九年级数学第一次月考卷（沪教版，九上第24章：相似形+比例线段+相似三角形）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（　　） A．如果，那么线段被点C黄金分割 B．如果，那么线段被点C黄金分割 C．如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 4．下列说法中错误的是（    ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 5．如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 6．如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A．B．C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．已知，则 ． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 9．已知点P是线段上的黄金分割点，且，，则 ． 10．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 11．如图，在中，，，，，，则 ． 12．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 13．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 14．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 15．正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为 ． 16．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ． 17．已知，，，当的长为 时，与相似． 18．如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 20．（10分）如图，在中，，，垂足为D． (1)证明：； (2)已知，，求的长． 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 22．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 23．（12分）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 24．（12分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 25．（14分）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，四条线段不成比例，故A错误； B、，，四条线段成比例，故B正确； C、，，四条线段不成比例，故C错误； D、，，四条线段不成比例，故D错误； 故选：B． 2．若，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，B，C选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质，只有D选项不正确． 故选D． 3．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（　　） A．如果，那么线段被点C黄金分割 B．如果，那么线段被点C黄金分割 C．如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 【答案】C 【详解】解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确． C、如果线段被点C黄金分割（），那么与的比叫做黄金比，所以C错误． 故选：C． 4．下列说法中错误的是（    ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】C 【详解】解：A、等边三角形的角都为，所有等边三角形都相似，则A选项正确，故不符合题意； B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则B选项正确，故不符合题意； C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则C选项错误，故符合题意； D、正方形的每个内角都为，所有的正方形都相似，则D选项正确，故不符合题意， 故选C． 5．如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， A、三条边长分别为、、，且， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为， 此三角形与相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； C、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； D、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．已知点P是线段上的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵点P是线段上的一个黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 10．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，，，则 ． 【答案】12 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：12． 12．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． 13．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴, ，，，， ， 解得． 故答案为：． 15．正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为 ． 【答案】/0.25 【详解】如图，连接， 由翻折可得：，，， 又∵E为边的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得． 故答案为： 16．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【详解】如图所示，连接， ∵D、E分别为、中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 17．已知，，，当的长为 时，与相似． 【答案】或 【详解】解： ， ． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当时，有 ，； （2）当时，有 ，． 即当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似． 故答案为3或． 18．如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ． 【答案】4 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【详解】解：设，则 ....................2分 ∵， ∴， 解得， ....................4分 ∴ ....................10分 20．