专题01 集合重难点题型专训（34大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题01 集合重难点题型专训（34大题型+20道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集台 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 利用集合元素的互异性求参数 题型六 自然语言表示集合 题型七 描述法表示集合 题型八 列举法表示集合 题型九 根据集合中元素的个数求参数 题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一 列举法求集合中元素的个数 题型十二 集合元素互异性的应用 题型十三 常用数集或数集关系应用 题型十四 判断集合的子集(真子集)的个数 题型十五 求集合的子集(真子集) 题型十六 判断两个集合的包含关系 题型十七 根据集合的包含关系求参数 题型十八 判断两个集合是否相等 题型十九 根据两个集台相等求参数 题型二十 空集的概念以及判断 题型二十一 空集的性质及应用 题型二十二 根据集合相等关系进行计算 题型二十三 交集的概念及运算 题型二十四 根据交集结果求集合或参数 题型二十五 并集的概念及运算 题型二十六 根据并集结果求集合或参数 题型二十七 补集的概念及运算 题型二十八 根据补集运算确定集合或参数 题型二十九 交并补混合运算 题型三十 集合的应用 题型三十一 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型三十二 根据并集结果求集台元素个数 题型三十三 容斥原理的应用 题型三十四 利用Venn图求集合 【经典例题一 判断元素能否构成集合 】 【例1】（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 1．（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 2．（25-26高一上·全国·课前预习）在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个 ，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个 . 3.（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【经典例题二 判断是否为同一集台】 【例2】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 3．（16-17高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例3】（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 . 3．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【经典例题五 利用集合元素的互异性求参数】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【经典例题六 自然语言表示集合】 【例6】（19-20高一上·辽宁阜新·阶段练习）下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 1．（16-17高二下·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 3．（23-24高一·全国·课堂例题）初中阶段，我们学习过哪些集合？ 【经典例题七 描述法表示集合】 【例7】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 2．（23-24高一下·全国·课前预习）描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个 .此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）用描述法表示奇数集. 【经典例题八 列举法表示集合】 【例8】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用列举法表示集合 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【经典例题九 根据集合中元素的个数求参数】 【例9】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 2．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 3．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【经典例题十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例10】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 【经典例题十一 列举法求集合中元素的个数】 【例11】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2023高三上·广西·学业考试）图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 3．（21-22高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【经典例题十二 集合元素互异性的应用】 【例12】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 2．（25-26高一上·全国·课前预习）互异性：同一集合中的元素是 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【经典例题十三 常用数集或数集关系应用】 【例13】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一·上海·课堂例题）用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 3．（20-21高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【经典例题十四 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例14】．（18-19高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ 【经典例题十五 求集合的子集(真子集)】 【例15】24-25高三上·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【经典例题十六 判断两个集合的包含关系】 【例16】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列关系中，表述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）传递性 若，，则 ；若，，则 . 3．（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【经典例题十七 根据集合的包含关系求参数】 【例17】（江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：“，”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由 【经典例题十八 判断两个集合是否相等】 【例18】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 2．（23-24高一下·全国·课前预习）集合的相等与子集的关系： 一般地，由集合相等以及子集的定义可知：如果且，则 ；如果，则 且 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 【经典例题十九 根据两个集台相等求参数】 【例19】（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合， 则 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【经典例题二十 空集的概念以及判断】 【例20】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）空集： 的集合叫空集，记作 .空集也是有限集. 【详解】略 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【经典例题二十一 空集的性质及应用】 【例21】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 1．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题二十二 根据集合相等关系进行计算】 【例22】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 1．（21-22高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 【经典例题二十三 交集的概念及运算】 【例23】（24-25高三上·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）设集合则= 3．（25-26高一上·全国·课前预习）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，观察，你能用集合表示两次进货一样的品种吗？讨论集合，与集合C的关系． 【经典例题二十四 根据交集结果求集合或参数】 【例24】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【经典例题二十五 并集的概念及运算】 【例25】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）已知或，若集合，，则（    ）． A． B． C． D． 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知集合，则 . 3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，． (1)当时，求集合，； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题二十六 根据并集结果求集合或参数】 【例26】（2024·贵州遵义·二模）已知集合，，若，则整数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为 . 