第09讲 直线与圆的位置关系（8个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第09讲 直线与圆的位置关系（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2023秋•常州期中）若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 　　． 2．（2024•鼓楼区二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 3．（2024•镇江）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 题型二．切线的性质 4．（2023秋•溧阳市期中）如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数　　 A． B． C． D． 5．（2024•沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 　　． 6．（2024•宜兴市模拟）如图，是的弦，是的切线，连结交于点，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的半径． 题型三．切线的判定 7．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为． 求证：直线是的切线． 8．（2023秋•泗洪县校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．正多边形都是中心对称图形 B．圆的直径是这个圆的对称轴 C．的圆周角所对的弦是直径 D．垂直于半径的直线是圆的切线 9．（2023秋•工业园区校级月考）如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了　　时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切． 题型四．切线的判定与性质 10．（2022秋•锡山区期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个，其中不正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024•武进区校级模拟）如图，边长为4的正方形中，顶点落在矩形的边上，，而矩形的顶点恰好落在边上．点是边上一动点（不与，重合），以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为 　　． 12．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径和的长． 题型五．弦切角定理 13．（苏州期末）点是外一点，、分别切于点、，，点是上的点（不与点、重合），则等于　　 A． B． C．或 D．或 14．（常州）如图，为直径，切于点，，为垂足，，，则　　度；　　． 题型六．切线长定理 15．（2022秋•射阳县校级期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2023•玄武区校级模拟）圆外切四边形中，，，，则　　． 17．（2021秋•泰州月考）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 题型七．切割线定理 18．（通州区校级模拟）如图：、为的两条割线，若，，则的长为　　 A．10 B．7 C． D．3 19．（张家港市校级期末）如图，为的切线，为切点，连交于点，，，则的长为　　． 20．（相城区校级期中）如图，是外一点，割线与相交于、，切线与相切于，若，，求的半径． 题型八．三角形的内切圆与内心 21．（2023秋•阜宁县期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 22．（2024•玄武区校级模拟）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 23．（2022秋•泰州月考）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 3．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 5．如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，为的切线，为切点，，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D．1 7．如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 9．我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ） A． B． C． D． 10．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系是 ． 12．直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 13．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 14．如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 15．如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 16．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 17．如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，，I是的内心，将绕原点逆时针旋转后，I的对应点的坐标为 ．    三、解答题 19．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 20．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根，，求的内切圆半径 22．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 24．在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 25．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线L：y=与⊙O的密距d（L，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，直线DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线与圆的位置关系（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2023秋•常州期中）若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 　相切　． 【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切． 【解答】解：圆心到直线的距离， 直线和圆相切． 故答案为：相切． 【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 2．（2024•鼓楼区二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可解答． 【解答】解：这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 3．（2024•镇江）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论． 【解答】解：与相切，理由如下： 如图，连接， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， 是的半径， 与相切． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键． 题型二．切线的性质 4．