八年级数学第一次月考卷（深圳专用，北师大版八上第1～2章：勾股定理+实数）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在，，中， ，是有理数，是无理数，， 故选：A 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 【答案】D 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，故计算正确； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、不是同类二次根式，不能相加，故计算错误； 故选：A． 4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 【答案】C 【详解】解：根据图示，可得a＜0＜b， ∴-|2a+b|=（-a）-（-2a-b）=-a+2a+b=a+b． 故选：C． 6．使代数式有意义的自变量x的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】要使代数式有意义， 则， 解得：且， 故选D． 7．在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 由题可得，点和点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，． 在中，， ， 即， 解得． 故选：A．    8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是 ． 【答案】±2 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10．棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，有两种展开方法： 方法一：PA= cm， 方法二：PA= cm． 故需要爬行的最短距离是 cm． 故答案为． 11．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ． 【答案】/ 【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，， 依题意. 设点E在数轴上所表示的数为，则 解得 故答案为： 12．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如，，那么 ； 【答案】 【详解】解： 故答案为 13．如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，    则， 即， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题4分，共8分） （1） （2）； 【详解】解：（1） =（2分） =（4分） （2） 原式（2分） （3分） （4分） 15．（8分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求a+b+c的平方根． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴（2分） 解得： ，（4分） ∵c是的整数部分，，（5分） ∴；（6分） （2）解：∵，，， ∴，（7分） 的平方根为．（8分） 16．（7分）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长； (2)试说明． 【详解】（1）解：由题意可知 在中，（2分） ∴．（3分） 在中，（4分） ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为；（5分） （2）∵，，， ∴，（6分） ∴．（7分） 17．（8分）若实数x，y满足． (1)求x，y之间的数量关系； (2)求的值． 【详解】（1）解：． ∴．（1分） ∴①（3分） 同理得：② ①＋②得：，（4分） ∴．（5分） （2）解：把代入①，得， ∴．（6分） 则 ．（8分） 18．（8分）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：　　，　　； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：　　． 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的的有理化因式为； 故答案为；；（一个1分，共2分） （2）解：原式（3分） ；（4分） （3） 解：，（5分） ∵ 当时，有最小值，（6分） 最小值为，（7分） 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为；（8分） 故答案为． 19．（10分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.      （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为 . 实践探究 （2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE=，DF=， EF=，并写出△DEF的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式： 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：    （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积.（写出计算过程） 【详解】解：（1）（1分），，（2分），（3分） △ABC的面积＝4×4 - ×3×4－×1×4－×3×1=（4分） 故答案为，，，； （2）△DEF如图所示，（7分） △DEF的面积＝3×4 - ×3×2－×2×4－×2×1=4； （3）将，，代入秦九韶公式， 得 （8分） （9分） .（10分） 20．（12分）如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC（1分） ∵AD=AE，AB=AC ∴△ABD≌△ACE（2分） （2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示： ∵△ADB≌△AEC ∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90° ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED（3分） ∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90° ∴∠EDB=∠CEH ∵CF=CH ∴∠CFH=∠CHF ∴∠DFB=∠H（4分） ∵CE=BD ∴△DBF≌△ECH（5分） ∴BF=CH ∴BF=CF ∴点F是BC的中点（6分） （3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4 ∴=2，（7分） ∵∠=120°，∠=30°， ∴∠=90°， ∴PC=．