高二数学第一次月考卷02（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为，故选：C. 3．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为.故选：C. 4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为.故选：B. 5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【解析】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为.故选：B． 6．若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为直线与直线平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以，故选：D 7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A，，所以， 根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项C，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知, 故不在平面内；故选：A 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，，故，， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．故选：ACD． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】AD 【解析】对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确； 对于B项：若对空间中任意一点，有， 则，化简得：， 由空间向量基本定理可知，，，四点不共面，故B项错误； 对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面，而， 所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误； 对于D项：若空间四个点，，，， ， 则，即， 所以共线，又因为有公共点，所以，，三点共线，故D项正确.故选：AD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【解析】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】 【解析】由投影向量的定义可知，. 14．已知，则的最小值为 【答案】 【解析】， 设在直线上，点，， 则，， 则, 如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即， 故， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【解析】（1）由菱形的性质可知，则...................................2分 所以边所在直线的方程为，即；.............................................4分 边所在直线的方程为，即............................................6分 （2）线段的中点为，............................................................8分 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，..........................10分 所以对角线所在直线的方程为，即............................................13分 16．（15分）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【解析】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，............................................................4分 则．............................................................7分 （2）因为，则，解得，所以，........................11分 故．............................................................15分 17．（15分）设直线的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程． 【详解】（1）由得， 则，解得， ………….(2分) ∴不论a为何值，直线l必过一定点； ………….(3分) （2）由， 当时，，当时，， ………….(5分) 又由，得， ………….(6分) ， 当且仅当，即时，取等号． ………….(9分) ，， ∴直线方程为． ………….(10分) （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数， 即，均为正整数，而a也为正整数， ………….(12分) ，， ………….(14分) ∴直线l的方程为． ………….