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题二十七 补集的概念及运算】 【例27】（15-16高一下·湖南株洲·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东珠海·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，. (1)列举法表示集合； (2)求； (3)求. 【经典例题二十八 根据补集运算确定集合或参数】 【例28】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【经典例题二十九 交并补混合运算】 【例29】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，，则 ． 3．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）设集合，，求，， . 【经典例题三十 集合的应用】 【例30】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 3．（21-22高一上·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【经典例题三十一 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例31】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 1．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 3．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题三十二 根据并集结果求集台元素个数】 【例32】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 3．（18-19高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【经典例题三十三 容斥原理的应用】 【例33】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（    ） A．20 B．15 C．25 D．30 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 3．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人.求参加竞赛的学生总人数. 【经典例题三十四 利用Venn图求集合】 【例34】（辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月份联合考试数学试题）已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 2．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）如图所示，集合是全集，圆表示集合的子集，请将图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 1．（2018高一上·全国·专题练习）下列各项中，不能组成集合的是 A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于0的数 D．我国古代四大发明 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 11．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 13．（23-24高一下·全国·课前预习）真子集： （1）一般地，如果集合A是集合B的 ，并且B中 元素不属于A，那么集合A称为集合B的 ，记作： (或 )，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). （2）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 14．（2023高一·全国·专题练习）已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 15．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 17．（22-23高一上·河南濮阳·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 19．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合重难点题型专训（34大题型+20道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集台 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 利用集合元素的互异性求参数 题型六 自然语言表示集合 题型七 描述法表示集合 题型八 列举法表示集合 题型九 根据集合中元素的个数求参数 题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一 列举法求集合中元素的个数 题型十二 集合元素互异性的应用 题型十三 常用数集或数集关系应用 题型十四 判断集合的子集(真子集)的个数 题型十五 求集合的子集(真子集) 题型十六 判断两个集合的包含关系 题型十七 根据集合的包含关系求参数 题型十八 判断两个集合是否相等 题型十九 根据两个集台相等求参数 题型二十 空集的概念以及判断 题型二十一 空集的性质及应用 题型二十二 根据集合相等关系进行计算 题型二十三 交集的概念及运算 题型二十四 根据交集结果求集合或参数 题型二十五 并集的概念及运算 题型二十六 根据并集结果求集合或参数 题型二十七 补集的概念及运算 题型二十八 根据补集运算确定集合或参数 题型二十九 交并补混合运算 题型三十 集合的应用 题型三十一 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型三十二 根据并集结果求集台元素个数 题型三十三 容斥原理的应用 题型三十四 利用Venn图求集合 【经典例题一 判断元素能否构成集合 】 【例1】（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【答案】A 【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确； 对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误； 故选：A 1．（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】B 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确. 故选:B 2．（25-26高一上·全国·课前预习）在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个 ，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个 . 【答案】 集合或集 元素 【分析】略 【详解】略 3.（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【答案】(1)能 (2)不能，原因见解析 (3)能 【分析】运用集合的元素的互异性，无序性，确定性解题. 【详解】（1）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合. （2）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合,因为高个子比较模糊，元素不确定. （3）不等式的所有解能组成一个集合，就是不等式的解集. 【经典例题二 判断是否为同一集台】 【例2】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 1．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 3．（16-17高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【答案】（1）不是；（2）答案见解析. 【解析】（1）由各个集合的特征进行判断； （2）由用描述法表示集合的方法进行判断 【详解】解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝[0，+∞）；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合； （2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示函数的定义域；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合. 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例3】（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】（1）空集不含任何元素，故； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以2017. 故答案为：；；； 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 【答案】答案见解析 【分析】由集合元素的确定性即可解题. 【详解】打篮球的人可以组成一个集合，男生是该集合的元素，女生不是该集合的元素，所以是男生就去打篮球，是女生就不去打篮球. 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B 1．（24-25高一上·全国·课后作业）关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系得出参数的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 . 