九年级数学第一次月考卷（上海专用，沪教版九上第24章：相似形+比例线段+相似三角形）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 【答案】C 【详解】解：由相似三角形的判定定理可知， A．腰与底的比都是的两个等腰三角形，一定相似，三边对应成比例判定，故A正确，不符合要求； B．有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，两组角对应相等判定，故B正确，不符合要求； C．有一个内角是的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，两个三角形不相似，故C不正确，符合要求； D．两条直角边的比都是的两个直角三角形，一定相似，两边对应成比例且夹角相等，故D正确，不符合要求； 故选：C． 2．在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据有，结合则，故本选项不符合题意； B、根据和则有，故本选项不符合题意； C、由不能判定，故本选项符合题意； D、根据有，结合则，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：． 4．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A., 可得，此项不符合题意； B.，可得，此项不符合题意； C.，即可得，此项不符合题意； D.和不能判断，此项符合题意． 故选：D． 5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点为的黄金分割点（）， ∴， 故选：A． 6．如图，点D、E分别在上，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知，若，．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 9．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 【答案】2 【详解】解：由题意，当，即：时，； 故答案为：2． 10．如图，是的重心，，连接并延长交于，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵是的重心， ∴为的中线， 又∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵是的重心，， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 11．如图，在中，四边形是菱形，，那么 . 【答案】4 【详解】∵四边形ADEF是菱形， ∴EF//AB，EF=AF， ∴△CEF∽△CBA， ∴， ∵AB=15，AC=10，EF=AF=AC-CF ∴， 解得：CF=4， 故答案为：4 12．两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，即相似比为2：3， ∴它们周长的比是2：3， 设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x， 由题意得，3x-2x=4， 解得，x=4， 则2x=8， ∴较小的三角形的周长为8． 故答案为：8． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则BD的长度为 ．    【答案】4或9 【详解】， ， 要使得△ADC与△CDB相似， 则或者， ①当时， ， ， ， ②当时， ， ， ， 综合①②:4或9 故答案为：4或9 14．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】/0.5 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 【答案】4 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 16．如图，是等边三角形，，点D为边上的动点，，交于点E，若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 17．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．    【答案】 【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32， 由∽可得：， ∴， ∴， ∴，， 设PA交BD于O，    在中，， ∴， ∴， 故答案为． 18．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为 .    【答案】 【详解】解：∵正方形的点A的坐标为，点D的坐标为，，， ，， 延长交x轴于点，作正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴第2个正方形的面积为：， 同理可得，， ， … ∴第n个正方形的面积为：， ∴第2025个正方形的面积为：， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ， ∵， ∴在和中， , ∴． .....................................5分 （2）∵， ∴， 即， 解得：． .....................................10分 20．（10分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，当AE为何值时，ADE与ACB相似． 【详解】（1）证明：∵AD⋅AB＝AE⋅AC， ∴ 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB .....................................4分 （2）ADE与ACB中，是公共的，则存在两种情形， ①当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 .....................................7分 ②当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 综上所述，或 故答案为：或 .....................................10分 21．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断和△是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明） 【详解】（1）解：根据勾股定理得，，，，，， .....................................3分 ∴， .....................................5分 所以； .....................................6分 （2）连接，，.如图所示: .....................................10分 证明：根据勾股定理得，，， 所以， 所以和相似． 22．（10分）如图，在矩形中，E是边的中点，且于点F，连接．    