专题02 直线与圆的方程（12大基础题+8大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线经过两点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线的倾斜角为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 6．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 7．（23-24高二上·四川成都·期中）过两点的直线的倾斜角为，则 ． 8．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为 （用弧度制表示）． 直线的斜率 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．4 C． D． 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（多选）（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 7．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 8．（23-24高二上·天津滨海新·期中）经过两点直线的斜率为 . 直线的平行与垂直 1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 5．（23-24高二上·云南玉溪·期中）若直线与直线垂直，则m的值为（    ） A． B． C． D．或0 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 7．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 8．（23-24高二上·全国·期中）直线，，若，则 . 9．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线，若，则m= ． 10．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 11．（23-24高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线的倾斜角，直线，则的倾斜角为 . 12．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 13．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 直线方程 1．（23-24高二上·河北保定·期中）直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 4．（多选）（23-24高二上·浙江金华·期中）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）与直线垂直的直线的斜率为 ． 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 8．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 9．（23-24高二上·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 10．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 11．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 12．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 13．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 14．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 15．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 直线过定点问题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 3．（多选）（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．无论m取何值，与都互相垂直 B．和分别过定点和 C．不论m为何值，和都关于直线对称 D．若和交于点M，则的最大值是 4．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 6．（23-24高二上·安徽宿州·期中）不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为 ． 7．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 直线的交点问题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知三条直线：，，不能围成一个三角形，则实数k的值为（    ） A． B． C．0 D．2 9．（多选）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 10．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 11．（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 点到直线的距离问题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南·期中）已知直线过点和，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 5．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 10．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（     ） A． B．3 C． D．1 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 13．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 15．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 16．（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 圆的方程 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 7．（23-24高二上·全国·期中）以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 9．（23-24高二上·北京房山·期中）已知，，，则外接圆的方程为 ． 10．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 11．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 12．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 二元二次方程表示圆的条件 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 7．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．实数的取值范围是 B．圆的圆心为 C．若，则圆的半径为 D．若圆与轴相切，则 9．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，方程表示圆，圆心为 ． 10．（23-24高二上·四川·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. 直线与圆关系判断及弦长问题 1．（23-24高二上·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁·期中）若圆关于直线对称，则圆C的面积为（    ） A．π B．2π C．4π D．6π 6．（23-24高二上·河南商丘·期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 8．（多选）（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知点和圆O：，则下列选项正确的有（    ） A．若点P在圆O内，则直线与圆O相交 B．若点P在圆O上，则直线与圆O相切 C．若点P在圆O外，则直线与圆O相离 D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 11．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线被圆截得的弦长为 . 12．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 13．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 圆的切线问题 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·福建南平·期中）过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（多选）（23-24高二上·福建厦门·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 7．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆在点处的切线方程为 ． 8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 9．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 . 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆（）与轴相切，则 . 11．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 12．（23-24高二上·河南·期中）已知圆E经过点，，且与y轴相切. (1)求圆E的方程； (2)求过点的圆E的切线方程. 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 圆与圆的位置关系的判断 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 3．