(15分) 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴， ∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．....................................................4分 （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，，..............................6分 ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴............................................................8分 （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为，............................................................10分 ∴， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为.................12分 （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则，............................................................14分 由（2）知平面BDM的一个法向量为， ， ∴点Q到平面BDM的距离是，............................................................16分 ∴，∴．............................................................17分 19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 【解析】（1）由，， 知，， 所以，所以；...................4分 （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，............................................................6分 ①， .............................................................10分 ②因为，所以， 则，.................................12分 ∵， ∴，........................15分 ， 所以与的夹角的余弦值为............................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 02 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知点    1,0 , 2, 3A B ，则直线 AB的斜率是（ ） A． 3 B． 3 C． 3 3 D． 3 3  【答案】A 【解析】由题意可知直线 AB的斜率为 3 0 3 2 1    .故选：A 2．在空间直角坐标系Oxyz中，点  3, 1, 4  关于平面Oxy的对称点为（ ） A．  3, 1, 4   B．  3,1, 4  C．  3, 1,4 D．  3,1, 4 【答案】C 【解析】根据点关于平面Oxy对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点  3, 1, 4  关于平面Oxy的对称点为  3, 1,4 ，故选：C. 3．过原点且与直线2 1 0x y   垂直的直线方程为（ ） A． 2y x B． 2y x  C． 1 2 y x D． 1 2 y x  【答案】C 【解析】直线2 1 0x y   的斜率为 2 ，与直线2 1 0x y   垂直的直线斜率为 1 2 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 又直线过原点，故其方程为 1 2 y x .故选：C. 4．正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为 AB中点，则直线 1AE， 1C D所成角的余弦值为（ ） A． 15 15 B． 10 10 C． 1 2 D． 3 3 【答案】B 【解析】如图，以 D为坐标原点， 1, ,DA DC DD 分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2，则        1 12,0,2 , 2,1,0 , 0,0,0 , 0, 2,2A E D C ， 可得    1 10,1, 2 , 0,2, 2A E DC     ， 则 1 1 1 1 1 1 2 10 cos , 105 2 2 A E DC A E DC AE DC             ， 所以直线 1AE， 1C D所成角的余弦值为 10 10 .故选：B. 5．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 14, 5, 90AB AD AA BAD     ， 1 1 60BAA DAA     ，则 1AC 的长为（ ） A． 85 B． 97 C．85 D．97 【答案】B 【解析】依题意可得 2 16AB   ， 2 16AD   ， 2 1 25AA   ， 4 4 cos90 0AB AD        ， 1 4 5 cos60 10AB AA        ， 1 4 5 cos60 10AD AA        ．  1 1AC AB AD AA       ，  2 2 2 2 1 1 1 12 2 2AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA                   16 16 25 2 0 2 10 2 10 97          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3  1 97AC   ，即 1AC 的长为 97 .故选：B． 6．若两平行直线  2 0 0x y m m    与 3 0x ny   之间的距离是 5 ，则m n （ ） A． 1 B． 10 C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为直线  2 0 0x y m m    与直线 3 0x ny   平行， 所以有 1 3 1 2 n m     ，所以有 2, 3n m    ， 又因为这两条平行线间距离为 5 ， 所以有 2 2 3 5 3 5 2 1 2 m m m         ，或 8 0m    舍去， 所以 0m n  ，故选：D 7．已知点  2, 6,2A  在平面 内，  3,1, 2n 是平面 的一个法向量，则下列点 P中，在平面 内的是（ ） A．  1, 1,1P  B． 31,3, 2 P       C． 