求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：过点D作交于点G，交于点H，如图所示：    ∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． .....................................5分 （2）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． .....................................10分 23．（12分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．    【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， 解得：， 答：的长为3米． .....................................12分 24．（12分）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； .....................................5分 （2） 点在中点位置时. .....................................6分 证明如下： 如图，连接，延长于的延长线相交于点H， 为中点， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 故当点在中点位置时，． .....................................12分 25．（14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 【详解】（1）证明：，E为AB的中点， ． 同理，． ， 易证， ． .....................................4分 （2）证明：， ． ，，点E，点F分别是AB、CD的中点， ，，． ． 易证， ，即． 易证． ....................................8分 （3）方法1：如图所示，延长AD和BC，相交于点H，与BG相交于点M． AD，BC所在的直线互相垂直，． 由（1）可知． 又． ． 在等腰直角三角形GAB中，． 由（2）的结论：，可得． .....................................14分 方法2：如图所示，连接对角线AC，取AC的中点H，连接EH，FH． F、H、E分别是CD，AC，AB中点， FH是的中位线，EH是的中位线， ∴HF//AD，，HE//BC，． AD、BC所在的直线互相垂直， ． ， ， 在等腰直角三角形HEF中，， ．.....................................14分 方法3 如图所示，过点A作AM//DC，使，连接MB，MC，过点E作EN//AM，交BM于点N，连接NC，则四边形AMCD为平行四边形． ∴AD//MC，，EN//AM//CD． E为AB中点， N为BM中点， ， 四边形ENCF为平行四边形， ． AD，BC所在的直线互相垂直， ， 是等腰直角三角形， ，即．.....................................14分 2 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第 24 章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A．腰与底的比都是2 3∶ 的两个等腰三角形 B．有一个内角为50的两个直角三角形 C．有一个内角是50的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是2 3∶的两个直角三角形 【答案】C 【详解】解：由相似三角形的判定定理可知， A．腰与底的比都是2 3∶ 的两个等腰三角形，一定相似，三边对应成比例判定，故 A 正确，不符合要求； B．有一个内角为50的两个直角三角形，一定相似，两组角对应相等判定，故 B 正确，不符合要求； C．有一个内角是50的两个等腰三角形，当50为一个三角形的顶角，50为一个三角形的底角时，两个三 角形不相似，故 C 不正确，符合要求； D．两条直角边的比都是2 3∶ 的两个直角三角形，一定相似，两边对应成比例且夹角相等，故 D 正确，不符 合要求； 故选：C． 2 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2．在 ABC 中，点D E、 分别在BA CA、 的延长线上，已知 : 3 2AB AD  ：，下列各式不能判定DE CB∥ 的是 （ ） A． : 2 :5AE CE  B． : 3: 2AC AE  C． : 3 : 2CB DE  D． : 3 : 5AC CE  【答案】C 【详解】解：A、根据 : 2 :5AE CE  有 : 2 : 3AE AC  ，结合 : 3 2AB AD  ：则DE CB∥ ，故本选项不符合题意； B、根据 : 3: 2AC AE  和 : 3 2AB AD  ：则有DE CB∥ ，故本选项不符合题意； C、由 : 3 : 2CB DE  不能判定DE CB∥ ，故本选项符合题意； D、根据 : 3 : 5AC CE  有 : 2 : 3AE AC  ，结合 : 3 2AB AD  ：则DE CB∥ ，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图， AD BE CF∥ ∥ ， 3AB  ， 2BC  ， 2.5DE  ，则EF的长为（ ） A．5 B． 15 4 C． 25 6 D． 5 3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由 AD BE CF∥ ∥ 可得 AB DE BC EF  ，代入已知条件计算即可求解， 掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵ AD BE CF∥ ∥ ， ∴ AB DE BC EF  ， 即 3 2.5 2 EF  ， 解得 5 3 EF  ， 故选：D ． 4．如图，已知点 P在 ABC 的边 AC上，下列条件中，不能判断 ABP ACB ∽ 的是（ ） 3 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ A． ABP C  B． APB ABC  C． 2AB AP AC  D． AB AC BP CB  【答案】D 【详解】解：A. A A  , ABP C  可得 ABP ACB ∽ ，此项不符合题意； B. A A  ， APB ABC  可得 ABP ACB ∽ ，此项不符合题意； C. A A  ， 2AB AP AC  即 AB AC AP AB  可得 ABP ACB ∽ ，此项不符合题意； D. A A  和 AB AC BP CB  不能判断 ABP ACB ∽ ，此项符合题意． 故选：D． 5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点 B为 AC的黄金分割点 （ AB BC ），则 BC AB （ ） A． AB AC B． AC BC C． AB BC D． 2 2 AB AC 【答案】A 【详解】解：∵点 B为 AC的黄金分割点（ AB BC ）， ∴ BC AB AB AC  ， 故选：A． 6．如图，点 D、E分别在 ,AB AC上， AED B   ， 2BC DE ， : ABCCEDBS S △四边形 （ ） A．3: 4 B．1: 4 C． 2 : 3 D．