八年级数学第一次月考卷02（北师大版，八上第1～2章：勾股定理+实数）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【解答】解：∵±8的平方都等于64； ∴64的平方根是±8． 故选：C． 2．在实数，3.14，0，，，，0.1616616661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：3.14是有限小数，0，3是整数，是分数，它们不是无理数； ，，0.1616616661…（两个1之间依次多一个6）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意； B、|a|，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A、∵∠A＝35°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣55°＝90°， 即△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵AB2+AC2＝82+152＝172＝BC2， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x， ∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【解答】解：∵（﹣3）2的平方根是±3， ∴选项A不符合题意； ∵4， ∴选B项不符合题意； ∵4的算术平方根是2， ∴选项C符合题意； ∵9的立方根是 ∴选项D不符合题意， 故选：C． 6．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．1 B．1 C．1 D． 【解答】解：正方形ABCD的边长为：， ∴点E所表示的数为：﹣1， 故选：A． 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 【解答】解：由题意可知，DE＝CF＝2.6m，BE＝0.8m，CD＝3m， ∴BD＝1.8m， 设AB＝AC＝x m，则AD＝（x﹣1.8）m， 由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4m， 故选：A． 9．{a}表示小于a的最大整数，[b]表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则3x+2y的平方根为（　　） A． B． C．±2 D．±1 【解答】解：由题意得，x＝3，y＝﹣1， ∴3x+2y＝3×3+2×（﹣1）＝9﹣2＝7， ∵7的平方根是±， ∴3x+2y的平方根为±， 故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 【解答】解：由题意，∵∠DEB是△CDE的一个外角， ∴∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE． ∴∠DEB是钝角． 又△BDE为等腰三角形， ∴BE＝DE． ∴∠B＝∠BDE． ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°． ∴∠BAC＝∠CDA． ∴CA＝CD＝2． 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∴BC3． ∴BC＝BE+CE＝DE+CE＝3． 又△CDE的周长＝CD+DE+CE， ∴△CDE的周长＝2+3＝5． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 【解答】解：由题意可知：2x+3≥0， ∴x， 故答案为：x 12．实数与互为倒数，则a的值是 　 　． 【解答】解：∵与互为倒数，2， ∴﹣21， ∴ ∴a． 故答案为：． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　． 【解答】解：∵正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16， ∴m+4+2m﹣16＝0． 解得m＝4． 故答案为：4． 14．如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 　 　． 【解答】解：∵点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD， ∴点C表示的数为：1，CD＝AC， ∴点A表示的数为：11﹣2， ∵点C到原点的距离等于线段AB的长， ∴AB1， ∴点B表示的数为：1﹣21， 故答案为：． 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱体盒子外表面点A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 　 cm． 【解答】解：如图，作出点A关于CD的对称点A′． ∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm， ∴AC＝5cm， ∴A′C＝5cm． ∵点B是对侧中点， ∴BD＝4cm， ∴A′F＝5+4＝9（cm）． ∵底面圆的周长为24cm， ∴BF24＝12（cm）， ∴BA'15（cm）． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题4分，共8分）计算： （1）． （2）． 【解答】解：（1）原式． （2）原式． 17．（每小题4分，共8分）求下列各式中x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 【解答】解：（1）3（x﹣2）2＝27， （x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， ∴x＝5或x＝﹣1； （2）2（x﹣1）3+16＝0， （x﹣1）3＝﹣8， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线.若AD＝4，求AB的长. 【解答】解：∵∠C＝90°∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠DAB＝ ∠CAB＝30°， ∴CD＝ AD＝2， ∴AC＝ ＝2 ， ∴AB＝2AC＝4 . 19．（8分）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， （1）求6a+b的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根． 【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， ∴2a﹣1＝9，3a﹣b﹣1＝8， 解得a＝5，b＝6， ∴6a+b＝36， ∵36的算术平方根为6， ∴6a+b的算术平方根是6； （2）∵34， ∴的整数部分为3， 即c＝3， 由（1）得a＝5，b＝6， ∴2a+3b﹣c＝10+18﹣3＝25， 而25的平方根为±5， ∴2a+3b﹣c的平方根±5． