九年级数学第一次月考卷（鲁教版，九上第1～2章：反比例函数+直角三角形的边角关系）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA的值为（    ） A． B． C． D． 2. 某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（    ）    A．米 B．20米 C．米 D．30米 3.对于函数（k＜0），下列说法错误的是（　　） A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 4. 计算的值是（        ） A． B． C． D． 5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（　　） 同 学 甲 乙 丙 放出风筝线长 线与地面交角 A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9. 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（　　） A． （50+152）米 B．（52+150）米 C．（50+150）米 D．（52+152）米 10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP的中点，连接DC，BC，则△DBC的面积为(　　) A． B．4 C．5 D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ ． 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为 ． 14. 如图，一艘邮轮从港口处出发，沿北偏东方向行驶200海里到港口，卸货后向正南方向行驶到港口，此时港口在邮轮的北偏西方向上，这时邮轮与港口相距 海里．（保留根号） 15. 已知点为直线与双曲线的交点，则的值等于 ． 16. 如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1） （2） 18．（6分） 在菱形中，，，，求的值． 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为． （1）所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为，需要三种瓷砖各多少块？ 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求的长． 22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 23．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+n的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的解集． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 25．（12分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝＝． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42 m，求建筑物CD的高． 26．（12分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据勾股定理可得，,所以. 2. 某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（    ）    A．米 B．20米 C．米 D．30米 【答案】A 【详解】∵迎水坡AB的坡比， ∴， ∵堤高米， ∴(米). 故选A. 3.对于函数（k＜0），下列说法错误的是（　　） A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【详解】， 根据反比例函数的性质， A.它的图像分布在二、四象限，说法正确； B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； C. 当x＞0时，y的值随x的增大而增大，说法正确； D. 当x＜0时，y的值随x的增大而增大，所以D错误． 故选：D． 4. 计算的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式= . 故选B. 5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 6. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（　　） 同 学 甲 乙 丙 放出风筝线长 线与地面交角 A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 【答案】B 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∴丙所放的风筝最高， 故选：B． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时， 一次函数经过一、二、四象限， 反比例函数的的图象经过一、三象限， 故A选项的图象符合要求， 当时， 一次函数y=-kx+k经过一、三、四象限， 反比例函数的的图象经过二、四象限， 没有符合条件的选项． 故选：． 9. 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（　　） A． （50+152）米 B．（52+150）米 C．（50+150）米 D．（52+152）米 【答案】A 【详解】解：在中， ， 设米， 在Rt△ENM中， ， 解得：   ， 故选A. 10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP的中点，连接DC，BC，则△DBC的面积为(　　) A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵点B在反比例函数上 ∴△PBC的面积=|k|= ∵点A在反比例函数上 ∴△PAC的面积=|k|= ∵点D是AP的中点， ∴△PDC的面积=×=; ∴△DBC的面积=+=； 故选：D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ ． 【答案】2 【详解】解：∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数， ∴且m+1≠0， 解得：； 故答案为：2． 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为 【答案】或 【详解】解：如图，在中，，过A作于D， 当时， 则， 在中，； 当，时，则， 在中，； 故答案为：或 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一艘邮轮从港口处出发，沿北偏东方向行驶200海里到港口，卸货后向正南方向行驶到港口，此时港口在邮轮的北偏西方向上，这时邮轮与港口相距 海里．（保留根号） 【答案】 【详解】如图所示，作于D点， 根据题意可得，， ∴在中，，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴海里 ， 故答案为：． 15. 已知点为直线与双曲线的交点，则的值等于 ． 【答案】-2 【详解】∵点P（a，b）为直线y=x-2与双曲线的交点， ∴b=a-2，b=-， ∴a-b=2，ab=-1． ∴==-2． 故答案是：-2． 16. 如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为， 同理得：， 此时的横坐标为； ， 此时的横坐标为； …… 的横坐标为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1） （2） 【详解】解：（1）原式 ；（3分） （2）原式 ．（3分） 18．（6分） 在菱形中，，，，求的值． 【详解】 解：， 设， 则，， ， ，（2分） ， ， ， ， ，（2分） ．（2分） 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 【详解】（1）解：在中，， ∴米， 故答案为：米；（2分） （2）解：在中，， ∴米，（2分） ∵， ∴，（1分） 解得， ∴这段河流的宽度约为米．（1分） 20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为． （1）所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为，需要三种瓷砖各多少块？ 