（23-24高二上·四川成都·期中）圆，圆，判断两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内含 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 5．（23-24高二上·内蒙古·期中）若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．19 D．21 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）与圆以及圆都外切的动圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．不含端点的一条射线 D．圆 8．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 10．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆与圆内切，则 . 11．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 求斜率范围 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 5．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 8．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 10．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 对称问题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东·期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京西城·期中）将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 8．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 9．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 10．（23-24高二上·四川眉山·期中）点关于的对称点为 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 13．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 15．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 直线方程的综合问题 1．（23-24高二上·北京·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 2．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 4．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 5．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 圆过定点问题 1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，则下列结论中正确的有（    ） A．圆过定点 B．点在圆外 C．直线平分圆周 D．存在实数，使圆与轴相切 2．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点，点为直线上的任意一点，以为直径作圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆面积的最小值为 B．圆恒过定点 C．圆心的轨迹方程是 D．若直线与圆相交，且所得弦长为时，圆面积为 3．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 4．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知圆C： (1)证明：圆C恒过两个点． (2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率． 6．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 与圆有关的最值问题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二上·福建福州·期中）设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 7．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，，，动点是平面上动点，其轨迹为．则下列结论正确的是（    ） A．若动点满足，则曲线的方程为 B．若动点轨迹为：，则的最小值为10 C．若动点满足，则曲线关于轴对称 D．若动点满足，则面积的最大值为6 8．（多选）（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 9．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 10．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线和圆.则（    ） A．无论为何值，直线与圆总相交 B．直线被圆截得的最长弦长为5 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时， 11．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 12．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 13．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 14．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 公共弦与公切线问题 1．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆，圆，则下列选项错误的是（    ） A．两圆的圆心距离是 B．两圆有条公切线 C．两圆相交 D．公共弦长 4．（多选）（23-24高二上·安徽六安·期中）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 5．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 6．（多选）（23-24高二上·浙江宁波·期中）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 8．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 9．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆与圆相交于两点．则 ． 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 11．（23-24高二上·安徽·期中）已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是 （给出满足条件的一个值即可）． 12．（23-24高二上·河北·期中）圆与圆有条公切线，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 轨迹问题 1．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 4．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 6．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆过点和，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 新定义问题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 3．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.   ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】直线，即， 设该直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线经过两点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率关系，及两点求斜率确定倾斜角的大小. 【详解】由题设，若直线的倾斜角为且，则， 所以. 故选：D 3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 4．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线的倾斜角为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】由题意可知直线与轴垂直，结合倾斜角的概念即可得解. 【详解】由题意直线为与轴垂直的直线，故它的倾斜角为90°. 故选：B. 6．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系列方程求解即得. 【详解】由直线的倾斜角为可得，， 解得，， 故答案为：． 7．（23-24高二上·四川成都·期中）过两点的直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角求出斜率，再用两点坐标表示斜率即可求出的值. 【详解】由过两点的直线的倾斜角为， 知其斜率为. 故答案为： 8．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为 （用弧度制表示）． 【答案】/ 【分析】 根据题意，设直线的倾斜角为，得到，即可求解. 【详解】 设直线的倾斜角为， 因为直线平行于第二、四象限的角平分线，可得直线的斜率为， 所以，可得. 故答案为：. 直线的斜率 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，即可求解. 【详解】由点，，根据斜率公式，可得． 故选：A. 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据斜率公式求解． 【详解】由题意，解得， 故选：C． 