3 1, 3, 2 P      D． 3 1, 3, 4 P        【答案】A 【解析】对于选项 A，  1,5, 1AP     ，所以 1 3 5 1 1 2 0AP n           ， 根据线面垂直的性质可知 AP  ,故  1, 1,1P  在平面 内； 对于选项 B， 1 1,9, 2 AP         ，则 1 1 3 9 1 2 0 2 AP n           ，  2, 6,2A  在平面 内，根据线面垂直的性质可知 AP  ,故 31,3, 2 P       不在平面 内； 对于选项 C， 1 1,3, 2 AP         ，则 1 1 3 3 1 2 0 2 AP n           ，  2, 6,2A  在平面 内，根据线面垂直的性质可知 AP  ,故 31, 3, 2 P      不在平面 内； 对于选项 D， 11 3,3, 4 AP         ，则 11 3 3 3 1 2 0 4 AP n           ，  2, 6,2A  在平面 内，根据线面垂直的性质可知 AP  , 故 3 1, 3, 4 P        不在平面 内；故选：A 8．在等腰直角三角形 ABC 中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 4，点 P是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点 P 出发经 BC， CA 反射后又回到点 P，若光线 QR 经过△ 𝐴𝐵𝐶的重心，则△ 𝑃𝑄𝑅的周长等于（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． √ B． √ C．4√15 D． √ 【答案】A 【详解】解析：以𝐴为坐标原点，𝐴𝐵所在直线为 x 轴，𝐴𝐶所在直线为𝑦轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则𝐵(4,0)，𝐶(0,4)，𝐴(0,0)， 所以直线𝐵𝐶的方程为𝑥 + 𝑦 − 4 = 0. 设𝑃(𝑡, 0)(0 < 𝑡 < 4)，点𝑃关于直线𝐵𝐶的对称点为𝑃 ，点𝑃关于𝑦轴的对称点为𝑃 ， 易得𝑃 (4,4 − 𝑡)，𝑃 (−𝑡, 0). 易知直线𝑃 𝑃 就是𝑅𝑄所在的直线. 所以直线𝑅𝑄的方程为𝑦 = × (𝑥 + 𝑡). 设△ 𝐴𝐵𝐶的重心为𝐺，则𝐺 , ， 所以 = ⋅ + 𝑡 ，即3𝑡 − 4𝑡 = 0，所以𝑡 = 0（舍去）或𝑡 = ， 所以𝑃 4, ，𝑃 − , 0 . 结合对称关系可知|𝑄𝑃| = |𝑄𝑃 |，|𝑅𝑃| = |𝑅𝑃 |， 所以△ 𝑃𝑄𝑅的周长即线段|𝑃 𝑃 |的长度为： 4 + + − 0 = √ . 故选：A. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．如果 0AB  ， 0BC  ，那么直线 0Ax By C   经过（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】因为 0AB  ，故 0B  ，故直线的斜截式方程为： A C y x B B    ， 因为 0AB  ， 0BC  ，故 0 A B   ， 0 C B   ， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．故选：ACD． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．非零向量a  ，b  ，若 0a b    ，则a b   B．若对空间中任意一点O，有 1 1 1 5 3 2 OP OA OB OC       ，则 P，A ， B，C四点共面 C．设 , ,a b c   是空间中的一组基底，则 , ,a b b c a c        也是空间的一组基底 D．若空间四个点 P，A ， B，C， 1 3 4 4 PC PA PB     ，则A ， B，C三点共线 【答案】AD 【解析】对于 A 项：非零向量 a  ，b  ，若 0a b   ，则a b  ，故 A 项正确； 对于 B 项：若对空间中任意一点O，有 1 1 1 5 3 2 OP OA OB OC       ， 则      1 1 1 1 30 5 3 2 OP OP OA OP OB OP OC             ，化简得： 6 10 15PO PA PB PC       ， 由空间向量基本定理可知 P，A ， B，C四点不共面，故 B 项错误； 对于 C 项：由 , ,a b c  是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，而    a b b c a c          ， 所以向量a b  ，b c   ，a c   共面不能作为基底，故 C 项错误； 对于 D 项：若空间四个点 P，A ，B，C， 1 3 4 4 PC PA PB     ， 则  3 4 PC PA PB PA       ，即 3 4 AC AB   ， 所以 ,AC AB   共线，又因为 ,AC AB   有公共点A ，所以A ，B，C三点共线，故 D 项正确.故选：AD. 11．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为BC的中点，若一点 P在底面 ABCD内（包括边 界）移动，且满足 1 1B P D E ，则（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 A． 1D E与平面 1 1CC D D的夹角的正弦值为 1 3 B． 1A点到 1D E的距离为 4 2 3 C．线段 1B P的长度的最大值为2 2 D．PA  与PE  的数量积的范围是 4 ,1 5     【答案】ABD 【解析】如图，以D为坐标原点， 1, ,DA DC DD 分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系， 则          1 1 12,0,0 , 1,2,0 , 2,0,2 , 2,2,2 , 0,0,2A E A B D ，设    , ,0 , , 0,2P x y x y ， 可得  1 2, 2, 2B P x y     ，  1 1,2, 2D E    ， 若 1 1B P D E ，则  1 1 2 2 2 4 0B P D E x y         ，可得 2 2x y  ， 则 0 2 2 2 0 2 y y       ，解得0 1y  ，即    2 2 , ,0 , 0,1P y y y  . 