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB25， ∵CD⊥AB， ∴， ∴CD12； （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD9， AD＝25﹣9＝16． 21．（8分）已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x﹣y）2+xy ＝12+1 ＝13； （2） ＝12+2 ＝14． 22．（8分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ：AD2+AC2＝DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DACAD•AC8×15＝60（m2），S△ACBAB•BC9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2． 23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 ； （2）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n）2展开，得： m2+3n2+2mn， 将m2+3n2+2mn与的系数进行对比，可得： a＝m2+3n2、b＝2mn． 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）观察a+4（m+n）2可知， b＝4， 由（1）中的规律可知， 2mn＝4， 则mn＝2， 由于m、n均为正整数，则有： 或 将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得： a＝13， 将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得： a＝7， 综上可知，a的值为13或7． 24．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝4，PA，则： ①线段PB＝　 ，PC＝　 　． ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　 　． （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点P满足，求的值．（提示：请你利用备用图探求） 【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴ABAC＝4， ∴PB＝AB﹣PA＝43， 作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝2，CHAB＝2， ∴PH＝AH﹣AP， ∴PC， 故答案为：3；； ②PA2+PB2＝PQ2， 理由如下：如图①，连接QB， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2， 故答案为：PA2+PB2＝PQ2； （2） 如图②，连接BQ， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2； （3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，； 当点P在线段BA的延长线上时，如图③， 设AC＝2x，则AB＝2x， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴CHABx， ∵PB＝3PA， ∴PA＝AHx， 由勾股定理得，PCx， ∴． 综上所述：的值是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 02 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．64 的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【解答】解：∵±8 的平方都等于 64； ∴64 的平方根是±8． 故选：C． 2．在实数−√5，3.14，0， ， ，−√9，0.1616616661…（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个数是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：3.14 是有限小数，0，−√9 = −3 是整数， 是分数，它们不是无理数； −√5， ，0.1616616661…（两个 1 之间依次多一个 6）是无限不循环小数，它们是无理数，共 3 个； 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√8 B．√3𝑎 𝑏 C． 𝑥 2 D．√𝑎 + 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【解答】解：A、√8 =2√2，不是最简二次根式，不符合题意； B、√3𝑎 𝑏 =|a|√3𝑎𝑏，不是最简二次根式，不符合题意； C、 𝑥 2 = 2𝑥 2 ，不是最简二次根式，不符合题意； D、√𝑎 + 4是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A、∵∠A＝35°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣55°＝90°， 即△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵AB2+AC2＝82+152＝172＝BC2， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、设 AB＝3x，则 BC＝4x，AC＝5x， ∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．下列说法正确的是（ ） A．（﹣3）2 的平方根是 3 B．√16 = ±4 C．4 的算术平方根是 2 D．9 的立方根是 3 【解答】解：∵（﹣3）2 的平方根是±3， ∴选项 A不符合题意； ∵√16 =4， ∴选 B项不符合题意； ∵4 的算术平方根是 2， ∴选项 C符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵9 的立方根是√9 ∴选项 D不符合题意， 故选：C． 6．如图，面积为 3 的正方形 ABCD的顶点 A在数轴上，且表示的数为﹣1，若 AD＝AE，则数轴上点 E所 表示的数为（ ） A．√3 −1 B．√3 +1 C．−√3 +1 D．√3 【解答】解：正方形 ABCD的边长为：√3， ∴ 点 E所表示的数为：﹣1+√3， 故选：A． 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为 1 的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A．BC＝5 B．△ABC的面积为 5 C．∠A＝90° D．点 A到 BC的距离为 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．