【详解】解：（1）∵每块瓷砖的面积S=楼体外表的总面积÷所需的瓷砖块数n块， 由此可得出S与n的函数关系式是：S= ；（3分） （2）当S=80×10-4=8×10-3 m2时， n==625000，（2分） 设用灰瓷砖2x块，则白瓷砖、蓝瓷砖分别为2x块、x块， 依据题意得出：x+2x+2x=625000， 解得：x=125000，（2分） ∴需要灰瓷砖250000块，白瓷砖250000块、蓝瓷砖为125000块．（1分） 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求的长． 【详解】解：如图所示，作， 根据题意，∠5=∠2=30°，， ∴，（2分） 过作，垂足为N，此时最小，（1分） 在中，， ∴米，（2分） 在中，， ∴米，（2分） ∴（米）．（1分） 22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， ,（2分） , 答：点到地面的距离为；（1分） （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ，（2分） ∵斜面的坡角， ， ，（2分） ,（1分） 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 23．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+n的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的解集． 【详解】解：（1）∵点A（a，4）， ∴AC＝4， ∵S△AOC＝4，即OCAC=4， ∴OC＝2，（2分） ∵点A（a，4）在第二象限， ∴a＝﹣2， ∴A（﹣2，4），（2分） 将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，代入y＝﹣x+n得：n＝3，（2分） ∴反比例函数的关系式为：y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（1分） （2）由图象可以看出﹣x+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8．（3分） 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【详解】（1），四边形是矩形， ，（1分） 将代入得：， ，（2分） 把的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是；（2分） （2）把代入得：，即， ，（2分） 由题意得：， ，（2分） 点的坐标是或．（1分） 25．（12分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝＝． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42 m，求建筑物CD的高． 【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝﹣；（4分） （2）∵β＝75°，BC＝42米， ∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42×＝42×＝42（+2）米，（3分） ∵α＝60°，BC＝42米 ∴A、D垂直距离为BC•tanα＝42米，（3分） ∴CD＝AB﹣42＝84米．（1分） 答：建筑物CD的高为84米．（1分） 26．（12分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 【详解】（1）解：图象如下： （2分） 观察图象可得： ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小；（1分） ②函数的图象关于点中心对称； 故答案为：；（1分） ③列表如下： … 1 2 3 … … 1 … 画出的图象如图所示， 观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； 故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到；（1分） （2），（2分） ∵均为整数， ∴， ∴ ∴， ∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为．（2分） （3）由直线可知直线经过点， ∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n， ∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则 sinA 的值为（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 【答案】C 【解析】根据勾股定理可得， 2 2 4BC AB AC   ,所以 4 sin 5 BC A AB   . 2. 某河堤横断面如图所示，堤高 10BC  米，迎水坡 AB 的坡比是1: 3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平 宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．10 3 米 B．20 米 C．20 3 米 D．30 米 【答案】A 【详解】∵迎水坡 AB 的坡比1: 3 ， ∴ 1 3 BC AC  ， ∵堤高 10BC  米， ∴ 3 3 10 10 3AC BC    (米). 故选 A. 3.对于函数 k y x  （k＜0），下列说法错误的是（ ） A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x＞0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D．当 x＜0 时，y 的值随 x 的增大而减小 【答案】D 【详解】 0k  ， 根据反比例函数的性质， A.它的图像分布在二、四象限，说法正确； B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； C. 当 x＞0 时，y 的值随 x 的增大而增大，说法正确； D. 当 x＜0 时，y 的值随 x 的增大而增大，所以 D 错误． 故选：D． 4. 计算 2 25sin30 2cos 45 tan 60   的值是（ ） A．√2 B． 1 2 C． 1 2  D．1 【答案】B 【详解】解：原式= 1 1 1 5 2 3 2 2 2      . 故选 B. 5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的值为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 【答案】B 【详解】 作 AD 垂直 BC 的延长线于点 D 则△ABD 为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 2 B 2 cos  故答案选择 B. 6. 已知三个点      1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y 在反比例函数 6 y x  的图象上，其中 1 2 30x x x   ，下列结论中正确的 是（ ） A． 3 1 2y y y  B． 1 2 3y y y  C． 1 3 2y y y  D． 2 1 3y y y  【答案】C 【详解】解：∵反比例函数 6 y x  中 6 0k   ， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内， y 随 x 的增大而减小； ∵ 1 2 30x x x   ， ∴ 1 3 2y y y  ， 故选：C． 7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝 线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ） 同 学 甲 乙 丙 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 放出风筝线长 100m 100m 90m 线与地面交角 40 45 60° A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 【答案】B 【详解】解：根据题意得，  2100sin 40 100sin 45 100 50 2 m 2       ，  390sin 60 90 45 3 m 2     ， ∴50 2 45 3 ， ∴90sin 60 100sin 45 100sin 40   ， ∴丙所放的风筝最高， 故选：B． 8. 