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用两点式求斜率，即可得直线的一个方向向量，进而确定参数值. 【详解】由题设，故对应直线的一个方向向量为， 所以. 故选：B 5．（多选）（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断. 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 6．（多选）（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 【答案】AC 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 7．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 8．（23-24高二上·天津滨海新·期中）经过两点直线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】利用斜率公式可求答案. 【详解】因为，所以过两点直线的斜率为； 故答案为： 直线的平行与垂直 1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. 【详解】由直线与直线垂直，得， 所以或. 故选：D 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 5．（23-24高二上·云南玉溪·期中）若直线与直线垂直，则m的值为（    ） A． B． C． D．或0 【答案】B 【分析】利用直线垂直公式直接求解. 【详解】若直线与直线垂直, 所以，解得. 故选：B 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接根据直线一般式的垂直公式求解即可. 【详解】若直线与直线垂直, 则，解得. 故选：C. 7．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 8．（23-24高二上·全国·期中）直线，，若，则 . 【答案】2 【分析】根据两直线平行求解参数即可. 【详解】解：因为直线，，， 所以且两直线不重合， 解得或， 当时两直线重合，舍去，所以． 故答案为：2． 9．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线，若，则m= ． 【答案】/ 【分析】由直线垂直条件直接列式计算，即可得出结果. 【详解】因为，则，解得， 故答案为：. 10．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件可得，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 故答案为：8 11．（23-24高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线的倾斜角，直线，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角之间的关系可得，由两直线垂直可得的倾斜角为. 【详解】由直线的倾斜角可得其斜率为， 设的倾斜角为，由直线可得，可得； 又，所以可得. 所以的倾斜角为. 故答案为： 12．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 【答案】(1)且 (2)， (3)或 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【详解】（1）由直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. （3）由直线与垂直，则，解得或. 13．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点与不过原点讨论求得直线方程； （2）根据求出值，再逐一验证. 【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 直线方程 1．（23-24高二上·河北保定·期中）直线l：在x轴和y轴上的截距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直线的一般是方程以及截距的定义求解. 【详解】令，则，解得； 令，则，解得； 直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，， 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截距的意义直接得解. 【详解】由已知， 令，得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 3．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】利用直线的方向向量的定义、直线方程的表示形式一一判断求解. 【详解】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选:AB. 4．（多选）（23-24高二上·浙江金华·期中）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则 或.分类讨论，代点计算即可. 【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故D正确； 故选：ABD． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）与直线垂直的直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】直接根据两直线垂直的斜率关系求解即可. 【详解】由直线得，其斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线. 【详解】将点代入两条直线可得， 所以点都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：. 8．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由是线段的中点，可得A、两点坐标，后可得直线方程. 【详解】因A、两点在x轴和轴上，设， 因是线段的中点，则， 故直线的截距式方程为：. 故答案为：. 10．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 11．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 12．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    13．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 14．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 15．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两点式方程可得； （2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程. 【详解】（1）由题意得的两点式方程为， 化为一般式方程为. （2）设，的斜率分别为，. 由题意得中点的坐标为， 由，得，则. 因为，所以，得. 故的斜截式方程为. 直线过定点问题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 3．（多选）（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．无论m取何值，与都互相垂直 B．和分别过定点和 C．不论m为何值，和都关于直线对称 D．若和交于点M，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】对于A：根据直线垂直的分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于C：根据直线对称的点的性质分析判断；对于D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】对于选项A：因为，无论m取何值，与都互相垂直，故A正确； 对于选项B：对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为， 对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，故B正确； 对于选项C：在上任取点，关于直线对称的点的坐标为， 代入方程得：不恒在上，故C错误； 对于选项D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆， 可知圆心为，半径为， 所以的最大值是，故D正确； 故选：ABD. 4．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线过定点且互相垂直可确定点轨迹为圆，将问题转化为圆外一点到圆上的动点距离的最小值，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 又知直线，可得直线恒过定点， 直线，可得直线恒过定点， 所以点在以AB为直径的圆上，且， 所以半径为，圆心C为AB的中点，即， 即所在的圆的方程为：， 可得， 所以O到圆上点P的最小距离． 故答案为：． 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 【答案】 【分析】将直线化成，即可求解. 【详解】直线 可化为， 联立，解得，所以点A的坐标为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·安徽宿州·期中）不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用直线方程变换主元计算即可. 【详解】由， 令，即该直线过定点. 故答案为： 7．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可； （2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 直线的交点问题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 2．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为. 故选：A. 3．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 4．（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程. 