𝑆△ = 4 × 4 − 1 2 × 1 × 2 − 1 2 × 2 × 4 − 1 2 × 3 × 4 = 5，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点 A到 BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 踏板 B 离地的垂直高度 BE＝0.8m，将它往前推 3m 至 C 处时（即水平距离 CD＝3m），踏板离地的垂直 高度 CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索 AC的长是（ ） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 【解答】解：由题意可知，DE＝CF＝2.6m，BE＝0.8m，CD＝3m， ∴BD＝1.8m， 设 AB＝AC＝x m，则 AD＝（x﹣1.8）m， 由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索 AC的长是 3.4m， 故选：A． 9．{a}表示小于 a的最大整数，[b]表示不小于 b的最小整数，若整数 x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则 3x+2y 的平方根为（ ） A．±√5 B．±√7 C．±2 D．±1 【解答】解：由题意得，x＝3，y＝﹣1， ∴3x+2y＝3×3+2×（﹣1）＝9﹣2＝7， ∵7 的平方根是±√7， ∴3x+2y的平方根为±√7， 故选：B． 10．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，𝐴𝐵 = √13，AC＝2．D为斜边 AB上一动点，连接 CD，过点 D 作 DE⊥CD交边 BC于点 E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A．√13 + 3 B．6 C．√13 + 2 D．5 【解答】解：由题意，∵∠DEB是△CDE的一个外角， ∴∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE． ∴∠DEB是钝角． 又△BDE为等腰三角形， ∴BE＝DE． ∴∠B＝∠BDE． ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°． ∴∠BAC＝∠CDA． ∴CA＝CD＝2． 在 Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∴BC= √𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = (√13) − 2 =3． ∴BC＝BE+CE＝DE+CE＝3． 又△CDE的周长＝CD+DE+CE， ∴△CDE的周长＝2+3＝5． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分） 11．若二次根式√2𝑥 + 3在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 【解答】解：由题意可知：2x+3≥0， ∴x≥ − 3 2 ， 故答案为：x≥ − 3 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 12．实数√−8与√𝑎互为倒数，则 a的值是 ． 【解答】解：∵√−8与√𝑎互为倒数，√−8 = −2， ∴﹣2× √𝑎 =1， ∴√𝑎 = − 1 2 ∴a= − 1 8 ． 故答案为：− 1 8 ． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是 m+4 和 2m﹣16，则 m＝ ． 【解答】解：∵正数的两个不同平方根分别是 m+4 和 2m﹣16， ∴m+4+2m﹣16＝0． 解得 m＝4． 故答案为：4． 14．如图，点 A，B，C，D在数轴上，点 D表示的数是 1，C是线段 AD的中点，线段 CD= √2，点 C到原 点的距离等于线段 AB的长，则点 B表示的数是 ． 【解答】解：∵点 D表示的数是 1，C是线段 AD的中点，线段 CD= √2， ∴点 C表示的数为：1−√2，CD＝AC， ∴点 A表示的数为：1−√2− √2 =1﹣2√2， ∵点 C到原点的距离等于线段 AB的长， ∴AB= √2 −1， ∴点 B表示的数为：1﹣2√2 + √2 −1= −√2， 故答案为：−√2． 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为 8cm，底面圆的周长为 24cm，点 A距离下底面 3cm．一只位 于圆柱体盒子外表面点 A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点 B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径 长为 cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【解答】解：如图，作出点 A关于 CD的对称点 A′． ∵圆柱盒高为 8cm，点 A距离下底面 3cm， ∴AC＝5cm， ∴A′C＝5cm． ∵点 B是对侧中点， ∴BD＝4cm， ∴A′F＝5+4＝9（cm）． ∵底面圆的周长为 24cm， ∴BF= 1 2 ×24＝12（cm）， ∴BA'= √𝐵𝐹 + 𝐴′𝐹 = √12 + 9 =15（cm）． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共 9小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题 4 分，共 8 分）计算： （1）|1 − 2√2| − 2 − √8 + (𝜋 − 2014) ． （2）(√3 + √2) + (√3 + 1)(√3 − 1)． 【解答】解：（1）原式= 2√2 − 1 − 1 2 − 2√2 + 1 = − 1 2 ． （2）原式= 3 + 2√6 + 2 + 3 − 1 = 2√6 + 7． 17．（每小题 4 分，共 8 分）求下列各式中 x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 【解答】解：（1）3（x﹣2）2＝27， （x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， ∴x＝5 或 x＝﹣1； （2）2（x﹣1）3+16＝0， （x﹣1）3＝﹣8， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 18．（7 分）如图，在△ABC 中， C∠ ＝90°， B∠ ＝30°，AD 是 BAC∠ 的角平分线.若AD＝4，求AB 的长. 【解答】解：∵ ∠ C＝90° B∠ ＝30°， ∴ ∠ CAB＝60°，AB＝2AC， ∵ AD 是 BAC∠ 的角平分线， ∴ ∠ CAD＝ DAB∠ ＝ CAB∠ ＝30°， ∴ CD＝ AD＝2， ∴ AC＝ √𝐴𝐷 − 𝐶𝐷 ＝2 √3 ， ∴ AB＝2AC＝4 √3 . 19．（8 分）已知 2a﹣1 的平方根为±3，3a﹣b﹣1 的立方根为 2， （1）求 6a+b的算术平方根； （2）若 c是√13的整数部分，求 2a+3b﹣c的平方根． 