对于选项 A：可知平面 1 1CC D D的法向量  1,0,0n   ， 则 1 1 1 1 1 cos , 1 3 3 n D E n D E n D E        ， 所以 1D E与平面 1 1CC D D的夹角的正弦值为 1 3 ，故 A 正确； 对于选项 B：因为  1 1 2,0,0D A   ， 所以 1A点到 1D E的距离为 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 3 3 D E D A D A D E                 ，故 B 正确； 对于选项 C：因为    1 2, 2, 2 2 , 2, 2B P x y y y         ， 则   2 22 1 2 36 4 2 4 5 5 5 B P y y y            ， 且  0,1y ，可得当且仅当 1y  时， 1B P  取到最大值3， 所以线段 1B P的长度的最大值为 3，故 C 错误； 对于选项 D：因为  2 , ,0PA y y   ，  2 1, 2 ,0PE y y    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 则     2 2 4 2 2 1 2 5 5 5 PA PE y y y y y               ， 且  0,1y ，可知当 2 5 y  时，PA PE   取到最小值 4 5  ； 当 1y  时，PA PE   取到最大值1； 所以PA  与PE  的数量积的范围是 4 ,1 5     ，故 D 正确；故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知a R ，设直线 1 : 1 0l x ay   ， 2 : 1 0l ax y   ，若 1 2l l// ，则a  . 【答案】 1 【解析】由题意得 2 1 1a a    当 1a  时，直线重合，舍去，故 1a   . 13．已知空间向量  2, 2,1a    ，  3,0,4b   ，向量a  在向量b  上的投影向量坐标为 【答案】 6 8 ,0, 5 5       【解析】由投影向量的定义可知，      2 2 2 , 10 2 6 8 3,0 4 3,0,4 ,0, 5 53 0 4 5 a b b b b                    . 14．已知 1 0x y   ，则  22 2 2+ －2 －2 ＋2＋ －2 ＋x y x y x y 的最小值为 【答案】 2 5 【解析】        x y x y x y x y x y   2 2 2 22 2 2 2+ －2 －2 ＋2＋ －2 ＋ 1 + 1 －2 ＋ ， 设  ,P x y 在直线 1 0x y   上，点  1,1A ，  2,0B ， 则    2 21 + 1PA x y  ，  2 22 +x yPB  ， 则  x y x y x y PA PB 22 2 2+ －2 －2 ＋2＋ －2 ＋ , 如图，A 关于直线的对称点为C，则 PA PB 的最小值即为线段长 BC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 设  1 1,C x y ，则   1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 1 1 x y y x             ，解得 1 1 2 2 x y      ，即  2, 2C   ， 故    2 22 2 2 0 2 5BC        ， 所以  x y x y x y PA PB BC   22 2 2 2 5+ －2 －2 ＋2＋ －2 ＋ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）菱形 ABCD的顶点 ,A C 的坐标分别为    4,7 , 6, 5 ,A C BC  边所在直线过点  4, 1P  . (1)求 ,BC AD边所在直线的方程； (2)求对角线BD所在直线的方程. 【解析】（1）由菱形的性质可知BC∥ AD，则 1 5 2 4 6AD BC CP k k k         ...................................2 分 所以BC边所在直线的方程为  5 2 6y x    ，即2 7 0x y   ；.............................................4 分 AD边所在直线的方程为  7 2 4y x    ，即2 1 0x y   ............................................6 分 （2）线段 AC的中点为   7 5 61,1 , 4 6 5AC E k       ，............................................................8 分 由菱形的几何性质可知，BD AC 且E为BD的中点，则 1 5 6BD AC k k    ，..........................10 分 所以对角线BD所在直线的方程为  51 1 6 y x   ，即5 6 1 0x y   ............................................13 分 16．（15 分）已知空间向量  2, 4, 2a   ，  1,0,2b    ，  , 2, 1c x  . (1)若 / /a c   ，求 c  ； (2)若b c   ，求cos ,a c   的值. 【解析】（1）空间向量  2, 4, 2a   ，  1,0,2b    ，  , 2, 1c x  ， 因为 / /a c   ，所以存在实数 k，使得 c ka   ， 所以 2 2 4 1 2 x k k k       ，解得 1x  ，............................................................4 分 则  22 21 2 1 6c      ．............................................................7 分 （2）因为b c   ，则 0 2 0b c x        ，解得 2x   ，所以  2, 2, 1c    ，........................11 分 故    2 2 2 4 1 2 6 cos , 64 16 4 4 4 1 a c a c a c                      ．............................................................15 分 17．