高一数学第一次月考卷01（新高考地区专用，集合与逻辑+不等式）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的取值范围为 . 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 14．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 17．（15分） 已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 18．（17分） 已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，又，∴． 故选：D. 2．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据给出在上定义运算， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 3．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 4．对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 5．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 6．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 7．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 两边同时乘以“”得：， 所以， 当且仅当时等号成立，令， 所以，解得或， 因为，所以，即， 故选：B. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于A，假设都不大于1，即，，则与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A正确； 对于B， “任意，则”的否定为“存在，则”，B正确； 对于C，则，则，，则成立，满足充分性，C错误； 对于D，当时，可能为零，当时，一定不等于零，则“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：ABD. 10．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A，若，则，两边同时除以，所以，A错误； 对B，由可得，B正确； 对C，因为，所以，即，C正确； 对D，由可得，，所以，D正确．故选：BCD. 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 14．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为；............................6分 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为.............................13分 16．（15分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 【详解】设A，，，的体积分别为，，，，则， 甲从A，，，中任选2个，有，共6种可能，............................4分 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券；..........................7分 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券；............................10分 若甲先取，则， 即，即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券； 综上所述：甲必胜的方案：甲选.............................15分 17．（15分） 已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；............................7分 （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为.............................15分 18．（17分） 已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，.............................6分 （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即，解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为.............................11分 （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为...........................17分 19．（17分） 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【解析】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集；-------------------------------------------3分 （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，.-------------------------------------------8分 （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集，-------------------------------------------11分 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，-------------------------------------------13分 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足，-------------------------------------------16分 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且的n的最大值为10.-------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知全集 ZU  ，集合  Z 3 3A x x x    或 ，  0,3B  ，则  U BA   （ ） A．  1,2 B． 1,2,3 C． 0,1,3 D． 1,2 【答案】D 【详解】由已知可得  2, 1,0,1, 2,3U A   ，又  0,3B  ，∴    1,2U A B  ． 故选：D. 2．