【答案】5 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于m的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ① 当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ② 当时，，满足题意，则实数m的值为 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 【经典例题五 利用集合元素的互异性求参数】 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ． 【答案】 或 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】对于①，由集合的互异性知，； 对于②，当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 综上所述，或. 故答案为：①，②或. 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 【经典例题六 自然语言表示集合】 【例6】（19-20高一上·辽宁阜新·阶段练习）下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 【答案】C 【分析】根据常用数集的字母表示即可选出答案. 【详解】表示：自然数集，表示：全体实数集，表示：有理数集，表示整数集. 故选：C 【点睛】本题主要考查常用数集的字母表示，属于简单题. 1．（16-17高二下·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 【答案】A 【详解】因为表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示自然数数集，所以A正确，故选A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）初中阶段，我们学习过哪些集合？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的定义回顾初中阶段学习过的集合. 【详解】代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合； 几何方面：点的集合等，如圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 【经典例题七 描述法表示集合】 【例7】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个 .此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 . 【答案】 特征性质 描述法 【分析】略 【详解】略 3．（25-26高一上·全国·课前预习）用描述法表示奇数集. 【答案】. 【分析】利用描述法表示奇数集. 【详解】奇数集用描述法表示为：. 【经典例题八 列举法表示集合】 【例8】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得，再由即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】借助整数定义与列举法定义即可得. 【详解】. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）小于10的正整数有，再写成集合即可； （2）解方程，然后写成集合即可； （3）直线与y轴的交点为，再写成集合即可； （4）所有的正整数有1，2，3，4，，写成集合即可. 【详解】（1）设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么. （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么. （3）将代入，得，即交点是，故交点组成的集合是. （4）正整数有1，2，3，4，，故由所有正整数组成的集合为. 【经典例题九 根据集合中元素的个数求参数】 【例9】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 2．（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 3．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 【经典例题十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例10】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 1．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】CC 【分析】通过对、正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，从而求出集合A的元素，由此得解. 【详解】因为， 当，时，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 故的所有值构成的集合为，则集合A的真子集的个数为3个. 故选：C. 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据4能被整除分类即可. 【详解】时，时，时，时，时，；时，. 故． 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 【答案】8 【分析】根据素数定义及数的范围求出元素即可. 【详解】20以内有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个素数， 所以集合S有8个元素. 【经典例题十一 列举法求集合中元素的个数】 【例11】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合即可得解. 【详解】依题意，， 所以中元素的个数为5. 故选：C 1．（2023高三上·广西·学业考试）图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及表示方法，即可求解. 【详解】阴影中有两个数字，分别是1，2所以表示的集合为. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【分析】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 3．（21-22高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【答案】9 【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素. 【详解】，， ，共9个元素. 【经典例题十二 集合元素互异性的应用】 【例12】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的互异性分析求解. 【详解】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】根据元素互异性得到答案. 【详解】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课前预习）互异性：同一集合中的元素是 . 【答案】互不相同的 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合中的元素的互异性进行判断. 【详解】不正确. 因为集合中的元素是互异的，所以集合中只有4个不同元素1，3，0，5 . 【经典例题十三 常用数集或数集关系应用】 【例13】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④错误； 是无理数，故，故⑤错误. 则正确的有3个. 故选：. 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为，且，所以. 故选：A. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）用符号“”或“”填空： （1） ；（2）5 ；（3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合常用数集分析判断. 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. 3．（20-21高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 【经典例题十四 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例14】．（18-19高一上·湖南益阳·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】求出，再利用结论即可得到其真子集个数. 【详解】， 则集合A的真子集个数为. 故选：C. 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 【答案】64 【分析】用列举法表示出集合，再根据集合子集个数的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，，有6个元素， 所以该集合的子集有个， 故答案为：64． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ 【答案】元素个数为n，则子集个数为，真子集个数 【分析】根据子集、真子集的定义可得答案. 【详解】元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 【经典例题十五 求集合的子集(真子集)】 【例15】24-25高三上·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据子集的概念得到答案. 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【经典例题十六 判断两个集合的包含关系】 【例16】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合，，由集合间关系即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列关系中，表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系进行判断. 【详解】因为不含任何元素，故A错； 若，则不成立，故B错； 因为为无理数，所以不成立，故C错； 成立，故D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课前预习）传递性 若，，则 ；若，，则 . 【答案】  【分析】根据集合间关系的传递性，即可结合子集关系求解. 