（8分） 当点P在△ABC外部，如图所示， 将△APB绕点A逆时针旋转120到△，过点P作PD⊥于点D，连接PD， ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4， ∴=2，（9分） ∵∠=120°,∠=30°， ∴∠=150°， ∴∠=30°，（10分） 在Rt中，， ， ，（11分） ． 综上所述，（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列数中是无理数的是（ ） A．2π B．3.1415926 C． 11 7 D． 3.6 【答案】A 【详解】解：在2π，3.1415926， 11 7 3.6， 中， 3.1415926， 11 7 3.6， 是有理数，2π是无理数，， 故选：A 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．8，15，17 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 3 【答案】D 【详解】解：A、 2 2 28 15 289 17   ，能构成直角三角形，不符合题意； B、 2 2 27 24 625 25   ，能构成直角三角形，不符合题意； C、 2 2 26 8 100 10   ，能构成直角三角形，不符合题意； D、  22 21 1 2 3   ，不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 1 3 3 3   B． 12 3 2 3  C． 3 2 6  D． 5 3 8  【答案】A 【详解】A、 1 1 3 3 9 3 3 3      ，故计算正确； B、 12 3 2 3 3 3    ，故计算错误； C、 3 2 6  ，故计算错误； D、 5、 3不是同类二次根式，不能相加，故计算错误； 故选：A． 4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理得出：AB= 2 2AC BC = 2 213 12 =5， ∴ EF=AB=5， ∴ 阴影部分面积是 25， 故选：B． 5．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 2a ﹣|2a+b|的结果为（ ） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 【答案】C 【详解】解：根据图示，可得 a＜0＜b， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 2a -|2a+b|=（-a）-（-2a-b）=-a+2a+b=a+b． 故选：C． 6．使代数式 3 4 x y x    有意义的自变量 x 的取值范围是( ) A． 4x  B． 3x  C． 3x  D． 3x  且 4x  【答案】D 【详解】要使代数式 3 4 x y x    有意义， 则 4 03 0xx    ， 解得： 3x  且 4x  ， 故选 D． 7．在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 90D  ， 5AD  ， 3BC  ，分别以 A，C 为圆心，大于 1 2 AC 的长为 半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD于点F ，交 AC 于点O，若点O是 AC 的中点，则CD的长为（ ） A． 5 B． 6 C．2 2 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接 FC ， 由题可得，点E 和点O在 AC 的垂直平分线上， EO 垂直平分 AC ， AF FC  ， AD BC∥ ， FAO BCO   ， 在 FOA 与 BOC 中， FAO BCO OA OC AOF COB         ， (ASA)FOA BOC△ ≌△ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 3AF BC   ， 3FC AF   ， 2FD AD AF   ． 在 FDC△ 中， 90D  ， 2 2 2CD DF FC   ， 即 2 2 22 3CD   ， 解得 5CD  ． 故选：A． 8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC BD， 交 于点O．若 1AD  ， 4BC  ，则 2 2AB CD 等于（ ） A．15 B．16 C．17 D．20 【答案】C 【详解】解：∵ 四边形 ABCD是“垂美”四边形，即 AC BD ， ∴ 在Rt AOB 中， 2 2 2AB OA OB  ，在Rt COD 中， 2 2 2CD OC OD  ， ∴ 2 2 2 2 2 2AB CD OA OB OC OD     ， 在Rt AOD 中， 2 2 21AD OA OD   ，在Rt BOC 中， 2 2 2 24BC OB OC   ， ∴ 2 2 2 2 2 2AD BC OA OB OC OD     ， ∴ 2 2 2 2 21 4 17AB CD AD BC      ， 故选：C ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 9． 16的平方根是 ． 【答案】±2 【详解】解：∵ 16=4 ∴ 16的平方根是±2． 故答案为±2． 10．棱长分别为 4cm，3cm 两个正方体如图放置，点 P 在 E1F1上，且 E1P= 1 3 E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 65 【详解】解：如图，有两种展开方法： 方法一：PA= 2 27 +4 = 65 cm， 方法二：PA= 2 28 +3 = 73 cm． 故需要爬行的最短距离是 65 cm． 故答案为 65 ． 11．如图，长方形 ABCD的边 AB 落在数轴上，A、B 两点在数轴上对应的数分别为 1 和 1， 1BC  ，连接BD， 以 B 为圆心，BD为半径画弧交数轴于点 E，则点 E 在数轴上所表示的数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】1 5 / 5 1  【详解】解：四边形 ABCD是长方形，A、B 两点在数轴上对应的数分别为 1 和 1， 1BC  ， 1, 2AD BC AB    依题意 2 2 5BE BD AD AB    . 设点 E 在数轴上所表示的数为 x，则1 5x  解得 1 5x   故答案为：1 5 12．用 ☆“ ”定义新运算，对于任意实数 a，b，都有 2 1 | | b a b a b    ☆ ，例如， 24 1 17 7 4 | 7 4 | 3     ☆ ，那么 3 7 ☆ ； 【答案】 2 2 【详解】解： 27 1 50 2 3 7 3 7 10 2        ☆ 故答案为 2 2 13．