【解答】解：（1）∵2a﹣1 的平方根为±3，3a﹣b﹣1 的立方根为 2， ∴2a﹣1＝9，3a﹣b﹣1＝8， 解得 a＝5，b＝6， ∴6a+b＝36， ∵36 的算术平方根为√36 =6， ∴6a+b的算术平方根是 6； （2）∵3＜√13＜4， ∴√13的整数部分为 3， 即 c＝3， 由（1）得 a＝5，b＝6， ∴2a+3b﹣c＝10+18﹣3＝25， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 而 25 的平方根为±√25 =±5， ∴2a+3b﹣c的平方根±5． 20．（8 分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，由勾股定理得， AB= √𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = √20 + 15 =25， ∵CD⊥AB， ∴S△ = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 = 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐶， ∴CD= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 20×15 25 =12； （2）在 Rt△BDC中，由勾股定理得， BD= √𝐵𝐶 − 𝐶𝐷 = √15 − 12 =9， AD＝25﹣9＝16． 21．（8 分）已知𝑥 = 1 2+ 3 ，𝑦 = 1 2− 3 ，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2） + ． 【解答】解：（1）∵𝑥 = 1 2+ 3 = 2 − √3，𝑦 = 1 2− 3 = 2 + √3， ∴𝑥 − 𝑦 = 2 − √3 − 2 − √3 = −2√3，𝑥𝑦 = (2 − √3) × (2 + √3) = 2 − (√3) = 4 − 3 = 1， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x﹣y）2+xy = (−2√3) + 1 ＝12+1 ＝13； （2） + = 𝑥2+𝑦2 𝑥𝑦 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 = (𝑥−𝑦) 2 +2𝑥𝑦 𝑥𝑦 = (−2 3) 2 +2 1 ＝12+2 ＝14． 22．（8 分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部 分）．如图，已知 AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点 A 经过点 B 再到点 C 位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿 地中开辟一条从点 A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点 A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【解答】解：（1）如图，连接 AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC= √𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = √9 + 12 =15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点 A到点 C将少走 6m路程； （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ：AD2+AC2＝DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC= 1 2 AD•AC= 1 2 ×8×15＝60（m2），S△ACB= 1 2 AB•BC= 1 2 ×9×12＝54（m2）， ∴S 四边形ABCD＝60+54＝114（m 2 ）， 答：这片绿地的面积是 114m2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2 =（1+√2） 2 ， 善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b√2 =（m+n√2） 2 （其中 a，b，m，n均为正整数），则有 a+b√2 =m 2+2n2+2mn√2．∴ a＝m2+2n2，b ＝2mn．这样小明就找到了一种把部分 a+b√2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a，b，m，n均为正整数时，若 a+b√3 =（m+n√3） 2 ，用含 m，n的式子分别表示 a，b，得 a＝ ， b＝ ； （2）若 a+4√3 =（m+n√3） 2 ，且 a，m，n均为正整数，求 a的值． 【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n√3） 2 展开，得： m2+3n2+2mn√3， 将 m2+3n2+2mn√3与𝑎 + 𝑏√3的系数进行对比，可得： a＝m2+3n2、b＝2mn． 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）观察 a+4√3 =（m+n√3） 2 可知， b＝4， 由（1）中的规律可知， 2mn＝4， 则 mn＝2， 由于 m、n均为正整数，则有： 𝑚 = 1 𝑛 = 2 或 𝑚 = 2 𝑛 = 1 将 m＝1、n＝2 代入 a＝m2+3n2，得： a＝13， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 将 m＝2、n＝1 代入 a＝m2+3n2，得： a＝7， 综上可知，a的值为 13 或 7． 24．（12 分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点 P在斜边 AB所在的直线上，以 PC为直角边作等腰直 角三角形 PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点 P在线段 AB上，且 AC＝4，PA= √2，则： ①线段 PB＝ ，PC＝ ． ②猜想：PA2，PB2，PQ2 三者之间的数量关系为 ． （2）如图②，若点 P在 AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点 P满足 = ，求 的值．