【详解】联立，解得：， 即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D. 5．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程，解之即可. 【详解】由，解得，则交点坐标为. 故选：D 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 7．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率. 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 8．（多选）（23-24高二上·贵州六盘水·期中）已知三条直线：，，不能围成一个三角形，则实数k的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分直线与平行或重合，直线与平行或重合和直线过和的交点，三种情况讨论，结合两直线平行的判定和两直线的交点坐标，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，直线，不能围成一个三角形， 当直线与平行或重合时，可得，解得； 当直线与平行或重合时，可得，解得； 当直线过和的交点时， 由方程组，解得，即两直线的交点为， 代入直线，可得，解得， 所以实数的值为. 故选：BCD. 9．（多选）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. 10．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 11．（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 点到直线的距离问题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】. 故选：D. 3．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线所过定点，再由点到定点的距离为，点到直线的距离的最大值求解. 【详解】解：直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 4．（23-24高二上·河南·期中）已知直线过点和，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为直线经过两点(2,3)和(-2,1)，则直线方程为，化简得， 则坐标原点到直线的距离为. 故选：C 【分析】由两点式可以写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 5．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求解. 【详解】由点到直线距离公式知，， 解得， 故选：A 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 8．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 9．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D. 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B正确； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D错误； 故选：BC. 10．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】AC 【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解. 【详解】因为，两点到直线l：的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上， 当AB所在的直线平行于直线l时，因为，所以直线l的斜率，所以； 当AB的中点在直线l上时， ，解得， 故选：AC. 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】依题意设所求直线方程为， 则点到直线的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：AB 12．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 【答案】AD 【分析】由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或. 故选：AD. 13．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等， 因此直线存在斜率，设直线的方程为，即， 若点和点到直线的距离相等， 则，即，解得或， ∴直线的方程为或. 故选：BC. 14．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】由两线平行求得，再应用平行线的距离公式求两条直线间的距离. 【详解】由两线平行知：，即直线与平行， 所以它们的距离为. 故答案为： 15．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可； （2）由直线方程的点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. ∴点到直线的距离为. （2）由第（1）问，直线的斜率为， ∴边上的高所在直线的斜率为， 又∵边上的高所在直线过点， ∴边上的高所在直线的方程为，即. 16．（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 【答案】或 【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点． 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 圆的方程 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 5．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 6．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为： 7．（23-24高二上·全国·期中）以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程． 【详解】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 设所求圆的半径为，可得或， 解得或，所求圆的方程为或. 故答案为：或. 8．（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【分析】设所求方程为，然后代入点即可求解. 【详解】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 9．（23-24高二上·北京房山·期中）已知，，，则外接圆的方程为 ． 【答案】 【分析】首先设外接圆的方程为，从而得到，再解方程组即可. 【详解】设外接圆的方程为， 则， 所以外接圆的方程为：. 故答案为： 10．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 11．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解. 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 12．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再由斜率之积为求出，再由点斜式写出直线方程； （2）设出圆的一般方程，带入三点坐标，解出即可. 【详解】（1）因为，设边上的高所在直线的斜率为， 则， 因为点在高线上， 所以，即 （2）设外接圆的方程为， 则，解得， 故外接圆的方程为 二元二次方程表示圆的条件 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的方程以及点在圆外分别列出关于的不等式，由此求解出的取值范围. 【详解】因为方程表示圆， 所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即， 所以， 故选：C. 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据表示圆得到或，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 可以推出表示圆，满足充分性， 表示圆不能推出，不满足必要性， 所以是表示圆的充分不必要条件. 故选：A. 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 7．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 8．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．实数的取值范围是 B．圆的圆心为 C．若，则圆的半径为 D．若圆与轴相切，则 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出关于的不等式，求出的范围，可判断A选项；求出圆的圆心坐标，可判断B选项；当时，求出圆的半径，可判断C选项；根据圆与轴相切求出的值，可判断D选项. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得. 对于A选项，有，解得，A对； 对于B选项，圆的圆心坐标为，B错； 对于C选项，当时，圆的半径为，C对； 对于D选项，若圆与轴相切，则，解得，D错. 故选：AC. 9．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，方程表示圆，圆心为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，和确定出的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标. 【详解】由题意得，解得或， 当时，方程化为，此时， 所以此方程表示圆，， 所以圆的圆心为，半径为5， 当时，方程化为， 即， 此时，所以此方程不表示圆， 综上，圆心为， 故答案为： 10．（23-24高二上·四川·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将一般方程转化成标准方程的形式即可求出结果； （2）先求出半径的最大值，再设出直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，再利用直线与圆相切，建立方程即可求出结果. 