在R 上定义运算“ ”： 2a b ab a b   ，则满足 ) 0( 2x x   的实数 x的取值范围是（ ） A． (0,2) B． ( 2,1) C． ( , 2) (1, )   D． ( 1, 2) 【答案】B 【详解】根据给出在𝑅上定义运算 2( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2)( 1)           x x x x x x x x x x ， 由 ) 0( 2x x   得 ( 2)( 1) 0x x   ，解之得 2< <1x ， 故该不等式的解集是 ( 2,1) ． 故选：B 3．若两个正实数 ,x y满足4x y xy  ，且存在这样的 ,x y使不等式 2 3 4 y x m m   有解，则实数m的取值范 围是（ ） A．  1,4 B．  4,1 C．    , 4 1,   D．    , 3 0,    【答案】C 【详解】由4x y xy  ， , 0x y  ，可得 4 1 1 y x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以 4 1 4 4 y y x x y x              4 4 2 2 2 4 4 4 x y x y y x y x        ， 当且仅当 4 4 x y y x  ，即 4 8y x  时等号成立． 所以   2 23 4, 3 4 4 1 0m m m m m m        ，解得 4m   或 1m  ， 所以实数m的取值范围是    , 4 1,     ． 故选：C． 4．对于 x R，用 x 表示不大于 x的最大整数，例如： π 3 ， 2.1 3   ，则“   x y ”是“ x y ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当 x y 时，如 3.2x  ， 3.1y  ，不能得到   x y ， 由   x y ，则   x y y  ，又  x x ，所以一定能得到 x y ， 所以“   x y ”是“ x y ”成立的充分不必要条件. 故选：A . 5．已知全集为 U，集合M，N满足M N U ，则下列运算结果为 U的是（ ）． A．M N B．     U UN M  C．   UM N  D．   UN M  【答案】D 【详解】如图， 因为M N U ，所以M N N U  ，故 A 错误； 因为      U U U UN M M N M U        ，故 B 错误； 因为M N U ，所以  UM N U  ，故 C 错误； 因为M N U ，所以  UN M U  ，故 D 正确. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：D 6．关于 x的一元二次方程 2 0x x m   有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． 1 2 m  B． 1 4 m  C． 1 2 m   D． 1 4 m  【答案】A 【详解】因为一元二次方程 2 0x x m   有实根， 所以 1 4 0m    ，解得 1 4 m  . 又 1 ( , ] 4  是 1 ( , ) 2  的真子集， 所以“ 1 ( , ) 2  ”是“ 1 ( , ] 4  ”的必要不充分条件. 故选：A 7．不等式 1 1 ax x b    的解集为 1x x   或 4x  ，则 0 1 x a bx    的解集为（ ） A． 1 6 4 x x          B． 1 1x x   C． 1 6 4 x x          D． 1 1 4 x x         【答案】A 【详解】不等式 1 1 ax x b    可转化为    1 1 0a x b x b       ， 其解集为 1x x   或 4x ， 所以 1a  ，且方程   1 0ax x b x b     的两个根为 1 1x   ， 2 4x  ， 则 1 1 0 4 0 a b b         或 4 4 1 0 1 0 a b b        ，解得 6 4 a b     或 1 1 a b    （舍去）， 即有 6 0 4 1 x x     ，即   6 4 1 0 4 1 0 x x x          ，解得 1 6 4 x    . 所以不等式的解集为 1 6 4 x x          . 故选：A. 8．已知 1 4 8( , 0)x y x y x y      ，则 x y 的最小值为（ ） A．5 3 B．9 C．4 26 D．10 【答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】 1 4 1 4 8 8x y x y x y x y          ， 两边同时乘以“ x y ”得： 1 4 ( 8)( ) ( )( )x y x y x y x y       ， 所以 1 4 4 ( 8)( ) ( )( ) 5 9 y x x y x y x y x y x y           ， 当且仅当 2y x 时等号成立，令 t x y  ， 所以 ( 8) 9t t   ，解得 1t   或 9t  ， 因为 0x y  ，所以 9x y  ，即 min( ) 9x y  ， 故选：B. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下面命题正确的是（ ） A．若 , Rx y 且 2x y  ，则 x，y至少有一个大于 1 B．“任意 1x  ，则 ² 1x  ”的否定是“存在 1x  ，则 2 1x  ” C．设 , Rx y ，则“ 2x  且 2y  ”是 ² ² 4x y  的必要而不充分条件 D．设 , Ra b ，则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于 A，假设 ,x y都不大于 1，即 1x  ， 1y  ，则 2x y  与已知矛盾，假设是错的，原命题为真 命题，A 正确； 对于 B， “任意 1x  ，则 2 1x  ”的否定为“存在 1x  ，则 2 1x  ”，B 正确； 对于 C， 2x  则 2 4x  ， 2y  则 2 4y  ， 2 2 8x y  ，则 2 2 4x y  成立，满足充分性，C 错误； 对于 D，当 0a  时，ab可能为零，当 0ab  时，a一定不等于零，则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件， D 正确. 故选：ABD. 10．若 0a b  ，则下列不等式成立的是（ ） A． b a a b  B． 2ab b C． 1 1 b b a a    D． 1 1 a b b a    【答案】BCD 【解析】对 A，若 0a b  ，则 2 2a b ，两边同时除以ab，所以  a b b a ，A 错误； 对 B，由 0a b  可得 2ab b ，B 正确； 对 C，因为 ( 1) ( 1) 0a b b a a b      ，所以 ( 1) ( 1) 0a b b a    ，即 1 1 b b a a    ，C 正确； 对 D，由 0a b  可得， 1 1 0 b a   ，所以 1 1 a b b a    ，D 正确．故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 11．已知关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   的解集为M ，则下列说法正确的是（ ） A．若M ，则 0a  且 2 4 0b ac  B．