专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（方法梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。 【方法1】连接两点构造全等 【方法2】作垂直构造全等； 【方法3】作平行线构造全等； 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【方法5】构造双垂直等角全等； 【方法6】倍长中线构造全等； 【方法7】截长补短构造全等； 【方法8】旋转构造全等； 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【方法14】截长补短构造全等拓展. 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】连接两点构造全等； 【例1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）已知，，求证：． 【变式1】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，于点，且．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ． 【方法2】作垂直构造全等； 【例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【方法3】作平行线构造全等 【例2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．   (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【变式2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【例4】（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，已知，平分，且，为上一点，，，则 ． 【方法5】构造双垂直等角； 【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F． （1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF． （2）若AB=2，求四边形DECF的面积． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【方法6】倍长中线构造全等； 【例6】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【方法7】截长补短构造全等； 【例7】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式1】（19-20八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　） A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定 【变式2】（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【方法8】旋转构造全等； 【例8】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【变式1】（21-22九年级上·湖北·阶段练习）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则 ． 【变式2】（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【变式1】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【例10】（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点在第二象限，，．    (1)求的值； (2)当时． ①求三角形的面积； ②在坐标平面内是否存在点（不与点重合），使与全等？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 【变式2】（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【例11】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，点Q在x轴的负半轴上，且分别以、为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【变式2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝ ． 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【例12】在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【变式1】 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 ． 【变式2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【例13】（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是 °．（用含x的式子表示） 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【变式2】如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【方法14】截长补短构造全等拓展. 【例14】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（方法梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。 【方法1】连接两点构造全等 【方法2】作垂直构造全等； 【方法3】作平行线构造全等； 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【方法5】构造双垂直等角全等； 【方法6】倍长中线构造全等； 【方法7】截长补短构造全等； 【方法8】旋转构造全等； 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【方法14】截长补短构造全等拓展. 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】连接两点构造全等； 【例1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）已知，，求证：． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明．即可得到结论． 解：如图，连接， ∵，，， ∴ ∴． 【变式1】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，于点，且．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：连接，先证明得到，再证明得到，由于，则利用等线段代换得到，构建与全等是解决问题的关键． 解：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到． 解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法2】作垂直构造全等； 【例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 (2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题 【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分． （2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题． 本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴直线平分． （2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形． 证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵直线平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴与的面积相等． 故逆命题是真命题． 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积． 解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 【方法3】作平行线构造全等 【例3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．   (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴，即． 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 证明：过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【例4】（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析． 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 解：（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，已知，平分，且，为上一点，，，则 ． 【答案】/12度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线． 延长交于点F，先证明，则，然后根据三角形外角的性质并结合已知条件可逐步推得． 解：如图，延长交于点F． ∵平分，且， ∴， 又， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【方法5】构造双垂直等角全等； 【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F． （1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF． （2）若AB=2，求四边形DECF的面积． 