在同一直角坐标系中，函数 y kx k   与  0ky k x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①当 0k  时， 一次函数 y kx k   经过一、二、四象限， 反比例函数的  0ky k x   的图象经过一、三象限， 故 A 选项的图象符合要求， ②当 0k  时， 一次函数 y=-kx+k 经过一、三、四象限， 反比例函数的  0ky k x   的图象经过二、四象限， 没有符合条件的选项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 故选：A ． 9. 如图，为了测得电视塔的高度 EC，在 D 处用高 2 米的测角仪 AD，测得电视塔顶端 E 的仰角为 45°，再 向电视塔方向前进 100 米到达 B 处，又测得电视塔顶端 E 的仰角为 60°，则电视塔的高度 EC 为（ ） A．（50 3 +152）米 B．（52 3 +150）米 C．（50 3 +150）米 D．（52 3 +152）米 【答案】A 【详解】解：在Rt EAM 中， 45EAM   ， AM EM  ， 设EM x 米， 在 Rt△ENM 中， 60ENM   ， 3 tan30 3 ，MN EM x    100AN  ， 3 100 3 x x   ， 解得： 50 3 150x   ， 2AD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 50 3 150 2 50 3 152EC      ； 故选 A. 10. 如图，过 x 轴正半轴上的任意一点 P，作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 5 ( 0)y x x    和 3 ( 0)y x x   的 图象交于 A，B 两点．若点 C 是 y 轴上任意一点，点 D是 AP 的中点，连接 DC，BC，则△DBC 的面积为( ) A． 9 4 B．4 C．5 D． 11 4 【答案】D 【详解】解：∵点 B在反比例函数 3 ( 0)y x x   上 ∴△PBC 的面积= |k|= ∵点 A在反比例函数 5 ( 0)y x x    上 ∴△PAC 的面积= |k|= ∵点 D 是 AP 的中点， ∴△PDC 的面积= × = ; ∴△DBC 的面积= + = ； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 函数 y＝（m+1） 2 3m mx   是 y 关于 x 的反比例函数，则 m＝ ． 【答案】2 【详解】解：∵函数 y＝（m+1） 2 3m mx   是 y 关于 x 的反比例函数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ 2 3 1   m m 且 m+1≠0， 解得： 2m  ； 故答案为：2． 12. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 【答案】 5 16 或 【详解】解：如图，在 ABC 中， AB AC ，过 A 作 AD BC 于 D， 当 5, 8AB AC BC   时， 则 4CD  ， 在Rt ACD 中， 4cos 5 CD C AC    ； 当 8AB AC  ， 5BC  时，则 2.5CD  ， 在Rt ACD 中， 2.5 5cos 8 16 CD C AC     ； 故答案为： 5 16 或 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数 k y x  的图像于 A B、 两点，BC y 轴于点C ， △ 𝐴𝐵𝐶的面积为 6，则 k 的值为 ． 【答案】 6 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数 k y x  相交于 A B、 两点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ A B、 两点关于原点对称， ∴OA OB ， ∴ BOC AOCS S  ， ∵ ABC 的面积为 6， ∴ 1 3 2BOC ABC S S   ， 又∵ B 是反比例函数 k y x  图像上的点，且BC y 轴于点C ， ∴ 1 3 2BOC S k △ ，解得 6k   ， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴ 0k  ， ∴ 6k   ． 故答案为： 6 ． 14. 如图，一艘邮轮从港口 P 处出发，沿北偏东60方向行驶 200 海里到A 港口，卸货后向正南方向行驶到 B 港口，此时 P 港口在邮轮的北偏西45方向上，这时邮轮与港口 P 相距 海里．（保留根号） 【答案】100 6 【详解】如图所示，作PD AB 于 D 点， 根据题意可得 30APD  ， 200AP  ， ∴在 Rt APD 中， 100AD  ， 100 3PD  ， 又∵ 45B  ， ∴ PBD△ 为等腰直角三角形， ∴ 2 2 100 3 100 6PB PD    海里 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 故答案为：100 6． 15. 已知点 ( , )P a b 为直线 2y x  与双曲线 1 y x   的交点，则 1 1 b a  的值等于 ． 【答案】-2 【详解】∵点 P（a，b）为直线 y=x-2 与双曲线 1 y x   的交点， ∴b=a-2，b=- 1 a ， ∴a-b=2，ab=-1． ∴ 1 1 b a  = 2 -1 a b ab   =-2． 故答案是：-2． 16. 如图，直线 l 的解析式为 3 1 3 y x  ，与 ,x y 轴分别相交于 ,A P两点，过点 P 作 1PPO 的平分线交 x 轴 于点 1A ，过点 1A 作 x 轴的垂线与直线 l 相交于点 1P ，作 2 1 1P P A 的平分线交 x 轴于点 2A ，过点 2A 作 x 轴的垂 线与直线 l 相交于点 2P ……按此规律进行下去，则点 nP 的横坐标为 ． 【答案】  2 1 3n  【详解】解：把 0x  代入 3 1 3 y x  得： 1y  ， 把 0y  代入 3 1 3 y x  得： 3 0 1 3 x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 解得： 3x   ， ∴ 3OA  ， 1OP  ， ∴ 3 tan 3 1 OA APO OP     ， ∴ 60APO  ， ∴ 90 60 30PAO      ， 1 180 60 120PPO     ， ∵ 1PA 平分 1PPO ， ∴ 1 1 120 60 2 OPA     ， ∴ 1 90 60 30AA P     ， ∴ 1AA P PAO   ， ∴ 1AP A P ， ∵ 1PO AA ， ∴  11 2 1 3OA OA   ， ∴  1 3,0A ， ∵ 1 1P A x 轴， ∴ 1P 的横坐标为 3， 同理得：  22 3 3 2 1 3OA    ， 此时 2P 的横坐标为  22 1 3 ；  33 7 3 2 1 3OA    ， 此时 3P 的横坐标为  32 1 3 ； …… nP 的横坐标为  2 1 3n  ； 故答案为：  2 1 3n  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1）  22sin30 1 2 2     （2）  02 tan30 2 sin 45o 1 2c s 60 3     【详解】解：（1）原式 1 2 1 2 2 2      1 1 2 2    2 ；（3 分） （2）原式 3 22 1 2 2 1 2 3 3       1 1 1 1    0 ．（3 分） 18．（6分） 在菱形 ABCD中，DE AB ，sin 4 5 A  ， 2BE  ，求cos DBE 的值． 【详解】 解： 4 sin 5 A  ， 设 4DE x ， 则 5AD x ， 3AE x ， 2BE  ， 3 2AB x   ，（2 分） AB AD ， 3 2 5x x   ， 1x  ， 4DE  ， 2 2 2 24 2 2 5BD DE BE      ，（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 2 5 cos 52 5 BE DBE BD      ．（2 分） 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立 A， B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M．过点 M 作MN AB ， 垂足为 N， 测得 50mAB  ， 22 67MAB MBA     ， ． (1)设MN x 米， 则 AN 的长为 ． (用含 x 的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m )． 