（2023秋•溧阳市期中）如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，由切线的性质得，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、， 、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（2024•沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 　　． 【分析】设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【解答】解：设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． 6．（2024•宜兴市模拟）如图，是的弦，是的切线，连结交于点，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连结，由，得，则，由切线的性质得，则，而，所以，则，所以是等腰三角形； （2）作于点，因为，，所以，则，再证明，得，推导出，由勾股定理得，求得，则，所以的半径长为． 【解答】解：（1）是等腰三角形， 理由：连结，则， ， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）作于点，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ，且， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 的半径长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三．切线的判定 7．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为． 求证：直线是的切线． 【分析】连接，如图，根据等腰三角形的性质，由得，由得，则，于是根据平行线的判定得到，加上，所以，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 直线是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 8．（2023秋•泗洪县校级月考）下列说法中，正确的是　　 A．正多边形都是中心对称图形 B．圆的直径是这个圆的对称轴 C．的圆周角所对的弦是直径 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】由切线的判定方法，圆周角定理，轴对称的性质，中心对称图形的定义，即可判断． 【解答】解：、边数是偶数的正多边形是中心对称图形，故不符合题意； 、圆的直径所在的直线是圆的对称轴，故不符合题意； 、命题正确，故符合题意； 、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，轴对称的性质，中心对称图形，圆的认识，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2023秋•工业园区校级月考）如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了　　时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切． 【分析】当以点为圆心，为半径的圆与直线相切时，即，又因为，所以，利用对应边的比相等即可求出的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出的值，要注意的取值范围为． 【解答】解：当以点为圆心，为半径的圆与直线相切时， 此时，， 由题意得：， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 由勾股定理可知：， ， 解得：或， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力． 题型四．切线的判定与性质 10．（2022秋•锡山区期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个，其中不正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据切线的判定和性质定理以及圆的有关知识即可解决问题． 【解答】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，故①不符合题意； ②经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故②符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故③符合题意； ④圆内接四边形有无数个，故④符合题意； 综上所述：正确的是①， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 11．（2024•武进区校级模拟）如图，边长为4的正方形中，顶点落在矩形的边上，，而矩形的顶点恰好落在边上．点是边上一动点（不与，重合），以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为 　或2　． 【分析】利用矩形，正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得线段，，，，的长，再利用利用分类讨论的方法分①当与矩形的边相切时，②当与矩形的边相切时讨论解答：利用直线与圆相切的定义，圆心到直线的距离等于半径，设，则，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求解． 【解答】解：四边形是正方形， ，． 四边形为矩形， ，． ． ，， ． ， ． ， ， ，． ． ①当与矩形的边相切时，设与交于点， 过点作于点，如图， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ，． 设， 与矩形的边相切， ． ，， ， ． ， 解得：． ②当与矩形的边相切时，如图， 过点作于点，延长，交于点，则，． 设， 与矩形的边相切， ． ， ， ， ． 解得：． ； ③过点作于点，如图， 可知，与矩形的边相离． 综上，以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为或2． 故答案为：或2． 【点评】本题主要考查了矩形，正方形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键． 12．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径和的长． 【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ． 平分， ， 又， ， ， ， 是切线； （2）解：如图，取中点，连接， 于点． 四边形是矩形， ， ． 在中，， ， 在中，，， ， 的长是． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 题型五．弦切角定理 13．（苏州期末）点是外一点，、分别切于点、，，点是上的点（不与点、重合），则等于　　 A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况讨论：点在劣弧上；点在优弧上；再根据弦切角定理和切线的性质求得． 【解答】解：如图， 、分别切于点、， ， ， ， ， 当点在劣弧上， ， 弧的度数为， ． 故选：． 【点评】本题考查了弦切角定理和切线的性质，是基础知识要熟练掌握． 14．（常州）如图，为直径，切于点，，为垂足，，，则　60　度；　　． 【分析】由圆周角定理可知：，因此和互余，由此可求出的度数；进而可根据弦切角定理求得的度数． 在中，已知了，可根据的长求出的值，进而可在中求出的长． 【解答】解：为直径， ，； 由弦切角定理知，； 在中，，； ； 在中，，； ． 故，． 【点评】本题考查了弦切角定理、圆周角定理、直角三角形的性质、解直角三角形的应用等知识． 题型六．切线长定理 15．（2022秋•射阳县校级期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 16．