2.1.2 有理数的减法（提升练）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2.1.2 有理数的减法 1.（2024 七年级上·全国·专题练习）计算． (1)  0 3  ． (2)      16 18 12 24      ； (3)    23 36 76 105     ； (4)      32 87 72 27      ． (5)  2.75 8.5 1.5 2.75    ． 2.（22-23 七年级上·河南濮阳·阶段练习）数轴上的点 A，B，C，D表示的数分别是 1，2.5， -1，-3；B，D两点间的距离是 个单位长度． 3.（23-24 七年级上·湖南长沙·期中） 2 1 1+ 3 12 4                     4.（2024 七年级上·全国·专题练习）计算． 考点 1 有理数的减法运算 考点 2 有理数减法的实际应用 考点 3 有理数加减混合运算 考点 4 有理数加减法的简算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 考点 1 有理数的减法运算 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)  2 3 21 1 1.753 4 3                        ； (2)   1 223 15 4 23 3           ． 5.（23-24 七年级上·江苏南通·阶段练习）设[ )m 表示不大于 m的最大整数，如[5.5) 5 ， [ 3.2) 4   ，则[ 9.8) [12)  （ ） A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 1．（23-24 七年级上·安徽合肥·期末）某地连续四天的天气情况如图，其中温差最大的一 天是（ ） A．17 日 B．18 日 C．19 日 D．20 日 2.（22-23 七年级上·云南红河·期末）某自行车厂计划每天生产 20 辆自行车，由于各种原 因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 2 3 8 4 2 5 6 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【变式 1】（19-20 七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车， 考点 2 有理数减法的实际应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 平均每天生产 200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生 产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 5 −2 4 13 10 16 9 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车6元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么 该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式 2】（22-23 七年级上·山东德州·阶段练习）某校足球队守门员小明练习折返跑，从 守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） 5 ， 3 ， 10 ， 8 ， 6 ， 12 ， 10 ． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 3.（23-24 七年级上·四川成都·开学考试）全班 35 名学生排成一行，从左边数，小红是第 20 位；从右边数，小刚是第 21 位，小红与小刚中间隔着多少名同学？ 4.（2023 七年级上·全国·专题练习）定义：若 A，B，C为数轴上三点，若点 C到点 A的距 离是点 C到点 B的距离 2倍，我们就称点 C是【A，B】的美好点． 例如：如图 1，点 A表示的数为 1 ，点 B表示的数为 2.表示 1的点 C到点 A的距离是 2，到 点 B的距离是 1，那么点 C是【A，B】的美好点；又如，表示 0的点D到点 A的距离是 1，到 点 B的距离是 2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 如图 2，M ， N为数轴上两点，点M 所表示的数为 7 ，点N所表示的数为 2． (1)点 E，F，G表示的数分别是 3 ，6.5，11，其中是【M ，N】美好点的是 ；写 出【N，M 】美好点 H所表示的数是 ． (2)现有一只电子蚂蚁 P从点N开始出发，以 2个单位每秒的速度向左运动．当 t为何值时，P， M 和 N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 1．（22-23 七年级上·贵州铜仁·阶段练习）不改变原式的值，将      6 3 7 2      写成省略 加号的和的形式是（ ） A． 6 3 7 2    B．6 3 7 2   C．6 3 7 2   D．6 3 7 2   【变式】（23-24 七年级上·河南周口·阶段练习）把      7 3 5 2      写成省略加号和的形 式为（ ） A．7 3 5 2   B．7 3 5 2   C．7 3 5 2   D．7 3 5 2   2．（2024 七年级上·全国·专题练习）计算： (1)    12 78   ； 考点 3 有理数加减混合运算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (2)    2.8 7 3.6    ； (3)    16 18 9 15     ； (4)    6 7 3.2 15           ． 1.（23-24 六年级下·上海长宁·期中）计算：  1 2 14 2.75 5 33 3 4          ； 【变式】（23-24 六年级下·上海普陀·期中）计算：  19 23.19 2 6.81 221 21           2.（24-25 七年级上·全国·假期作业）计算: 2023 2020 2017 2014 2011 2008 16 13 10 7 4           【变式】（23-24 七年级上·湖南衡阳·阶段练习）1 2 3 4 5 6 2022 2023        的值 是 ． 3.（23-24 七年级上·四川广安·阶段练习）下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需 要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分 数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 20 30 42 56 72 90           ． 