参考数据： 3 15 2 sin 22 ,cos 22 , tan 22 8 16 5       ， 12 5 12 sin 67 ,cos67 , tan 67 13 13 5       【详解】（1）解：在Rt AMN 中， 22 90MAN MNA    ，∠ ， ∴ 2.5 tan tan 22 MN x AN x MAN    ∠ 米， 故答案为： 2.5x 米；（2 分） （2）解：在Rt BMN△ 中， 67 90MBN MNB    ，∠ ， ∴ 5 tan tan 67 12 MN x BN x MBN    ∠ 米，（2 分） ∵ 50mAB  ， ∴ 5 2.5 50 12 x x  ，（1 分） 解得 17.1x  ， ∴ 这段河流的宽度约为17.1米．（1 分） 20．（8 分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为 3 25 10 m ． （1）所需的瓷砖块数 n 与每块瓷砖的面积 S（单位： 2m ）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是 280cm ， 且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为 2 : 2 :1，需要三种瓷砖各多少块？ 【详解】解：（1）∵每块瓷砖的面积 S=楼体外表的总面积÷所需的瓷砖块数 n 块， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 由此可得出 S 与 n 的函数关系式是：S= 5000 n ；（3 分） （2）当 S=80×10-4=8×10-3 m2时， n= 3 5000 8 10 =625000，（2 分） 设用灰瓷砖 2x 块，则白瓷砖、蓝瓷砖分别为 2x 块、x 块， 依据题意得出：x+2x+2x=625000， 解得：x=125000，（2 分） ∴需要灰瓷砖 250000 块，白瓷砖 250000 块、蓝瓷砖为 125000 块．（1 分） 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东60方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安 装天然气的 M 小区在 A 市北偏东30方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长． 【详解】解：如图所示，作MT AB∥ ， 根据题意，∠5=∠2=30°， 1 60TMC    ， ∴ 30 60 90AMC     ，（2 分） 过M 作MN AC ，垂足为 N，此时MN 最小，（1 分） 在Rt ACM 中， 3 60 4 30    ， ∴ 1 1000 2 CM AC  米，（2 分） 在Rt NCM△ 中， 30CMN  ， ∴ 1 500 2 CN CM  米，（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 2000 500 1500AN AC CN     （米）．（1 分） 22.（8 分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横 面，桥顶𝐴𝐷 平行于地面BC ， 天桥斜面CD的坡度为 1 3i ∶ ，𝐶𝐷 长10m， 天桥另一斜面 AB 的坡角 45ABC  ． (1)求点 D 到地面BC 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面𝐴𝐵的坡角变为 30°，改建后斜面为 AF ，则斜面 AF 的坡角 30F  ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到0.1m )(参考数据 3 1.73 ) 【详解】（1）作DH BC 于点H ， AD BC ， ∵ 斜面𝐶𝐷的坡度为 1: 3,i  1 3 tan 33 DCH    ， 30DCH   ,（2 分） 1 5 2 DH CD   , 答：点D到地面BC 的距离为5m；（1 分） （2）作 AG BC 于点G ， ∵ 天桥斜面𝐴𝐵的坡角 45ABC  ， 5BG AG DH    ，（2 分） ∵ 斜面 AF 的坡角 30F  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 tan AG F BG    ， 5 5 3 tan30 3 3 AG FG     ，（2 分） 5 3 5 3.7mFB FG BG      ,（1 分） 答：此改建需占路面的宽度 FB 的长约为3.7m． 23．（10 分）如图，已知反比例函数 y＝ k x （k≠0）的图象与一次函数 y＝﹣ 1 2 x+n 的图象交于第二、四象限 内的点 A（a，4）、B（8，b），过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 C，△AOC的面积为 4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 1 2 k x n x    的解集． 【详解】解：（1）∵点 A（a，4）， ∴AC＝4， ∵S△AOC＝4，即 1 2 OC  AC=4， ∴OC＝2，（2 分） ∵点 A（a，4）在第二象限， ∴a＝﹣2， ∴A（﹣2，4），（2 分） 将 A（﹣2，4）代入 y＝ k x 得：k＝﹣8，代入 y＝﹣ 1 2 x+n 得：n＝3，（2 分） ∴反比例函数的关系式为：y＝﹣ 8 x ，一次函数的解析式为 y＝﹣ 1 2 x+3；（1 分） （2）由图象可以看出﹣ 1 2 x+n＜ k x 的解集为：﹣2＜x＜0 或 x＞8．（3 分） 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 A，C 分别在坐标轴 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 上，点 B 的坐标为 (4, 2)，直线 1 3 2 y x   分别交 AB ，BC 于点 M，N，反比例函数 k y x  的图象经过点 M， N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 P 在 x 轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标． 【详解】（1） (4,2)B ，四边形OABC 是矩形， 2OA BC   ，（1 分） 将 2y  代入 1 3 2 y x   得： 2x  ， (2,2)M ，（2 分） 把M 的坐标代入 k y x  得： 4k  ， 反比例函数的解析式是 4 y x  ；（2 分） （2）把 4x  代入 4 y x  得： 1y  ，即 1CN ， AOM CONOABCBMONS S S S    矩形四边形 1 1 4 2 2 2 4 1 4 2 2          ，（2 分） 由题意得： 1 | | 4 2 OP AO  ， 2AO  | | 4OP  ，（2 分） 点 P 的坐标是 (4,0)或( 4,0) ．（1 分） 25．（12 分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝  2tan tan 1 tan tan 0 1 tan tan             ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 tan105°＝tan（45°+60°） ＝ tan 45 tan 60 1 tan 45 tan 60        ＝ 1 3 1 1 3    ＝ (1 3)(1 3) (1 3)(1 3)     ＝ 4 2 3 2   ＝ (2 3)  ． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求 cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物 CD 上方的点 A 处测得建筑物顶端点 D 的俯角 α 为 60°，底端点 C 的俯角 β 为 75°，此时直升机与建筑物 CD 的水平距离 BC 为 42 m，求建筑物 CD 的高． 【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝ 6 4 ﹣ 2 4 ；（4 分） （2）∵β＝75°，BC＝42 米， ∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42× tan 45 tan30 1 tan 45 tan 30      ＝42× 3 1 3 3 1 3   ＝42（ 3 +2）米，（3 分） ∵α＝60°，BC＝42 米 ∴A、D 垂直距离为 BC•tanα＝42 3米，（3 分） ∴CD＝AB﹣42 3＝84 米．