1: 2 4 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【答案】A 【详解】解：∵ AED B   ， A A  ， ∴ ADE ACB△ △∽ ， ∴ 2 ADE ABC S DE S BC       △ △ ， ∵ 2BC DE ， ∴ 2 1 1 2 4 ADE ABC S S       △ △ ， ∴ : 3 : 4ABCCEDBS S △四边形 ． 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。 7．若 3 4 a b  ，则 a b b  的值为 ． 【答案】 7 4 【详解】解：∵ 3 4 a b  ， ∴ 3 4 a b ， ∴ 3 7 74 4 4 b b ba b b b b     ， 故答案为： 7 4 ． 8．如图，已知 1 2 3l l l∥ ∥ ，若 : 2 :3AB AC  ， 12DF  ．则EF 的长为 ． 【答案】4 【详解】解： 1 2 3l l l   ， : 2 : 3AB AC  ， 5 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ : 2 :3DE DF  ， 12DF  ， 8DE  ， 12 8 4EF DF DE      ． 故答案为：4 ． 9．在 ABC 中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， : 1: 2AD AB  ， 4AC  ，那么当 AE  时， DE BC∥ ． 【答案】2 【详解】解：由题意，当 : : 1: 2AD AB AE AC  ，即： 1 2 2 AE AC  时，DE BC∥ ； 故答案为：2． 10．如图，G是 ABC 的重心， AG GC ，连接BG并延长交 AC于D， 4AC  ，则BG的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵G是 ABC 的重心， ∴BD为 ABC 的中线， 又∵ AG GC ， ∴GD为Rt AGC△ 斜边上的中线， ∴ 1 2 GD AC ， ∵G是 ABC 的重心， 4AC  ， 6 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴ 2 4BG GD AC   ， ∴BG的长为4 ． 故答案为：4 ． 11．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，四边形 ADEF 是菱形， 15, 10AB AC  ，那么CF  . 【答案】4 【详解】∵四边形 ADEF 是菱形， ∴EF//AB，EF=AF， ∴△CEF∽△CBA， ∴ CF EF AC AB  ， ∵AB=15，AC=10，EF=AF=AC-CF ∴ CF 10 CF 10 15   ， 解得：CF=4， 故答案为：4 12．两个相似三角形对应高的比为 2 : 3，且已知这两个三角形的周长差为4 ，则较小的三角形的周长为 ． 【答案】8 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为 2：3，即相似比为 2：3， ∴它们周长的比是 2：3， 设较小的三角形的周长为 2x，则较大的三角形的周长为 3x， 由题意得，3x-2x=4， 解得，x=4， 则 2x=8， ∴较小的三角形的周长为 8． 7 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 故答案为：8． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于 D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则 BD的长度为 ． 【答案】4 或 9 【详解】 CD AB ， ADC CDB   ， 要使得△ADC 与△CDB 相似， 则 A BCD   或者 A B   ， ①当 A BCD   时， ADC CDB∽△ △ ，  AD CD CD DB  ，  2 36 4 9 CD BD AD    ， ②当 A B   时， ADC BDC ∽ ，  1 AD CD BD CD   ， 9BD AD   ， 综合①②:BD  4 或 9 故答案为：4 或 9 14．如图，大小为 4×4 的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上）， 其中最小的一个面积是 ． 8 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【答案】 1 2 /0.5 【详解】解：△ABC 的边长分别为 5，5， 10，作一个边长为 1， 5， 2 的三角形即可． 如图，△CFE 即为所求，面积＝ 1 2 ×1×1＝ 1 2 ． 故答案为： 1 2 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点 D，E，则图中与△ABC相似的 三角形个数有 个． 【答案】4 【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 90ADC CDB CED DEB ACB       90 , 90ACD A B A        ACD B   又 ADC ACB  ACD ABC△ ∽△ 90 , 90B DCE B A        9 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ A DCE ∴ 又 ,CED ACB CDB ACB      CDE ABC ∽ ， CBD ABC∽△ △ 90 , 90B EDB B A        EDB A  又 DEB ACB  DBE ABC ∽△ △ 与△ABC 相似的三角形有 ACD ， CDE ， CBD△ ， DBE ，共计 4 个 故答案为：4 16．如图， ABC 是等边三角形， 6AB  ，点 D为边BC上的动点， 60ADE  ，DE交 AC于点 E，若 2BD  ， 则CE的值为 ． 【答案】 /1 【详解】解：∵ ABC 是等边三角形， ∴ 60 , 6B C AB BC       ， ∴ 120BAD ADB   ， ∵ 60ADE  ， ∴ 120ADB CDE   ， ∴ BAD CDE  ， ∴ ABD DCE△ △∽ ， ∴ AB BD CD CE  ， ∵ 6, 2AB BD  ， ∴ 6 2 6 2 CE   ， 解得： 4 3 CE  ． 10 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 故答案为： 4 3 17．如图，将面积为 32 2 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E．若 BE= 2 ，则 AP 的长为 ． 【答案】 16 2 3 【详解】设 AB=a，AD=b，则 ab=32 2 ， 由 ABE ∽ DAB 可得： BE AB AB AD  ， ∴ 2 2 b a 2  ， ∴ 3a 64 ， ∴ a 4 ，b 8 2 ， 设 PA 交 BD 于 O， 在Rt ABD 中， 2 2BD AB AD 12   ， ∴ AB AD 8 2 OP OA BD 3     ， ∴ 16 AP 2 3  ， 故答案为 16 2 3 ． 18．在平面坐标系中，正方形 ABCD的位置如图所示，点 A 的坐标为 (1,0)，点D的坐标为  0,2 ，延长CB 11 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 交 x轴于点 1A，作正方形 1 1 1ABCC，延长 1 1C B 交 x轴于点 2A ，作正方形 2 2 2 1A B C C ，…按这样的规律进行下去， 第 2025 个正方形的面积为 . 