【详解】（1）由得，， 因为该方程表示圆，所以，即， 解得，则实数的取值范围为. （2）令， 开口向下，对称轴为， 当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径长，得到，解得， 即切线方程为，即 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为，满足题意， 所以也与圆相切， 所以，所求切线方程为或. 直线与圆关系判断及弦长问题 1．（23-24高二上·福建南平·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 2．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：B 3．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 4．（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】直线恒过定点， 将转化为， 曲线表示以为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 当时，与曲线有两个不同的交点， 故选：A. 5．（23-24高二上·辽宁·期中）若圆关于直线对称，则圆C的面积为（    ） A．π B．2π C．4π D．6π 【答案】B 【分析】由题意圆心在直线上，由此可求出参数，进一步可得圆的半径、面积. 【详解】由题意圆的圆心在直线上，即，解得， 所以圆的半径的平方为，面积为. 故选：B. 6．（23-24高二上·河南商丘·期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为与有两个交点，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】由，则，令， 则，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴下方的半圆， 因为方程有两相异实根，即与有两个交点， 其中表示过点的直线， 作出直线与曲线的图象如图， 其中，且， 当时直线与曲线有且只有一个交点， 结合图象可知的取值范围是． 故选：A． 7．（多选）（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知点和圆O：，则下列选项正确的有（    ） A．若点P在圆O内，则直线与圆O相交 B．若点P在圆O上，则直线与圆O相切 C．若点P在圆O外，则直线与圆O相离 D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则 【答案】BD 【分析】根据圆心到直线的距离即可结合选项求解ABC，根据勾股定理即可求解D. 【详解】对于A，点在圆内，则， 又点到直线的距离， 直线与圆相离，故A错误； 对于B，点在圆上，， 又点到直线的距离，故与圆相切， ,故B正确； 对于C，点在圆外，则， 又点到直线的距离， 直线与圆相交，故C错误； 若直线与圆相切，则点在圆外，所以，故D正确． 故选：BD． 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【答案】相切 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 11．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】8 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】由，解得或， 即直线与圆交于和两点， 所以弦长为. 故答案为： 12．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 13．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线和曲线的位置关系根据一元二次方程的判别式求出的取值范围． （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和向量的数量积的应用求出，即可由圆的弦长公式求解． 【详解】（1）设过点且斜率为的直线的方程为：， 则：， 整理得：， 直线与圆交于，两点， ， 所以：， 解得：． （2）直线与圆交于,，,两点， ， 由于：， 则：，所以：， 故 解得：或． 由于，所以， 直线的方程为：， 圆心到直线的距离， 圆的半径为 所以． 圆的切线问题 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 3．（23-24高二上·福建南平·期中）过点作圆的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由，得,则圆心， 则，则， 则四边形的面积为. 故选：A    4．（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 故选：B 5．（多选）（23-24高二上·福建厦门·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，分为切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程． 【详解】圆的圆心为，半径， 若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 所以切线方程为， 综上可知，切线方程为或． 故选：BC． 6．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 7．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率；再根据圆的性质求出切线的斜率；最后根据点斜式即可写出切线方程. 【详解】 由圆可得圆心坐标为，点在圆上. 则直线的斜率为：. 由圆的性质可知：圆在点处的切线与直线垂直. 所以圆在点处的切线斜率为，则切线方程为，即. 故答案为： 8．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【答案】2 【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程． 【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2， 切线方程为，即． 故答案为：． 9．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意判断出直线与圆相离，再将四边形面积表示为，然后根据点到直线的距离公式求出，即可求解． 【详解】根据题意可得，半径为， ∵直线， ∴点到直线的距离为，即直线与圆相离， ∵点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为， ∴四边形面积为， ∵圆心到直线的距离为， ∴，即，则四边形面积最小为. 故答案：. 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆（）与轴相切，则 . 【答案】 【分析】求出圆心到轴的距离即可求得半径为. 【详解】根据题意可知圆心到轴的距离等于半径， 又，解得. 故答案为： 11．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 . 【答案】或 【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解. 【详解】由已知圆的圆心在直线上， 则设， 又圆与轴相切， 所以半径， 圆的方程为 因为圆与直线相切， 所以， 化简得，解得或， 所以圆的方程为或， 故答案为：或. 12．（23-24高二上·河南·期中）已知圆E经过点，，且与y轴相切. (1)求圆E的方程； (2)求过点的圆E的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组求解即可； （2）分切线斜率存在和不存在分类讨论，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解即可. 【详解】（1）设圆E的方程为， 由题意可得，解得， 则圆E的方程为； （2）因为，所以点P在圆E外， ①若直线斜率不存在，直线方程为， 圆心到直线的距离为2，满足题意； ②若直线斜率存在，设切线的斜率为k， 则切线方程为，即， 由圆E的方程为可得圆心，半径为2， 所以圆心到切线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，过点的圆E的切线方程为或. 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果； （2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解. 【详解】（1）因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 所以或. （2）因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 圆与圆的位置关系的判断 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）圆，圆，判断两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】由圆可化为， 所以圆心，半径， 由圆可化为， 所以圆心为，半径， ， 所以，， 所以，即圆与圆相交， 故选：C 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B 5．（23-24高二上·内蒙古·期中）若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．19 D．21 【答案】A 【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由圆，即， 则圆心，，， 所以， 因为两圆外切，则， 即，解得. 故选：A. 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得出圆，然后根据两圆外离即圆心距大于半径和得出答案. 【详解】由题意得，圆，圆与圆的圆心距为5， 若，则两圆的半径之和小于5，两圆外离，反之亦成立, 故“”是“圆与圆外离”的充要条件． 故选：A. 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）与圆以及圆都外切的动圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．不含端点的一条射线 D．圆 【答案】C 【分析】利用圆的位置关系计算即可. 