（15 分）设直线𝑙的方程为(𝑎 + 1)𝑥 + 𝑦 − 5 − 2𝑎 = 0(𝑎 ∈ R)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (1)求证：不论 a为何值，直线𝑙必过一定点 P； (2)若直线𝑙分别与 x 轴正半轴，y轴正半轴交于点𝐴(𝑥 , 0)，𝐵(0, 𝑦 )，当△ 𝐴𝑂𝐵面积最小时，求此时的直线 方程； (3)当直线𝑙在两坐标轴上的截距均为正整数且 a也为正整数时，求直线𝑙的方程． 【详解】（1）由(𝑎 + 1)𝑥 + 𝑦 − 5 − 2𝑎 = 0得𝑎(𝑥 − 2) + 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0， 则 𝑥 − 2 = 0 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 ，解得 𝑥 = 2 𝑦 = 3 ， ………….(2 分) ∴ 不论 a 为何值，直线 l必过一定点𝑃(2,3)； ………….(3 分) （2）由(𝑎 + 1)𝑥 + 𝑦 − 5 − 2𝑎 = 0， 当𝑥 = 0时，𝑦 = 5 + 2𝑎，当𝑦 = 0时，𝑥 = ， ………….(5 分) 又由 𝑦 = 5 + 2𝑎 > 0 𝑥 = > 0 ，得𝑎 > −1， ………….(6 分) ∴ 𝑆△ = ⋅ (5 + 2𝑎) ⋅ = 4(𝑎 + 1) + + 12 ≥ 2 4(𝑎 + 1) ⋅ + 12 = 12， 当且仅当4(𝑎 + 1) = ，即𝑎 = 时，取等号． ………….(9 分) ∴ 𝐴(4,0)，𝐵(0,6)， ∴ 直线方程为3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0． ………….(10 分) （3）直线 l 在两坐标轴上的截距均为正整数， 即5 + 2𝑎， 均为正整数，而 a 也为正整数， ………….(12 分) ∵ = 2 + ，∴ 𝑎 = 2， ………….(14 分) ∴ 直线 l 的方程为3𝑥 + 𝑦 − 9 = 0． ………….(15 分) 18．（17 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PDC 平面 ABCD， ,AD DC AB DC ∥ ， 1 1 2 AB CD AD   ， M为棱 PC的中点． (1)证明： / /BM 平面 PAD； (2)若 5, 1PC PD  ， （i）求二面角P DM B  的余弦值； （ii）在线段 PA上是否存在点 Q，使得点 Q到平面 BDM的距离是 2 6 9 ？若存在，求出 PQ的值；若不存 在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【解析】（1）取 PD的中点 N，连接 AN，MN，如图所示：∵M为棱 PC的中点， ∴ 1, 2 MN CD MN CD∥ ， ∵ 1, 2 AB CD AB CD∥ ，∴ ,AB MN AB MN∥ ， ∴四边形 ABMN是平行四边形，∴BM AN∥ ， 又 BM  平面 PAD， AN 平面 PAD，∴ / /BM 平面 PAD．....................................................4 分 （2）∵ 5, 1, 2PC PD CD   ，∴ 2 2 2PC PD CD  ，∴PD DC ， ∵平面PDC 平面 ABCD，平面PDC 平面 ABCD DC ， PD 平面 PDC， ∴PD 平面 ABCD， 又 AD，CD 平面 ABCD，∴PD AD ，而PD CD ， AD DC ，..............................6 分 ∴以点 D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则 (0,0,1), (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0)P D A C ， ∵M为棱 PC的中点， ∴  10,1, , 1,1,0 2 M B       ............................................................8 分 （i）  10,1, , 1,1,0 2 DM DB        ， 设平面 BDM的一个法向量为  , ,n x y z ， 则 1 0 2 0 n DM y z n DB x y              ，令 2z  ，则 1, 1y x   ，∴  1, 1,2n   ， 平面 PDM的一个法向量为  1,0,0DA   ，............................................................10 分 ∴ 1 6 cos , 61 6 n DA n DA n DA         ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 根据图形得二面角P DM B  为钝角，则二面角P DM B  的余弦值为 6 6  .................12 分 （ii）假设在线段 PA上存在点 Q，使得点 Q到平面 BDM的距离是 2 6 9 ， 设 ,0 1PQ PA      ， 则    ,0,1 , 1, 1,1Q BQ         ，............................................................14 分 由（2）知平面 BDM的一个法向量为  1, 1,2n   ，  1 1 2 1 2BQ n             ， ∴点 Q到平面 BDM的距离是 2 2 6 96 BQ n n        ，............................................................16 分 ∴ 2 3   ，∴ 2 2 3 PQ  ．............................................................17 分 19．