【答案】 4048 3 5 2      【详解】解：∵正方形 ABCD的点 A 的坐标为  1 0， ，点 D 的坐标为  0,2 ， 1 2OA OD  ， ， 90DAB  ， 15 5AD S  ， ， 1 2 OA OD  ， 延长CB交 x 轴于点 1A，作正方形 1 1 1ACC B ， 1 90DOA ABA   ， 90ADO DAO   ， 90DAB   ， 1 90DAO BAA   ， 1ADO BAA  ， 1AAB DAO ∽ ， 1 1 2 AB AO AB OD    ， 5AD AB  ， 1 5 2 A B  ， ∴第 2 个正方形的面积为： 2 1 22 2 2 1 5 3 3 5 5 2 2 5 2 S AC                        ， 同理可得， 2 22 2 2 2 2 3 2 1 3 5 1 3 5 2 5 2 5 9 3 3 5 2 2 4 2 S A C                                    ， 12 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 3 22 2 4 9 1 9 27 3 3 5 5 5 5 5 4 2 4 2 2 5 8 S                                  ， … ∴第 n 个正方形的面积为：  2 1 3 5 2n n S         ， ∴第 2025 个正方形的面积为：  2 2025 1 4048 2025 3 3 5 5 2 2 S                ， 故答案为： 4048 3 5 2      ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）如图，四边形 ABCD为菱形，点 E在 AC的延长线上， ACD ABE   ． (1)求证： ABC AEB ∽ ； (2)当 6, 4AB AC  时，求 AE的长． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴CD AB∥ ， AB CB ， ACB ACD CAB     ， ∵ ACD ABE   ， ABE ACB   ∴在 ABC 和 AEB 中， BAC BAE   , ACB ABE   ∴ ABC AEB ∽ ． .....................................5 分 （2）∵ ABC AEB ∽ ， 13 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴ AB AC AE AB  ， 即 6 4 6AE  ， 解得： 9AE  ． .....................................10 分 20．（10 分）如图，在ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，连接 DE． (1)若 AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若 AB=8，AC=6，AD=3，当 AE为何值时，ADE与ACB相似． 【详解】（1）证明：∵AD⋅AB＝AE⋅AC， ∴ AD AE AC AB  又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB .....................................4 分 （2）ADE 与ACB 中， A 是公共的，则存在两种情形， ①当 ADE ACB ∽ 时，  AE AD AB AC  ，又 AB=8，AC=6，AD=3， 即 3 8 6 AE  解得 4AE  .....................................7 分 ②当 ADE ABC△ △∽ 时，  AE AD AC AB  ，又 AB=8，AC=6，AD=3， 即 3 6 8 AE  解得 9 4 AE  综上所述， 4AE  或 9 4 14 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 故答案为：4 或 9 4 .....................................10 分 21．（10 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断 ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 中的3个格点，并且与 ABC 相似．（要求：不写作法 与证明） 【详解】（1）解：根据勾股定理得 2 24 2 2 5AB    ， 2 21 2 5AC    ， 2 24 3 5BC    ， 2 22 2 2 2DF    ， 2 24 4 4 2DE    ， 2 26 2 2 10EF    ， .....................................3 分 ∴ 10 . 4 AB AC BC DE DF EF    ， .....................................5 分 所以 ABC DEF△ △ ； .....................................6 分 （2）连接 2 4P P ， 2 5P P ， 4 5P P .如图所示: .....................................10 分 证明：根据勾股定理得  4 5 2 2P P ， 2 4 2P P  ， 2 5 10P P  ， 所以 4 5 2 4 2 5 10 . 2 AB AC BC P P P P P P    ， 所以 ABC 和 2 4 5P P P 相似． 22．（10 分）如图，在矩形 ABCD中，E是CD边的中点，且BE AC 于点 F，连接DF． 15 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 求证： (1) AD DF ； (2) 2DF BE BF  ． 【详解】（1）证明：过点 D 作DG BE∥ 交 AB于点 G，交 AC于点 H，如图所示： ∵四边形 ABCD为矩形， ∴ AB CD∥ ， AB CD ， ∴四边形BEDG为平行四边形， ∴DE BG ， ∵点 E 为CD的中点， ∴ 1 2 DE CD ， ∴ 1 2 BG AG AB  ， ∵DG BE∥ ， ∴ 1 AH AG HF GB   ， ∴点 H 为 AF 的中点， ∵BE AC ， ∴ 90AFB  ， ∵DG BE∥ ， 16 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴ 90DHF AFB    ， ∴DH 垂直平分 AF ， ∴ AD DF ． .....................................5 分 （2）证明：∵四边形 ABCD为矩形， ∴ AD BC ， 90BCE  ， ∵ AD DF ， ∴DF BC ， ∵BE AC ， ∴ 90BFC  ， ∴ BFC BCE   ， ∵ CBF CBE  ， ∴ BCF BEC△ ∽△ ， ∴ BC BF BE BC  ， ∴ 2BC BE BF  ， ∴ 2DF BE BF  ． .....................................10 分 23．