第09讲 勾股定理（3个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第09讲 勾股定理（3个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一．直角三角形的性质 1．（2023秋•泰兴市月考）如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•盐都区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数是 　　． 3．（2022秋•涟水县校级期末）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，求的度数． 题型二．勾股定理 4．（2022秋•南京期中）在中，，，则的面积为　　． 5．（2023秋•宜兴市月考）如图，点是射线外一点，连接，若，点到的距离为，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为秒，当为直角三角形时，的值为　　 A． B．2 C．2或 D．2或 6．（2023秋•邗江区期末）如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型三．勾股定理的证明 7．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是　　 A．10 B．8 C．7 D．5 8．（2023秋•镇江月考）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 　　． 9．（2023秋•高港区校级月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）结合图①，求证：； （2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若，求． 题型四、勾股树（数）问题 10．（23-24八年级·江苏·假期作业）有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是 ． 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C． D．9，40，41 12．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 分层练习 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组为（    ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10 2．在ABC中，∠BAC=90°，则下列结论成立的是（    ） A．BC=AC+BC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2 =AB2+AC2 3．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，斜边的长为（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 4．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的格点应是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 7．如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（     ） A． B． C． D． 8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 10．分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ． 12．一个直角三角形的两条直角边长分别为15，20，则斜边长为 ． 13．平面直角坐标系中，，，线段的垂直平分线交坐标轴于C，则C的坐标是 ． 14．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    15．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 16．如图，五个正方形放在直线上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为 ． 17．如图，在和中，，点在上．若，，，则 ． 18．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 三、解答题 19．如图，某公司(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．    20．在图中所给的数轴上找出表示的点P． 21．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 22．在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C的坐标分别为（－1，0）、（－2，3）、（－3，1）． （1）写出△ABC的面积，S△ABC＝ ； △ABC形状是 ； （2）在y轴上找一点D，使得BD＋DA的值最小，求D点的坐标． 23．如图，，，垂足分别为，，交于点，，． (1)求证； (2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理． 24．如图，和都是等腰直角三角形，，，，，为边的中点，连接，且、、三点恰好在一条直线上，交于点，连接、． (1)求证：； (2)猜想、、之间的数量关系，并证明． 25．如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理； (2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 26．探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 勾股定理（3个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一．直角三角形的性质 1．（2023秋•泰兴市月考）如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】求出，即可解决问题． 【解答】解：，， ， 由折叠可知，， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2022秋•盐都区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数是 　40　． 【分析】由的中垂线交于，交于，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，又由直角三角形中两锐角互余，可求得的度数，继而求得答案． 【解答】解：是的中垂线， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：40． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 3．（2022秋•涟水县校级期末）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，求的度数． 【分析】根据翻折变换的性质得出，再根据直角三角形的性质可得，即，最后利用三角形外角的性质即可解答． 【解答】解：将沿折叠，使点落在边上的处， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活利用相关性质是解题关键． 题型二．勾股定理 4．（2022秋•南京期中）在中，，，则的面积为　60　． 【分析】作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式求解． 【解答】解：如图，作于点，则． 在中， ， ， 的面积． 故答案为：60． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，求出三角形的高是解题关键． 5．（2023秋•宜兴市月考）如图，点是射线外一点，连接，若，点到的距离为，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为秒，当为直角三角形时，的值为　　 A． B．2 C．2或 D．2或 【分析】过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【解答】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，的值为2或， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 6．（2023秋•邗江区期末）如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论； （2）依据，利用勾股定理即可求得中，的长． 【解答】解：（1）如图所示，连接，， ，是的中点． 中，， 中，， ， 又是的中点， ． （2）， ， ， ， 又， 中，． 【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 题型三．勾股定理的证明 7．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是　　 A．10 B．8 C．7 D．5 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：设大正方形的边长为，则，小正方形的面积， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度． 8．（2023秋•镇江月考）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 　32　． 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【解答】解：如图， 由题意得，，是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 9．（2023秋•高港区校级月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）结合图①，求证：； （2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若，求． 【分析】（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为，则，，，根据，即可得出． 【解答】（1）证明：， ， 即， ； （2）解：设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为， ， ，，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键． 题型四、勾股树（数）问题 10．（23-24八年级·江苏·假期作业）有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是 ． 【答案】35 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股数的定义，勾股定理求解． 【详解】解：根据勾股定理得，中间一个数为：． 【点睛】本题考查勾股数定义，勾股定理，理解勾股定理表述的数量关系是解题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C． D．9，40，41 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意； 故选：D． 12．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 【答案】(1)8，10；24，25 (2)①5，13，②证明见解析． 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①假设，求出，即可求出另外两个数；②根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可知： ，， 另外两组勾股数为：6，8，10；7，24，25； 故答案为：8，10；24，25； （2）解：①∵k为奇数，且其中有一个数为 12，故假设， 解得：，（舍去）， ∴，即5，12，13构成一组勾股数， ∴另外两个数为5，13； ②∵，且， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理中的勾股数问题，解题的关键是理解勾股定理． 