若 a b c a b c     ，则关于 x的不等式 2 0a x b x c     的解集也为M C．若 { | 1 2}M x x    ，则关于 x的不等式 2 1( ) 1 2( )a x b x c ax     的解集为 { | 0,N x x  或 3}x  D．若 0 0,{ |M x x x x  为常数}，且a b ，则 3 4a b c b a    的最小值为5 2 5 【答案】ACD 【详解】A 选项，若M ，即一元二次不等式 2 0ax bx c   无解， 则一元二次不等式 2 0ax bx c   恒成立，  0a  且 2 4 0b ac  ，故 A 正确； B 选项，令 a b c t a b c      （ 0t  ），则 a a t   、 b b t   、 c c t   ， ∴ 2 0a x b x c     可化为 2 1 ( ) 0ax bx c t    ， 当 0t  时， 2 1 ( ) 0ax bx c t    可化为 2 0ax bx c   ，其解集不等于M ，故 B 错误； C 选项，若 { | 1 2}M x x    ， 则 0a  ，且 1 和2是一元二次方程 2 0ax bx c   的两根， 1 2 b a     ，且 1 2 c a    ， b a   ， 2c a  ， 关于 x的不等式 2 1( ) 1 2( )a x b x c ax     可化为 2( 1) ( 1) 2 2a x a x a ax     ， 可化为 2( 3 ) 0a x x  ， 0a  ， 2 3 0x x   ，解得 0x  或 3x  ， 即不等式 2 1( ) 1 2( )a x b x c ax     的解集为 { | 0,N x x  或 3}x  ，故 C 正确； D 选项， 0 0| ,{M x x x x  为常数}， 0a  且 2 4 0b ac  ， 2 33 4 b a ba b c a b a b a        ， 0b a  ， 0b a   ，令 0b a t   ，则b a t  ， 2 2( ) 3 3( ) 5 5 5 2 5 2 5 5 b a t a b a a t a t a ta a b a t t a t a                  ， 当且仅当 5t a ，则  3 5(1 5) , 2 a b a c     ，且a为正数时，等号成立， 所以 3 4a b c b a    的最小值为5 2 5 ，故 D 正确. 故选：ACD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知1 4a b   ， 1 2a b    ，则4 2a b 的取值范围为 . 【答案】 2,10 【详解】解：设        4 2a b x a b y a b x y a x y b         ， 所以 4 2 x y x y       ，解得 1 3 x y    ， 因为1 4a b   ， 1 2a b    ， 则  3 3 6a b    ， 因此， 2 4 2 10a b    . 故答案为： 2,10 . 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 【答案】   6, 2 3,4  【详解】由   2 4 5 5 1 0x x x x      ，得 1x   或 5x  ， 所以     22 2 5 5 2 5 0x k x k x x k       的解集与{ 1x x  ∣ 或 5}x  的交集中存在整数解，且只有一个整 数解. 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为 5| 2 x x k        ，此时 2 6k    ，即 6 2k   ，满足要求； 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为，此时不满足题设； 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为 5 2 x k x          ，此时 4 3k     ，即3 4k  ，满足要求. 综上， k的取值范围为   6, 2 3,4  . 故答案为：   6, 2 3,4  14．定义集合 { | }P x a x b   的“长度”是b a ，其中 a，bR．已如集合 1 { | } 2 M x m x m    ， 3 { | } 5 N x n x n    ，且M，N都是集合{ |1 2}x x  的子集，则集合M N 的“长度”的最小值是 ；若 6 5 m  ， 集合M N 的“长度”大于 3 5 ，则 n的取值范围是 . 【答案】 1 10 / 0.1 8 17 9 , , 2 5 10 5          原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】集合 1 { | } 2 M x m x m    ， 3 { | } 5 N x n x n    ，且M，N都是集合{ |1 2}x x  的子集， 由 1 1 2 2 m m      ，可得 3 1 2 m  ，由 3 1 5 2 n n       ，可得 8 2 5 n  ． 要使M N 的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立. 当 1m  ， 2n  ， 7 3 5 2 M N x x        ，“长度”为 3 7 1 2 5 10   ， 当 3 2 m  ， 8 5 n  ， 3 8 2 5 M N x x         ，“长度”为 8 3 1 5 2 10   ， 故集合M N 的“长度”的最小值是 1 10 ； 若 6 5 m  ， 6 17 5 10 M x x       ， 要使集合M N 的“长度”大于 3 5 ，故 3 17 3 5 10 5 n    或 6 3 , 5 5 n   即 17 10 n  或 9 , 5 n  又 8 2 5 n  ，故 8 17 9 , ,2 5 10 5 n           . 故答案为： 1 10 ； 8 17 9 , ,2 5 10 5          . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B   ，求实数m的取值范围； (2)设命题 p： x A ；命题q： x B ，若命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意可知 { | 2 1 5} { | 1 6}A x x x x         ， 又 A B   ，当B 时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ， 当B  时， 1 2 1m m   ， 1 6m   或2 1 1m    ，解得 5m  ， 综上所述，实数m的取值范围为    , 2 5,    ；............................6 分 （2）∵ 命题 p是命题q的必要不充分条件，∴ 集合 B是集合A 的真子集， 当B 时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ， 当B  时， 1 2 1 1 1 2 1 6 m m m m           （等号不能同时成立），解得 7 2 2 m  ， 综上所述，实数m的取值范围为 7 , 2     .............................13 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 16．