（12 分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口 A处立一根垂直 于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B观察井水水岸 D，视线BD与井口的直径 AC交于点 E，如果测得 1AB  米， 1.6AC  米， 0.4AE  米，求CD的长． 【详解】解：由题意知： AB CD∥ ， 则 BAE C  ， B CDE  ， ABE CDE△ ∽△ ，  AB AE CD CE  ， 17 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！  0.4 1.6 4 1 0.CD   ， 解得： 3CD  ， 答：CD的长为 3 米． .....................................12 分 24．（12 分）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与 ,B C重合)．连接 ,AE 过点E作 ,EF AE 交DC于点F ．  1 求证： ABE ECF  ；  2 连接 AF ，试探究当点E在 BC什么位置时， BAE EAF   ，请证明你的结论． 【详解】（1）四边形 ABCD是正方形， 90B C    ， 90BAE BEA   ， EF AE ， 90AEF  ， 90BEA CEF   ， BAE CEF  ， 在 ABE 和 ECF△ 中， B C BAE CEF       ， ABE ECF  ； .....................................5 分 （2）点E在BC中点位置时. .....................................6 分 证明如下： 如图，连接 AF ，延长 AE于DC的延长线相交于点 H， E 为 BC中点， BE CE  ， 四边形 ABCD是正方形， 18 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ //AB DH ， ,B ECH BAE H      ， 在 ABE 和 HCE 中， BAE H B ECH BE CE         ， ( )ABE HCE AAS   ， AE HE  ， EF AH ， AFH 是等腰三角形， EAF H   ， BAE EAF   ， 故当点E在BC中点位置时， BAE EAF   ． .....................................12 分 25．（14 分）如图 1，在四边形 ABCD中，点 E、F分别是 AB、CD的中点，过点 E作 AB的垂线，过点 F 作 CD的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图 2，若 AD、BC所在直线互相垂直，求 AD EF 的值． 19 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【详解】（1）证明： GE AB ，E 为 AB 的中点， GA GB  ． 同理，GD GC ． AGD BGC  ， 易证 AGD BGC ≌ ， AD BC  ． .....................................4 分 （2）证明： AGD BGC  ， AGB DGC   ． GA GB ，GD GC ，点 E，点 F 分别是 AB、CD 的中点， 1 2 AGE AGB   ， 1 2 DGF DGC   ， GAE GDF  ． AGE DGF  ． 易证 AGE DGF ∽ ， GA GE GD GF   ，即 GA GD GE GF  ． 易证 AGD EGF∽△ △ ． ....................................8 分 （3）方法 1：如图所示，延长 AD 和 BC，相交于点 H，与 BG 相交于点 M． AD，BC 所在的直线互相垂直， AH BH ． 090AHB  20 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 由（1）可知 DAG CBG   ． 又 AMG BMH  ． 90AGM BHM   ． 在等腰直角三角形 GAB 中， 45AGE  ． 由（2）的结论： AGD EGF∽△ △ ，可得 2 AD AG EF EG   ． .....................................14 分 方法 2：如图所示，连接对角线 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，FH． F、H、E 分别是 CD，AC，AB 中点， FH 是 ADC△ 的中位线，EH 是 ABC 的中位线， ∴HF//AD， 1 2 HF AD ，HE//BC， 12HE BC ． AD、BC 所在的直线互相垂直， 90FHE  ． AD BC ， HE HF  ， 在等腰直角三角形 HEF 中， 2 2 HF EF  ， 2 AD EF   ．.....................................14 分 方法 3 如图所示，过点 A 作 AM//DC，使 AM DC ，连接 MB，MC，过点 E 作 EN//AM，交 BM 于点 N， 连接 NC，则四边形 AMCD 为平行四边形． ∴AD//MC， AD MC ，EN//AM//CD． 21 / 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ E 为 AB 中点， N 为 BM 中点， 1 1 2 2 EN AM DC FC    ， 四边形 ENCF 为平行四边形， EF CN  ． AD，BC 所在的直线互相垂直， MC BC  ， CMB 是等腰直角三角形， 2 MC NC   ，即 2 AD EF  ．.....................................14 分 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C C D D A A 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7． 8．4 9．2 10．4 11．4 12．8 13．4或9 14．/0.5 15．4 16．/ 17． 18． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ， ∵， ∴在和中， , ∴． .....................................5分 （2）∵， ∴， 即， 解得：． .....................................10分 20．（10分） 【详解】（1）证明：∵AD⋅AB＝AE⋅AC， ∴ 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB .....................................4分 （2）ADE与ACB中，是公共的，则存在两种情形， ①当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 .....................................7分 ②当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 综上所述，或 故答案为：或 .....................................10分 21．