（10分）如图，在中，，，垂足为D． (1)证明：； (2)已知，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即； ....................5分 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． ....................10分 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 【详解】(1)    ∵GF∥BC， ∴， ∵BD=20，， ∴ ； ....................4分 (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴， ∴， ∴， ∴. ....................10分 22．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； ....................2分 （2）解：如图所示，点即为所求； ....................4分 （3）解：如图所示，点即为所求． ....................6分 理由：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ...................10分 23．（12分）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ....................3分 ∴，即． ....................5分 （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ....................7分 ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ....................10分 ∴，即， ∴． ....................12分 24．（12分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ....................2分 ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ....................4分 ∴， ∴， ∴， ....................8分 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度大致为47米． ....................12分 25．（14分）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【详解】（1） ....................2分 ....................4分 （2） ....................6分 ....................8分 整理得： ....................10+1分（定义域1分） （3）当是等腰三角形时，长为、10或7 ....................3分 解题过程如下： ∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形 第一种情况：当时，则有 第二种情况：当时，则有 第三种情况：当时，作 于H，如图， 则有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第 24 章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A． 1, 2, 3, 4a b c d    B． 1, 2, 3, 6a b c d    C． 5, 6, 7, 8a b c d    D． 4, 6, 6, 8a b c d    【答案】B 【详解】解：A、 1 4 2 3   ， ad bc  ，四条线段不成比例，故 A 错误； B、 1 6 2 3   ， ad bc  ，四条线段成比例，故 B 正确； C、 5 8 6 7   ， ad bc  ，四条线段不成比例，故 C 错误； D、 4 8 6 6   ， ad bc  ，四条线段不成比例，故 D 错误； 故选：B． 2．若 a b  2 3 ，则下列式子不正确的是（ ） A． b a  3 2 B． a b b   5 3 C． 2 a  3 b D． a a b  2 3 【答案】D 【详解】解：A，B，C 选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质，只有 D 选项不正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选 D． 3．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC ，BC ，下列说法错误的是（ ） A．如果 AC BC AB AC  ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 B．如果 2AC AB BC  ，那么线段 AB 被点 C黄金分割 C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比 D．0.618 是黄金比的近似值 【答案】C 【详解】解：根据黄金分割的定义可知 A、B、D 正确． C、如果线段 AB 被点 C 黄金分割（ AC BC ），那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比，所以 C 错误． 故选：C． 4．下列说法中错误的是（ ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】C 【详解】解：A、等边三角形的角都为60，所有等边三角形都相似，则 A 选项正确，故不符合题意； B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则 B 选项正确，故不符合题意； C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则 C 选项错误，故符合题意； D、正方形的每个内角都为90，所有的正方形都相似，则 D 选项正确，故不符合题意， 故选 C． 5．如图，点 G 是 ABC 的重心，GE AC∥ 交 BC 于点 E．如果 12AC  ，那么GE 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：连接BG 并延长交 AC 于 D， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵ 点 G 是 ABC 的重心， ∴ 1 1 12 6 2 2 CD AC    ， 2 3 BG BD  ， ∵ GE AC∥ ， ∴ BEG BCD∽  ， ∴ BG EG BD CD  ， ∴ 2 3 6 EG  ， ∴ 4GE  ， 故选：B． 6．