如图，在边长为 4 的等边 ABC 中，点 P 为BC 边上任意一点，PE AB 于点 B，PF AC 于点 F，则 PE PF 的长 ． 【答案】2 3 【详解】解：如图所示，连接 AP ，作CD AB 交 AB 于点D， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 则 ABC ABP ACPS S S △ △ △ ， 即 1 1 1 2 2 2 AB CD AB PE AC PF     ，  ABC 为等边三角形， AB AC  ， CD PE PF   ， 4AB AC BC   ，CD AB ， 1 1 4 2 2 2 AD AB     ， 2 2 2 24 2 2 3CD AC AD      ， 2 3PE PF CD    ， 故答案为：2 3． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题 4 分，共 8 分） （1） 1 2 12 6 3 48 3   （2）  212 6 2 1 3    ； 【详解】解：（1） 1 2 12 6 3 48 3   = 4 3 2 3 12 3  （2 分） =14 3 （4 分） （2）原式  2 3 3 1 2 3 3     （2 分） 2 3 3 1 2 3 3     （3 分） 3 3 4  （4 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 15．（8 分）已知 2a+4 的立方根是 2，3a+b﹣1 的算术平方根是 3， 13的整数部分为 c． (1)分别求出 a，b，c 的值； (2)求 a+b+c 的平方根． 【详解】（1）解：∵ 2 4a  的立方根是 2，3 1a b  的算术平方根是 3， ∴ 3 2 2 4 2 3 1 3 a a b        （2 分） 解得： 2 4 a b    ，（4 分） ∵ c 是 13的整数部分，3 13 4  ，（5 分） ∴ 3c  ；（6 分） （2）解：∵ 2a  ， 4b  ， 3c  ， ∴ 2 4 3 9a b c      ，（7 分） a b c   的平方根为 3 ．（8 分） 16．（7 分）如图，某小区的两个喷泉A ，B 位于小路 AC 的同侧，两个喷泉之间的距离 AB 的长为 250m ．现 要为喷泉铺设供水管道 AM ，BM ，供水点M 在小路 AC 上，供水点M 到 AB 的距离MN 的长为120m，BM 的长为150m ． (1)求供水点M 到喷泉A 需要铺设的管道长； (2)试说明 90BMA  ． 【详解】（1）解：由题意可知MN AB 在Rt MNB△ 中， 2 2 2 2150 120 90(m)BN BM MN     （2 分） ∴ 250 90 160(m)AN AB BN     ．（3 分） 在Rt AMN 中， 2 2 2 2160 120 200(m)AM AN MN     （4 分） ∴ 供水点M 到喷泉A 需要铺设的管道长为200m；（5 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）∵ 250mAB  ， 200mAM  ， 150mBM  ， ∴ 2 2 2AB BM AM  ，（6 分） ∴ 90AMB  ．（7 分） 17．（8 分）若实数 x，y 满足   2 22016 2016 2016x x y y     ． (1)求 x，y 之间的数量关系； (2)求 2 23 2 5 5 2019x y x y    的值． 【详解】（1）解：   2 22016 2016 2016x x y y     ． ∴ 2 2 2016 2016 2016 x x y y      ．（1 分） ∴      2 2 2 2 2 2016 2016 2016 2016 2016 2016 y y x x y y y y y y             ①（3 分） 同理得： 2 22016 2016x x y y     ② ①＋②得： 2 2x y ，（4 分） ∴ x y ．（5 分） （2）解：把 x y 代入①，得 2 22016 2016x x x x     ， ∴ 2 2016x  ．（6 分） 则 2 2 2 23 2 5 5 2019 3 2 5 5 2019x y x y x x x x         2 2019 2016 2019 3x      ．（8 分） 18．（8 分）像 ( 5 2)( 5 2) 3   、 ( 0)a a a a   、 ( 1)( 1) 1( 0)b b b b     两个含有二次根式 的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式： ( 0, 0)a b a b   ，2 3 3 5 ； (2)化简： 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2021 2020        ； (3)当2 4a  时，直接写出代数式 2 1a a   的最大值： ． 【详解】（1）解： a b 的有理化因式为 a b ； 2 3 2 5 的的有理化因式为2 3 2 5 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 故答案为 a b ；2 3 2 5 ；（一个 1 分，共 2 分） （2）解：原式 2 1 3 2 4 3 2021 2020         （3 分） 2021 1  ；（4 分） （3）解： 1 2 1 2 1 a a a a        ，（5 分） ∵2 4a  当 2a  时， 2 1a a   有最小值，（6 分） 最小值为 2 2 2 1 2 3     ，（7 分） 此时 1 2 1a a   的值最大，最大值为 1 2 3 2 3    ， 即代数式 2 1a a   的最大值为2 3 ；（8 分） 故答案为2 3 ． 19．（10 分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数 学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图 1 是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长 均为 1，每个小正方形的顶点称为格点.在图 1 中画出△ ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C、A，他们借助此图求出了△ ABC 的面积. （1）在图 1 中，所画的△ ABC 的三边长分别是 AB= ，BC= ，AC= ； △ ABC 的面积为 . 