专题02常用逻辑用语重难点题型专训（20大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题02常用逻辑用语重难点题型专训（20大题型+20道拓展培优） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 充分条件的判定及性质 题型九 必要条件的判定及性质 题型十 判断命题是否为全称命题 题型十一 用全称量词改写命题 题型十二 判断全称命题的真假 题型十三 根据全称命题的真假求参数 题型十四 判断命题是否为特称(存在性)命题 题型十五 用存在量词改写命题 题型十六 判断特称(存在性)命题的真假 题型十七 根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型十八 全称命题的否定及其真假判断 题型十九 特称命题的否定及其真假判断 题型二十 含有一个量词的命题的否定的应用 【经典例题一 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（23-24高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京延庆·期中）写出成立的一个充分不必要条件 . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 【经典例题二 根据充分不必要条件求参数】 【例2】（18-19高二上·北京东城·期中）集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x||x﹣b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分非必要条件，则b的取值范围是（　　） A．﹣1≤b＜2 B．﹣2＜b≤2 C．﹣3＜b＜﹣1 D．﹣2＜b＜2 1．（20-21高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命题“x∈A“是命题”x∈B“的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 3．（22-23高一上·北京西城·阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【经典例题三 判断命题的必要不充分条件】 【例3】（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·北京·期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）下列说法正确的是 . ①是的充分不必要条件； ②是的必要不充分条件 ③是的充分不必要条件； ④是的必要不充分条件 3．（20-21高三下·全国·自主招生）已知周期为，则命题“”是命题“恒为”的什么条件？ 【经典例题四 根据必要不充分条件求参数】 【例4】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期末）若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ． 3．（21-22高一上·北京海淀·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【经典例题五 充要条件的证明】 【例5】（23-24高一下·北京延庆·期中）A是的内角，则“”是“A为锐角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知，则“”是“的 条件. 3．（19-20高一·全国·课后作业）证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【经典例题六 探求命题为真的充要条件】 【例6】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（21-22高二下·北京昌平·期中）“”的充要条件是（    ） A．有 B．或 C．且 D．或 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）“且”的充要条件是“且 ”. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【经典例题七 根据充要条件求参数】 【例7】（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 充分条件的判定及性质】 【例8】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）充分条件、必要条件 当时，我们称是的 条件， 是的 条件. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【经典例题九 必要条件的判定及性质】 【例9】（2022高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．（19-20高一上·北京·阶段练习）设集合，，那么“”是“”的 条件（请在：“充分而不必要”，“必要而不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选一个填空） 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【经典例题十 判断命题是否为全称命题】 【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 2．（2024高三·全国·专题练习）全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题称为 ，全称量词命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）常用的全称量词还有哪些？ （2）全称量词命题中是否一定含有全称量词？ （3）全称量词命题具有什么特点？ 【经典例题十一 用全称量词改写命题】 【例11】（21-22高一·全国·课后作业）命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（    ） A．∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 1．（20-21高一·全国·课后作业）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 2．（2023高一·全国·课后作业）将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【经典例题十二 判断全称命题的真假】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 2．（19-20高二下·北京·期末）能够说明“设，，是任意实数.若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为 . 3．（2023高一·全国·课后作业）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为？ 【经典例题十三 根据全称命题的真假求参数】 【例13】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【经典例题十四 判断命题是否为特称(存在性)命题】 【例14】．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：存在集合使得，则命题是（    ） A．全称量词命题，且是真命题 B．全称量词命题，且是假命题 C．存在量词命题，且是真命题 D．存在量词命题，且是假命题 2．（23-24高一下·全国·课后作业）命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”). 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数，使成立． 【经典例题十五 用存在量词改写命题】 【例15】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 1．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 2．（21-22高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【经典例题十六 判断特称(存在性)命题的真假】 【例16】（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)任意矩形的对角线相等； (3)存在，使． 【经典例题十七 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 【例17】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 1．（23-24高一上·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·开学考试）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围． （2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 【经典例题十八 全称命题的否定及其真假判断】 【例18】（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）命题“”的否定是 . 