【详解】由于，所以中元素都在，又， 所以中元素都在，因此中元素都在，故， 由于，所以中元素都在，且中至少有一个元素中没有， 而又，所以中元素都在，因此中元素都在， 但中至少有一个元素中没有，故， 故答案为：， 3．（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据两个集合中的元素，即可判断. 【详解】（1）集合的每个元素都是集合的元素，所以 （2）集合的每个元素都是集合的元素,所以 （3）集合，的元素相同，故 【经典例题十七 根据集合的包含关系求参数】 【例17】（江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证. 【详解】因为，所以. 所以或. 若，此时，，不成立，故不合题意； 若，此时，，成立. 故. 故选：C 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由为的真子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可. 【详解】因为BA，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：“，”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由 【答案】不存在，理由见解析 【分析】由题意得，，列出关于的不等式组，解出的范围即可求解. 【详解】由于命题p：“，”是真命题， 所以，， 所以 解得， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 【经典例题十八 判断两个集合是否相等】 【例18】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·全国·课前预习）集合的相等与子集的关系： 一般地，由集合相等以及子集的定义可知：如果且，则 ；如果，则 且 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 【答案】(1)； (2)A是C的子集 【分析】（1）根据集合的相等关系判断即可； （2）根据集合间的包含关系判断即可. 【详解】（1）因为等价于且； 等价于且； 则. （2）A是C的子集. 因为等价于或； 因为等价于且； 满足A的元素一定满足集合C，所以A是C的子集. 【经典例题十九 根据两个集台相等求参数】 【例19】（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得或（舍）， 所以，，， 故选：A． 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合， 则 ． 【答案】 【分析】根据元素互异性得到方程和不等式，得到答案. 【详解】由题意得得． 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】根据集合相等列出方程求解即可. 【详解】  ∵，∴， ∴，即． 又当时，由，得或， 即方程有两个实数根和1， 此时，与矛盾． 故不存在实数a，使． 【经典例题二十 空集的概念以及判断】 【例20】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）空集： 的集合叫空集，记作 .空集也是有限集. 【答案】 没有元素 【分析】略 【详解】略 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用根的判别式可解. 【详解】依题意，一元二次方程无实根， 则， 即，解得. 【经典例题二十一 空集的性质及应用】 【例21】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 1．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可知，，即可求解不等式； （2）分和两种情况，列不等式求解. 【详解】（1）若为非空集，则，解得：； （2）若，则， 当时，，解得：， 当时， ，解得： 或，解得： 所以实数的取值范围是或 【经典例题二十二 根据集合相等关系进行计算】 【例22】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.】 1．（21-22高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 【答案】4 【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解. 【详解】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 【答案】 【分析】结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值． 【详解】因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故. 【经典例题二十三 交集的概念及运算】 【例23】（24-25高三上·四川遂宁·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何交集运算求解即可. 【详解】由集合， 可得. 故选：B. 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）设集合则= 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】集合则. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课前预习）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，观察，你能用集合表示两次进货一样的品种吗？讨论集合，与集合C的关系． 【答案】能，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的 【详解】圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水， 圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面， 集合圆珠笔，方便面， 可见，集合C是由所有既属于集合又属于集合的元素组成的． 【经典例题二十四 根据交集结果求集合或参数】 【例24】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集可得，再解方程可得集合； 【详解】因为，所以， 代入，可得， 所以方程变为，可解得或3， 所以， 故选：C. 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 【经典例题二十五 并集的概念及运算】 【例25】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）已知或，若集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集定义得，再结合并集的运算即可直接得解. 【详解】由题得或. 故选：C. 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知集合，则 . 【答案】 【分析】利用并集的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合，． (1)当时，求集合，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，当时，． 所以，． （2）当时，，解得，满足， 当时，若，则，解得， 故实数的取值范围为． 【经典例题二十六 根据并集结果求集合或参数】 【例26】（2024·贵州遵义·二模）已知集合，，若，则整数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求出集合,再根据即可求解. 【详解】因为不等式或，解得或， 所以或， 因为，所以，解得，则整数的值为， 故选：A 1．（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】列举出的可能结果，得到答案. 【详解】或，共2个. 故选：B 2．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合并集运算结果可得，运算求解即可. 【详解】因为集合或，集合， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，可得，将中元素代入中可得的范围； （2）由，可得，对分类讨论可得的取值范围. 【详解】（1）， ∵，∴． ∴，且 即，∴ （2）∵，∴ 若，即，则． 若为单元素集，即，则． 当时，，满足． 当时，，不满足． 若，则由韦达定理知，无解， 综上的取值范围为． 【经典例题二十七 补集的概念及运算】 【例27】（15-16高一下·湖南株洲·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集定义直接求解即可. 【详解】由补集定义知：. 故选：C. 1．（2024·广东珠海·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，再求补集. 【详解】，且， 当时，，故． 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知全集，. (1)列举法表示集合； (2)求； (3)求. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）先用列举法求出集合；再用交并补的概念进行计算即可. 【详解】（1）全集，集合， 集合； 集合 （2） （3） 【经典例题二十八 根据补集运算确定集合或参数】 【例28】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的补集概念即得. 【详解】依题，由可得，. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 【经典例题二十九 交并补混合运算】 【例29】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：A 1．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 【详解】因为， 所以，又 所以， 故选：B 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 3．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）设集合，，求，， . 【答案】，，或 【分析】分别利用交集，并集，补集的运算进行求解即可. 