（1 分） 答：建筑物 CD 的高为 84 米．（1 分） 26．（12 分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数 1 xy x   的图象与性质．使 用“描点法”作出函数 1 xy x   的图象． 列表：恰当地选取自变量 x的几个值，计算 y 对应的值． x … 2 1 0 1 2 2 3 4 3 3 2 2 3 4 … 1 xy x   … 2 3 1 2 0 1 2 4 3 2 3 2 4 3 … 描点：以表中各对 x y、 的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线 1x  两 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当 1x  时， y 随 x的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数 1 xy x   的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数 1 xy x   的图象是双曲线，他觉得函数 1 xy x   的图象是由一个反比例函数的图象经过平 移得来的，并进行了如下变形：  1 1 1 1 1 1 1 xx y x x x          ，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数 1 y x  的图象，并观察得出函数 1 xy x   的图象是由函数 1 y x  的图象经过怎样的平移变换得到的： _____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数 4 6 2 1 x y x    图 象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线  1 1( 0)y k x k    与函数 1 xy x   的图象相交于 A B、 两点，A 的横坐标是 m ， B 的纵坐标是 n ， 则   1 1m n  __________． 【详解】（1）解：图象如下： （2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 观察图象可得： ①当 1x  时，y 随 x 的增大而减小； 故答案为：减小；（1 分） ②函数 1 xy x   的图象关于点  1,1 中心对称； 故答案为：  1,1 ；（1 分） ③列表如下： x … 3 2 1 1 2 3 … 1 y x  … 1 3  1 2  1 1 1 2 1 3 … 画出 1 y x  的图象如图所示， 观察得出函数 1 xy x   的图象是由函数 1 y x  的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位得到； 故答案为：向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位得到；（1 分） （2）  2 2 1 44 6 4 2 2 1 2 1 2 1 xx y x x x          ，（2 分） ∵ ,x y 均为整数， ∴ 2 1 1, 2, 4x      ， ∴ 0,1x  ∴ 6, 2y   ， ∴ 横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为 (0,6), (1, 2) ．（2 分） （3）由直线    1 1 0y k x k    可知直线经过点  1,1 ， ∵ 直线    1 1 0y k x k    与函数 1 xy x   的图象相交于 A、B 两点，A 的横坐标是 m，B 的纵坐标是 n， ∴ A、B 关于点  1,1 成中心对称，点 A 的纵坐标为 2n  ， 由  1 1 1 1 1 1 1 xx y x x x          可知， 1 2 1 1 n m      ， ∴   11 1 n m     ， ∵ 1m  ， ∴   1 1 1m n    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 故答案为： 1 （3 分） 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B B C B A A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．2 12．或 13．-6 14． 15．-2 16． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：（1）原式 ；（3分） （2）原式 ．（3分） 18．（6分） 【详解】 解：， 设， 则，， ， ，（2分） ， ， ， ， ，（2分） ．（2分） 19．（6分） 【详解】（1）解：在中，， ∴米， 故答案为：米；（2分） （2）解：在中，， ∴米，（2分） ∵， ∴，（1分） 解得， ∴这段河流的宽度约为米．（1分） 20．（8分） 【详解】解：（1）∵每块瓷砖的面积S=楼体外表的总面积÷所需的瓷砖块数n块， 由此可得出S与n的函数关系式是：S= ；（3分） （2）当S=80×10-4=8×10-3 m2时， n==625000，（2分） 设用灰瓷砖2x块，则白瓷砖、蓝瓷砖分别为2x块、x块， 依据题意得出：x+2x+2x=625000， 解得：x=125000，（2分） ∴需要灰瓷砖250000块，白瓷砖250000块、蓝瓷砖为125000块．（1分） 21．（8分） 【详解】解：如图所示，作， 根据题意，∠5=∠2=30°，， ∴，（2分） 过作，垂足为N，此时最小，（1分） 在中，， ∴米，（2分） 在中，， ∴米，（2分） ∴（米）．（1分） 22.（8分） 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， ,（2分） , 答：点到地面的距离为；（1分） （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ，（2分） ∵斜面的坡角， ， ，（2分） ,（1分） 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 23．（10分） 【详解】解：（1）∵点A（a，4）， ∴AC＝4， ∵S△AOC＝4，即OCAC=4， ∴OC＝2，（2分） ∵点A（a，4）在第二象限， ∴a＝﹣2， ∴A（﹣2，4），（2分） 将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，代入y＝﹣x+n得：n＝3，（2分） ∴反比例函数的关系式为：y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（1分） （2）由图象可以看出﹣x+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8．（3分） 24．（10分） 【详解】（1），四边形是矩形， ，（1分） 将代入得：， ，（2分） 把的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是；（2分） （2）把代入得：，即， ，（2分） 由题意得：， ，（2分） 点的坐标是或．（1分） 25．（12分） 【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝﹣；（4分） （2）∵β＝75°，BC＝42米， ∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42×＝42×＝42（+2）米，（3分） ∵α＝60°，BC＝42米 ∴A、D垂直距离为BC•tanα＝42米，（3分） ∴CD＝AB﹣42＝84米．（1分） 答：建筑物CD的高为84米．（1分） 26．（12分） 【详解】（1）解：图象如下： （2分） 观察图象可得： ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小；（1分） ②函数的图象关于点中心对称； 故答案为：；（1分） ③列表如下： … 1 2 3 … … 1 … 画出的图象如图所示， 观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； 故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到；（1分） （2），（2分） ∵均为整数， ∴， ∴ ∴， ∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为．