第四章 一次函数 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第四章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列式子中，表示y 是 x 的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．以上都有可 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象与轴的交点是 C．随着的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·贵州贵阳·一模）如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数中，当时， ． 12．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 ． 13．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线向左平移2个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是 ． 14．（22-23八年级上·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 15．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 18．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 19．（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）“自古岭北不植茶，唯有泾阳出砖茶”，茯茶镇以泾阳茯茶文化为依托，打造茯茶文化产业园，形成茯茶文化、关中民俗文化、关中生活文化为一体的特色小镇，该小镇某茶具店老板计划购进A，B两种茶具共50套，下面是这两种茶具的进价和售价．如果将这些茶具全部销售完可获得的总利润为y元，设购买A种茶具x套． A茶具 B茶具 进价/元 80 90 售价/元 120 150 (1)请你写出y与x之间的函数关系式； (2)如果该老板购买A种茶具用了1920元，那么售完这些茶具，他一共可以获得的总利润为多少元？ 21．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 22．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套.该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 23．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后提速行驶比慢车提前小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系． 请解答下列问题： (1)快车休息前的速度是______千米/时、慢车的速度是______千米/时； (2)求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式； (3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义． 24．（23-24八年级上·河南焦作·阶段练习）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 25．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，的面积是2． (1)求线段的中点C的坐标． (2)连接，过点O作于E，交于点D． ①直接写出点E的坐标． ②连接，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列式子中，表示y 是 x 的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，满足的式子为正比例函数，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、满足，故该选项是正确的； B、不满足，故该选项是不正确的； C、不满足，故该选项是不正确的； D、不满足，故该选项是不正确的； 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．以上都有可 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及利用一次函数增减性比较函数值大小，先由确定一次函数的增减性，由增减性直接比较即可得到答案，熟记一次函数增减性是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， 点，在函数的图象上，， ， 故选：A． 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确； 当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 故选：A． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象与轴的交点是 C．随着的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，能根据一次函数的比例系数k和截距b判断函数的图象与性质是解决本题的关键． 将点的横坐标代入解析式即可得到纵坐标，以此来判断A、B选项是否正确，根据一次函数“时，y随x的增大而增大，时，要随x的增大而减小”即可判断C选项，求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标即可求得底和高，进而判断D选项的正误． 【详解】将代入得， ∴直线经过，选项A错误； 将代入得， 直线与y轴交点坐标为，选项B错误． ， 一次函数中，y随x的增大而减小，选项C正确． 将代入得， 解得， 直线与x轴交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为，选项D错误． 故选：C． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 直线和直线恰好重合， ， 解得：， 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 7．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0可判断①；由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米，可求出甲的速度，进而求出乙的速度，据此可判断②③④． 【详解】解：由函数图象可知，甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0， ∴出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米， ∴甲的速度为千米/小时， ∴乙的速度为千米/小时， ∴出发小时时，乙比甲多行驶了千米，甲的速度是乙的速度的一半，乙到达终点的时间是小时，故②④正确，故③错误； 故选：C． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，根据题意得到，再求出；作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小， 由轴对称的性质可得，则，再根据点P是直线和直线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴点E在y轴上， ∴ 设直线的解析式为， 将点C、E坐标代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 故选：C． 9．（2024·贵州贵阳·一模）如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 结合图形可知，一次函数的图象沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点， 所以当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：的顶点的坐标分别为， ∴， 将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为， 故选：A． 10．（2024·浙江温州·一模）如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象和性质，熟练掌握图象与x轴的交点，函数的增减性，最值的计算方法，两个函数图象的交点，是解题的关键． 根据函数图象的性质特点进行逐项分析即可． 【详解】由函数图象知，当时，或，故①正确； 当时，图象有最低点，没有最高点， ∴y有最小值，没有最大值，故②正确； 当时，y隋x的增大而减小，故③不正确； ∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点， ∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确 故选：B 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数中，当时， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查求一次函数的值，将已知的自变量代入函数解析式即可求得答案． 【详解】解：当时，， 故答案为：4． 12．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， 由题意得，则， 解得或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上，的值为或． 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线向左平移2个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】首先求出直线的解析式为，然后再计算出当时，的值，进而可得直线与轴的交点坐标． 此题主要考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线向左平移个单位，则解析式为． 【详解】解：∵直线向左平移2个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵当时，，解得， ∴直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 14．（22-23八年级上·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 15．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 16．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 18．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 【详解】（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 19．（2024·陕西西安·模拟预测）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，面积为． 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． （1）令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标；令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标． （2）利用描点法画出一次函数图象即可；根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：令，可得， 这条直线与轴的交点坐标为． 令，可得， 与轴的交点坐标是． 故答案为：；； （2）解：画出这条直线如图所示． 这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）“自古岭北不植茶，唯有泾阳出砖茶”，茯茶镇以泾阳茯茶文化为依托，打造茯茶文化产业园，形成茯茶文化、关中民俗文化、关中生活文化为一体的特色小镇，该小镇某茶具店老板计划购进A，B两种茶具共50套，下面是这两种茶具的进价和售价．如果将这些茶具全部销售完可获得的总利润为y元，设购买A种茶具x套． A茶具 B茶具 进价/元 80 90 售价/元 120 150 (1)请你写出y与x之间的函数关系式； (2)如果该老板购买A种茶具用了1920元，那么售完这些茶具，他一共可以获得的总利润为多少元？ 【答案】(1) (2)他一共可以获得的总利润为2520元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意找出等量关系式即可得出答案； （2）先求出购买茶具的数量，再代入（1）中的函数表达式即可得出答案． 【详解】（1）解：由已知可得， ； （2）解：购买茶具的数量（套）， （元）， 答：他一共可以获得的总利润为2520元． 21．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 22．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套.该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值. 【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元. （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， 即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元. 23．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后提速行驶比慢车提前小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系． 请解答下列问题： (1)快车休息前的速度是______千米/时、慢车的速度是______千米/时； (2)求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式； (3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义． 【答案】(1)75，60； (2)； (3)，在3.75小时，快车与慢车行驶的路程相等，均为225千米． 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度； （2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得与x之间的函数表达式； （3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距300千米，快车休息前的速度为：（千米/小时）， 慢车的速度为：（千米/小时）， 答：快车的速度为75千米/小时，慢车的速度为60千米/小时， 故答案为：75，60； （2）由题意可得， 点E的横坐标为：， 则点E的坐标为， 快车从点E到点C用的时间为：（小时）， 则点C的坐标为， 设线段所表示的与x之间的函数表达式是，，得，即线段所表示的与x之间的函数表达式是； （3）设点F的横坐标为a， 则， 解得，， 则， 即点F的坐标为，点F代表的实际意义是在3.75小时时，快车与慢车行驶的路程相等，均为225千米． 24．（23-24八年级上·河南焦作·阶段练习）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 【答案】(1)①2；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：（1）①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：2；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 25．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，的面积是2． (1)求线段的中点C的坐标． (2)连接，过点O作于E，交于点D． ①直接写出点E的坐标． ②连接，求证：． 【答案】(1) (2)①点E坐标为；②见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出的长，进而求出点坐标即可； （2）①过点E作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，求出直线的解析式，设点E的坐标为，勾股定理求出的值，进而得到点坐标即可； ②过点B作的垂线，交于点G，先证明，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵，的面积是2． ∴， ∴， 线段的中点C的坐标为：； （2）①过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C， ∴设直线的解析式为，把C代入，得：， ∴， ∴设点E的坐标为， 由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴点E坐标为：． ②证明：过点B作的垂线，交延长线于点G，由（2）①可知，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ∴ ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$