【变式 1】.（22-23 七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 54... ... 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 55 55 55                                             ； (2) 1 5 1 19 1 41 11 2 3 4 5 6 7 2 6 12 20 30 42 56       ． 4.（23-24 七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题 1 2 3 4 2017 2018      的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为 1，共有 1009 组，所以结果为 1009 ．根据这个思路学生改编了下列几题： 考点 4 有理数加减法的巧算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (1)计算： ①1 2 3 4 2021 2022      __________； ②1 3 5 7 2021 2023      __________． (2)蚂蚁在数轴的原点 O处，第一次向右爬行 1个单位，第二次向右爬行 2个单位，第三次向 左爬行 3个单位，第四次向左爬行 4个单位，第五次向右爬行 5个单位，第六次向右爬行 6个 单位，第七次向左爬行 7个单位…按照这个规律，第 2024 次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2.1.2 有理数的减法 1.【答案】(1)3 (2) 10 (3)168 (4) 20 (5)7 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解：原式=0+3=3； （2）解：原式    16 18 12 24      16 18 12 24     10  ； （3）解：原式  23 36 76 105     23 76 105 36    168 ； （4）解：原式    32 87 72 27      119 99   20  ； （5）解：原式 2.75 8.5 1.5 2.75    11.25 4.25  7 ； 2.【答案】5.5 考点 1 有理数的减法运算 考点 2 有理数减法的实际应用 考点 3 有理数加减混合运算 考点 4 有理数加减法的简算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 考点 1 有理数的减法运算 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解 题的关键．根据数轴上两点的距离求法直接求解即可． 【详解】解：∵B点表示的数是 2.5，D 点表示的数是-3， ∴B，D之间的距离是 2.5-（-3）=5.5，故答案为：5.5． 3.【答案】 1 2  【分析】本题考查了有理数的减法，根据减去一个数等于加上它的相反数，进行计算即可． 【详解】解： 2 1 1+ 3 12 4                     2 1 1 3 12 4     8 1 3 12 12 12     1 2   ． 4.【答案】 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】 （1）解：原式 2 3 21 1 1.75 3 4 3      1 ； （2）解：原式 23 15 7   31 ． 5.【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据[ )m 的定义求出[ 9.8) 和[12)，再计算 减法即可． 【详解】解：由题意知[ 9.8) 10   ，[12) 12 ，  [ 9.8) [12) 10 12 22       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选 B． 1.【答案】B 【分析】此题考查有理数减法的实际应用，分别计算每天的温差，即可得到答案，正确理解题 意列得减法算式是解题的关键． 【详解】解：17 日温差为  5 8 3    ℃；18 日温差为  1 4 5   ℃；19 日温差为 2 0 2  ℃； 20 日温差为5 2 3  ℃；  5 3 3 2   温差最大的一天是 18 日， 故选：B． 2.【答案】(1)前三天共生产了 67 辆自行车 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 14 辆自行车 【分析】本题考查的是有理数的运算和正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和 “负”的相对性，确定一对具有相反意义的量并根据题意进行有理数的加减运算． （1）计算出这一周前三天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可． 【详解】（1）解：2 3 8 7   （辆） 20 3 7 67   （辆） 答：前三天共生产了 67 辆自行车． （2）解：  8 6 14   （辆） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产 14 辆自行车． 【变式 1】 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是8535元 考点 2 有理数减法的实际应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运 算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是  20 3 5 2 4 599(     辆)． 答案是：599； （2）解：  16 10 16 10 26(     辆)， 故答案是 26， 故答案为： 26； （3）解：这一周多生产的总辆数是5 2 4 13 10 16 9 9(       辆)． 1400 6 9 15 8400 135 8535(      元)． 答：该厂工人这一周的工资是8535元． 【变式 2】 【答案】(1)是回到原来的位置； (2)守门员离开球门的位置最远 12 米； (3)守门员小明在这次练习中共跑了54米 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解． （1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门的位置，从而得出答案； （2）观察记录的数据并计算，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离； （3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可． 