如图，在2 3 的方格图中， ABC 的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与 ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 90ACB  ， : 2 :1AC BC  ， A、三条边长分别为 2 、2 2 、 10 ，且      2 2 22 2 2 10  ， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为2 :1， 此三角形与 ABC 相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为3 :1，不能证明相似，不符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 C、此三角形的长直角边与短直角边之比为1:1，不能证明相似，不符合题意； D、此三角形的长直角边与短直角边之比为1:1，不能证明相似，不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分。 7．已知 3 4 x y  ，则 x y x   ． 【答案】 7 3 【详解】解： 3 4 x y  ， ∴ 4 3 y x  ， 4 7 1 1 3 3 x y y x x        故答案为： 7 3 ． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则 x的值是 ． 【答案】 14 3 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴ 6 9 7 x  ， 解得： 14 3 x  ， 故答案为： 14 3 ． 9．已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，且 2AB  ， AP BP ，则 AP  ． 【答案】 5 1 / 1 5  【详解】解：∵ 点 P 是线段 AB 上的一个黄金分割点，且 2AB  ， AP BP ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴  5 1 , 2 AP AB        5 1 5 1 2 5 1 2 2 AP AB ， 故答案为： 5 1 ． 10．如图， AD BE FC∥ ∥ ，它们依次交直线 1l ， 2l 于点A ， B ，C 和点 D， E ， F ，若 2AB  ， 3BC  ， 则 DE DF 的值是 ． 【答案】 2 5 / 0.4 【详解】解： AD BE FC∥ ∥ ， 2 5 DE AB AB DF AC AB AC      ， 故答案为： 2 5 ． 11．如图，在 ABC 中，DE BC∥ ，DF AC∥ ， 5AD  ， 10BD  ， 6DE  ，则BF  ． 【答案】12 【详解】解：∵ 5AD  ， 10BD  ， ∴ 15AB  ， ∵ DE BC∥ ， ∴ ADE ABC△ △∽ ， ∴ DE AD BC AB  ，即 6 5 15BC  ， ∴ 18BC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵ DF AC∥ ， ∴ BFD BCA△ ∽△ ， ∴ BF BD BC AB  ，即 10 18 15 BF  ， ∴ 12BF  ． 故答案为：12． 12．如图，点 G是 ABC 的重心，BG的延长线交 AC于点 D，过点 G作GE BC∥ ，交 AC 于点 E，则 DGE ABD S S △ △ ． 【答案】 1 9 【详解】解：∵ 点 G 是 ABC 重心， ∴ BD是 ABC 的 AC 边上的中线， 2 3 BG BD  ， ∴ 1 2ADB BDC ABC S S S    ， ∵ GE BC∥ ， ∴ DEG DBC ∽ ， ∴ 2 21 1( ) ( ) 3 9 DEG DBC S DG S BD     ， ∴ 1 9 DGE ABD S S △ △ ， ∴ 故答案为： 1 9 ． 13．如图，在 ABCD 中， 6, 4,AB AD BAD   的平分线 AE 分别交 ,BD CD于 ,F E，那么 DF BF  ． 【答案】 2 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：在 ABCD 中， AB CD∥ ， 4AD ， AED BAE   ，  AE 平分 BAD ， DAE BAE   ， DAE AED  ，  4DE AD  ，  AB CD∥ ，  DFE BFA∽△ △ ，  DE DF AB BF  ， 6AB  ，  4 2 6 3 DF DE BF AB    ， 故答案为： 2 3 ． 14．如图，正方形MNPQ内接于 ABC ，点M 、 N 在BC 上，点 P 、Q分别在 AC 和 AB 边上，且BC 边上 的高 6cmAD  ， 12cmBC  ，则正方形MNPQ的边长为 ． 【答案】4cm 【详解】解：设正方形MNPQ的边长为 cmx ，则 cmED x ，  6 cmAE AD x x    ． 四边形MNPQ是正方形， PQ BC ∥ ． APQ ACB△ ∽△ ． 又 AD BC ，  AE PQ AD BC  ． ∵ 四边形MNPQ是正方形， ∴ 90PQM QMN    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵ AD BC ， ∴ 四边形EQMD 是矩形， ∴ PQ MQ ED  , cmPQ ED x  ，  6 cmAE x  ， 12cmBC  ， 6cmAD  ，  6 6 12 x x  ， 解得 4x  ． 故答案为：4cm ． 15．正方形 ABCD的边长为1, E 为边DC 的中点，点 F 在边 AD上，将 D 沿直线EF 翻折，使点 D 落在点 G 处，如果BG BC ，那么线段DF 的长为 ． 【答案】 1 4 /0.25 【详解】如图，连接BE ， 由翻折可得： 90D EGF   ， 1 2 DEF GEF DEG    ，DE EG ， 又∵ E 为边DC 的中点， ∴ 1 2 DE EC EG   ， 又∵ BG BC ， BE BE ， ∴ EGB ECB ≌ ， ∴ 1 2 GEB CEB CEG    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ 1 1 90 2 2 DEF CEB DEG CEG       ， 又∵ ABCD是正方形， ∴ 90D C   ， ∴ 90DEF DFE   ， ∴ DFE CEB  ， ∴ DEF CBE ∽ ， ∴ DF DE CE BC  ，即 1 2 1 1 2 DF  ，解得 1 4 DF  ． 故答案为： 1 4 16．如图，在Rt ABC△ 中， 6cmAB  ， 8cmBC  ，D、E 分别为 AC 、BC 中点，连接 AE 、BD相交于点 F，点 G 在CD上，且 : 1: 2DG GC  ，则四边形DFEG 的面积为 ． 【答案】 24cm / 4 平方厘米 【详解】如图所示，连接DE， ∵ D、E 分别为 AC 、BC 中点， DE AB ∥ ， 1 3cm 2 DE AB  ， 1 4cm 2 BE CE BC   ， DEF BAF ∽ ， 1 2 DF DE BF AB    ， 1 3 DF BD   ， 90ABC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 90DEC  ， 21 1 4 3 6cm 2 2BDE CDE S S BE DE         ， 21 2cm 3DEF BDE S S    ， : 1: 2DG GC  ， 1 3 DG CD   ， 21 2cm 3DEG CDE S S    ， 四边形DFEG 的面积 24cmDEG DEFS S    ． 故答案为： 24cm ． 17．已知 90ACB ADC    ， 6AC  ， 2AD  ，当𝐴𝐵的长为 时， ACB 与 ADC 相似． 