（提示：请你利用备用图探求） 【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴AB= √2AC＝4√2， ∴PB＝AB﹣PA＝4√2 − √2 =3√2， 作 CH⊥AB于 H， ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝2√2，CH= 1 2 AB＝2√2， ∴PH＝AH﹣AP= √2， ∴PC= √𝐶𝐻 + 𝑃𝐻 = √10， 故答案为：3√2；√10； ②PA2+PB2＝PQ2， 理由如下：如图①，连接 QB， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑃 = ∠𝐵𝐶𝑄 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄 ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2， 故答案为：PA2+PB2＝PQ2； （2）如图②，连接 BQ， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑃 = ∠𝐵𝐶𝑄 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄 ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2； （3）当点 P在线段 AB上时，由（1）①得， = √ ； 当点 P在线段 BA的延长线上时，如图③， 设 AC＝2x，则 AB＝2√2x， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴CH= 1 2 AB= √2x， ∵PB＝3PA， ∴PA＝AH= √2x， 由勾股定理得，PC= √𝑃𝐻 + 𝐶𝐻 = √10x， ∴ = √ = √ ． 综上所述： 的值是 √ 或 √ ． 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷02 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D C A D A B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．x 12． 13．4 14． 15．15 三、解答题（本大题共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题4分，共8分） 【解答】解：（1）原式．……………………4分 （2）原式．……………………8分 17．（每小题4分，共8分） 【解答】解：（1）3（x﹣2）2＝27， （x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， ∴x＝5或x＝﹣1；……………………4分 （2）2（x﹣1）3+16＝0， （x﹣1）3＝﹣8， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1．……………………8分 18．（7分） 【解答】解：∵∠C＝90°∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠DAB＝ ∠CAB＝30°，……………………4分 ∴CD＝ AD＝2， ∴AC＝ ＝2 ， ∴AB＝2AC＝4 . ……………………7分 19．（8分） 【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， ∴2a﹣1＝9，3a﹣b﹣1＝8， 解得a＝5，b＝6， ∴6a+b＝36， ∵36的算术平方根为6， ∴6a+b的算术平方根是6；……………………4分 （2）∵34， ∴的整数部分为3， 即c＝3， 由（1）得a＝5，b＝6， ∴2a+3b﹣c＝10+18﹣3＝25， 而25的平方根为±5， ∴2a+3b﹣c的平方根±5．……………………8分 20．（8分） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB25， ∵CD⊥AB， ∴， ∴CD12；……………………4分 （2）在Rt△BDC中，由勾股定理得， BD9， AD＝25﹣9＝16．……………………8分 21．（8分） 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x﹣y）2+xy ＝12+1 ＝13；……………………4分 （2） ＝12+2 ＝14．……………………8分 22．（8分） 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程；……………………4分 （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ：AD2+AC2＝DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DACAD•AC8×15＝60（m2），S△ACBAB•BC9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2．……………………8分 23．（8分） 【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n）2展开，得： m2+3n2+2mn， 将m2+3n2+2mn与的系数进行对比，可得： a＝m2+3n2、b＝2mn． 故答案为：m2+3n2，2mn．……………………4分 （2）观察a+4（m+n）2可知， b＝4， 由（1）中的规律可知， 2mn＝4， 则mn＝2， 由于m、n均为正整数，则有： 或 将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得： a＝13， 将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得： a＝7， 综上可知，a的值为13或7．……………………8分 24．（12分） 【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴ABAC＝4， ∴PB＝AB﹣PA＝43， 作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝2，CHAB＝2， ∴PH＝AH﹣AP， ∴PC， 故答案为：3；；……………………2分 ②PA2+PB2＝PQ2， 理由如下：如图①，连接QB， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2， 故答案为：PA2+PB2＝PQ2；……………………4分 （2） 如图②，连接BQ， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2；……………………8分 （3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，； 当点P在线段BA的延长线上时，如图③， 设AC＝2x，则AB＝2x， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴CHABx， ∵PB＝3PA， ∴PA＝AHx， 由勾股定理得，PCx， ∴． 综上所述：的值是．……………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8 分） 18．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 2．在实数，3.14，0，，，，0.1616616661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．