【详解】由集合，， 则  ，或 因此可得或 又或， 因此或或或. 【经典例题三十 集合的应用】 【例30】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的含义求解即可. 【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛， 故没有同学参加三项比赛，即. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解. 【详解】设该班级的总人数构成全集，报名田赛的学生构成集合，报名径赛的学生构成集合，既不报名田赛也不报名径赛构成集合， 则， 则人. 故答案为：. 3．（21-22高一上·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【答案】(1)158人 (2)59人 【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉“两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人. （2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”， “只使用支付宝不使用微信支付” “两种支付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果. 【详解】（1）因为“使用支付宝”的有人，“两种支付方式都使用”的有人， 所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有（人）. （2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有（人）， 所以，“至少使用一种移动支付方式”的有（人）， 故“两种移动支付方式都不使用”有（人）. 【经典例题三十一 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例31】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 1．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 又全集， 所以. 故选：D. 2．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 【经典例题三十二 根据并集结果求集台元素个数】 【例32】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 1．（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数. 【详解】，，共个元素. 故选：B. 2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 3．（18-19高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先求出A，B，然后由并集定义计算； （2）由已知分析中哪些元素属于，哪些元素不属于，由此可解得的范围． 【详解】解：（1）， ， ∴. （2）∵，， ∴，，. ∴， 即解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合的元素，然后再按集合运算的定义分析计算． 【经典例题三十三 容斥原理的应用】 【例33】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（    ） A．20 B．15 C．25 D．30 【答案】A 【分析】利用三容斥原理即可求解. 【详解】设是会打乒乓球的老师，是会打羽毛球的老师，是会打篮球的老师， 由题意得， ， ， ， 而中把的区域计算了3次， 所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为. 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 3．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人.求参加竞赛的学生总人数. 【答案】280 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算作答. 【详解】依题意，用分别表示参加数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛的学生形成的集合， 则， ，， 因此 ， 所以参加竞赛的学生总人数为280. 【经典例题三十四 利用Venn图求集合】 【例34】（辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月份联合考试数学试题）已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合是集合的真子集，结合韦恩图逐项分析判断. 【详解】因为，等价于，等价于， 且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误； 且，故B正确； 据此作出韦恩图， 可知，，故CD错误； 故选：B. 1．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 2．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）如图所示，集合是全集，圆表示集合的子集，请将图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为 . 【答案】 【分析】根据韦恩图结合交并补集的关系求解即可. 【详解】由韦恩图可得，图中所示的阴影区域为的补集与的交集，即图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 【答案】， 【分析】根据集合运算的结果画出图，根据图可确定结果.或利用集合运算的定义法解出答案； 【详解】方法1（图法）：根据题意作出图如图所示 由图可知，． 方法2（定义法）：，，∴． 又，∴． ∵，，∴． 1．（2018高一上·全国·专题练习）下列各项中，不能组成集合的是 A．所有的正数 B．所有的老人 C．不等于0的数 D．我国古代四大发明 【答案】B 【分析】根据集合的三要素：确定性、互异性、无序性得到选项． 【详解】集合中的元素具有确定性，老人的标准不确定，元素不能确定，故所有的老人不能构成集合，故选B． 【点睛】本题考查集合中元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性． 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 4．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    6．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 10．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 11．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【答案】（2）（3） 【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解. 【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3） 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 【答案】 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 13．（23-24高一下·全国·课前预习）真子集： （1）一般地，如果集合A是集合B的 ，并且B中 元素不属于A，那么集合A称为集合B的 ，记作： (或 )，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). （2）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 【答案】 子集 至少有一个 真子集 【分析】略 【详解】略 14．（2023高一·全国·专题练习）已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 【答案】3或 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意，或. 故答案为：3或. 15．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 【答案】(1)0一定是中的元素，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用新定义判断即可得解； （2）假设中有非零元素，利用新定义推出矛盾即可得解； （3）先判断得5的正整数倍一定是中元素，再假设中有形如的元素，利用新定义推得也是的元素，从而得到矛盾，进而得解. 【详解】（1）（1）数字0一定是中的元素，理由如下： 若，则，，即. （2）因为为有限非空数集， 假设中有非零元素， 则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾， 所以. （3）因为中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素， 又，故当时，， 故所有形如的数都是的元素， 假设中有形如的元素，那么， 这与中最小正整数5矛盾， 综上，. 17．（22-23高一上·河南濮阳·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 【答案】存在，答案见解析 【分析】先根据题意分析得方程只有一个根或有两个相等实根，再分类讨论与两种情况，结合子集的定义即可得解. 【详解】要使集合有且仅有两个子集，即集合有且只有一个元素， 即方程只有一个根或有两个相等实根， 当，即时，方程化为，得， ，对应的两个子集：. 当，即时，，解得， 此时， 对应的两个子集：. 综上，当时，集合对应的两个子集为：； 当时，集合对应的两个子集为：. 19．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 20．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意可得，计算即可. （2）根据，分别计算出，然后得到集合，最后根据补集、交集进行运算即可. 【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， 学科网（北京）股份有限公司 $$