第1章 三角形的初步知识（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 三角形的初步知识（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，一块三角板按如图所示摆放，则下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③． A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 4．题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 5．已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，点是等腰中直角边延长线一点，过点作于点，若，则=(    ) A． B．2 C． D． 8．如图，长方形，E是的中点，点F在上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，，请写出一个与点有关的正确结论： （例如：，，除此之外再填一个）． 12．已知，点M在线段上，的平分线交于点N，点P在线段上，连接，若，的延长线交于点E，，，则的度数为 ． 13．如图，，的平分线相交于点．点分别在上，，交于点．设，则 ．（用含有的代数式表示） 14．如图，中，，，点D是三个内角平分线交点，延长到点G，与的平分线交于点E，若，则 ． 15．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    16．如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    17．如图，的角平分线、相交于点、若，交于、交于．直接写出、、的数量关系 ． 18．如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）已知点D是等边三角形的边上的一动点（且不与点A、点C重合），连接，以为边在直线的下方作等边． （1）当点D是的中点时，求证：平分； （2）连接，求证：． 20．（8分）如图，在中，高，交于点F，且， （1）判断，的数量关系，并说明理由； （2）若平分，，求的长． 21．（10分）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2） 探索线段之间的数量关系并说明理由． 22．（10分）如图，已知四边形，点是延长线上一点，连接，交于点，其中； （1）求证：； （2）若平分，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，连接，若，，求的度数． 23．（10分）如图，，，且，． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设与交于点，连接．若，，求与的数量关系式． 24．（12分）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C D B D C D 1．D 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，由是的中线可得，进而得，再由可得，即得到，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．D 【分析】根据平行线的性质可得，，再根据，即可判断①；根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可判断②；由，，利用等量代换即可判断③． 【详解】解：如图， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确． ∴正确的结论有：①②③． 故选：D． 4．C 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点在线段上运动时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 点在线段的延长线上时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上可知：点在运动过程中，和一直相等， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，平分， ， ， ， ， ， 故选：Ｃ． 6．D 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．B 【分析】由可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题； 取的中点M，连接、，可得首先证明和得，根据，当E，H，M三点共线时，的值最小，再根据G是的中点，M是的中点，得，即可得出周长的最小值。 【详解】取的中点M，连接、 ，在和中 ， ， 在和中， ， , ， 四边形是长方形，E是的中点，M是的中点， 四边形是长方形，， .， 当E，H，M三点共线时，的值最小， 最小值为， G是的中点，M是的中点，， , 周长的最小值是， 故选：D. 9．C 【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出． 【详解】取的中点，连接，过点作，． ∵四边形为正方形， ∴，． ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分 ∴， ∴． 在和中 ∴≌ ∴ 在和中 ， ∴≌ ∴， 又∵平分，， ∴ ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴≌ ∴ ∴． 故选． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明≌． 10．D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件，加上是公共角，可得三角形全等，根据全等三角形的性质即可得出，题目是一道开放结论的试题，它有利于考查学生的发散思维能力和创新意识． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．/30度 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，三角形内角和定理等知识，解题的关键是证明出． 首先得到，然后结合得到，求出，然后证明出，得到． 【详解】∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了列代数式及三角形的内角和定理．根据角平分线的定义，令，，结合三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 因为，的平分线相交于点， 则令，， 因为， 所以， 同理可得，， 所以， 则， 即． 因为， 所以， 所以 ， 所以． 故答案为：． 14．/72度 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键． 先由三角形的外角定理得，再根据角平分线的定义及邻补角的定义得，然后根据得，进而得，由此可得值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∴． 故答案为：． 15．30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    16．2 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长． 【详解】， ， 即． ，     ， ． ∵平分， ， ， ∴平分． ， ． ， ， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键． 17． 【分析】由三角形定理得由角平分线定义得，，在上截取，连接，证明进一步得出，再证明得出，从而可得出结论 【详解】在中， ∵平分，平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在上截取，连接 在和中， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键 18． 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定是解本题的关键． （1）先证明，再由等边三角形中，，可得，从而证得结果； （2）先证明，可得，从而得出，再由平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵等边三角形中，，， ∴， ∵等边三角形中，， ∴， ∴平分； （2）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用同角的余角相等证明，从而运用证明，从而得解； （2）先证明得出，继而求出，再由得出，从而得解． 【详解】（1），理由如下： 因为，， 所以， 所以，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以； （2）因为平分， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以， 由（1）知， 所以． 21．（1）证明见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用已知条件和对顶角相等得到，即可证明结论； （2）证明，，利用等量代换即可得到结论； （3）证明，则，设，得到，，，利用三角形内角定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， 在中， 解得 即 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、一元一次方程等知识，熟练掌握平行线的判定和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 23．(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）作交的延长线于点，设与交于点，连接，证明，得出，，证明得出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） （2）证明：如图，连接、， ∵在和中， ， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） （3）解：如图，作交的延长线于点，设与交于点，连接， ， ∵， ∴． ∴． ∵在和中， ， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴ ∴． ∴ ∵，，， ∴与的数量关系式为． 24．（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形全等： （1）证明，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果； （3）同法（1）得到，进而得到，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 又因为，， 所以 所以． 又因为， 所以． 所以． （2）同（1）可得：， ∴， ∵， ∴． （3）由（2），知． 同理（1），得． 所以． 又因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$