（10分） 【详解】（1）解：根据勾股定理得，，，，，， .....................................3分 ∴， .....................................5分 所以； .....................................6分 （2）连接，，.如图所示: .....................................10分 证明：根据勾股定理得，，， 所以， 所以和相似． 22．（10分） 【详解】（1）证明：过点D作交于点G，交于点H，如图所示：    ∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． .....................................5分 （2）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． .....................................10分 23．（12分） 【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， 解得：， 答：的长为3米． .....................................12分 24．（12分） 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； .....................................5分 （2） 点在中点位置时. .....................................6分 证明如下： 如图，连接，延长于的延长线相交于点H， 为中点， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 故当点在中点位置时，． .....................................12分 25．（14分） 【详解】（1）证明：，E为AB的中点， ． 同理，． ， 易证， ． .....................................4分 （2）证明：， ． ，，点E，点F分别是AB、CD的中点， ，，． ． 易证， ，即． 易证． ....................................8分 （3）方法1：如图所示，延长AD和BC，相交于点H，与BG相交于点M． AD，BC所在的直线互相垂直，． 由（1）可知． 又． ． 在等腰直角三角形GAB中，． 由（2）的结论：，可得． .....................................14分 方法2：如图所示，连接对角线AC，取AC的中点H，连接EH，FH． F、H、E分别是CD，AC，AB中点， FH是的中位线，EH是的中位线， ∴HF//AD，，HE//BC，． AD、BC所在的直线互相垂直， ． ， ， 在等腰直角三角形HEF中，， ．.....................................14分 方法3 如图所示，过点A作AM//DC，使，连接MB，MC，过点E作EN//AM，交BM于点N，连接NC，则四边形AMCD为平行四边形． ∴AD//MC，，EN//AM//CD． E为AB中点， N为BM中点， ， 四边形ENCF为平行四边形， ． AD，BC所在的直线互相垂直， ， 是等腰直角三角形， ，即．.....................................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 48 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 2．在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点D、E分别在上，，，（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．若，则的值为 ． 8．如图，已知，若，．则的长为 ． 9．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 10．如图，是的重心，，连接并延长交于，，则的长为 ． 11．如图，在中，四边形是菱形，，那么 . 12．两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为 ． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则BD的长度为 ．    14．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 16．如图，是等边三角形，，点D为边上的动点，，交于点E，若，则的值为 ． 17．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．    18．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为 .    三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．（10分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，当AE为何值时，ADE与ACB相似． 21．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断和△是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明） 22．（10分）如图，在矩形中，E是边的中点，且于点F，连接．    求证： (1)； (2)． 23．（12分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．    24．（12分）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 25．（14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A．腰与底的比都是2 3∶ 的两个等腰三角形 B．有一个内角为50的两个直角三角形 C．有一个内角是50的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是2 3∶的两个直角三角形 2．在 ABC 中，点D E、 分别在BA CA、 的延长线上，已知 : 3 2AB AD  ：，下列各式不能判定DE CB∥ 的 是（ ） A． : 2 :5AE CE  B． : 3: 2AC AE  C． : 3 : 2CB DE  D． : 3 : 5AC CE  3．如图， AD BE CF∥ ∥ ， 3AB  ， 2BC  ， 2.5DE  ，则EF 的长为（ ） A．5 B． 15 4 C． 25 6 D． 5 3 4．如图，已知点 P在 ABC 的边 AC上，下列条件中，不能判断 ABP ACB ∽ 的是（ ） A． ABP C  B． APB ABC  C． 2AB AP AC  D． AB AC BP CB  5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点 B为 AC的黄金分割点 （ AB BC ），则 BC AB （ ） A． AB AC B． AC BC C． AB BC D． 2 2 AB AC 6．如图，点 D、E分别在 ,AB AC上， AED B   ， 2BC DE ， : ABCCEDBS S △四边形 （ ） A．3: 4 B．1: 4 C． 2 : 3 D．