实践探究 （2）在图 2 所示的正方形网格中画出△ DEF（顶点都在格点上），使 DE= 5 ，DF= 13， EF= 20 ，并写出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 △ DEF 的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积，对 此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元 50 年），在他的著作《度量》 一书中，给出了求其面积的海伦公式：．．．．．      a b cp p-a p-b p-c p 2 S    其中 ① 我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：．．．．．． 22 2 2 2 21 a b -ca b . 4 2 S             ② （3）一个三角形的三边长依次为 5 ， 6 ， 7 ，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积. （写出计算过程） 【详解】解：（1） 2 23 4 5AB    （1 分）， 2 21 4 17BC    ，（2 分） 2 21 3 10AC    ，（3 分） △ABC 的面积＝4×4 - ×3×4－ ×1×4－ ×3×1= 13 2 （4 分） 故答案为5， 17 ， 10 ， 13 2 ； （2）△DEF 如图所示，（7 分） △DEF 的面积＝3×4 - ×3×2－ ×2×4－ ×2×1=4； （3）将 5a  ， 6b  ， 7c  代入秦九韶公式， 得 22 2 2 2 21 a b -ca b 4 2 S             2 1 5 6-7 5 6 4 2            （8 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12  1 30 4 4   （9 分） 26 2  .（10 分） 20．（12 分）如图１，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ ≌ △ABD ACE； （2）如图 2，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC， ADB=90°∠ ，点 E 在△ ABC 内，延长 DE 交 BC 于点 F，求证：点 F 是 BC 中点； （3）△ ABC 为等腰三角形， BAC=120°∠ ，AB=AC，点 P 为△ ABC 所在平面内一点， APB=120°∠ ，AP=2，BP=4， 请直接写出 CP 的长． 【详解】解：（1）证明：∵ ∠ ∠DAE= BAC ∴ ∠ ∠DAB= EAC（1 分） ∵ AD=AE，AB=AC ∴ △ ≌ △ABD ACE（2 分） （2）证明：连接 CE，延长 EF 至点 H，取 CF=CH，连接 CH，如图所示： ∵ △ ≌ △ADB AEC ∴ BD=EC， ADB= AEC=90°∠ ∠ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵ AD=AE ∴ ∠ ∠ADE= AED（3 分） ∵ ∠ ∠ ∠ ∠ADE+ EDB= AED+ CEH=90° ∴ ∠ ∠EDB= CEH ∵ CF=CH ∴ ∠ ∠CFH= CHF ∴ ∠ ∠DFB= H（4 分） ∵ CE=BD ∴ △ ≌ △DBF ECH（5 分） ∴ BF=CH ∴ BF=CF ∴ 点 F 是 BC 的中点（6 分） （3）当点 P 在△ ABC 内部，如图所示，将△ ABP 逆时针旋转 120°，得到 ACP ，连接PP和 PC ∵ 将△ ABP 旋转 120°得到 ACP  ∴ ∠ PAP =120°，AP= AP =2，BP=CP=4 ∴ PP =2 3，（7 分） ∵ ∠ AP C =120°，∠ AP P =30°， ∴ ∠ PP C =90°， ∴ PC=  2 22 3 4 2 7  ．（8 分） 当点 P 在△ ABC 外部，如图所示， 将△ APB 绕点 A 逆时针旋转 120 到△ 'AP C ，过点 P 作 ⊥PD 'CP 于点 D，连接 PD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∵ 将△ ABP 旋转 120°得到 ACP  ∴ ∠ PAP =120°，AP= AP =2，BP=CP=4， ∴ PP =2 3，（9 分） ∵ ∠ AP C =120°,∠ AP P =30°， ∴ ∠ PP C =150°， ∴ ∠ PP D =30°，（10 分） 在 Rt 'PDP 中， 1 ' 3 2 PD PP  ， 2 2' ' 3DP PP PD    ， ' ' 3 4 7DC DP P C      ，（11 分）  22 2 23 7 2 13PC PD DC      ． 综上所述， 2 7 2 13PC  或 （12 分） 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A B C D A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．±2 10． 11．/ 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（每题4分，共8分） 【详解】解：（1） =（2分） =（4分） （2） 原式（2分） （3分） （4分） 15．（8分） 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴（2分） 解得： ，（4分） ∵c是的整数部分，，（5分） ∴；（6分） （2）解：∵，，， ∴，（7分） 的平方根为．（8分） 16．（7分） 【详解】（1）解：由题意可知 在中，（2分） ∴．（3分） 在中，（4分） ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为；（5分） （2）∵，，， ∴，（6分） ∴．（7分） 17．（8分） 【详解】（1）解：． ∴．（1分） ∴①（3分） 同理得：② ①＋②得：，（4分） ∴．（5分） （2）解：把代入①，得， ∴．（6分） 则 ．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的的有理化因式为； 故答案为；；（一个1分，共2分） （2）解：原式（3分） ；（4分） （3） 解：，（5分） ∵ 当时，有最小值，（6分） 最小值为，（7分） 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为；（8分） 故答案为． 19．（10分） 【详解】解：（1）（1分），，（2分），（3分） △ABC的面积＝4×4 - ×3×4－×1×4－×3×1=（4分） 故答案为，，，； （2）△DEF如图所示，（7分） △DEF的面积＝3×4 - ×3×2－×2×4－×2×1=4； （3）将，，代入秦九韶公式， 得 （8分） （9分） .（10分） 20．