（15 分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在 A B C D､ ､ ､ 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者 为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知 A B､ 的底面积均为 2x ，高分别为 ;x y C D､ ､ 的底面积均为 2y ， 高分别为 (x y､ 其中 x y ）.在未能确定 x与 y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两 个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 【详解】设 A， B，C，D的体积分别为 AV ， BV ， CV ， DV ，则 3 2 2 3, , ,   A B C DV x V x y V xy V y ， 甲从 A， B，C，D中任选 2 个，有 , , , , ,AB AC AD BC BD CD，共 6 种可能，............................4 分 当 x y 时，则 3 2 2 3x x y xy y   ，即 A B C DV V V V   ， 则 A B C DV V V V   ， A C B DV V V V   ，即甲取 ,BD CD均不能够稳操胜券；..........................7 分 当 x y 时，则 3 2 2 3y y x yx x   ，即 D C B AV V V V   ， 则   D C B AV V V V ，  D B C AV V V V ，即甲取 ,AC AB均不能够稳操胜券；............................10 分 若甲先取 AD，则      3 3 2 2 2( ) ( ) 0          A D B CV V V V x y xy x y x y x y ， 即 A D B CV V V V   ，即甲先取 AD能够稳操胜券，选BC不能够稳操胜券； 综上所述：甲必胜的方案：甲选 AD .............................15 分 17．（15 分） 已知实数a、b满足： 2 29 4 10a b ab   . (1)求ab和3a b 的最大值； (2)求 2 29a b 的最小值和最大值. 【详解】（1）∵ 2 29 4 10a b ab   ，∴ 2 29 10 4a b ab   ， ∵ 2 29 6a b ab  ，∴ 10 4 6ab ab  ，∴ 1ab  ， 当且仅当 3 3 a  、 3b  或 3 3 a   、 3b   时等号成立，∴ ab的最大值为1， ∵ 2 29 4 10a b ab   ，∴ 2(3 ) 10 2a b ab   ， ∵ 2 22 2 3 (3 )2 3 ( ) 3 3 2 6 a b a b ab a b         ， ∴ 2 2 (3 )(3 ) 10 6 a b a b     ，∴ 2(3 ) 12a b  ， ∴ 3 2 3a b  ，当且仅当 3 3 a  、 3b  时等号成立，∴ 3a b 的最大值为2 3；............................7 分 （2）∵ 2 29 4 10a b ab   ，∴ 2 210 9 4 a b ab    ， ∵ 2 29 6a b ab  ，∴ 2 2 2 2 10 99 6 4 a b a b      ，即 2 29 6a b  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 当且仅当 3 3 a  、 3b  或 3 3 a   、 3b   时等号成立，∴ 2 29a b 的最小值为6， 又 2 29 6a b ab   ，∴ 2 2 2 2 10 99 6 4 a b a b       ，即 2 29 30a b  ， 当且仅当 15 3 a  、 15b   或 15 3 a   、 15b  时等号成立， ∴ 2 29a b 的最大值为30 .............................15 分 18．（17 分） 已知函数    21 1 1y m x m x m      ． (1)若不等式    21 1 1 1m x m x m      的解集为R ，求m的取值范围； (2)解关于 x的不等式   21 2 1 0m x mx m     ； (3)若不等式    21 1 1 0m x m x m      对一切 1 1 2 2 x x x          恒成立，求m的取值范围． 【详解】（1）由题意， 当 1 0m  , 即 1m   时, 2 2 1x   , 解集不为 R , 不合题意; 当 1 0m  , 即 1m   时, 2( 1) ( 1) 2 0m x m x m      的解集为 R , 2 1 0 Δ ( 1) 4( 1)( 2) 0 m m m m          ，即 2 1 3 2 9 0 m m m       故 1m   时, 1 2 7 3 m   . 综上， 1 2 7 3 m   .............................6 分 （2）由题意得, 在 2( 1) 2 1 0m x mx m     , 即 [( 1) ( 1)]( 1) 0m x m x     , 当 1 0m  , 即 1m   时, 解集为  1x x  ; 当 1 0m  , 即 1m   时, 1 ( 1) 0 1 m x x m       , 即 1 2 1 1 1 1 m m m       ，解集为 1 1 1 m x x x m       或 ； 当 1 0 m , 即 1m   时, 1 ( 1) 0 1 m x x m       , 1 2 1 1, 1 1 m m m         解集为 1 1 1 m x x m       . 综上，当 1m   时, 解集为 1 1 1 m x x m       ; 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 当 1m   时, 解集为  1x x  ; 当 1m   时, 解集为 1 1 1 m x x x m       或 .............................11 分 （3）由题意， 2( 1) ( 1) 1 0m x m x m      , 即  2 21 1m x x x x      , 2 1 0x x   恒成立, ∴ 2 2 2 1 2(1 ) 1 1 1 x x x m x x x x             , 设 1 x t  , 则 1 3 , 1 2 2 t x t    2 2 2 1 1 11 (1 ) (1 ) 1 1 1 x t t x x t t t t t t                , 1 2t t   , 当且仅当 1t  时取等号, 2 1 1 1 x x x      , 当且仅当 0x  时取等号,  当 0x  时, 2 2 max 1 1 1 x x x x         , 1m  ， ∴ m的取值范围为 1, ...........................17 分 19．