【答案】（1）证明见解析．（2）． 分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积． 解：（1）连CD，如图， ∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点， ∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA， ∴∠BCD=45°，∠CDA=90°， ∵DM⊥DN， ∴∠EDF=90°， ∴∠CDE=∠ADF， 在△DCE和△ADF中， ， ∴△DCE≌△ADF（ASA）， ∴DE=DF； （2）∵△DCE≌△ADF， ∴S△DCE=S△ADF， ∴四边形DECF的面积=S△ACD， 而AB=2， ∴CD=DA=1， ∴四边形DECF的面积=S△ACD=CD•DA=． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了梯形面积的计算，本题中求证是解题的关键．作，易证，求四边形的面积即可解题． 解：过点E作于点A，于点E， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积＝四边形的面积， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积为； 故选C． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；；如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，则可证明得到，根据三角形面积公式得到，进而得到，由此求解即可． 解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法6】倍长中线构造全等； 【例6】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． （1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【方法7】截长补短构造全等； 【例7】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析（2）①AC   ②DF，见解析（3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 解：（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（19-20八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　） A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定 【答案】C 【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系. 解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠DAB=180°， 又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB ∴∠ABE+∠EAB==90°， ∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°， 在△ADE和△AFE中， ∴△ADE≌△AFE（SAS）， 所以∠1＝∠2， 又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°， 所以∠3＝∠4， 在△BCE和△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， 所以BC＝BF， 所以AB＝AF+BF＝AD+BC； 故选C． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法. 【变式2】（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 【方法8】旋转构造全等； 【例8】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 解： （1）， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 【变式1】（21-22九年级上·湖北·阶段练习）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则 ． 【答案】2 【分析】如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．首先证明△DAH≌△EAC（SAS），推出DH＝CE，由CD≤DH＋CH，推出当D，C，H共线时，DC最大，如图2中，设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH=，列方程，即可解决问题． 解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC． ∵∠DAE＝∠HAC＝90°， ∴∠DAH＝∠EAC， ∵DA＝EA，HA＝CA， ∴△DAH≌△EAC（SAS）， ∴DH＝CE， ∵CD≤DH＋CH，， ∴当D，C，H共线时，DC最大值=，如图2中， 设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH=， ∴+x=，解得：x=1， ∴AB=2AC=2． 故答案是：2． 【点拨】点评：本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造全等三角形． 【变式2】（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】C 【分析】过A作，过D作，垂足为E，证明，根据四边形的面积即可求解． 解：过A作，过D作，垂足为E，如图， ∴， ∵且， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积为 ． 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 解：证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴ER=， ∴HE＝． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 【变式1】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点拨】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展； 【例10】（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点在第二象限，，．    (1)求的值； (2)当时． ①求三角形的面积； ②在坐标平面内是否存在点（不与点重合），使与全等？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①②存在，符合条件的的坐标是或或 【分析】（1）过点C作轴于E，证明，由全等三角形的性质得出，，即可得出答案． （2）根据梯形面积减去两个三角形的面积，可得出答案； （3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 解：（1）解：过点C作轴于E，如图：    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则 （2）解：①如图    因为 所以，， 所以三角形的面积为； ②存在点，使与全等， 分为三种情况： 第一种情况：如图，过作轴于，则，    ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即的坐标是； 第二种情况：如图，过作轴于，过作轴于，    则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 设点 ∴，， ∵，轴， ∴， 故， 则， 即的坐标是； 第三种情况：如图，过作轴于，    则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即的坐标是， 综合上述，符合条件的的坐标是或或． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，割补法求三角形的面积，垂线模型，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，难度较大，综合性较强，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想． 【变式1】如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 【答案】B 【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题． 解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N， ∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°， ∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°， ∴∠BAO=∠NBE， ∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形， ∴AB=BE，BF=BO； 在△ABO与△BEN中， ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴BO=NE，BN=AO； ∵BO=BF， ∴BF=NE， 在△BPF与△NPE中， ∴△BPF≌△NPE（AAS）， ∴BP=NP=BN；而BN=AO， ∴BP=AO=×8=4， 故选B． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 【变式2】（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解． 解：证明：如图， 过C作的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵cm，cm， ∴， ∴cm， ∴cm． 