【答案】3或3 2 【详解】解： 2 6，AD AC  ， 2 2( 6) 2 2CD    ． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt ABC Rt ACD∽△ △ 时，有 AC AB AD AC  ， 3AB  ； （2）当Rt ACB Rt CDA ∽ 时，有 AC AB CD AC  ， 3 2A B  ． 即当 AB 的长为 3 或3 2 时，这两个直角三角形相似． 故答案为 3 或3 2 ． 18．如图， 90C E   ， 8AC EF  ， 10AB DF  ，将 DEF 的顶点 D 与 AB 边的中点重合，并将 DEF 绕着点 D 旋转．在旋转过程中， EDF 的边DF DE、 始终与BC 边相交，交点分别为 M、N．当CN BM 时， MN 的长是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【答案】4 【详解】解：连接CD， ∵ 90ACB  ， 8AC  ， 10AB  ， ∴ 2 210 8 6BC    ， ∵ 点 D 是 AB 边的中点， ∴ 1 5 2 CD BD AB   ， ∴ DCB B  ， 由旋转的性质知 EDF B  ， ∵ MDB MDN NDB   ， MND B NDB    ， ∴ MDB MND  ， ∴ MDB DNC∽△ △ ， ∴ BD BM CN CD  ， ∵ CN BM ， ∴ 5 5 CN CN  ， ∴ 5CN BM  ， ∵ 6BC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴    5 6 5 4MN BM BN BM BC CN         ， 故答案为：4． 三、解答题：本大题共 7小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）已知线段a、b 、 c满足 2 4 5 a b c   ，且 33a b c   ，求线段a、b 、 c的长． 【详解】解：设 2 4 5 a b c k   ，则 2 , 4 , 5 .a k b k c k   ....................2 分 ∵ 33a b c   ， ∴ 2 4 5 33k k k   ， 解得 3k  ， ....................4 分 ∴ 6, 12, 15.a b c   ....................10 分 20．（10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，CD AB ，垂足为 D． (1)证明： ACD CBD∽△ △ ； (2)已知 2AD  ， 4BD  ，求𝐶𝐷的长． 【详解】（1）证明：∵ 90ACB  ， ∴ 90ACD DCB   ， ∵ CD AB ， ∴ 90BDC ADC   ， 90DBC DCB   ， ∴ DBC ACD  ， 即 ACD CBD∽△ △ ； ....................5 分 （2）解：∵ ACD CBD∽△ △ ， ∴ = BD AD CD DC ， ∵ =2AD ， 4BD  ， ∴ 2 4 DC DC  ， 整理，得 2 8DC  ，解得 2 2CD  或 2 2CD   （不符合题意，舍去）， ∴ CD的长为2 2 ． ....................10 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 21．（10分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE 并延长交 DC 的延长线于点 M， 交 BD 于点 G，过点 G 作 GF∥ BC 交 DC 于点 F， 3 2 DF FC  ． （1）若 BD=20，求 BG 的长； （2）求 CM CD 的值． 【详解】(1) ∵ ∥GF BC， ∴ DF DG FC BG  ， ∵ BD=20， 3 2 DF FC  ， ∴ 8BG  ； ....................4 分 ∵(2) 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∥AB CD，AB=CD， ∴ DM DG AB BG  ， ∴ 3 2 DM AB  ， ∴ 3 2 DM CD  ， ∴ 1 2 CM CD  . ....................10 分 22．（10分）图①、图②、图③均是5 4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的 边长均为1，点 A B C D、 、 、 均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中， 按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (1)如图①， BE CE  __________． (2)如图②，在BC 上找一点F ，使 2BF  ． (3)如图③，在 AC 上找一点M ，连接BM DM、 ，使 ABM ∽ CDM ． 【详解】（1）解：∵ AB CD∥ ， ∴ ABE DCE ∽ ， ∴ 1 2 BE AB CE DC   ， 故答案为： 1 2 ； ....................2 分 （2）解：如图所示，点F 即为所求； ....................4 分 （3）解：如图所示，点M 即为所求． ....................6 分 理由：∵ AH AB ，MA BH ， ∴ MA为BH 的垂直平分线， ∴ MB MH ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ B H  ， ∵ BH CD∥ ， ∴ H D  ， ∴ B D  ， 又∵ 90BAM DCM   ， ∴ ABM CDM ∽ ． ...................10 分 23．（12分）如图，在Rt ABC△ 中， 90＝BAC ，CD平分 BCA ，作 AE CD 交BC 于点 E，垂足为 F．作 BG AE ，垂足为 G． (1)求证： 2AC CF CD  ． (2)求证： 2AE AG BG CF   ． 【详解】（1）证明：∵ 90BAC  ， AE CD ， ∴ 90BAC AFC    ． 又∵ ACF ACD   ， ∴ ACF△ ∽ DCA△ ， ....................3 分 ∴ CF AC AC CD  ，即 2AC CF CD  ． ....................5 分 （2）证明：∵ CD平分 BCA ， ∴ ACF ECF  ． 又∵ CF CF ， 90AFC EFC    ， ∴ AFC ≌ EFC ， ....................7 分 ∴ 1 2 FA FE AE  ． ∵ 90BAC  ， ∴ 90DAF CAF   ． 又∵ AE CD ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∴ 90CAF ACF   ， ∴ DAF ACF  ． ∵ BG AG ， ∴ 90G BAC   ， ∴ AGB ∽ CFA△ ， ....................10 分 ∴ CF AF AG BG  ，即 1 2 AE AG CF BG   ， ∴ 2AE AG BG CF   ． ....................12 分 24．