需且， 即且，解得，                                 综上所述，，即实数的取值范围为； （2）由题意可知且方程的两根为、， 则，解得或， ∴或，                                                   根据韦达定理得、，                                      又∵，∴， ∴， ∴且，∴，                                      综上所述，，∴实数的取值范围为. 20．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）因式分解：； （2）画出二次函数的图象； （3）已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）. 【分析】（1）利用十字相乘法直接分解即可； （2）根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可； （3）对参数进行分类讨论得出不同情况下的解集，再由集合间的基本关系可得实数a的取值范围. 【详解】（1）易知； （2）当时，图象如下图所示： 当时，图象如下图所示： 当时，图象如下图所示： （3）由题意，，得， 由，得 因为使不等式成立的任意一个x，都满足不等式 ①若，则的解集为，满足，符合题意； ②若，则的解集为，则，故，于是； ③若，则的解集为，则，故． 综上，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$