【详解】（1）解：因为 5 3 10 8 6 12 10 0         (米)， 所以守门员是回到了原来的位置； （2）解：守门员第一次跑动后离球门距离为： 5 5  (米)； 守门员第二次跑动后离球门距离为： 5 3 2   (米)； 守门员第三次跑动后离球门距离为： 5 3 10 12    (米)； 守门员第四次跑动后离球门距离为： 5 3 10 8 4     (米)； 守门员第五次跑动后离球门距离为： 5 3 10 8 6 2      (米)； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 守门员第次六跑动后离球门距离为： 5 3 10 8 6 12 10       (米)； 守门员第七次跑动后离球门距离为： 5 3 10 8 6 12 10 0        (米)； 所以守门员离开球门的位置最远 12 米； （3）解： 5 3 10 8 6 12 10 54              (米)． 答：守门员小明在这次练习中共跑了54米 3.【答案】 4名 【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，由从左边数，小红是第 20位，可得小红的右边 有15位同学，从右边数小红是第16位，再根据从右边数，小刚是第 21位即可求解，理解题意是 解题的关键． 【详解】解：∵35 20 15  （人）， ∴小红的右边有15位同学，从右边数小红是第16位， ∵21 17 4  ， ∴小红与小刚间隔 4名同学． 4.【答案】(1)G ； 4 或 16 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图 2，直观考察点 E ，F ，G 到点M ， N 的距离，只 有点G 符合条件．结合图 2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离 2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M 和 N 中恰有一个点为其余两点的美好点分 6种情况，须区分 各种情况分别确定 P点的位置，进而可确定 t的值． 【详解】（1）根据美好点的定义， 18GM  ， 9GN  ， 2GM GN ，只有点G 符合条件， 故答案为：G ． 结合图 2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离 2倍的点，点N 的 右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定 4 符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合 条件的点是 16 ． 故答案为： 4 或 16 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （2）根据美好点的定义， P，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分 6种情况， 第一情况：当 P为【M ，N 】的美好点，点 P在M ，N 之间，如图 1， 当 2MP PN 时， 3PN  ，点 P对应的数为 2 3 1   ，因此 1.5t  秒； 第二种情况，当 P为【N ，M 】的美好点，点 P在M ，N 之间，如图 2， 当 2PM PN 时， 6NP  ，点 P 对应的数为2 6 4   ，因此 3t  秒； 第三种情况， P为【N ，M 】的美好点，点 P在M 左侧，如图 3， 当 2PN MN 时， 18NP  ，点 P对应的数为 2 18 16   ，因此 9t  秒； 第四种情况，M 为【 P ，N 】的美好点，点 P在M 左侧，如图 4， 当 2MP MN 时， 27NP  ，点 P 对应的数为 2 27 25   ，因此 13.5t  秒； 第五种情况，M 为【 N ， P】的美好点，点 P在M 左侧，如图 5， 当 2MN MP 时， 13.5NP  ，点 P 对应的数为 2 13.5 11.5   ，因此 6.75t  秒； 第六种情况，M 为【 N ， P 】的美好点，点 P在M ，N 左侧，如图 6， 当 2MN MP 时， 4.5NP  ，因此 2.25t  秒； 第七种情况，N 为【 P，M 】的美好点，点 P在M 左侧， 当 2PN MN 时， 18NP  ，因此 9t  秒， 第八种情况， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 N 为【M ， P】的美好点，点 P 在M 右侧， 当 2MN PN 时， 4.5NP  ，因此 2.25t  秒， 综上所述， t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学 知识解决问题，属于中考创新题目． 1.【答案】B 【分析】本题考查了省略加号的和的形式，正确理解省略加号和括号的形式是正确进行加减运 算的基础．根据多重符号的化简法则即可把每个加数中的括号去掉，从而得到． 【详解】解：      6 3 7 2 6 3 7 2          ， 故选：B． 【变式】 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，其中去括号是解答本题的关键．即：括号前是正号， 去掉括号及正号不变号；括号前是负号，去掉括号及负号要变号．据此即可解答． 【详解】解：      7 3 5 2 7 3 5 2        ， 故选：B． 2.【答案】 (1)66 (2)0.6 (3)10 考点 3 有理数加减混合运算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 (4) 6 【分析】此题主要考查了有理数的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． （2）（3）（4）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，即可作答． 【详解】 （1）解：    12 78    78 12   66 ； （2）解：    2.8 7 3.6     2.8 7 3.6     0.6 ； （3）解：    16 18 9 15        16 18 9 15      10 ； （4）解：    6 7 3.2 15              1.2 7 3.2 1       6  ． 1.【答案】 4 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合 律计算是解本题的关键． 