（12 分）8 月 20 日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时 也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑神 话：悟空》游戏中选取的 27 处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨 9 个地市，不仅展示了山西深厚的 文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体 的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某 实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤 1：把长为 2 米的标杆垂直立于地面点 D处，塔尖点 A和标杆顶端 C确定的直线交水平BD 于点 Q，测得 3QD  米； 步骤 2：将标杆沿着BD的方向平移到点 F 处，塔尖点 A 和标杆顶端 E 确定的直线交直线BD于 点 P，测得 4PF  米， 22.5FD  米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度 AB ． 【详解】解：设 AB x 米，BD y 米． ∵ EF AB∥ ， ∴ EFP ABP△ ∽△ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴ EF PF AB PB  ． ∵ 2EF  ， 4PF  ， 4 22.5 26.5PB PD DB y y       ， ∴ 2 4 26.5x y   ． ....................2 分 ∵ CD AB∥ ， ∴ CDQ ABQ∽△ △ ， ∴ CD DQ AB BQ  ． ∵ 2CD  ， 3DQ  ， 3QB QD DB y    ， ∴ 2 3 3x y   ， ....................4 分 ∴ 3 4 3 26.5y y    ， ∴ 79.5 3 12 4y y   ， ∴ 67.5y  ， ....................8 分 经检验， 67.5y  是原方程的解， ∴ 2 3 3 67.5x   ， ∴ 47x  ． 经检验， 47x  是原方程的解， 答：飞虹塔的高度 AB 大致为 47 米． ....................12 分 25．（14 分）如图，梯形 ABCD中， AD BC∥ ，对角线 AC BC ， 9AD  ， 12AC  ， 16BC  ，点E 是边 BC 上一个动点， EAF BAC   ， AF 交CD于点F 、交 BC 延长线于点G ，设BE x ， (1)试用 x的代数式表示 FC ； (2)设 FG y EF  ，求 y 关于 x的函数解析式，并写出定义域； (3)当 AEG△ 是等腰三角形时，直接写出 BE 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 【详解】（1） AC BC 90ACB   AD BC  90DAC ACB     9 12 16AD AC BC   ， ， 20 15AB DC  ， 4 , 3 BC AC DAC ACB AC AD       ABC DCA△ △∽ ....................2 分 B ACD  EAF BAC  BAE CAF  ABE ACF ∽ AB BE AC CF   20 12 x CF   3 5 FC x  ....................4 分 （2） ABE ACF ∽ AB AE AC AF   EAF BAC  AEF ABC ∽ ....................6 分 16 4 12 3 EF BC AF AC     4 3 EF AF  AD CG  CFG DFA ∽ ....................8 分 FG CF FA DF   3 3 3 5 4 34 4 15 3 5 xFG FG CF y EF DFAF x         原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 整理得：  3 0 16 100 4 x y x x    ＜ ....................10+1 分（定义域 1 分） （3）当 AEG△ 是等腰三角形时， BE 长为 25 2 、10 或 7 ....................3 分 解题过程如下： ABC DCA ∽ BAC D  EAF BAC D   AD BC  G FAD  ADF GAE ∽ ∴ 当 GAE 是等腰三角形时， ADF△ 也是等腰三角形 第一种情况：当 AF DF 时，则有 FAD D  90 90FAD CAF D ACD       ， CAF ACD  FA FC  15 , 2 CF DF   3 15 5 2 x  25 2 x  第二种情况：当 9AD DF  时，则有 6CF CD DF   3 6 5 x  10x  第三种情况：当 9AF AD  时，作 AH DF 于 H，如图， 则有DH FH 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 1 1 2 2CAD S AC AD CD AH     36 , 5 AC AD AH CD     2 2 27 5 FH DH AD AH     3 27 15 2 5 5 x    7x  6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 6 B C B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 9.5-1/-1+5 10. 11.12 8号 14.4cm 5.4025 16.4cm2/4平方厘米 17.3或3√2 18.4 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(10分) 【详粉】解：设号号号，则0=26=4c=5 2分 ,a+b+c=33, .2k+4k+5k=33, 解得k=3, .4分 .a=6,b=12,c=15. .10分 20.(10分) 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠DCB=90°， CD⊥AB, ∴.∠BDC=∠ADC=90°，∠DBC+∠DCB=90°， ∴.∠DBC=∠ACD, 即△ACD∽△CBD: 5分 (2)解：，△ACD∽△CBD, 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 …0品 AD=2,BD=4, 整理，得DC2=8,解得CD=22或CD=-2√2（不符合题意，舍去）， .CD的长为22， 10分 21.(10分) 【详解】(1)，GF∥BC, .DF DG FC BG ,BD=20, DF 3 FC 2' .BG=8: 4分 (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD, .DM_DG ”ABBG :DM.3 AB 2' :DM-3 CD 2 0 .10分 22.(10分) 【详解】(1)解：，AB∥CD, ∴.△ABEADCE, BE AB I “CEDC2' 故答案为： 2分 (2)解：如图所示，点F即为所求： ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 4分 图② (3)解：如图所示，点M即为所求 -44 6分 C 图③ 理由：，AH=AB,MA⊥BH, ∴.MA为BH的垂直平分线， ∴.MB=MH, .∠B=∠H, ,BH∥CD, .∠H=∠D, .∠B=∠D, 又，∠BAM=∠DCM=90°， ∴.AABMACDM, 10分 23.(12分) 【详解】(1)证明：，∠BAC=90°，AE⊥CD, ∴.