（12分） 【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC（1分） ∵AD=AE，AB=AC ∴△ABD≌△ACE（2分） （2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示： ∵△ADB≌△AEC ∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90° ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED（3分） ∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90° ∴∠EDB=∠CEH ∵CF=CH ∴∠CFH=∠CHF ∴∠DFB=∠H（4分） ∵CE=BD ∴△DBF≌△ECH（5分） ∴BF=CH ∴BF=CF ∴点F是BC的中点（6分） （3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4 ∴=2，（7分） ∵∠=120°，∠=30°， ∴∠=90°， ∴PC=．（8分） 当点P在△ABC外部，如图所示， 将△APB绕点A逆时针旋转120到△，过点P作PD⊥于点D，连接PD， ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4， ∴=2，（9分） ∵∠=120°,∠=30°， ∴∠=150°， ∴∠=30°，（10分） 在Rt中，， ， ，（11分） ． 综上所述，（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8 分） 18．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 6．使代数式有意义的自变量x的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 7．在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是 ． 10．棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ． 11．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ． 12．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如，，那么 ； 13．如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．    三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题4分，共8分） （1） （2）； 15．（8分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求a+b+c的平方根． 16．（7分）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长； (2)试说明． 17．（8分）若实数x，y满足． (1)求x，y之间的数量关系； (2)求的值． 18．（8分）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：　　，　　； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：　　． 19．（10分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.      （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为 . 实践探究 （2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE=，DF=， EF=，并写出△DEF的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式： 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式： （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积.（写出计算过程） 20．（12分）如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … 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AC 的长为 半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD于点F ，交 AC 于点O，若点O是 AC 的中点，则CD的长为（ ） A． 5 B． 6 C．2 2 D．4 8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC BD， 交 于点O．若 1AD  ， 4BC  ，则 2 2AB CD 等于（ ） A．15 B．16 C．17 D．20 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 9． 16的平方根是 ． 10．棱长分别为 4cm，3cm 两个正方体如图放置，点 P 在 E1F1上，且 E1P= 1 3 E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是 ． 11．如图，长方形 ABCD的边 AB 落在数轴上，A、B 两点在数轴上对应的数分别为 1 和 1， 1BC  ，连接BD， 以 B 为圆心，BD为半径画弧交数轴于点 E，则点 E 在数轴上所表示的数为 ． 12．用 ☆“ ”定义新运算，对于任意实数 a，b，都有 2 1 | | b a b a b    ☆ ，例如， 24 1 17 7 4 | 7 4 | 3     ☆ ，那么 3 7 ☆ ； 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，在边长为 4 的等边 ABC 中，点 P 为BC 边上任意一点，PE AB 于点 B，PF AC 于点 F， 则 PE PF 的长 ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题 4 分，共 8 分） （1） 1 2 12 6 3 48 3   （2）  212 6 2 1 3    ； 15．（8 分）已知 2a+4 的立方根是 2，3a+b﹣1 的算术平方根是 3， 13的整数部分为 c． (1)分别求出 a，b，c 的值； (2)求 a+b+c 的平方根． 16．（7 分）如图，某小区的两个喷泉A ，B 位于小路 AC 的同侧，两个喷泉之间的距离 AB 的长为 250m ．现 要为喷泉铺设供水管道 AM ，BM ，供水点M 在小路 AC 上，供水点M 到 AB 的距离MN 的长为120m，BM 的长为150m ． (1)求供水点M 到喷泉A 需要铺设的管道长； (2)试说明 90BMA  ． 