故答案为：3 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键． 【方法11】作平行线构造全等拓展； 【例11】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，点Q在x轴的负半轴上，且分别以、为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ． 【答案】7． 【分析】先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP． 解：过N作NH∥CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN＝180°， ∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM， ∴∠MCQ+∠ACN＝180°， ∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°， ∴∠CNH＝∠ACQ， 又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°， ∴∠HCN＝∠QAC， 在△HCN和△QAC中， ， ∴△HCN≌△QAC（ASA）， ∴CH＝AQ，HN＝QC， ∵QC＝MC， ∴HN＝CM， ∵点C（0，4），S△CQA＝12， ∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12， ∴AQ＝6， ∴CH＝6， ∵NH∥CM， ∴∠PNH＝∠PMC， ∴在△PNH和△PMC中， ， ∴△PNH≌△PMC（AAS）， ∴CP＝PH＝CH＝3， 又∵CO＝4， ∴OP＝3+4＝7； 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 解：如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 【变式2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝ ． 【答案】2 【分析】过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，证明△ADG是等边三角形，再证明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，进而证明∠BDE＝30°，得EH＝BD，再根据三角形的面积公式求得BD． 解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD， ∵∠DAG＝∠BAC＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AD＝AG＝DG， ∵AD＝CE， ∴AB+AG＝AC+AD， ∴BG＝CD， 在△BDG和△DEC中， ， ∴△BDG≌△DEC（SAS）， ∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°， ∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°， ∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴EH＝DE， ∴EH＝BD， ∵△DBE的面积为2， ∴，即， ∴BD＝2 ． 故答案为2． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形． 【方法12】构造双垂直等角全等拓展； 【例12】在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】12.5 【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论． 解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB（ASA）， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故答案为12.5． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 【变式2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 【方法13】延长相交构造全等拓展； 【例13】（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是 °．（用含x的式子表示） 【答案】（180﹣） 【分析】延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO，由等腰三角形的性质可得∠E＝＝90°﹣，由“SAS”可证△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°﹣，由角平分线的性质和外角的性质可求解． 解：如图，延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO， ∵AB＝OC﹣AC， ∴AB+AC＝OC＝AE+AC， ∴EC＝OC， ∴∠E＝∠EOC， ∴∠E＝＝90°﹣， ∵AO平分∠NAC， ∴∠NAO＝∠OAC， ∵∠BAC＝∠EAN， ∴∠EAO＝∠BAO， 在△EAO和△BAO中， ， ∴△EAO≌△BAO（SAS）， ∴∠E＝∠ABO＝90°﹣， ∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O， ∴OB平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABO＝180°﹣x°， ∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠NAC＝180°﹣x+180°﹣2x＝360°﹣3x， ∴∠OAC＝180°﹣， 故答案为：（180﹣）． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 解：试题解析：①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正确； ②如图：延长GD与AC交于点P'， 由三线合一可知CG=CP'， ∵∠ADC=45°，DG⊥CF， ∴∠EDA=∠CDA=45°， ∴∠ADP=∠ADF， ∴△ADP'≌△ADF（ASA）， ∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确； ③如图： ∵∠EDA=∠CDA， ∠CAD=∠EAD， 从而△CAD≌△EAD， 故DC=DE，③正确； ④∵BF⊥CG，GD⊥CF， ∴E为△CGF垂心， ∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形， ∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④错误； ⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M， 则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC， ∵∠MFE=∠CGE， ∠CEG=∠EMF=135°， ∴△EMF≌△CEG（AAS）， ∴GE=MF， ∴CF=CM+MF=2CD+GE， 故⑤正确； 故选D 点拨：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀． 【变式2】如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根据线段的和可得结论； ②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：； ④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论． 解：①过点E作EH⊥AB于H，如图1， ∵∠ABC=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴EH=BH， ∵AE平分∠CAB， ∴EH=CE， ∴CE=BH， 在△ACE和△AHE中， ∵ ， ∴△ACE≌△AHE(AAS)， ∴AH=AC， ∴AB−AC=AB−AH=BH=CE， 故①正确； ②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135° 故②正确； ③如图2，延长BD、AC交于点G， ∵AD平分∠BAG，AD⊥BG， ∴BD=DG， ∴CD是Rt△BCG的斜边的中线， ∴CD=BD， ， ∴∠DBC=∠DCB=22.5°， ∴∠CBG=∠CAE=22.5°， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCG， ∴△ACE≌△BCG， ∴ ， 故③正确； ④∵AB=AG=AC+CG， ∵BG=2CD>AC，CD>CG， ∴AB≠3CD， 故④错误， 故选B． 【点拨】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键. 【方法14】截长补短构造全等拓展. 【例14】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 解：（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答． 解：在BE上截取BG＝DF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ADF与△ABG中 ， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠FAE＝∠GAE， 在△AEG与△AEF中 ， ∴△AEG≌△AEF（SAS） ∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4． 故选：B． 【点拨】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角性质，在上截取，连接，证明，得到，，由三角形内角和定理得到，由三角形外角性质得到，得到，进而得到，由平分，可得到，进而得到，即可求证，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 证明：在上截取，连接， ∵平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$