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【经典例题十九 特称命题的否定及其真假判断】 【例19】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）命题，的否定是 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 【经典例题二十 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例20】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高二下·山西临汾·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·湖北十堰·期末）命题“对，都有”的否定为 3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 6．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 7．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 8．（22-23高一上·北京·期末）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．， B．存在，使得 C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 9．（2020高三·全国·专题练习）使“”成立的必要不充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（19-20高一上·海南海口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若“”是“”的充分条件，则 D．“”是“（，）”的充要条件 E．“一元二次方程无解”的必要不充分条件是“恒成立” 11．（11-12高二上·江苏常州·期中）“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 12．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 13．（23-24高一上·江苏·课后作业）全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 14．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是 16．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）在下列各题中，判断是的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答， 不必证明） : (1)． (2)． (3)在平面四边形中，: 四边形是梯形，， 且． (4)． 17．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 18．（21-22高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． （1）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （2）任何实数都有算术平方根； （3）每个平面四边形的内角和都是360°； （4）至少有一个整数N，使得N2＋N为奇数． 19．（23-24高二下·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20．（2017·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02常用逻辑用语重难点题型专训（20大题型+20道拓展培优） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 充分条件的判定及性质 题型九 必要条件的判定及性质 题型十 判断命题是否为全称命题 题型十一 用全称量词改写命题 题型十二 判断全称命题的真假 题型十三 根据全称命题的真假求参数 题型十四 判断命题是否为特称(存在性)命题 题型十五 用存在量词改写命题 题型十六 判断特称(存在性)命题的真假 题型十七 根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型十八 全称命题的否定及其真假判断 题型十九 特称命题的否定及其真假判断 题型二十 含有一个量词的命题的否定的应用 【经典例题一 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（23-24高二下·北京昌平·期末）设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 1．（2024高二上·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解. 【详解】当时，， 当时， ， 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京延庆·期中）写出成立的一个充分不必要条件 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据充分不必要条件的要求，所求应该为的真子集，根据真子集要求写出答案. 【详解】因为，所以， 所以成立的一个充分不必要条件构成的集合为的真子集， 所以充分不必要条件可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】“绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，可以是直接掰断，也可以是因为“绳锯”； 同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式． 正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”． 【经典例题二 根据充分不必要条件求参数】 【例2】（18-19高二上·北京东城·期中）集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x||x﹣b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分非必要条件，则b的取值范围是（　　） A．﹣1≤b＜2 B．﹣2＜b≤2 C．﹣3＜b＜﹣1 D．﹣2＜b＜2 【答案】D 【分析】根据充分性，结合集合的交运算结果不为空集，列出不等式，则问题得解. 【详解】因为， 当时，. 根据题意，此时A∩B≠∅， 故可得或或， 故可得或或， 即. 故选：. 【点睛】本题考查根据充分性和必要性求参数范围，涉及由集合交运算得结果求参数范围，属综合基础题. 1．（20-21高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命题“x∈A“是命题”x∈B“的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5 【答案】C 【分析】利用集合与充分不必要条件即可得出. 【详解】集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}， 若命题“x∈A”是命题“x∈B”的必要不充分条件， 则，∴. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设， 此时由的定义可知，有， 所以， 若是的充分不必要条件，则 ， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高一上·北京西城·阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】把p是q成立的充分不必要条件，转化为集合A是B的真子集即可． 【详解】设，， ∵p是q成立的充分不必要条件，∴A是B的真子集， 则或，解得． ∴m的取值范围是． 【经典例题三 判断命题的必要不充分条件】 【例3】（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】因为由能推出；由不能推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 1．（23-24高一上·北京·期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）下列说法正确的是 . ①是的充分不必要条件； ②是的必要不充分条件 ③是的充分不必要条件； ④是的必要不充分条件 【答案】①②④ 【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念一一判断各小题，即可得答案. 【详解】对于①，由是R的真子集，故是的充分不必要条件，正确； 对于②，取，满足，但推不出； 当时，必有，故是的必要不充分条件，正确； 对于③，取满足，但推不出， 当时，必有，故是的必要不充分条件，错误； 对于④，取满足，但推不出， 当时，必有，故是的必要不充分条件，正确， 故答案为：①②④ 3．（20-21高三下·全国·自主招生）已知周期为，则命题“”是命题“恒为”的什么条件？ 【答案】必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若恒为，则，故必要性成立； 下面构造函数：，可得充分性不成立； 故命题是命题的必要不充分条件． 