【详解】解：  1 2 14 2.75 5 33 3 4          1 2 14 5 2.75 3 3 3 4                       10 6   考点 4 有理数加减法的巧算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 4  ． 【变式】 【答案】 5 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数 的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整 的数先凑整，得到   19 23.19 6.81 2 221 21             ，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式  19 23.19 2 6.81 221 21            ．   19 23.19 6.81 2 2 21 21              10 5   = 5 ． 2.【答案】1011 【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题 的关键． 根据观察，式子中一共有  2023 4 3 1 674    个加数，每两个加数为一组，和是 3，这些数分成 674 2 337  组，再算出结果即可． 【详解】解： 2023 2020 2017 2014 2011 2008 16 13 10 7 4                      2023 2020 2017 2014 2011 2008 19 16 13 10 7 4             3 3 3 3 3 3      3 337  1011 【变式】 【答案】1012 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算 法则是解题的关键． 【详解】解：1 2 3 4 5 6 2022 2023 1 1011 2023 1012             ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 故答案为：1012． 3.【答案】 19 10 / 91 10 /1.9 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，认清各数的特点是解题关键．根据分数的拆分原理 及拆分的方法，把一个分数拆分为两个单位分数的差，在计算过程中可以抵消，据此解答即可． 【详解】解： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 20 30 42 56 72 90          1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10                                                                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10                    11 1 10    19 10  ． 故答案为： 19 10． 【变式 1】 【答案】(1) 27 2 (2) 15 8 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算括号内的，再计算加减即可得出答案； （2）先将式子化为 1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 2 6 12 20 30 42 56                                                      ，再去括号，最 后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 1 6 10 1 2 2 ... 541 ... 2 4 5 55                 54 1 541 3 5 7 11 2 3 ... 2 2 2 2 2 55                  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 1 3 5 7 531 2 3 ... 27 2 2 2 2 2            1 1 1 1... 2 2 2 2      127 2   27 2  ； （2）解：原式 1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 2 6 12 20 30 42 56                                                       1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 2 6 12 20 30 42 56                1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 7 2 6 12 20 30 42 56                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8                    11 1 8        71 8   15 8  ． 4.【答案】(1)① 1011 ；② 1012 ； (2)第 2024 次爬行后蚂蚁在数轴上的 2024 ． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找 到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组、其和为 1 ，共 1011 组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为 2 ，共 506 组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2021 2022 2023 2024               ，每四个数 为一组、其和为 4 ，共 506 组，据此求解可得． 【详解】（1）解：（1）①1 2 3 4 2021 2022 1 1011 1011          ； ②1 3 5 7 2021 2023 2 506 1012          ； 故答案为： 1011 、 1012 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2）根据题意知第 2024 次爬行后蚂蚁在数轴上的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2021 2022 2023 2024 4 506 2024                   