（2023•玄武区校级模拟）圆外切四边形中，，，，则　　． 【分析】根据切线长定理可以证明：，即可求解． 【解答】解：四边形是圆的切线． ，，， 即： 即 故答案为：． 【点评】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理证得是解决本题的关键． 17．（2021秋•泰州月考）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 【分析】（1）根据切线的性质得到平分，平分，，再根据平行线的性质得，则有，即；（2）由勾股定理可求得的长，进而由切线长定理即可得到的长； （3）最后由三角形面积公式即可求得的长． 【解答】解：（1）连接；根据切线长定理得：，，，； ， ， ， ； （2）由（1）知，． ，， 由勾股定理得到：， ． （3）与相切于点， ， ，即． ． 【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 题型七．切割线定理 18．（通州区校级模拟）如图：、为的两条割线，若，，则的长为　　 A．10 B．7 C． D．3 【分析】根据割线定理得，从而可求得的长，进而可得到的长． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 【点评】考查了割线定理的运用． 19．（张家港市校级期末）如图，为的切线，为切点，连交于点，，，则的长为　4　． 【分析】延长交于，再根据切割线定理即可求解． 【解答】解：延长交于． ，， ． 为的切线， ， 则（负值舍去）． ． 【点评】此题要通过作辅助线构造割线，熟练运用切割线定理解决问题． 20．（相城区校级期中）如图，是外一点，割线与相交于、，切线与相切于，若，，求的半径． 【分析】设圆半径为，根据切割线定理得到，代入得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设圆半径为 由切割线定理， 得， ， 解得， 的半径为． 【点评】本题考查了切割线定理的应用，关键是根据题意得出方程，题目比较典型，难度不大． 题型八．三角形的内切圆与内心 21．（2023秋•阜宁县期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为　　 A．19 B．17 C．22 D．20 【分析】设的内切圆切三边于点，，，连接，，，得四边形是正方形，由切线长定理可知：，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【解答】解：如图，设的内切圆切三边于点，，，连接，，， 四边形是正方形， 由切线长定理可知：， 是的切线， ，， ，，， ， 是的内切圆， 内切圆的半径， ， ， 的周长． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 22．（2024•玄武区校级模拟）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 【分析】连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．（2022秋•泰州月考）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据是的内心，于是得到平分，平分，根据角平分线的定义得到，，根据等腰三角形的性质可得到结论； （2）连接．根据已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）解：连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ，设，， ，， ， ， ， 或（舍弃）， ，， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 分层练习 一、单选题 1．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 2．已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 3．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，原选项不正确，不符合题意； 、不共线的三点确定一个圆，原选项不正确，不符合题意； 、圆的切线垂直于过切点的半径，原选项不正确，不符合题意； 、半径相等的半圆是等弧，原选项正确，符合题意； 故选：． 5．如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 6．如图，在中，，为的切线，为切点，，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质．连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，再证明得到，然后利用得到． 【详解】解：连接，如图， 为的切线，为切点， ， ， 为直径， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B 7．如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【分析】平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 9．我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理． 当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题． 【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P， ∵四边形是正方形， ∴， ∴分别是半圆的切线， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴娱乐区的最大面积梯形的面积． 故选：C． 10．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值． 【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 设，，则， ∵，， ∴，， 解得：， ∵的半径为1， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质． 二、填空题 11．直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】此题考査直线与圆的关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离．若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则园心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切． 【详解】解：圆心到直线的距离等于或小于圆的半径， 直线和圆相交或相切． 故答案为：相交或相切． 12．直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d， ∴d的取值范围是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立. 13．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 14．如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点M作于点D，作于点E，作于点F，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得． 【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点， ∵，，， ∴， ∵N为的外心， ∴， ∵M为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得、． 16．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 17．如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 18．