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心为，半径为， 易知，所以上述两圆相内切，切点为， 故若有动圆与上述两圆均外切，则切点必为，则三点共线， 不妨设该动圆圆心为，半径为， 则有，且或， 当时，上式化为恒成立， 当时，上式化为，恒不成立， 综上为动圆圆心的轨迹. 故选：C 8．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即， 解得，所以实数a取值范围是. 故答案为：. 10．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆与圆内切，则 . 【答案】 【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得. 【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为 因两圆内切，故，即，解得： 故答案为： 11．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值 【详解】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 故答案为：或. 求斜率范围 1．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依题可得直线l过点，求出，结合图象观察即可. 【详解】如图所示：依题意直线l过点， ，， 要想直线l过点且与线段MN相交， 则或．    故选：A． 3．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围. 【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为， l过点的斜率， l过点的斜率，    故直线l的斜率k的取值范围为. 故选：C 4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【分析】求得直线l恒过定点Q，求得与，结合图象可求得m的范围进而可得结果. 【详解】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或， 故选：AD. 5．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出直线过的定点，从而求得，进而利用数形结合可得直线倾斜角的范围，由此得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 又，所以，， 故直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，    结合图象，可知直线的倾斜角范围为，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算，，再根据图像得到答案. 【详解】，， 直线过点且与线段不相交，故，即. 故答案为：. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据直线的方向向量的定义可求 （2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围 【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量， 所以 （2）过定点，如图 因为， 要使直线l与线段有交点，则a的范围为 对称问题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长. 【详解】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：B.    4．（23-24高二上·山东·期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点关于直线的对称点，从而当三点共线时得到最小值. 【详解】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 故选：D. 5．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 故，解得， 故关于直线对称的点为， 所以所求的圆的方程为． 故选：C 6．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，联立方程组求解定点，再求解点关于直线的对称点，利用垂直平分性质建立方程组求解即可. 【详解】直线过定点， 由，解得， 则定点为. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 则关于直线r的对称点的坐标为. 故选：C. 7．（23-24高二上·北京西城·期中）将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 【答案】 【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出关于轴和直线的对称点，数形结合求出最小值. 【详解】设关于的对称点为，关于轴的对称点为， 则，解得，故， 连接交轴于点，交直线于点，连接， 则， 此时的周长最小，最小值为.    故答案为： 9．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可. 【详解】因为直线与直线交于点A， 所以联立，解得，即. 设点关于直线的对称点坐标为， 则的中点坐标为，， 故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是. 故答案为：. 10．（23-24高二上·四川眉山·期中）点关于的对称点为 【答案】 【分析】设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果. 【详解】设对称点坐标为， 根据题意可得，解得； 所以对称点坐标为. 故答案为： 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 【答案】 【分析】求出与的交点，再任选另一点，求出其关于的对称点，从而由两点式求出直线方程. 【详解】与不平行， 故经过与的交点， 联立，解得， 即在上， 取上另一点，设关于直线的对称点为， 则有，解得， 过两点和，故方程为，即 故答案为： 12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标； （2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程. 【详解】（1）设，顶点的坐标为， 由中点在上， 可得：，即， 又由于点在直线上，得， 联立解得，即； （2）顶点的坐标为， 设A点关于的对称点为， 则有，解得，即， 显然点在BC边所在的直线上，且， 得直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 13．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标； （2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程. 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 15．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 直线方程的综合问题 1．（23-24高二上·北京·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据直线的一般式方程以及截距式方程的概念求解. 【详解】当时，曲线方程为； 当时，曲线方程为； 当时，曲线方程为； 当时，曲线方程为； 作图如下，    所以围成图形是一个菱形，面积为. 故选：B. 2．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）将方程变形为，再由，得到，即可证明结果； （2）根据条件，求出直线的横、纵截距，从而得得，再利用基本不等式即可求出最小值，从而求出结果. 【详解】（1）直线的方程变形为为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点. （2）由， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以，， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，， 所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为. 4．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【答案】(1) (2)，200平方米 【分析】（1）先求点的坐标与直线的方程，再由点到直线的距离公式可得； （2）由对称性解得点坐标，可得所在直线方程，再由对称性将四边形面积转化为求三角形面积求解即可. 【详解】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 5．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)4； 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. （2）如图所示：    点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． （3）如图所示：    若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 圆过定点问题 1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，则下列结论中正确的有（    ） A．圆过定点 B．点在圆外 C．直线平分圆周 D．存在实数，使圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】选项A，将圆的方程化简得到，再由即可求出圆过点； 选项B，利用点与圆位置关系的判断方法即可判断出选项的正误； 选项C，根据条件，可得圆心在直线上，从而可判断出选项C的正误； 选项D，根据条件可得，从而求出，即可解决问题. 【详解】对于选项A，由，得到， 整理得到， 由，得到或，故圆过定点和，所以选项A正确； 对于选项B，因为圆心为，， 点到圆心的距离， 又因为，当时，，此时点在圆内，所以选项B错误； 对于选项C，因为圆心为，又，即圆心在直线上，所以选项C正确； 对于选项D，若圆与轴相切，则有，即，解得或，所以选项D正确， 故选：ACD. 2．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点，点为直线上的任意一点，以为直径作圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆面积的最小值为 B．