【经典例题四 根据必要不充分条件求参数】 【例4】（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【详解】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．（22-23高一上·北京·期末）若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解. 【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以 则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求， 故a的取值范围是． 故答案为： 3．（21-22高一上·北京海淀·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意，对应的集合是对应集合的真子集，列出不等式组求解即可 【详解】是的必要不充分条件．即对应的集合是对应集合的真子集， 即 且与不可同时成立 的取值范围为 【经典例题五 充要条件的证明】 【例5】（23-24高一下·北京延庆·期中）A是的内角，则“”是“A为锐角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简,再根据充分必要条件的知识判断即可. 【详解】因为是的内角，所以，又因为所以 因为角为锐角，所以. 所以“”是“为锐角”的充分必要条件. 故选：C. 1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知，则“”是“的 条件. 【答案】充要. 【分析】先表示出代入绝对值之后可判断推出关系. 【详解】 若则成立； 若成立； 故答案为：充要. 3．（19-20高一·全国·课后作业）证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立. 【详解】证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴ . （2）充分性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴ . ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴ . 在和中， ∴.∴. ∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型. 【经典例题六 探求命题为真的充要条件】 【例6】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将分解因式得，根据充分、必要条件的定义可得选项. 【详解】由于, 当时，, , 反之，当时，即， ,2, ，即. 综上所述，“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 1．（21-22高二下·北京昌平·期中）“”的充要条件是（    ） A．有 B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】充要条件即为等价命题. 【详解】因为 则或 故选：D. 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）“且”的充要条件是“且 ”. 【答案】（只需满足与同号即可） 【分析】根据不等式的性质结合充要条件可得出结论. 【详解】设，，则. 故答案为：（只需满足与同号即可）. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】根据充分性和必要性判断真假即可. 【详解】（1）当，时，，但是，所以不是的必要条件，是的必要条件为假命题. （2）当，时，，但是，所以不是的充分条件，是的充分条件为假命题. （3）两个三角形的两组对应角分别相等可以推出三角形相似， 三角形相似也可以推出两个三角形的两组对应角分别相等， 所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件为真命题. （4），解得或0，所以是的必要不充分条件，故是的充分而不必要条件为假命题. 【经典例题七 根据充要条件求参数】 【例7】（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】利用题给条件列出关于m的方程组，解之求得m的值，进而判断出不存在实数m使p是q的充要条件. 【详解】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 【经典例题八 充分条件的判定及性质】 【例8】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论. 【详解】易知集合是集合的真子集， 即可得，所以是的充分而不必要条件. 故选：A 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断. 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）充分条件、必要条件 当时，我们称是的 条件， 是的 条件. 【答案】 充分 必要 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 【经典例题九 必要条件的判定及性质】 【例9】（2022高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据交并补运算结果，借助韦恩图，对每个命题进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①，即为，故符合； 对②，即为，故不符合； 对③，结合图可得即为，故符合； 对④，即为，故可得，但得不到，故不符合； 对⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价， 故五个命题中，与等价的有2个， 故选：B. 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 2．（19-20高一上·北京·阶段练习）设集合，，那么“”是“”的 条件（请在：“充分而不必要”，“必要而不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选一个填空） 【答案】必要而不充分 【解析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：因为集合，， 所以 所以当时，不一定有，而当时，一定有， 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故答案：必要而不充分 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 【经典例题十 判断命题是否为全称命题】 【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】B 【分析】根据全称量词的定义即可求解. 【详解】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词， 故选：B 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题称为 ，全称量词命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：． 【答案】 全称量词 全称量词命题 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）常用的全称量词还有哪些？ （2）全称量词命题中是否一定含有全称量词？ （3）全称量词命题具有什么特点？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据全称量词定义和全称量词命题定义写出答案； 【详解】（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”． （2）不一定，命题具有全称量词所表达的含义，就是全称量词命题． （3）全称量词命题是陈述某集合的所有元素都具有某种性质的命题． 【经典例题十一 用全称量词改写命题】 【例11】（21-22高一·全国·课后作业）命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（    ） A．∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 【答案】B 【分析】用全称量词对命题进行否定即可写出. 【详解】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根”. 故选：B. 1．（20-21高一·全国·课后作业）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 【答案】A 【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可． 【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”. 故选：A 2．（2023高一·全国·课后作业）将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 【答案】 【分析】根据全称量词命题转化为符号表示即可. 