（17 分） 已知   1, 2, , 3nS n n  ，   1 2, , , 2kA a a a k  是 nS 的子集，定义集合  * ,i j i j i jA a a a a A a a   且 ， 若  * nA n S ，则称集合 A是 nS 的恰当子集．用 X 表示有限集合 X的元素个数． （1）若 5n  ，  1,2,3,5A  ，求 *A 并判断集合 A是否为 5S 的恰当子集； （2）已知   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，求 a，b的值并说明理由； （3）若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ，求 n的最大值． 【解析】（1）若 5n  ，有  5 1,2,3,4,5S  ，由  1,2,3,5A  ，则  * 1,2,3,4A  ， 满足   5* 5A S ，集合 A是 5S 的恰当子集；-------------------------------------------3 分 （2）   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，则  * 1,2,3,4,5,6A  ， *7 1 6 A   ，由 *5 A 则7 5a  或 1 5b  ， 7 5a  时， 2a  ，此时 5b  ，  1,2,5,7A  ，满足题意； 1 5b  时， 6b  ，此时 3a  ，  1,3,6,7A  ，满足题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 2a  ， 5b  或 3a  ， 6b  .-------------------------------------------8 分 （3）若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ， 当 10n  时，  1,2,3,7,10A  ，有  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9A  ，满足   0* 110A S ， 所以  1,2,3,7,10A  是 10S 的恰当子集，-------------------------------------------11 分 当 11n  时，若存在 A是 11S 的恰当子集，并且 5A  ，则需满足  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ，由 *10 A ，则 有1 A 且11 A ；由 *9 A ，则有2 A 或10 A ，-------------------------------------------13 分 2 A 时，设   1,2, , ,11 3 10A a b a b    ，经检验没有这样的 ,a b满足  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ； 当10 A 时，设   1, , ,10,11 2 9A a b a b    ，经检验没有这样的 ,a b满足  * 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A  ， -------------------------------------------16 分 因此不存在 A是 11S 的恰当子集，并且 5A  ， 所以存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  的 n的最大值为 10.-------------------------------------------17 分 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A D A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为；............................6分 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为.............................13分 16．（15分） 【详解】设A，，，的体积分别为，，，，则， 甲从A，，，中任选2个，有，共6种可能，............................4分 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券；..........................7分 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券；............................10分 若甲先取，则， 即，即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券； 综上所述：甲必胜的方案：甲选.............................15分 17．（15分） 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；............................7分 （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为.............................15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，.............................6分 （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即，解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为.............................11分 （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为...........................17分 19．（17分） 【解析】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集；-------------------------------------------3分 （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，.-------------------------------------------8分 （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集，-------------------------------------------11分 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，-------------------------------------------13分 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足，-------------------------------------------16分 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且的n的最大值为10.