（2分） （3）由直线可知直线经过点， ∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n， ∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6 分） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA的值为（    ） A． B． C． D． 2. 某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（    ）    A．米 B．20米 C．米 D．30米 3.对于函数（k＜0），下列说法错误的是（　　） A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 4. 计算的值是（        ） A． B． C． D． 5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（　　） 同 学 甲 乙 丙 放出风筝线长 线与地面交角 A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9. 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（　　） A． （50+152）米 B．（52+150）米 C．（50+150）米 D．（52+152）米 10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP的中点，连接DC，BC，则△DBC的面积为(　　) A． B．4 C．5 D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝ ． 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为 ． 14. 如图，一艘邮轮从港口处出发，沿北偏东方向行驶200海里到港口，卸货后向正南方向行驶到港口，此时港口在邮轮的北偏西方向上，这时邮轮与港口相距 海里．（保留根号） 15. 已知点为直线与双曲线的交点，则的值等于 ． 16. 如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1） （2） 18．（6分） 在菱形中，，，，求的值． 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为． （1）所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为，需要三种瓷砖各多少块？ 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求的长． 22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 23．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+n的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的解集． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 25．（12分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝＝． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42 m，求建筑物CD的高． 26．（12分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则 sinA的值为（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 2. 某河堤横断面如图所示，堤高 10BC  米，迎水坡 AB的坡比是1: 3 （坡比是坡面的铅直高度 BC与水 平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） A．10 3 米 B．20 米 C．20 3 米 D．30 米 3.对于函数 k y x  （k＜0），下列说法错误的是（ ） A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x＞0 时，y的值随 x的增大而增大 D．当 x＜0 时，y的值随 x的增大而减小 4. 计算 2 25sin30 2cos 45 tan 60    的值是（ ） A．√2 B． 1 2 C． 1 2  D．1 5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 6. 已知三个点      1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y 在反比例函数 6 y x  的图象上，其中 1 2 30x x x   ，下列结论中正确 的是（ ） A． 3 1 2y y y  B． 1 2 3y y y  C． 1 3 2y y y  D． 2 1 3y y y  7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝 线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ） 同 学 甲 乙 丙 放出风筝线长 100m 100m 90m 线与地面交角 40 45 60° A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 8. 在同一直角坐标系中，函数 y kx k   与  0ky k x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9. 如图，为了测得电视塔的高度 EC，在 D 处用高 2 米的测角仪 AD，测得电视塔顶端 E 的仰角为 45°，再 向电视塔方向前进 100 米到达 B 处，又测得电视塔顶端 E 的仰角为 60°，则电视塔的高度 EC 为（ ） A．（50 3 +152）米 B．（52 3 +150）米 C．（50 3 +150）米 D．（52 3 +152）米 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 10. 如图，过 x轴正半轴上的任意一点 P，作 y轴的平行线，分别与反比例函数 5 ( 0)y x x    和 3 ( 0)y x x   的图象交于 A，B两点．若点 C是 y轴上任意一点，点 D是 AP的中点，连接 DC，BC，则△DBC的面积为 ( ) A． 9 4 B．4 C．5 D． 11 4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 函数 y＝（m+1） 2 3m mx   是 y关于 x的反比例函数，则 m＝ ． 12. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数 k y x  的图像于 A B、 两点，BC y 轴于点C， △ 𝐴𝐵𝐶的面积为 6，则 k的值为 ． 14. 如图，一艘邮轮从港口 P处出发，沿北偏东60方向行驶 200 海里到A 港口，卸货后向正南方向行驶到 B 港口，此时 P港口在邮轮的北偏西45方向上，这时邮轮与港口 P相距 海里．（保留根号） 15. 已知点 ( , )P a b 为直线 2y x  与双曲线 1 y x   的交点，则 1 1 b a  的值等于 ． 16. 如图，直线 l的解析式为 3 1 3 y x  ，与 ,x y轴分别相交于 ,A P两点，过点 P作 1PPO 的平分线交 x轴 于点 1A，过点 1A作 x轴的垂线与直线 l相交于点 1P，作 2 1 1P PA 的平分线交 x轴于点 2A ，过点 2A 作 x轴的垂线 与直线 l相交于点 2P ……按此规律进行下去，则点 nP 的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1）  22sin30 1 2 2     （2）  02 tan30 2 sin 45o 1 2c s 60 3     18．（6分） 在菱形 ABCD中，DE AB ，sin 4 5 A  ， 2BE  ，求cos DBE 的值． 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立 A， B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M．过点 M作MN AB ， 垂足为 N， 测得 50mAB  ， 22 67MAB MBA     ， ． (1)设MN x 米， 则 AN的长为 ． (用含 x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m )． 