∠BAC=∠AFC=90°. 又，LACF=LACD, .△ACF∽△DCA, .3分 CF AC 六D,即4c=CpcD 5分 (2)证明：，CD平分∠BCA, .∠ACF=LECF. 又CF=CF,∠AFC=∠EFC=90°， ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∴.△AFC≌aEFC, 7分 FA-FE-TAE. ∠BAC=90°， .LDAF+LCAF=90°. 又AE⊥CD, ∴.∠CAF+∠ACF=90°， .∠DAF=∠ACF. BG⊥AG, .∠G=∠BAC=90°， .△AGB∽△CFA, 10分 、、CF=B能，即AEAG=CF,BG .AE·AG=2BG.CF, 12分 24.(12分) 【详解】解：设AB=x米，BD=y米. .EF AB, .△EFPn△ABP, .EFPF AB PB EF=2,PF=4,PB=PD+DB=4+22.5+y=26.5+y, 2 4 …2分 26.5+y CD /AB, ∴.△CDQ∽△ABQ, 00 .CD=2,D0=3,OB=OD+DB=3+y, 23 "x3+y …4分 3 3+y26.5+y ∴.79.5+3y=12+4y, ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∴.y=67.5, 8分 经检验，y=67.5是原方程的解， …23 x3+67.5 .x=47 经检验，x=47是原方程的解， 答：飞虹塔的高度AB大致为47米. 12分 25,(14分) 【详解】(1) AC⊥BC 六∠ACB=909 .ADI BC ·LDAC=∠ACB=90 AD=9,AC=12,BC=16 AB=20,DC=15 BC=AC_4,∠DAC=∠ACB AC AD 3 :△ABC∽△DCA ……2分 ·LB=LACD :∠EAF=∠BAC :∠BAE=∠CAE △BEAACF AB BE AC CF 20_x 12 CF 0-g 4分 (2)aABE-△ACF :4BA5 “ACAF :∠EAF=∠BAC ∴△AEFAABC 6分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 EF BC 164 AF AC 123 .EF=4AF 3 .ADCG △CFGADFA 8分 FGCF FA DF y-FG-FG3.CF 3 3 5 EF44F4DF415-3 3x 整理得：y= (0<x≤16) …10+1分（定义域1分） 100-4x C3)当△AEG是等腰三角形时，8E长为？、10或7 2 3分 解题过程如下： ABCADCA ∠BAC=∠D LEAF=LBAC=∠D .AD‖BC LG=∠FAD △ADF-△GAE ∴.当△GAE是等腰三角形时，△ADF也是等腰三角形 第一种情况：当AF=DF时，则有∠FAD=∠D ∠FAD+∠CAF=90,∠D+∠ACD=90 LCAF=∠ACD :FA=FC ÷CF=DF= 21 315 3x=2 x=25 2 第二种情况：当AD=DF=9时，则有CF=CD-DF=6 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 =6 ÷x=10 第三种情况：当AF=AD=9时，作AH⊥DF于H,如图， 则有DH=FH D H 1 SACAD= >AD=,CD.1/ .AH=AC-AD_36 CD 5 FH DH -VAD-AH=27 5r=15-2x27 3 x=7 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 48 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（　　） A．如果，那么线段被点C黄金分割 B．如果，那么线段被点C黄金分割 C．如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 4．下列说法中错误的是（    ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 5．如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 6．如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A．B．C．D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。 7．已知，则 ． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 9．已知点P是线段上的黄金分割点，且，，则 ． 10．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 11．如图，在中，，，，，，则 ． 12．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 13．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 14．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 15．正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为 ． 16．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ． 17．已知，，，当的长为 时，与相似． 18．如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ． 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 20．（10分）如图，在中，，，垂足为D． (1)证明：； (2)已知，，求的长． 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 22．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 23．（12分）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 24．（12分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 25．（14分）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第24章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A． 1, 2, 3, 4a b c d    B． 1, 2, 3, 6a b c d    C． 5, 6, 7, 8a b c d    D． 4, 6, 6, 8a b c d    2．若 a b  2 3 ，则下列式子不正确的是（ ） A． b a  3 2 B． a b b   5 3 C． 2 a  3 b D． a a b  2 3 3．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC ，BC ，下列说法错误的是（ ） A．如果 AC BC AB AC  ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 B．如果 2AC AB BC  ，那么线段 AB 被点 C黄金分割 C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比 D．