-------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题正确的是（    ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B．“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围为 . 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 14．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 17．（15分） 已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 18．（17分） 已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知全集 ZU  ，集合  Z 3 3A x x x    或 ，  0,3B  ，则  U BA   （ ） A．  1,2 B． 1,2,3 C． 0,1,3 D． 1,2 2．在R 上定义运算“ ”： 2a b ab a b   ，则满足 ) 0( 2x x   的实数 x的取值范围是（ ） A． (0,2) B． ( 2,1) C． ( , 2) (1, )   D． ( 1,2) 3．若两个正实数 ,x y满足4x y xy  ，且存在这样的 ,x y使不等式 2 3 4 y x m m   有解，则实数m的取值 范围是（ ） A．  1,4 B．  4,1 C．    , 4 1,   D．    , 3 0,    4．对于 x R，用 x 表示不大于 x的最大整数，例如： π 3 ， 2.1 3   ，则“   x y ”是“ x y ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知全集为 U，集合M，N满足M  N U ，则下列运算结果为 U的是（ ）． A．M N B．     U UN M  C．   UM N  D．   UN M  6．关于 x的一元二次方程 2 0x x m   有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． 1 2 m  B． 1 4 m  C． 1 2 m   D． 1 4 m  7．不等式 1 1 ax x b    的解集为 1x x   或 4x  ，则 0 1 x a bx    的解集为（ ） A． 1 6 4 x x          B． 1 1x x   C． 1 6 4 x x          D． 1 1 4 x x         8．已知 1 4 8( , 0)x y x y x y      ，则 x y 的最小值为（ ） A．5 3 B．9 C．4 26 D．10 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下面命题正确的是（ ） A．若 , Rx y 且 2x y  ，则 x，y至少有一个大于 1 B．“任意 1x  ，则 ² 1x  ”的否定是“存在 1x  ，则 2 1x  ” C．设 , Rx y ，则“ 2x  且 2y  ”是 ² ² 4x y  的必要而不充分条件 D．设 , Ra b ，则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 10．若 0a b  ，则下列不等式成立的是（ ） A． b a a b  B． 2ab b C． 1 1 b b a a    D． 1 1 a b b a    11．已知关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   的解集为M ，则下列说法正确的是（ ） A．若M ，则 0a  且 2 4 0b ac  B．若 a b c a b c     ，则关于 x的不等式 2 0a x b x c     的解集也为M C．若 { | 1 2}M x x    ，则关于 x的不等式 2 1( ) 1 2( )a x b x c ax     的解集为 { | 0,N x x  或 3}x  D．若 0 0,{ |M x x x x  为常数}，且a b ，则 3 4a b c b a    的最小值为5 2 5 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知1 4a b   ， 1 2a b    ，则4 2a b 的取值范围为 . 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 14．定义集合 { | }P x a x b   的“长度”是b a ，其中 a，bR．已如集合 1 { | } 2 M x m x m    ， 3 { | } 5 N x n x n    ，且M，N都是集合{ |1 2}x x  的子集，则集合M N 的“长度”的最小值是 ；若 6 5 m  ， 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 集合M N 的“长度”大于 3 5 ，则 n的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B  ，求实数m的取值范围； (2)设命题 p： x A ；命题 q： x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（15 分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在 A B C D､ ､ ､ 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多 者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知 A B､ 的底面积均为 2x ，高分别为 ;x y C D､ ､ 的底面积均为 2y ，高分别为 (x y､ 其中 x y ）.在未能确定 x与 y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲 取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 17．（15 分） 已知实数a、b满足： 2 29 4 10a b ab   . (1)求ab和3a b 的最大值； (2)求 2 29a b 的最小值和最大值. 18．（17 分） 已知函数    21 1 1y m x m x m      ． (1)若不等式    21 1 1 1m x m x m      的解集为R ，求m的取值范围； (2)解关于 x的不等式   21 2 1 0m x mx m     ； (3)若不等式    21 1 1 0m x m x m      对一切 1 1 2 2 x x x          恒成立，求m的取值范围． 19．（17 分） 已知   1,2, , 3nS n n  ，   1 2, , , 2kA a a a k  是 nS 的子集，定义集合  * ,i j i j i jA a a a a A a a   且 ， 若  * nA n S ，则称集合 A是 nS 的恰当子集．