第十三章 轴对称（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（安徽专用,人教版）

第十三章 轴对称（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、爱，不是轴对称图形，故选项不正确； B、我，不是轴对称图形，故选项不正确； C、中，是轴对称图形，故选项正确； D、实，不是轴对称图形，故选项不正确； 故选C． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 3．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 故选：C ． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【详解】解：∵ ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 5．如图所示，与关于直线成轴对称，若，有下面的结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵与关于直线成轴对称， ∴垂直平分，，， ∴②，③正确， ∵， ∴，故①正确， 当时才有④，故④不正确， ∴正确的有①②③， 故选：C． 6．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 7．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 8．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9．如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 10．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．等腰三角形两边长为和，则三角形周长为 ． 【答案】18或21 【详解】解：当5是腰时，能组成三角形，周长为 ； 当8是腰时，能组成三角形，则三角形的周长是 ． 故答案为：21或18． 12．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 13．如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为 ． 【答案】20 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，又，， ∴的周长为， 故答案为：20． 14．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【答案】30 【详解】解：作的垂直平分线， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∴的垂直平分线必过C、D两点，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：30． 15．如图，是的中线，，把沿对折，使点落在点的位置，则图中的等腰直角三角形是 ． 【答案】 【详解】解：由折叠性质得：，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：． 16．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 17．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 18．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 2、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）求下列等腰三角形的周长： (1)有两边长分别为，； (2)有两边长分别为，． 【答案】(1)三角形的周长为或 (2)三角形的周长为 【详解】（1）解：若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为， 若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为． 综上可知，三角形的周长为或． （2）若三角形的腰长为，则底边长为，不能组成三角形； 若三角形的腰长为，则底边长为，能组成三角形， 此三角形的周长为． 20．（5分）如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：在 和 中， ， ， ， 即 是等腰三角形． 21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的， (2)通过作图，在轴上找一点，使得点到点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2) 见解析 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：点如图所示： 22．（6分）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴． 23．（6分）如图，． (1)在中， ______， ______； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)，2 (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，2； （2）由（1）知：， ∴， ∴是等边三角形． 24．（6分）已知和均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ， ， 即， 在和中， ， （）， ； （2）解：， ， 和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， （）． 25．（7分）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，是等边三角形，证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 26．（7分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 27．（8分）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)10 【详解】（1）解：为等腰三角形． 理由：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∵的周长是20， ∴， ∴． 28．（10分）如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 【答案】(1)运动4秒或8秒时为等腰三角形 (2)运动2秒或5秒时为直角三角形 【详解】（1）当点在线段上时，如图1， ，为等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， 运动时间为：秒， 当点在线段外时，如图2， ， ， 此时，， 时间等于． 故运动4秒或8秒时为等腰三角形； （2）时，， ， 运动时间为：秒， 时，， ， 运动时间为：秒， 故运动2秒或5秒时为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 5．如图所示，与关于直线成轴对称，若，有下面的结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 7．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 9．如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 10．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．等腰三角形两边长为和，则三角形周长为 ． 12．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 13．如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为 ． 14．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 15．如图，是的中线，，把沿对折，使点落在点的位置，则图中的等腰直角三角形是 ． 16．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 17．如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 18．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 2、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）求下列等腰三角形的周长： (1)有两边长分别为，； (2)有两边长分别为，． 20．（5分）如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的， (2)通过作图，在轴上找一点，使得点到点的距离之和最短． 22．（6分）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 23．（6分）如图，． (1)在中， ______， ______； (2)求证：是等边三角形． 24．（6分）已知和均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证： (1)； (2)． 25．（7分）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 26．（7分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 27．（8分）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 28．（10分）如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$