下列说法正确的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 6．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．1 B．1 C．1 D． 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 9．{a}表示小于a的最大整数，[b]表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则3x+2y的平方根为（　　） A． B． C．±2 D．±1 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 12．实数与互为倒数，则a的值是 　 　． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　． 14．如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 　 　． 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱体盒子外表面点A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 　 cm． 三、解答题（本大题共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题4分，共8分）计算： （1）． （2）． 17．（每小题4分，共8分）求下列各式中x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线.若AD＝4，求AB的长. 19．（8分）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， （1）求6a+b的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 21．（8分）已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 22．（8分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2(1)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 ； （2）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 24．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝4，PA，则： ①线段PB＝　 ，PC＝　 　． ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　 　． （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点P满足，求的值．（提示：请你利用备用图探求） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 02 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．64 的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±8 D．8 2．在实数−√5，3.14，0， ， ，−√9，0.1616616661…（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个数 是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√8 B．√3𝑎 𝑏 C． 𝑥 2 D．√𝑎 + 4 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．下列说法正确的是（ ） A．（﹣3）2 的平方根是 3 B．√16 = ±4 C．4 的算术平方根是 2 D．9 的立方根是 3 6．如图，面积为 3 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上，且表示的数为﹣1，若 AD＝AE，则数轴上点 E 所表示的数为（ ） A．√3 −1 B．√3 +1 C．−√3 +1 D．√3 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为 1 的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A．BC＝5 B．△ABC的面积为 5 C．∠A＝90° D．点 A到 BC的距离为 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时， 踏板 B离地的垂直高度 BE＝0.8m，将它往前推 3m至 C处时（即水平距离 CD＝3m），踏板离地的垂直 高度 CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索 AC的长是（ ） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 9．{a}表示小于 a的最大整数，[b]表示不小于 b的最小整数，若整数 x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则 3x+2y 的平方根为（ ） A．±√5 B．±√7 C．±2 D．±1 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，𝐴𝐵 = √13，AC＝2．D 为斜边 AB 上一动点，连接 CD，过点 D作 DE⊥CD交边 BC于点 E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（ ） A．√13 + 3 B．6 C．√13 + 2 D．5 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 11．若二次根式√2𝑥 + 3在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 12．实数√−8与√𝑎互为倒数，则 a的值是 ． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是 m+4 和 2m﹣16，则 m＝ ． 14．如图，点 A，B，C，D在数轴上，点 D表示的数是 1，C是线段 AD的中点，线段 CD= √2，点 C到 原点的距离等于线段 AB的长，则点 B表示的数是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为 8cm，底面圆的周长为 24cm，点 A距离下底面 3cm．一只位 于圆柱体盒子外表面点 A 处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点 B 处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路 径长为 cm． 