1: 2 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题：本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分。 7．若 3 4 a b  ，则 a b b  的值为 ． 8．如图，已知 1 2 3l l l∥ ∥ ，若 : 2 :3AB AC  ， 12DF  ．则EF 的长为 ． 9．在 ABC 中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， : 1: 2AD AB  ， 4AC  ，那么当 AE  时， DE BC∥ ． 10．如图，G是 ABC 的重心， AG GC ，连接BG并延长交 AC于D， 4AC  ，则BG的长为 ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，四边形 ADEF 是菱形， 15, 10AB AC  ，那么CF  . 12．两个相似三角形对应高的比为 2 : 3，且已知这两个三角形的周长差为4 ，则较小的三角形的周长为 ． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于 D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则 BD的长度为 ． 14．如图，大小为 4×4 的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上）， 其中最小的一个面积是 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点 D，E，则图中与△ABC相似的 三角形个数有 个． 16．如图， ABC 是等边三角形， 6AB  ，点D为边BC上的动点， 60ADE  ，DE交 AC于点 E，若 2BD  ， 则CE的值为 ． 17．如图，将面积为 32 2 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E．若 BE= 2 ，则 AP 的长为 ． 18．在平面坐标系中，正方形 ABCD的位置如图所示，点 A 的坐标为 (1,0)，点D的坐标为  0,2 ，延长CB 交 x轴于点 1A，作正方形 1 1 1ABCC，延长 1 1C B 交 x轴于点 2A ，作正方形 2 2 2 1A B C C ，…按这样的规律进行下去， 第 2025 个正方形的面积为 . 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）如图，四边形 ABCD为菱形，点 E在 AC的延长线上， ACD ABE   ． (1)求证： ABC AEB ∽ ； (2)当 6, 4AB AC  时，求 AE的长． 20．（10 分）如图，在ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，连接 DE． (1)若 AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若 AB=8，AC=6，AD=3，当 AE为何值时，ADE与ACB相似． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 21．（10 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断 ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 中的3个格点，并且与 ABC 相似．（要求：不写作法 与证明） 22．（10 分）如图，在矩形 ABCD中，E是CD边的中点，且BE AC 于点 F，连接DF． 求证： (1) AD DF ； (2) 2DF BE BF  ． 23．（12 分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口 A处立一根垂直 于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B观察井水水岸 D，视线 BD与井口的直径 AC交于点 E，如果测得 1AB  米， 1.6AC  米， 0.4AE  米，求CD的长． 24．（12 分）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是 BC边上动点(不与 ,B C重合)．连接 ,AE 过点E作 ,EF AE 交DC于点F ．  1 求证： ABE ECF  ；  2 连接 AF ，试探究当点E在 BC什么位置时， BAE EAF   ，请证明你的结论． 25．（14 分）如图 1，在四边形 ABCD中，点 E、F分别是 AB、CD的中点，过点 E作 AB的垂线，过点 F 作 CD的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图 2，若 AD、BC所在直线互相垂直，求 AD EF 的值． 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 2．在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点D、E分别在上，，，（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．若，则的值为 ． 8．如图，已知，若，．则的长为 ． 9．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 10．如图，是的重心，，连接并延长交于，，则的长为 ． 11．如图，在中，四边形是菱形，，那么 . 12．两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为 ． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则BD的长度为 ．    14．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 16．如图，是等边三角形，，点D为边上的动点，，交于点E，若，则的值为 ． 17．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．    18．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为 .    三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．（10分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，当AE为何值时，ADE与ACB相似． 21．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断和△是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明） 22．（10分）如图，在矩形中，E是边的中点，且于点F，连接．    求证： (1)； (2)． 23．（12分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．    24．（12分）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 25．