分层练习 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组为（    ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，根据满足两个较小数的平方和等于较大数的平方的三个正整数，叫做勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不符合题意； B、不是正整数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．在ABC中，∠BAC=90°，则下列结论成立的是（    ） A．BC=AC+BC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2 =AB2+AC2 【答案】D 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在 △ ABC中，∠BAC=90°，根据勾股定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 3．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，斜边的长为（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和， 故斜边长， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意画出点的位置，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：的位置如图所示： 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线， 和交于点， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键． 5．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的格点应是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】根据勾股定理与网格得出，证明，根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出， 在与中 ∴， ∴， ∴ 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 【点睛】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键． 7．如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理，先求出，则，即可解答． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴点P所表示的数是， 故选：C． 8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理， 在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， 在C选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， 在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 9．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 10．分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 11．在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ． 【答案】72 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：=，则原式=2=2×36=72． 考点：勾股定理 12．一个直角三角形的两条直角边长分别为15，20，则斜边长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理即可获得答案．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，该直角三角形的两条直角边长分别为15，20， 则斜边长． 故答案为：25． 13．平面直角坐标系中，，，线段的垂直平分线交坐标轴于C，则C的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据勾股定理求两点之间的距离，设点C的坐标，再根据两点之间的距离公式得出方程，求出解即可． 【详解】当点在x轴上时，设点C的坐标为，根据勾股定理，得 ， 解得， 则点C的坐标是； 当点在y轴上时，设点C的坐标为，根据勾股定理，得 ， 解得， 则点C的坐标是． 所以点C的坐标是或． 故答案为：或． 14．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是利用法则不变性，熟练应用勾股定理解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据题意设，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：设， 在中， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故答案为：． 16．如图，五个正方形放在直线上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理的几何意义可得：，，得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义可得：，， ∴， ∵正方形A、C、E的面积依次为3、5、4， ∴正方形B、D的面积之和为， 故答案为：． 17．如图，在和中，，点在上．若，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据勾股定理解得BC的长，再由全等三角形的对应边相等解题． 【详解】解：由题意得，中， 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 三、解答题 19．如图，某公司(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．    【答案】312.5米 【分析】作出点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得长，那么根据直角三角形的各边利用勾股定理即可求得物流站与车站之间的距离． 【详解】解：作于，    则米，米． 由勾股定理得：， 米． ∵在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等， ∴， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理，得 即， ， ， ． 答：物流站与车站之间的距离为312.5米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 20．在图中所给的数轴上找出表示的点P． 【答案】见解析 【分析】根据，结合勾股定理即可进行解答． 【详解】解：如图，在数轴上找到表示-4的点A，将点A向上平移一个代为长度到点B，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴负半轴于点P，P点即为所求． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示无理数，熟练掌握勾股定理和二次根式的意义是解题的关键． 21．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 22．在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C的坐标分别为（－1，0）、（－2，3）、（－3，1）． （1）写出△ABC的面积，S△ABC＝ ； △ABC形状是 ； （2）在y轴上找一点D，使得BD＋DA的值最小，求D点的坐标． 【答案】（1）2.5；等腰直角三角形 ；（2）D（0，1） 【分析】（1）割补法求解可得△ABC的面积，根据各边的长度可判断△ABC的形状； （2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点D，此时AB′长度即为BD＋DA的最小值． 【详解】（1）S△ABC＝2×3−×1×2−×1×3−×1×2＝2.5， AB＝，AC＝，BC＝＝， ∴ AC＝BC，， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：2.5，等腰直角三角形； （2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点D，此时，AB′长度即为BD＋DA的最小值， ∵点B与点B′关于y轴对称， ∴B′（2，3）， 连接AB′，交y轴于点D，可得D点坐标为（0，1）． 【点睛】本题主要考查轴对称−最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 23．如图，，，垂足分别为，，交于点，，． (1)求证； (2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【详解】（1）证明：设交于点F，如图， ，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， 即． （2）解：如图，连接、， ， ，，，． ． ， ． ． 即． 24．如图，和都是等腰直角三角形，，，，，为边的中点，连接，且、、三点恰好在一条直线上，交于点，连接、． (1)求证：； (2)猜想、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和勾股定理是解题的关键． （1）如图，连接，只需要证明，即可得到． （2）根据，，得到继而求得，再由，得到，，继而求得，结合，得到，从而得到，再证明，得到，利用勾股定理证明即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，为边的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）证明：连接， 根据（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理； (2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明和以及非负数的性质． （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）利用非负数的性质证明即可； （3）设依题意得，的面积为，利用（2）结论求得当x，y取何值时，该三角形面积最大以及四边形最大面积． 【详解】（1）解：因为边长为c的正方形面积为， 它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， 它的面积为， 所以； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立； （3）解：设， 依题意得， ∴的面积为， 由（2）的结论知， ∴， ∴， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大面积是． 故答案为：． 26．探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 【答案】(1)①7；② (2)一组勾股数为，，，理由见解析 (3)这组勾股数为，n，，n为奇数 【分析】本题考查了数字规律探索，勾股数的求解，整式的混合运算，含乘方的有理数计算，根据图形总结出规律是解题关键． （1）根据图形可得出n阶正方形含有个点，根据此规律即可求出结果； （2）根据勾股数的特征即可得出结果； （3）根据题意得到，整理得到，，即可得到勾股数，根据为整数，则为偶数，则为奇数，即可得出结果． 【详解】（1）解：1阶正方形：，1个点， 2阶正方形：，4个点， 3阶正方形：，9个点， n阶正方形：，个点， 4阶正方形比3阶正方形多个点； 阶正方形比a阶正方形多个点； 故答案为：①7；②； （2）解：13阶正方形有个点， 12阶正方形有个点， 则， 是平方数， ，即， 因此得到一组勾股数为，，； （3）根据题意可知：， 整理得：， ， 这组勾股数为，n，， 为整数，则为偶数，则为奇数， 为奇数． 学科网（北京）股份有限公司 $$