三、解答题（本大题共 9小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题 4 分，共 8 分）计算： （1）|1 − 2√2| − 2 − √8 + (𝜋 − 2014) ． （2）(√3 + √2) + (√3 + 1)(√3 − 1)． 17．（每小题 4 分，共 8 分）求下列各式中 x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 18．（7 分）如图，在△ABC 中， C∠ ＝90°， B∠ ＝30°，AD 是 BAC∠ 的角平分线.若AD＝4，求AB 的长. 19．（8 分）已知 2a﹣1 的平方根为±3，3a﹣b﹣1 的立方根为 2， （1）求 6a+b的算术平方根； （2）若 c是√13的整数部分，求 2a+3b﹣c的平方根． 20．（8 分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 21．（8 分）已知𝑥 = 1 2+ 3 ，𝑦 = 1 2− 3 ，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2） + ． 22．（8 分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部 分）．如图，已知 AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点 A经过点 B再到点 C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿 地中开辟一条从点 A直通点 C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点 A到点 C 将少走多少路 程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 23．（8 分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2√2 =(1+√2) 2 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b√2 =（m+n√2） 2 （其中 a，b，m，n 均为正整数），则有 a+b√2 =m 2+2n2+2mn√2．∴ a＝m2+2n2， b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分 a+b√2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a，b，m，n均为正整数时，若 a+b√3 =（m+n√3） 2 ，用含 m，n的式子分别表示 a，b，得 a＝ ， b＝ ； （2）若 a+4√3 =（m+n√3） 2 ，且 a，m，n均为正整数，求 a的值． 24．（12 分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点 P在斜边 AB所在的直线上，以 PC为直角边作等腰直 角三角形 PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点 P在线段 AB上，且 AC＝4，PA= √2，则： ①线段 PB＝ ，PC＝ ． ②猜想：PA2，PB2，PQ2 三者之间的数量关系为 ． （2）如图②，若点 P在 AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点 P满足 = ，求 的值．（提示：请你利用备用图探求） 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 2．在实数，3.14，0，，，，0.1616616661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．下列说法正确的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 6．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．1 B．1 C．1 D． 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 9．{a}表示小于a的最大整数，[b]表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则3x+2y的平方根为（　　） A． B． C．±2 D．±1 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 12．实数与互为倒数，则a的值是 　 　． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　． 14．如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 　 　． 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱体盒子外表面点A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 　 cm． 三、解答题（本大题共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题4分，共8分）计算： （1）． （2）． 17．（每小题4分，共8分）求下列各式中x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线.若AD＝4，求AB的长. 19．（8分）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， （1）求6a+b的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 21．（8分）已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 22．（8分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 ； （2）若a+4（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 24．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝4，PA，则： ①线段PB＝　 ，PC＝　 　． ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　 　． （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点P满足，求的值．（提示：请你利用备用图探求） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 02 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章---第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．64 的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±8 D．