圆恒过定点 C．圆心的轨迹方程是 D．若直线与圆相交，且所得弦长为时，圆面积为 【答案】AC 【分析】分析可知，当时，取最小值，求出圆半径的最小值，结合圆的面积公式可判断A选项；求出圆的方程，可求出圆所过定点的坐标，可判断B选项；求出圆心的轨迹方程，可判断C选项；利用勾股定理求出圆的半径，结合圆的面积公式可判断D选项. 【详解】因为点为直线上的任意一点，设点，其中， 对于A选项，当时，取最小值，即的最小值为点到直线的距离， 所以，，所以，圆的半径的最小值为， 所以，圆面积的最小值为，A对； 对于B选项，因为点、，则圆心的坐标为， 又因为， 所以，圆的半径为， 所以，圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，圆过定点，B错； 对于C选项，设圆心，则，消去可得， 所以，圆心的轨迹方程为，C对； 对于D选项，因为点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为， 当直线与圆相交，且所得弦长为时，圆的半径为， 此时圆的面积为，D错. 故选：AC. 3．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 4．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）圆的方程可化为，令，解得即可证明结论成立； （2）由题意设出直线方程，然后直线与圆联立方程组，消掉以后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系化简求值即可，注意一元二次方程有两个解，则. 【详解】（1）证明：圆的方程可化为. 令得或， 故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和. （2）解：当时，圆的方程可化为. 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立消去得， 所以，解得. 因为，所以，解得，又，所以. 5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知圆C： (1)证明：圆C恒过两个点． (2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）将圆C的方程化为，令，即可求解； （2）当时，先判断过点的直线l的斜率k存在且不为0，则设直线l的方程为，，，从而得到，再联立直线与圆C的方程，整理得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得到，，进而即可求得的值；[注]直线l的方程还可以设为，与圆C的方程联立得，从而求得的值，进而即可得到直线l的斜率． 【详解】（1）圆C的方程可化为， 令，得，或， 故圆C恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和． （2）当时，圆C的方程为，即， 显然过点的直线l的斜率k存在且不为0， 则设直线l的方程为，，， 因为，所以①． 联立，消去x得， 所以，将①代入得， 则， 整理得，解得或， （满足）， 所以直线l的斜率为2或． [注]直线l的方程还可以设为，与圆C的方程联立得， 则，将代入得，解得或，故直线l的斜率为或2．    6．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得P点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）由题知：直线方程为， 则由，得到，即， 点为线段的中点，， 即， ，即圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为. . （2）由上可知, 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.    与圆有关的最值问题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图像给出外接圆的表达式即可求解. 【详解】如图，由知四边形的外接圆以为直径，故面积， 而最小值为点到的距离， 故， 故选：B 3．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值. 【详解】由，可得， 此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分， 则表示点与此半圆上点的距离， 其最大值为，最小值为， 又，，， 则最大值为，最小值为. 故选：B 4．（23-24高二上·福建福州·期中）设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形分析最小时点P的位置，然后先计算，再由二倍角公式即可求解. 【详解】如图，已知点P在圆外，所以为锐角， 由余弦函数单调性可知，当取得最小值时，取得最大值. 在中，， 当最大时，取得最小值， 由正弦函数单调性可知，此时最小，即取得最小值. 又最大值为，所以， 所以. 即的最大值为. 故选：B 5．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】D 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆上的点到直线的最大距离，再利用面积公式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，为点到直线的距离， 又点在圆上， ， 又， ， 面积的最大值是. 故选：A. 7．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，，，动点是平面上动点，其轨迹为．则下列结论正确的是（    ） A．若动点满足，则曲线的方程为 B．若动点轨迹为：，则的最小值为10 C．若动点满足，则曲线关于轴对称 D．若动点满足，则面积的最大值为6 【答案】BCD 【分析】设，对于A，代入化简即可判断；对于B，设，连接，，由三角形相似可得，将问题转化为求的最小值，结合图象，求解即可；对于C，代入化简得，将换成，即可判断；对于D，由可得，再由即可判断. 【详解】解：设， 对于A，当，则有，化简得：，故错误； 对于B，因为动点轨迹为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，连接，，如图所示： 因为，所以, 又因为, 所以, 所以， 所以， 所以， 当与重合时，， 即，故正确； 对于C，动点满足，即有， 整理得，将换成， 得， 所以曲线关于轴对称，故正确； 对于D，由C可知方程一定有解， 所以， 所以，即， 所以，当时，等号成立，故正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是在B选项中将问题转化为求的最小值. 8．（多选）（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】求出圆心、半径，根据几何意义转化为圆心与直线或点的距离以及连线的斜率求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 对于A项，圆心到直线的距离， 所以，到直线的距离最大值为，故A项错误； 对于B项，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，整理可得，解得， 所以，的最大值为，故B项正确； 对于C项，圆心到的距离为， 所以，圆上点到的距离的最小值为， 即， 所以，，故C项正确； 对于D项，设直线方程为，即， 当直线与方程相切时，有最大值或最小值， 则，所以. 所以，的最小值为， 即的最小值为，故D项错误. 故选：BC. 9．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 【答案】AB 【分析】直线恒过点，A正确，根据圆的一般方程计算B正确，计算弦长的最小值为，C错误，确定，D错误，得到答案. 【详解】圆：的圆心坐标为， 故，，解得，，圆方程为， 对选项A：因为直线恒过点，正确； 对选项B：，，正确； 对选项C：当直线与垂直时，弦最短，此时， 弦长为，错误； 对选项D：设，即，当直线与圆相切时，， 解得或，故，错误； 故选：AB 10．（多选）（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线和圆.则（    ） A．无论为何值，直线与圆总相交 B．直线被圆截得的最长弦长为5 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时， 【答案】ACD 【分析】根据直线所过的定点在圆内可判断选项A;利用过圆心的弦最长，以及垂直于最长弦的弦最短可求解选项B,C；利用垂直与斜率的关系可求解选项D. 【详解】   由直线可得，， 所以直线恒过定点， 又因为圆心,半径， 点到圆心的距离为， 所以点在圆内，所以无论为何值，直线与圆总相交，A正确； 当直线过圆心时，被圆截得的弦最长，最长为，B错误； 当时，直线被圆截得的弦最短为，C正确； 时，,所以，解得，D正确； 故选:ACD. 11．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题可利用中点去研究，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案. 【详解】   ∵圆， ∴，圆心，半径， ∵点在圆上，， ∴， 即，点在以为圆心，半径的圆上. ∴· ∴，即的最小值为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求. 【详解】因为，化为， 圆心为，半径为， 又表示点与点的距离的平方， 圆心与点的距离为， 所以点与点的距离的最小值为， 故的最小值为， 故答案为：. 13．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 14．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出圆的标准方程，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得解. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上， 所以可设圆M的方程为， 又圆M经过，两点， 所以，解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的圆心坐标为，半径为， （2）由题意得圆心M到直线的距离为， 故直线与圆相离， 所以P到直线的距离的最小值为． 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； （2）直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 公共弦与公切线问题 1．