17．（8 分）若实数 x，y 满足   2 22016 2016 2016x x y y     ． (1)求 x，y 之间的数量关系； (2)求 2 23 2 5 5 2019x y x y    的值． 18．（8 分）像 ( 5 2)( 5 2) 3   、 ( 0)a a a a   、 ( 1)( 1) 1( 0)b b b b     两个含有二次根式 的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式： ( 0, 0)a b a b   ，2 3 3 5 ； (2)化简： 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2021 2020        ； (3)当2 4a  时，直接写出代数式 2 1a a   的最大值： ． 19．（10 分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了 数学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图 1 是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边 长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点.在图 1 中画出△ ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方 形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C、A，他们借助此图求出了△ ABC 的面积. （1）在图 1 中，所画的△ ABC 的三边长分别是 AB= ，BC= ，AC= ； △ ABC 的面积为 . 实践探究 （2）在图 2 所示的正方形网格中画出△ DEF（顶点都在格点上），使 DE= 5 ，DF= 13， EF= 20 ，并写出 △ DEF 的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积， 对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元 50 年），在他的著作《度 量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：．．．．．      a b c p p-a p-b p-c p 2 S    其中 ① 我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：．．．．．． 22 2 2 2 21 a b -ca b . 4 2 S             ② （3）一个三角形的三边长依次为 5 ， 6 ， 7 ，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面 积.（写出计算过程） 20．（12 分）如图１，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ ≌ △ABD ACE； （2）如图 2，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC， ADB=90°∠ ，点 E 在△ ABC 内，延长 DE 交 BC 于点 F，求证：点 F 是 BC 中点； （3）△ ABC 为等腰三角形， BAC=120°∠ ，AB=AC，点 P 为△ ABC 所在平面内一点， APB=120°∠ ，AP=2，BP=4， 请直接写出 CP 的长． 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 6．使代数式有意义的自变量x的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 7．在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是 ． 10．棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ． 11．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ． 12．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如，，那么 ； 13．如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．    三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题4分，共8分） （1） （2）； 15．（8分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求a+b+c的平方根． 16．（7分）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长； (2)试说明． 17．（8分）若实数x，y满足． (1)求x，y之间的数量关系； (2)求的值． 18．（8分）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：　　，　　； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：　　． 19．（10分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.      （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为 . 实践探究 （2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE=，DF=， EF=，并写出△DEF的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式： 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：    （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积.（写出计算过程） 20．（12分）如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版第一章勾股定理+第二章实数。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列数中是无理数的是（ ） A．2π B．3.1415926 C． 11 7 D． 3.6 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．8，15，17 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 3 3．