8 2．在实数−√5，3.14，0， ， ，−√9，0.1616616661…（两个 1 之间依次多一个 6）中，无理数的个数是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√8 B．√3𝑎 𝑏 C． 𝑥 2 D．√𝑎 + 4 4．在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ） A．∠A＝35°，∠B＝55° B．AB＝8，AC＝15，BC＝17 C．AB：AC：BC＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．下列说法正确的是（ ） A．（﹣3）2 的平方根是 3 B．√16 = ±4 C．4 的算术平方根是 2 D．9 的立方根是 3 6．如图，面积为 3 的正方形 ABCD的顶点 A在数轴上，且表示的数为﹣1，若 AD＝AE，则数轴上点 E所 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 表示的数为（ ） A．√3 −1 B．√3 +1 C．−√3 +1 D．√3 7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为 1 的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A．BC＝5 B．△ABC的面积为 5 C．∠A＝90° D．点 A到 BC的距离为 8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时， 踏板 B 离地的垂直高度 BE＝0.8m，将它往前推 3m 至 C 处时（即水平距离 CD＝3m），踏板离地的垂直 高度 CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索 AC的长是（ ） A．3.4m B．3.6m C．3.8m D．4.2m 9．{a}表示小于 a的最大整数，[b]表示不小于 b的最小整数，若整数 x，y满足{x}＝2，[y]＝﹣1，则 3x+2y 的平方根为（ ） A．±√5 B．±√7 C．±2 D．±1 10．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，𝐴𝐵 = √13，AC＝2．D为斜边 AB上一动点，连接 CD，过点 D 作 DE⊥CD交边 BC于点 E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．√13 + 3 B．6 C．√13 + 2 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分） 11．若二次根式√2𝑥 + 3在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 12．实数√−8与√𝑎互为倒数，则 a的值是 ． 13．已知某正数的两个不同平方根分别是 m+4 和 2m﹣16，则 m＝ ． 14．如图，点 A，B，C，D在数轴上，点 D表示的数是 1，C是线段 AD的中点，线段 CD= √2，点 C到原 点的距离等于线段 AB的长，则点 B表示的数是 ． 15．如图所示，一个无盖的圆柱体盒子的高为 8cm，底面圆的周长为 24cm，点 A距离下底面 3cm．一只位 于圆柱体盒子外表面点 A处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧中点 B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径 长为 cm． 三、解答题（本大题共 9小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（每小题 4 分，共 8 分）计算： （1）|1 − 2√2| − 2 − √8 + (𝜋 − 2014) ． （2）(√3 + √2) + (√3 + 1)(√3 − 1)． 17．（每小题 4 分，共 8 分）求下列各式中 x的值： （1）3（x﹣2）2＝27； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（7 分）如图，在△ABC 中， C∠ ＝90°， B∠ ＝30°，AD 是 BAC∠ 的角平分线.若AD＝4，求AB 的长. 19．（8 分）已知 2a﹣1 的平方根为±3，3a﹣b﹣1 的立方根为 2， （1）求 6a+b的算术平方根； （2）若 c是√13的整数部分，求 2a+3b﹣c的平方根． 20．（8 分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 21．（8 分）已知𝑥 = 1 2+ 3 ，𝑦 = 1 2− 3 ，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2） + ． 22．（8 分）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部 分）．如图，已知 AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点 A 经过点 B 再到点 C 位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿 地中开辟一条从点 A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点 A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 23．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2 =（1+√2） 2 ， 善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b√2 =（m+n√2） 2 （其中 a，b，m，n均为正整数），则有 a+b√2 =m 2+2n2+2mn√2．∴ a＝m2+2n2，b ＝2mn．这样小明就找到了一种把部分 a+b√2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a，b，m，n均为正整数时，若 a+b√3 =（m+n√3） 2 ，用含 m，n的式子分别表示 a，b，得 a＝ ， b＝ ； （2）若 a+4√3 =（m+n√3） 2 ，且 a，m，n均为正整数，求 a的值． 24．（12 分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点 P在斜边 AB所在的直线上，以 PC为直角边作等腰直 角三角形 PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下问题： （1）如图①，若点 P在线段 AB上，且 AC＝4，PA= √2，则： ①线段 PB＝ ，PC＝ ． ②猜想：PA2，PB2，PQ2 三者之间的数量关系为 ． （2）如图②，若点 P在 AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． （3）若动点 P满足 = ，求 的值．（提示：请你利用备用图探求）