用 X 表示有限集合 X的元素个数． （1）若 5n  ，  1, 2,3,5A  ，求 *A 并判断集合 A是否为 5S 的恰当子集； （2）已知   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，求 a，b的值并说明理由； （3）若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ，求 n的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知全集 ZU  ，集合  Z 3 3A x x x    或 ，  0,3B  ，则  U BA   （ ） A．  1,2 B． 1,2,3 C． 0,1,3 D． 1,2 2．在R 上定义运算“ ”： 2a b ab a b   ，则满足 ) 0( 2x x   的实数 x的取值范围是（ ） A． (0,2) B． ( 2,1) C． ( , 2) (1, )   D． ( 1, 2) 3．若两个正实数 ,x y满足4x y xy  ，且存在这样的 ,x y使不等式 2 3 4 y x m m   有解，则实数m的取值范 围是（ ） A．  1,4 B．  4,1 C．    , 4 1,   D．    , 3 0,    4．对于 x R，用 x 表示不大于 x的最大整数，例如： π 3 ， 2.1 3   ，则“   x y ”是“ x y ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知全集为 U，集合M，N满足M N U ，则下列运算结果为 U的是（ ）． A．M N B．     U UN M  C．   UM N  D．   UN M  6．关于 x的一元二次方程 2 0x x m   有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． 1 2 m  B． 1 4 m  C． 1 2 m   D． 1 4 m  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．不等式 1 1 ax x b    的解集为 1x x   或 4x  ，则 0 1 x a bx    的解集为（ ） A． 1 6 4 x x          B． 1 1x x   C． 1 6 4 x x          D． 1 1 4 x x         8．已知 1 4 8( , 0)x y x y x y      ，则 x y 的最小值为（ ） A．5 3 B．9 C．4 26 D．10 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下面命题正确的是（ ） A．若 , Rx y 且 2x y  ，则 x，y至少有一个大于 1 B．“任意 1x  ，则 ² 1x  ”的否定是“存在 1x  ，则 2 1x  ” C．设 , Rx y ，则“ 2x  且 2y  ”是 ² ² 4x y  的必要而不充分条件 D．设 , Ra b ，则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 10．若 0a b  ，则下列不等式成立的是（ ） A． b a a b  B． 2ab b C． 1 1 b b a a    D． 1 1 a b b a    11．已知关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   的解集为M ，则下列说法正确的是（ ） A．若M ，则 0a  且 2 4 0b ac  B．若 a b c a b c     ，则关于 x的不等式 2 0a x b x c     的解集也为M C．若 { | 1 2}M x x    ，则关于 x的不等式 2 1( ) 1 2( )a x b x c ax     的解集为 { | 0,N x x  或 3}x  D．若 0 0,{ |M x x x x  为常数}，且a b ，则 3 4a b c b a    的最小值为5 2 5 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知1 4a b   ， 1 2a b    ，则4 2a b 的取值范围为 . 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 14．定义集合 { | }P x a x b   的“长度”是b a ，其中 a，bR．已如集合 1 { | } 2 M x m x m    ， 3 { | } 5 N x n x n    ，且M，N都是集合{ |1 2}x x  的子集，则集合M N 的“长度”的最小值是 ；若 6 5 m  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 集合M N 的“长度”大于 3 5 ，则 n的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B   ，求实数m的取值范围； (2)设命题 p： x A ；命题q： x B ，若命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（15 分） 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在 A B C D､ ､ ､ 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者 为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知 A B､ 的底面积均为 2x ，高分别为 ;x y C D､ ､ 的底面积均为 2y ， 高分别为 (x y､ 其中 x y ）.在未能确定 x与 y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两 个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 17．（15 分） 已知实数a、b满足： 2 29 4 10a b ab   . (1)求ab和3a b 的最大值； (2)求 2 29a b 的最小值和最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（17 分） 已知函数    21 1 1y m x m x m      ． (1)若不等式    21 1 1 1m x m x m      的解集为R ，求m的取值范围； (2)解关于 x的不等式   21 2 1 0m x mx m     ； (3)若不等式    21 1 1 0m x m x m      对一切 1 1 2 2 x x x          恒成立，求m的取值范围． 19．（17 分） 已知   1, 2, , 3nS n n  ，   1 2, , , 2kA a a a k  是 nS 的子集，定义集合  * ,i j i j i jA a a a a A a a   且 ， 若  * nA n S ，则称集合 A是 nS 的恰当子集．用 X 表示有限集合 X的元素个数． （1）若 5n  ，  1,2,3,5A  ，求 *A 并判断集合 A是否为 5S 的恰当子集； （2）已知   1, , ,7A a b a b  是 7S 的恰当子集，求 a，b的值并说明理由； （3）若存在 A是 nS 的恰当子集，并且 5A  ，求 n的最大值．