0.618 是黄金比的近似值 4．下列说法中错误的是（ ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 5．如图，点 G 是 ABC 的重心，GE AC∥ 交 BC 于点 E．如果 12AC  ，那么GE 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在2 3 的方格图中， ABC 的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与 ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题：本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分。 7．已知 3 4 x y  ，则 x y x   ． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则 x的值是 ． 9．已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，且 2AB  ， AP BP ，则 AP  ． 10．如图，AD BE FC∥ ∥ ，它们依次交直线 1l ， 2l 于点A ，B ，C 和点D，E ，F ，若 2AB  ， 3BC  ， 则 DE DF 的值是 ． 11．如图，在 ABC 中，DE BC∥ ，DF AC∥ ， 5AD  ， 10BD  ， 6DE  ，则BF  ． 12．如图，点 G是 ABC 的重心，BG的延长线交 AC于点 D，过点 G作GE BC∥ ，交 AC 于点 E，则 DGE ABD S S △ △ ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，在 ABCD 中， 6, 4,AB AD BAD   的平分线 AE 分别交 ,BD CD于 ,F E，那么 DF BF  ． 14．如图，正方形MNPQ内接于 ABC ，点M 、N 在 BC 上，点 P 、Q分别在 AC 和 AB 边上，且BC 边上 的高 6cmAD  ， 12cmBC  ，则正方形MNPQ的边长为 ． 15．正方形 ABCD的边长为1, E 为边DC 的中点，点 F 在边 AD上，将 D 沿直线EF 翻折，使点 D 落在点 G 处，如果BG BC ，那么线段DF 的长为 ． 16．如图，在Rt ABC△ 中， 6cmAB  ， 8cmBC  ，D、E 分别为 AC 、BC 中点，连接 AE 、BD相交于点 F，点 G 在CD上，且 : 1: 2DG GC  ，则四边形DFEG 的面积为 ． 17．已知 90ACB ADC    ， 6AC  ， 2AD  ，当𝐴𝐵的长为 时， ACB 与 ADC 相似． 18．如图， 90C E   ， 8AC EF  ， 10AB DF  ，将 DEF 的顶点 D与 AB 边的中点重合，并将 DEF 绕着点 D 旋转．在旋转过程中， EDF 的边DF DE、 始终与BC 边相交，交点分别为 M、N．当CN BM 时， MN 的长是 ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）已知线段a、b 、 c满足 2 4 5 a b c   ，且 33a b c   ，求线段a、b 、 c的长． 20．（10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，CD AB ，垂足为 D． (1)证明： ACD CBD∽△ △ ； (2)已知 2AD  ， 4BD  ，求𝐶𝐷的长． 21．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE 并延长交 DC 的延长线于点 M， 交 BD 于点 G，过点 G 作 GF∥BC 交 DC 于点 F， 3 2 DF FC  ． （1）若 BD=20，求 BG 的长； （2）求 CM CD 的值． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（10 分）图①、图②、图③均是5 4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形 的边长均为1，点 A B C D、 、 、 均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格 中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， BE CE  __________． (2)如图②，在BC 上找一点F ，使 2BF  ． (3)如图③，在 AC 上找一点M ，连接BM DM、 ，使 ABM ∽ CDM ． 23．（12 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90＝BAC ，CD平分 BCA ，作 AE CD 交 BC 于点 E，垂足为 F．作 BG AE ，垂足为 G． (1)求证： 2AC CF CD  ． (2)求证： 2AE AG BG CF   ． 24．（12 分）8 月 20 日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同 时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑 神话：悟空》游戏中选取的 27 处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨 9 个地市，不仅展示了山西深 厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家 群体的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景 区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤 1：把长为 2 米的标杆垂直立于地面点 D 处，塔尖点 A 和标杆顶端 C 确定的直线交水平BD 于点 Q，测得 3QD  米； 步骤 2：将标杆沿着BD的方向平移到点 F 处，塔尖点 A 和标杆顶端 E 确定的直线交直线BD于 点 P，测得 4PF  米， 22.5FD  米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度 AB ． 25．（14分）如图，梯形 ABCD中，AD BC∥ ，对角线 AC BC ， 9AD  ， 12AC  ， 16BC  ，点E 是边 BC 上一个动点， EAF BAC   ， AF 交CD于点F 、交 BC 延长线于点G ，设BE x ， (1)试用 x的代数式表示 FC ； (2)设 FG y EF  ，求 y 关于 x的函数解析式，并写出定义域； (3)当 AEG△ 是等腰三角形时，直接写出 BE 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：九年级沪教版第 24 章第一节相似性+第二节比例线段+第三节相似三角形。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A． 1, 2, 3, 4a b c d    B． 1, 2, 3, 6a b c d    C． 5, 6, 7, 8a b c d    D． 4, 6, 6, 8a b c d    2．若 a b  2 3 ，则下列式子不正确的是（ ） A． b a  3 2 B． a b b   5 3 C． 2 a  3 b D． a a b  2 3 3．