下列运算正确的是（ ） A． 1 3 3 3   B． 12 3 2 3  C． 3 2 6  D． 5 3 8  4．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A．16 B．25 C．144 D．169 5．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 2a ﹣|2a+b|的结果为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 6．使代数式 3 4 x y x    有意义的自变量 x 的取值范围是( ) A． 4x  B． 3x  C． 3x  D． 3x  且 4x  7．在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 90D  ， 5AD  ， 3BC  ，分别以 A，C 为圆心，大于 1 2 AC 的长为 半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD于点F ，交 AC 于点O，若点O是 AC 的中点，则CD的长为（ ） A． 5 B． 6 C．2 2 D．4 8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC BD， 交 于点O．若 1AD  ， 4BC  ，则 2 2AB CD 等于（ ） A．15 B．16 C．17 D．20 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 9． 16的平方根是 ． 10．棱长分别为 4cm，3cm 两个正方体如图放置，点 P 在 E1F1上，且 E1P= 1 3 E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．如图，长方形 ABCD的边 AB 落在数轴上，A、B 两点在数轴上对应的数分别为 1 和 1， 1BC  ，连接BD， 以 B 为圆心，BD为半径画弧交数轴于点 E，则点 E 在数轴上所表示的数为 ． 12．用 ☆“ ”定义新运算，对于任意实数 a，b，都有 2 1 | | b a b a b    ☆ ，例如， 24 1 17 7 4 | 7 4 | 3     ☆ ，那么 3 7 ☆ ； 13．如图，在边长为 4 的等边 ABC 中，点 P 为BC 边上任意一点，PE AB 于点 B，PF AC 于点 F，则 PE PF 的长 ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．计算（每题 4 分，共 8 分） （1） 1 2 12 6 3 48 3   （2）  212 6 2 1 3    ； 15．（8 分）已知 2a+4 的立方根是 2，3a+b﹣1 的算术平方根是 3， 13的整数部分为 c． (1)分别求出 a，b，c 的值； (2)求 a+b+c 的平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（7 分）如图，某小区的两个喷泉A ，B 位于小路 AC 的同侧，两个喷泉之间的距离 AB 的长为 250m ．现 要为喷泉铺设供水管道 AM ，BM ，供水点M 在小路 AC 上，供水点M 到 AB 的距离MN 的长为120m，BM 的长为150m ． (1)求供水点M 到喷泉A 需要铺设的管道长； (2)试说明 90BMA  ． 17．（8 分）若实数 x，y 满足   2 22016 2016 2016x x y y     ． (1)求 x，y 之间的数量关系； (2)求 2 23 2 5 5 2019x y x y    的值． 18．（8 分）像 ( 5 2)( 5 2) 3   、 ( 0)a a a a   、 ( 1)( 1) 1( 0)b b b b     两个含有二次根式 的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式： ( 0, 0)a b a b   ，2 3 3 5 ； (2)化简： 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 2021 2020        ； (3)当2 4a  时，直接写出代数式 2 1a a   的最大值： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（10 分）综合与实践 问题情境 在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数 学活动. 操作发现 “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图 1 是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长 均为 1，每个小正方形的顶点称为格点.在图 1 中画出△ ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C、A，他们借助此图求出了△ ABC 的面积. （1）在图 1 中，所画的△ ABC 的三边长分别是 AB= ，BC= ，AC= ； △ ABC 的面积为 . 实践探究 （2）在图 2 所示的正方形网格中画出△ DEF（顶点都在格点上），使 DE= 5 ，DF= 13， EF= 20 ，并写出 △ DEF 的面积. 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积，对 此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元 50 年），在他的著作《度量》 一书中，给出了求其面积的海伦公式：．．．．．      a b cp p-a p-b p-c p 2 S    其中 ① 我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：．．．．．． 22 2 2 2 21 a b -ca b . 4 2 S             ② （3）一个三角形的三边长依次为 5 ， 6 ， 7 ，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积. （写出计算过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（12 分）如图１，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ ≌ △ABD ACE； （2）如图 2，在△ ABC 和△ ADE 中， DAE= BAC∠ ∠ ，AD=AE，AB=AC， ADB=90°∠ ，点 E 在△ ABC 内，延长 DE 交 BC 于点 F，求证：点 F 是 BC 中点； （3）△ ABC 为等腰三角形， BAC=120°∠ ，AB=AC，点 P 为△ ABC 所在平面内一点， APB=120°∠ ，AP=2，BP=4， 请直接写出 CP 的长．