【详解】命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题，即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 【经典例题十二 判断全称命题的真假】 【例12】（2024高三·全国·专题练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】对于A：，，为全称量词命题， 但是时，故为假命题，故A错误； 对于B：对任意实数，，若，则，为全称量词命题，且为真命题，故B正确； 对于C：若为偶数，则，为全称量词命题， 当时为偶数，但是，故为假命题，故C错误； 对于D：是无理数不是全称量词命题，故D错误. 故选：B. 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 2．（19-20高二下·北京·期末）能够说明“设，，是任意实数.若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为 . 【答案】3，2，1(答案不唯一) 【解析】由题意举出反例即可得解. 【详解】由题意，整数，，满足，但不满足， 所以，，的值依次可以为3，2，1. 故答案为：3，2，1(答案不唯一). 3．（2023高一·全国·课后作业）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为？ 【答案】，（答案不唯一，只要，均可） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的数对即可. 【详解】当时由不等式的性质可得， 当时由不等式的性质可得， 当，时满足，此时，，则， 故命题“若，则”为假命题， 所以只要满足，时均可说明命题“若，则”为假命题， 不妨令，（答案不唯一，只要，均可）. 【经典例题十三 根据全称命题的真假求参数】 【例13】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案． 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 2．（2023·全国·模拟预测）能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可得存在满足条件，，由此可得，再取满足条件的特殊值. 【详解】由“若，则”是假命题可得， 存在满足条件，但， 由此可得，故， 若取，，则，故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可得，由此可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由于命题p：，是真命题， 所以，又， 所以， 解得． 即m的取值范围为． 【经典例题十四 判断命题是否为特称(存在性)命题】 【例14】．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：存在集合使得，则命题是（    ） A．全称量词命题，且是真命题 B．全称量词命题，且是假命题 C．存在量词命题，且是真命题 D．存在量词命题，且是假命题 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，结合空集的性质，即可判断. 【详解】存在集合使得，是存在量词命题，且是真命题； 故选：C. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”). 【答案】存在量词命题 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】因为命题包含存在量词，所以命题是存在量词命题. 故答案为：存在量词命题 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数，使成立． 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)存在量词命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称量词命题和存在量词命题的定义分析判断. 【详解】（1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． （2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． （3）可以改写为“，使成立”，是存在量词命题． 【经典例题十五 用存在量词改写命题】 【例15】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 2．（21-22高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 【答案】有． 【分析】根据特称命题定义即可求解． 【详解】有． 故答案为：有． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形 【经典例题十六 判断特称(存在性)命题的真假】 【例16】（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】A 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得. 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)任意矩形的对角线相等； (3)存在，使． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 【分析】（1）举反例即可判断； （2）根据矩形的对角线相等可判断； （3）利用配方法整理原式可判断. 【详解】（1）2是素数，但2不是奇数． 所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题． （2）任意矩形的对角线相等，所以是真命题. （3）由于对任意，恒成立， 所以使的实数x不存在， 所以存在量词命题“存在，使”为假命题． 【经典例题十七 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 【例17】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 1．（23-24高一上·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【详解】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·开学考试）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围． （2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）写出命题的否定，即可求解； （2）将问题转化为，即可求解. 【详解】（1）命题“存在，使得”是假命题， 所以此命题的否定“任意，使得”是真命题， 因为对任意，都有， 所以，所以， 即实数a的取值范围为． （2）由题意知“存在，使得”是真命题， 故有，所以，即实数a的取值范围为． 【经典例题十八 全称命题的否定及其真假判断】 【例18】（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为全称量词命题， 则其否定为：. 故选：D 1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】由命题否定的定义即可求解. 【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”. 故答案为：. 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，使得 (2) 【分析】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 【经典例题十九 特称命题的否定及其真假判断】 【例19】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，且必须否定结论即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 故选：B． 1．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题否定的定义即可求解. 【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）命题，的否定是 ． 【答案】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】命题“，”的否定形式是“”. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将存在量词命题否定为全称量词命题，然后利用反证法判断其真假； （2）（3）将存在量词命题否定为全称量词命题，举例判断其真假即可. 【详解】（1）该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分． 假设存在梯形的对角线互相对分， 而对角线互相平分的四边形为平行四边形，这与四边形为梯形相矛盾， 所以任意一个梯形的对角线都不互相平分， 所以命题的否定为真命题． （2）该命题的否定：对任意，函数不随x值的增大而减小． 当时，函数随x值的增大而减小，所以命题的否定为假命题． （3）该命题的否定：，． 