参考数据： 3 15 2 sin 22 ,cos 22 , tan 22 8 16 5       ， 12 5 12 sin 67 ,cos67 , tan 67 13 13 5       20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为 3 25 10 m ． （1）所需的瓷砖块数 n与每块瓷砖的面积 S（单位： 2m ）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是 280cm ， 且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为 2 : 2 :1，需要三种瓷砖各多少块？ 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从 A市的北偏东60方向直线延伸，测绘员在 A处测得要安 装天然气的M小区在 A市北偏东30方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C处，测得小区M位于 C 的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN的长． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横面， 桥顶𝐴𝐷 平行于地面BC， 天桥斜面CD的坡度为 1 3i ∶ ，𝐶𝐷 长10m， 天桥另一斜面 AB的坡角 45ABC  ． (1)求点 D到地面BC的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面𝐴𝐵的坡角变为 30°，改建后斜面为 AF ，则斜面 AF 的坡角 30F  ，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到0.1m )(参考数据 3 1.73 ) 23．（10 分）如图，已知反比例函数 y＝ k x （k≠0）的图象与一次函数 y＝﹣ 1 2 x+n的图象交于第二、四象限 内的点 A（a，4）、B（8，b），过点 A作 x轴的垂线，垂足为点 C，△AOC的面积为 4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 1 2 k x n x    的解集． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O与坐标原点重合，点 A，C分别在坐标轴上， 点 B的坐标为 (4, 2)，直线 1 3 2 y x   分别交 AB，BC于点 M，N，反比例函数 k y x  的图象经过点 M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 P在 x轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P的坐标． 25．（12 分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝  2tan tan 1 tan tan 0 1 tan tan             ． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 tan105°＝tan（45°+60°） ＝ tan 45 tan 60 1 tan 45 tan 60        ＝ 1 3 1 1 3    ＝ (1 3)(1 3) (1 3)(1 3)     ＝ 4 2 3 2   ＝ (2 3)  ． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求 cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物 CD上方的点 A处测得建筑物顶端点 D的俯角 α 为 60°，底端点 C的俯角 β 为 75°，此时直升机与建筑物 CD的水平距离 BC为 42 m，求建筑物 CD的高． 26．（12 分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数 1 xy x   的图象与性质．使 用“描点法”作出函数 1 xy x   的图象． 列表：恰当地选取自变量 x的几个值，计算 y 对应的值． x … 2 1 0 1 2 2 3 4 3 3 2 2 3 4 … 1 xy x   … 2 3 1 2 0 1 2 4 3 2 3 2 4 3 … 描点：以表中各对 x y、 的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线 1x  两侧 的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当 1x  时， y 随 x的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数 1 xy x   的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数 1 xy x   的图象是双曲线，他觉得函数 1 xy x   的图象是由一个反比例函数的图象经过平移 得来的，并进行了如下变形：  1 1 1 1 1 1 1 xx y x x x          ，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数 1 y x  的图象，并观察得出函数 1 xy x   的图象是由函数 1 y x  的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数 4 6 2 1 x y x    图 象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线  1 1( 0)y k x k    与函数 1 xy x   的图象相交于 A B、 两点，A 的横坐标是 m， B的纵坐标是n， 则   1 1m n  __________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则 sinA的值为（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 2. 某河堤横断面如图所示，堤高 10BC  米，迎水坡 AB的坡比是1: 3（坡比是坡面的铅直高度 BC与水平 宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） A．10 3 米 B．20 米 C．20 3 米 D．30 米 3.对于函数 k y x  （k＜0），下列说法错误的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x＞0 时，y的值随 x的增大而增大 D．当 x＜0 时，y的值随 x的增大而减小 4. 计算 2 25sin30 2cos 45 tan 60    的值是（ ） A．√2 B． 1 2 C． 1 2  D．1 5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 6. 已知三个点      1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y 在反比例函数 6 y x  的图象上，其中 1 2 30x x x   ，下列结论中正确的 是（ ） A． 3 1 2y y y  B． 1 2 3y y y  C． 1 3 2y y y  D． 2 1 3y y y  7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝 线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ） 同 学 甲 乙 丙 放出风筝线长 100m 100m 90m 线与地面交角 40 45 60° A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 8. 在同一直角坐标系中，函数 y kx k   与  0ky k x   的图象大致是（ ） A． B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C． D． 9. 如图，为了测得电视塔的高度 EC，在 D 处用高 2 米的测角仪 AD，测得电视塔顶端 E 的仰角为 45°，再 向电视塔方向前进 100 米到达 B 处，又测得电视塔顶端 E 的仰角为 60°，则电视塔的高度 EC 为（ ） A．（50 3 +152）米 B．（52 3 +150）米 C．（50 3 +150）米 D．（52 3 +152）米 10. 如图，过 x轴正半轴上的任意一点 P，作 y轴的平行线，分别与反比例函数 5 ( 0)y x x    和 3 ( 0)y x x   的 图象交于 A，B两点．