（14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 8 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第 24 章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A．腰与底的比都是2 3∶ 的两个等腰三角形 B．有一个内角为50的两个直角三角形 C．有一个内角是50的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是2 3∶的两个直角三角形 2．在 ABC 中，点D E、 分别在BA CA、 的延长线上，已知 : 3 2AB AD  ：，下列各式不能判定DE CB∥ 的是 （ ） A． : 2 :5AE CE  B． : 3: 2AC AE  C． : 3 : 2CB DE  D． : 3 : 5AC CE  3．如图， AD BE CF∥ ∥ ， 3AB  ， 2BC  ， 2.5DE  ，则EF 的长为（ ） A．5 B． 15 4 C． 25 6 D． 5 3 2 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4．如图，已知点 P在 ABC 的边 AC上，下列条件中，不能判断 ABP ACB ∽ 的是（ ） A． ABP C  B． APB ABC  C． 2AB AP AC  D． AB AC BP CB  5．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点 B为 AC的黄金分割点 （ AB BC ），则 BC AB （ ） A． AB AC B． AC BC C． AB BC D． 2 2 AB AC 6．如图，点 D、E分别在 ,AB AC上， AED B   ， 2BC DE ， : ABCCEDBS S △四边形 （ ） A．3: 4 B．1: 4 C． 2 : 3 D．1: 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。 7．若 3 4 a b  ，则 a b b  的值为 ． 8．如图，已知 1 2 3l l l∥ ∥ ，若 : 2 :3AB AC  ， 12DF  ．则EF 的长为 ． 3 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9．在 ABC 中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， : 1: 2AD AB  ， 4AC  ，那么当 AE  时， DE BC∥ ． 10．如图，G是 ABC 的重心， AG GC ，连接BG并延长交 AC于D， 4AC  ，则BG的长为 ． 11．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，四边形 ADEF 是菱形， 15, 10AB AC  ，那么CF  . 12．两个相似三角形对应高的比为 2 : 3，且已知这两个三角形的周长差为4 ，则较小的三角形的周长为 ． 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于 D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则 BD的长度为 ． 14．如图，大小为 4×4 的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上）， 其中最小的一个面积是 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点 D，E，则图中与△ABC相似的 三角形个数有 个． 4 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16．如图， ABC 是等边三角形， 6AB  ，点 D为边BC上的动点， 60ADE  ，DE交 AC于点 E，若 2BD  ， 则CE的值为 ． 17．如图，将面积为 32 2 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E．若 BE= 2 ，则 AP 的长为 ． 18．在平面坐标系中，正方形 ABCD的位置如图所示，点 A 的坐标为 (1,0)，点D的坐标为  0,2 ，延长CB 交 x轴于点 1A，作正方形 1 1 1ABCC，延长 1 1C B 交 x轴于点 2A ，作正方形 2 2 2 1A B C C ，…按这样的规律进行下去， 第 2025 个正方形的面积为 . 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）如图，四边形 ABCD为菱形，点 E在 AC的延长线上， ACD ABE   ． (1)求证： ABC AEB ∽ ； (2)当 6, 4AB AC  时，求 AE的长． 5 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20．（10 分）如图，在ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，连接 DE． (1)若 AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若 AB=8，AC=6，AD=3，当 AE为何值时，ADE与ACB相似． 21．（10 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： (1)判断 ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由； (2)画一个三角形，它的三个顶点为 1 2 3 4 5P P P P P， ， ， ， 中的3个格点，并且与 ABC 相似．（要求：不写作法 与证明） 6 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22．（10 分）如图，在矩形 ABCD中，E是CD边的中点，且BE AC 于点 F，连接DF． 求证： (1) AD DF ； (2) 2DF BE BF  ． 23．（12 分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口 A处立一根垂直 于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B观察井水水岸 D，视线BD与井口的直径 AC交于点 E，如果测得 1AB  米， 1.6AC  米， 0.4AE  米，求CD的长． 7 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24．（12 分）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与 ,B C重合)．连接 ,AE 过点E作 ,EF AE 交DC于点F ．  1 求证： ABE ECF  ；  2 连接 AF ，试探究当点E在 BC什么位置时， BAE EAF   ，请证明你的结论． 8 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25．（14 分）如图 1，在四边形 ABCD中，点 E、F分别是 AB、CD的中点，过点 E作 AB的垂线，过点 F 作 CD的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC， （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF； （3）如图 2，若 AD、BC所在直线互相垂直，求 AD EF 的值．