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的方程可确定两圆圆心和半径，易得圆心距等于两半径之和，即可得两圆外切，所以可得两圆有3条公切线. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 易知两圆圆心距，两半径之和为， 即满足，此时两圆外切， 因此两圆有3条公切线. 故选：C 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解. 【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 则所求直线即为两圆的公切线， 因为，且， 可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条. 故选：D. 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆，圆，则下列选项错误的是（    ） A．两圆的圆心距离是 B．两圆有条公切线 C．两圆相交 D．公共弦长 【答案】D 【分析】将两圆化成标准方程，分别求出其圆心和半径，根据两圆的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】由题圆化成标准方程为， 其圆心为，半径， 圆化成标准方程为， 其圆心为，半径， 所以两圆圆心距为，A正确； 因为， 所以两圆相交，则公切线有2条，故B，C正确； 对于D，两圆的公共弦所在直线方程为： ，化简得， 圆心到的距离，， 设公共弦长为，则，D错误； 故选：D. 4．（多选）（23-24高二上·安徽六安·期中）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和， 所以两圆外切，即A正确； 由圆心坐标可知，所以直线的方程为， 即，所以B正确； 由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示： 当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误； 设为两圆的一条公切线，切点分别为， 易知，作于点，则， 又，则，可得公切线段长为，即D正确. 故选：ABD 5．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】 根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 6．（多选）（23-24高二上·浙江宁波·期中）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线距离求圆的公切线，然后逐一判断即可. 【详解】由题知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 由两圆圆心和半径大小知，两圆公切线的斜率存在， 设公切线方程为l：， 则到l的距离 到l的距离 得， ， 解得或， 当时，， 解得或，即或， 当时，， 解得或，即或， 故选：BCD 7．（多选）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程. 【详解】由题设且半径，且半径，故， 当时，，即两圆相离，故有4条公切线，A对； 当时，是圆切线，又到的距离为，即是圆的切线，B对； 当时，，即两圆相离，C错； 当时，，即两圆相交，故有公共弦， 将两圆方程作差得，整理得，即为，D对. 故选：ABD 8．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为. 故答案为： 9．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆与圆相交于两点．则 ． 【答案】 【分析】先由两圆方程相减求得直线的方程，再利用点线距离公式与弦长公式即可得解. 【详解】因为圆与圆， 经检验，知这两圆相交， 两圆方程相减可得直线方程为， 而圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 【答案】 /4.8 【分析】由条件确定圆O，圆N的圆心坐标和半径，由此发现，根据等面积法求，联立两圆方程，求出A的坐标，设直线的方程，由结合弦长公式求直线的斜率. 【详解】 根据题意，圆：，圆心，半径为3， 圆，圆心，半径为4， 则，，，易知， 根据等面积法可得； 联立两个圆方程，得， 在第二象限，可得，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 因为， 所以， 解得：. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题的第一空关键是通过数形结合发现，从而即可利用等面积法求解，第二问的关键是先求出的坐标，然后设出直线的方程，利用弦长公式即可求解. 11．（23-24高二上·安徽·期中）已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是 （给出满足条件的一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可） 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意两圆相交，即可得到，从而求出的取值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以， 因为圆，仅有条公切线，所以圆，相交， 所以，即，所以或， 又，所以或或或或. 故答案为：5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可） 12．（23-24高二上·河北·期中）圆与圆有条公切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据两圆有条公切线可知两圆相外离，再根据圆心距与半径列不等式. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，即，圆心，半径，，， 又因为两圆有条公切线，所以两圆相外离， 即， 即，解得， 故答案为：. 13．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆，则 ①当时，两圆的公切线方程为 ． ②若两圆相交于两点，且，则 ． 【答案】 或 【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案. 【详解】①当时，圆. 因两圆圆心距为，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线. ，又， 则， 即两圆公共点为C，则公切线过点C， 因，则切线斜率为，故公切线方程为：； ②两圆方程相减可得两圆公共弦方程. 因，圆O半径为1，则点到直线AB距离为. 则由点到直线距离公式，可得或. 故答案为：；或. 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 轨迹问题 1．（多选）（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD      2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程； （3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可. 【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）解：因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，    因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 6．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆过点和，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段的垂直平分线上，先求的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程； （2）设M点坐标为，P点坐标为，由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点M的轨迹方程． 【详解】（1）圆心显然在线段的垂直平分线上， 设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由点在圆上得：， 又圆与直线相切，有． 于是，解得，或， 所以圆的标准方程为或. （2）设点坐标为，点坐标为， 由为的中点，，则，即 又点在圆上， 若圆的方程为，有， 则，整理得：， 此时点的轨迹方程为． 若圆的方程为，有， 则，整理得：， 此时点的轨迹方程为， 综上，点的轨迹方程为或. 新定义问题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点，结合直线的斜率得出平行于轴，最小，再设，求出，利用三角函数知识得最小值． 【详解】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即， 当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中， 则其最大值是， 所以，故D正确. 故选：D.    【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到，再利用辅助角公式即可求出其最值. 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 【答案】(1)4 (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据题中给定定义直接求解; （2）（i）设直线上任意一点，，求出与坐标轴的交点，分类讨论在线段的延长线上时，线段的延长线上时，线段上时的情形即可； （ii）判断出轴时，的最小值为，过作直线的垂线，垂足为，则，当取最小值时，取得最小值. 【详解】（1）. （2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，. 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，，， 则. 因为，， 所以. 综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则， 所以. 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值. 易知， 所以的最小值为， 即的最小值为. 3．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【详解】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$