若点 C是 y轴上任意一点，点 D是 AP的中点，连接 DC，BC，则△DBC的面积为( ) A． 9 4 B．4 C．5 D． 11 4 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 函数 y＝（m+1） 2 3m mx   是 y关于 x的反比例函数，则 m＝ ． 12. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数 k y x  的图像于 A B、 两点，BC y 轴于点C， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 △ 𝐴𝐵𝐶的面积为 6，则 k的值为 ． 14. 如图，一艘邮轮从港口 P处出发，沿北偏东60方向行驶 200 海里到A 港口，卸货后向正南方向行驶到 B 港口，此时 P港口在邮轮的北偏西45方向上，这时邮轮与港口 P相距 海里．（保留根号） 15. 已知点 ( , )P a b 为直线 2y x  与双曲线 1 y x   的交点，则 1 1 b a  的值等于 ． 16. 如图，直线 l的解析式为 3 1 3 y x  ，与 ,x y轴分别相交于 ,A P两点，过点 P作 1PPO 的平分线交 x轴 于点 1A，过点 1A作 x轴的垂线与直线 l相交于点 1P，作 2 1 1P PA 的平分线交 x轴于点 2A ，过点 2A 作 x轴的垂 线与直线 l相交于点 2P ……按此规律进行下去，则点 nP 的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（1）  22sin30 1 2 2     （2）  02 tan30 2 sin 45o 1 2c s 60 3     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（6分） 在菱形 ABCD中，DE AB ，sin 4 5 A  ， 2BE  ，求cos DBE 的值． 19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立 A， B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作MN AB ， 垂足为 N， 测得 50mAB  ， 22 67MAB MBA     ， ． (1)设MN x 米， 则 AN的长为 ． (用含 x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m )． 参考数据： 3 15 2 sin 22 ,cos 22 , tan 22 8 16 5       ， 12 5 12 sin 67 ,cos67 , tan 67 13 13 5       20．（8 分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面的面积为 3 25 10 m ． （1）所需的瓷砖块数 n与每块瓷砖的面积 S（单位： 2m ）有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是 280cm ， 且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为 2 : 2 :1，需要三种瓷砖各多少块？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从 A市的北偏东60方向直线延伸，测绘员在 A处测得要安 装天然气的M小区在 A市北偏东30方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C处，测得小区 M位于 C 的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN的长． 22.（8 分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥的截横 面，桥顶𝐴𝐷 平行于地面BC， 天桥斜面CD的坡度为 1 3i ∶ ，𝐶𝐷 长10m， 天桥另一斜面 AB的坡角 45ABC  ． (1)求点 D到地面BC的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面𝐴𝐵的坡角变为 30°，改建后斜面为 AF ，则斜面 AF 的坡角 30F  ，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到0.1m )(参考数据 3 1.73 ) 23．（10 分）如图，已知反比例函数 y＝ k x （k≠0）的图象与一次函数 y＝﹣ 1 2 x+n的图象交于第二、四象限 内的点 A（a，4）、B（8，b），过点 A作 x轴的垂线，垂足为点 C，△AOC的面积为 4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 1 2 k x n x    的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O与坐标原点重合，点 A，C分别在坐标轴 上，点 B的坐标为 (4, 2)，直线 1 3 2 y x   分别交 AB，BC于点 M，N，反比例函数 k y x  的图象经过点M， N． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 P在 x轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P的坐标． 25．（12 分）关于三角函数有如下的公式： ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③tan（α+β）＝  2tan tan 1 tan tan 0 1 tan tan             ． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 tan105°＝tan（45°+60°） ＝ tan 45 tan 60 1 tan 45 tan 60        ＝ 1 3 1 1 3    ＝ (1 3)(1 3) (1 3)(1 3)     ＝ 4 2 3 2   ＝ (2 3)  ． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： （1）求 cos75°的值； （2）如图，直升机在一建筑物 CD上方的点 A处测得建筑物顶端点 D的俯角 α 为 60°，底端点 C的俯角 β 为 75°，此时直升机与建筑物 CD的水平距离 BC为 42 m，求建筑物 CD的高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 26．（12 分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数 1 xy x   的图象与性质．使 用“描点法”作出函数 1 xy x   的图象． 列表：恰当地选取自变量 x的几个值，计算 y 对应的值． x … 2 1 0 1 2 2 3 4 3 3 2 2 3 4 … 1 xy x   … 2 3 1 2 0 1 2 4 3 2 3 2 4 3 … 描点：以表中各对 x y、 的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线 1x  两 侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当 1x  时， y 随 x的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数 1 xy x   的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数 1 xy x   的图象是双曲线，他觉得函数 1 xy x   的图象是由一个反比例函数的图象经过平 移得来的，并进行了如下变形：  1 1 1 1 1 1 1 xx y x x x          ，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数 1 y x  的图象，并观察得出函数 1 xy x   的图象是由函数 1 y x  的图象经过怎样的平移变换得到的： _____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数 4 6 2 1 x y x    图 象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线  1 1( 0)y k x k    与函数 1 xy x   的图象相交于 A B、 两点，A 的横坐标是 m， B的纵坐标是 n， 则   1 1m n  __________．