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC ，BC ，下列说法错误的是（ ） A．如果 AC BC AB AC  ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 B．如果 2AC AB BC  ，那么线段 AB 被点 C黄金分割 C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比 D．0.618 是黄金比的近似值 4．下列说法中错误的是（ ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．如图，点 G 是 ABC 的重心，GE AC∥ 交 BC 于点 E．如果 12AC  ，那么GE 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在2 3 的方格图中， ABC 的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与 ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分。 7．已知 3 4 x y  ，则 x y x   ． 8．如图是两个形状相同的飞机图案，则 x的值是 ． 9．已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，且 2AB  ， AP BP ，则 AP  ． 10．如图， AD BE FC∥ ∥ ，它们依次交直线 1l ， 2l 于点A ， B ，C 和点 D， E ， F ，若 2AB  ， 3BC  ， 则 DE DF 的值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．如图，在 ABC 中，DE BC∥ ，DF AC∥ ， 5AD  ， 10BD  ， 6DE  ，则BF  ． 12．如图，点 G是 ABC 的重心，BG的延长线交 AC于点 D，过点 G作GE BC∥ ，交 AC 于点 E，则 DGE ABD S S △ △ ． 13．如图，在 ABCD 中， 6, 4,AB AD BAD   的平分线 AE 分别交 ,BD CD于 ,F E，那么 DF BF  ． 14．如图，正方形MNPQ内接于 ABC ，点M 、 N 在BC 上，点 P 、Q分别在 AC 和 AB 边上，且BC 边上 的高 6cmAD  ， 12cmBC  ，则正方形MNPQ的边长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 15．正方形 ABCD的边长为1, E 为边DC 的中点，点 F 在边 AD上，将 D 沿直线EF 翻折，使点 D 落在点 G 处，如果BG BC ，那么线段DF 的长为 ． 16．如图，在Rt ABC△ 中， 6cmAB  ， 8cmBC  ，D、E 分别为 AC 、BC 中点，连接 AE 、BD相交于点 F，点 G 在CD上，且 : 1: 2DG GC  ，则四边形DFEG 的面积为 ． 17．已知 90ACB ADC    ， 6AC  ， 2AD  ，当𝐴𝐵的长为 时， ACB 与 ADC 相似． 18．如图， 90C E   ， 8AC EF  ， 10AB DF  ，将 DEF 的顶点 D 与 AB 边的中点重合，并将 DEF 绕着点 D 旋转．在旋转过程中， EDF 的边DF DE、 始终与BC 边相交，交点分别为 M、N．当CN BM 时， MN 的长是 ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10 分）已知线段a、b 、 c满足 2 4 5 a b c   ，且 33a b c   ，求线段a、b 、 c的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 20．（10 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，CD AB ，垂足为 D． (1)证明： ACD CBD∽△ △ ； (2)已知 2AD  ， 4BD  ，求𝐶𝐷的长． 21．（10分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE 并延长交 DC 的延长线于点 M， 交 BD 于点 G，过点 G 作 GF∥ BC 交 DC 于点 F， 3 2 DF FC  ． （1）若 BD=20，求 BG 的长； （2）求 CM CD 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 22．（10分）图①、图②、图③均是5 4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的 边长均为1，点 A B C D、 、 、 均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中， 按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， BE CE  __________． (2)如图②，在BC 上找一点F ，使 2BF  ． (3)如图③，在 AC 上找一点M ，连接BM DM、 ，使 ABM ∽ CDM ． 23．（12分）如图，在Rt ABC△ 中， 90＝BAC ，CD平分 BCA ，作 AE CD 交BC 于点 E，垂足为 F．作 BG AE ，垂足为 G． (1)求证： 2AC CF CD  ． (2)求证： 2AE AG BG CF   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 24．（12 分）8 月 20 日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时 也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象。《黑神 话：悟空》游戏中选取的 27 处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨 9 个地市，不仅展示了山西深厚的 文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体 的数字化传播窗口。飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某 实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤 1：把长为 2 米的标杆垂直立于地面点 D处，塔尖点 A和标杆顶端 C确定的直线交水平BD 于点 Q，测得 3QD  米； 步骤 2：将标杆沿着BD的方向平移到点 F 处，塔尖点 A 和标杆顶端 E 确定的直线交直线BD于 点 P，测得 4PF  米， 22.5FD  米 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度 AB ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（14 分）如图，梯形 ABCD中， AD BC∥ ，对角线 AC BC ， 9AD  ， 12AC  ， 16BC  ，点E 是边 BC 上一个动点， EAF BAC   ， AF 交CD于点F 、交 BC 延长线于点G ，设BE x ， (1)试用 x的代数式表示 FC ； (2)设 FG y EF  ，求 y 关于 x的函数解析式，并写出定义域； (3)当 AEG△ 是等腰三角形时，直接写出 BE 的长．