如图，在平面直角坐标系中，，I是的内心，将绕原点逆时针旋转后，I的对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点作于点F，于点E，连接，先根据点的坐标得到，轴，轴，则，利用勾股定理得到；根据内心的性质结合三角形面积公式求出，进而求出，过点作轴于H，连接，证明，得到，则I的对应点 的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点作于点F，于点E，连接， ∵， ∴，轴，轴， ∴，即， ∴， ∵I是的内心， ∴I到角平分线的交点， ∴I到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴I到的距离也为1， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于H，连接， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴I的对应点 的坐标为． 故答案为：．    三、解答题 19．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 20．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，的半径为2，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根，，求的内切圆半径 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据根的判别式，即可得到结论； （2）解方程得到=4，=k，根据题意根据勾股定理列方程得到k=3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，根据切线长定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：解方程得：=4，=k， 根据题意得：，即k=3， 设直角三角形ABC的内切圆半径为r， 如图，D、E、F为切点，连接OC、OA、OB、OD、OE、OF， 则OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∵∠BCA=90°， ∴四边形OFCD为正方形， ∴CF=CD=r， ∴BE=BD=3-r，AE=AF=4-r， ∴BE+ AE=AB， ∴， ∴直角三角形ABC的内切圆半径r==1． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 22．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，由，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， ∵， ∴ ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ，是的直径， 是的切线， 是的切线； ， ， ， 解得． 23．如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)相切 【分析】该题目主要考查基本的作图方法，切线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接作图即可； （2）根据（1）中作图方法结合切线的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：与相切， 证明：∵为半径， ∴与相切． 24．在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 25．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）6；（3）4﹣＜t＜4+ 【分析】(1)先得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥BC，则OD=1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，得到∠OC′D=60°，算出C′D=，进而得到2t+1+=5即可求解； (2)△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q=1，则D′B′=1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C1D=，则DB1=，进而得=2t，即；当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3，作O′H⊥A2C2于H，得到∠O′C2D′=30°，则C2D′=O′D′=，进而得=2t，解得，由此求解 ． 【详解】解：(1)∵AB=，BC=1，∠ABC=90°， ∴， ∴∠A=30°，∠ACB=60°， 作OD⊥直线BC，则OD=1， 当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E， ∵∠A′C′B′=∠ACB=60°， ∴∠OC′D=60°， 在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°， ∴C′D=， ∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5， ∴2t+1+=5， ∴， 故答案为：； (2)如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q， 则O′Q=1，∴D′B′=1， ∵BD=5，DD′=t，BB′=2t， ∴5+t+1=2t， ∴t=6， 故答案为：t=6； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3， 由(1)得C1D=， ∵BD=5，DD′=t，BB1=2t， ∴DB1=DD′﹣B1C1﹣C1D′= ， ∴， ∴； 当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3， 作O′H⊥A2C2于H， ∵O′C2平分∠A2C2B2， ∴∠O′C2D′=30°， ∴C2D′=O′D′=， ∵CD+DD′+D′C2=CC2， ∴， ∴， ∴当d＜1时，t的取值范围为＜t＜． 【点睛】本题考查了圆的综合题，掌握圆的切线有关的性质、直线与圆的位置关系，会利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算，会应用方程思想解决几何计算问题． 26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线L：y=与⊙O的密距d（L，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，直线DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ；（2）b=；（3）. 【分析】（1）①连接OB,只需求出OA、OB即可解答；②用面积法求出OK长,再根据题意建立关于b的方程即可解决问题；（2）根据题意，确定C点在x轴上的范围，根据求出界点值来确定m的范围. 【详解】（1）①如图，连接OB，过B点作BH⊥x轴，垂足为H, ∵⊙O的半径为2，点A（0，1）， ∴d（A， ⊙O）=2-1=1； ∵B(4，3)，∴OB=5， ∴d（B，⊙O）=5-2=3. ②如图，设直线与x轴,y轴交P、Q两点，过O作OK⊥PQ,垂足为K, ∴P（ ，0）、Q（0，b）， ∴OP= ，OQ=， 由勾股定理得，PQ=，, ∵ ， ∴， ∴OK=， ∵d（L，⊙O）=， ∴-2= ， ∴b=±4. （2）如图，作CR⊥ED于点R，C´S⊥ED于点S， 令CR=C´S= ，则点C位于C和C´之间（包括C和C ´）， ∵E（0， ），D（4，0）， ∴OE=，OD=4，由勾股定理得，ED=， ∵sin∠CDR=， ∴ ， ∴OC=1，∴OC´=7， ∴ . 【点睛】本题属于新定义型，主要考查了直线上的点坐标特征、勾股定理、三角函数、等面积法求线段长等知识，读懂题意，综合法解题是解答此题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$