当，时，， 因此命题的否定为假命题． 【经典例题二十 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例20】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可直接得答案. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：B. 1．（23-24高二下·山西临汾·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定方法得命题“，”的否定是：，. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖北十堰·期末）命题“对，都有”的否定为 【答案】，使得 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式即可得出结论. 【详解】易知命题“对，都有”的否定为“，使得”； 故答案为：，使得. 3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意得到答案. 【详解】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好， “善其事”是“利其器”的充分不必要条件. 故选：A 2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据包含关系确定答案. 【详解】因为或是或的真子集， 所以“或”是“或”的必要不充分条件，其他选项均不合要求． 故选：A 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围. 【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 6．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根，则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 7．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 8．（22-23高一上·北京·期末）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．， B．存在，使得 C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【答案】ACD 【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假. 【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以，使，所以A是真命题，故A正确； 对于B．对应方程，，方程无解，故B错误； 对于C．命题是存在量词命题，，使得是有理数，所以C是真命题； 对于D．有理数0没有倒数 ，故D正确； 故选:ACD． 9．（2020高三·全国·专题练习）使“”成立的必要不充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【解析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可． 【详解】解：若，，则， ， ，即，则不一定成立；故错误， 若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件． ，由得， ，，即 则成立，故满足条件， 若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件． 故选：BCD． 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题． 10．（19-20高一上·海南海口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若“”是“”的充分条件，则 D．“”是“（，）”的充要条件 E．“一元二次方程无解”的必要不充分条件是“恒成立” 【答案】BC 【分析】根据充分必要条件的定义对每一个命题进行判断。 【详解】时，由不能得出，A错； 与相互不能推导，如时但不满足，反之若，满足但不满足，∴“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确； 由充分必要条件与集合之间的包含关系可知正确； 能得出，当时，，但，D错； “一元二次方程无解”时，可能是恒成立也可能是恒成立，因此题中不充分是对的，但“恒成立”，不一定是一元二次方程，必要性是错误的，E错。 故选：BC。 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础。 11．（11-12高二上·江苏常州·期中）“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据充分不必要条件得到两集合关系即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故答案为：. 12．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【答案】 【分析】将化简即可得到答案. 【详解】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏·课后作业）全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 【答案】 【分析】根据全称量词和全称量词命题的符号表示可得答案. 【详解】（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示； （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为：.其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 故答案为：①；②. 14．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围. 【详解】依题意，关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值的集合． 因为是的必要不充分条件， 所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 15．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是 【答案】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）在下列各题中，判断是的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答， 不必证明） : (1)． (2)． (3)在平面四边形中，: 四边形是梯形，， 且． (4)． 【答案】(1)是的充分不必要条件 (2)是的既不充分也不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的充要条件 【分析】（1）由是的真子集即可判断； （2）由充分必要条件判断即可得解； （3）由四边形是梯形，可能是且，也可能是且即可判断； （4）由即可判断. 【详解】（1）因为是的真子集，所以，， 所以是的充分不必要条件. （2）因为，即，所以由推不出，由推不出， 则是的既不充分也不必要条件； （3）因为在平面四边形中，且，所以四边形是梯形，即， 又因为四边形是梯形，可能是且， 也可能是且，所以， 所以是的必要不充分条件. （4）因为且，即，， 所以是的充要条件. 17．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 18．（21-22高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． （1）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （2）任何实数都有算术平方根； （3）每个平面四边形的内角和都是360°； （4）至少有一个整数N，使得N2＋N为奇数． 【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题. 【分析】（1）利用平行线的判定定理可证为假命题；（2）举出负数的例子否定；（3）根据平面四边形内角和定理判定为真；（4）利用奇偶分析可证此命题为假. 【详解】解：（1）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题． （2）当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题． （3）任意平面四边形的内角和都是360°，是真命题． （4）因为N2＋N＝N(N＋1)，当N为奇数时，N＋1为偶数；当N为偶数时，N＋1为奇数，故N(N＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数N，使得N2＋N为奇数．故该命题为假命题． 19．（23-24高二下·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 20．（2017·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 学科网（北京）股份有限公司 $$