（17 分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴 不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 60°，我 们将这种坐标系称为“斜 60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 60°坐标系”下向量的斜 60° 坐标： , ,i j k   分别为“斜 60°坐标系”下三条数轴（ x轴、y 轴､ z轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk     ， 则n  与有序实数组  , ,x y z 相对应，称向量n的斜 60°坐标为[ , , ]x y z ，记作 [ , , ]n x y z ． (1)若  1,2,3a  ， [ 1,1, 2]b    ，求 a b  的斜 60°坐标； (2)在平行六面体 1 1ABCD ABC D 中， 12, 3AB AD AA   ， 1 1 60BAD BAA DAA       ，N为线段 D1C1 的中点．如图，以 1, ,AB AD AA    为基底建立“空间斜 60°坐标系”． ①求BN  的斜 60°坐标； ②若  2, 2,0AM    ，求 AM  与BN  夹角的余弦值． 【解析】（1）由  1, 2,3a  ，  1,1,2b    ， 知 2 3a i j k     ， 2b i j k       ， 所以    2 3 2a b i j k i j k             3 5j k   ，所以  0,3,5a b  ；...................4 分 （2）设 i  ， j  ，k  分别为与 AB  ， AD  ， 1AA  同方向的单位向量， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 则 2AB i   ， 2AD j   ， 1 3AA k   ，............................................................6 分 ① 1 1 1 1 2 2 3 2 3BN N ABC CC C A AAD j k i i kB j                         ， [ 1, 2,3]BN    .............................................................10 分 ②因为  2, 2,0AM    ，所以 2 2AM i j     ， 则  2 2 22 2 2 2 4 4 8 4 4 4 2AM i j i j i j i j                     ，.................................12 分 ∵ 2| | (2 3 ) 15j kBN i        ， ∴ 2 2 2 3 ) (2 2 ) 4 6 2 4 6 2 3(AM i j k i j i j iBN k i j k j i j                                   ，........................15 分 3 15 cos 10| | | | 15 2 BN AM A N MN AM B B              ， ， 所以 AM  与BN  的夹角的余弦值为 15 10  ............................................................17 分 学易金卷 精创试 卷 ①R 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷02 参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 2 1 r 6 7 8 A C C B B C A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 10 11 ACD AD ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 13.#0) 12.-1 14.25 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 4-6 .2分 所以BC边所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7-0 ..........4.分.. AD边所在直线的方程为-7--2(x4).即2x+y+1=0..........6分 .10分 ............. 16.(15分) 【解析】(1)空间向量ā-(2.4.-2),5=(-1.0.2),=(x.2,-1), 因为ā//,所以存在实数k,使得=k, =2 所以{2-4 ,解得x三1, -1=-2 _ 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试卷 #R 精品频道·倾力推荐 则-12+2-+(-1){-6. ($2)因为b1,则5=-x+0-2=0,解得x=-2,所以=(-2.2,-1),11分 a-2x2+2x4+(-1)x(-2)6 故cos(,c)= a .....5. 4+16+4x4+4+1 6 17.(15分) 【详解】(1)由(a+1)x+y-5-2a=0得a(x-2)+x+y-5=0. ( x-2-0 (x-2 则{xy-5=0,解得=3 ....... ..不论a为何值,直线/必过一定点P(23); ..... (2)由(a+1)x+y-5-2a=0. 当x=0时,y=5+2a,当y=0时,xa-. ........ (y=5+2a>0 #中{×0 ,得a>-1, ........ $Ao=5+a)·=[4(a+1)++12]>24(a+1)+12= 当且仅当4(a+1)=,即a=时,取等号. ........ .A(40),B(0.6). *.直线方程为3x+2y-12=0. ....1.... (3)直线/在两坐标轴上的截距均为正整数; 即5+2a.均为正整数,而a也为正整数, .....1... .-2+,:a-2: .......... .直线/的方程为3x+y-9=0. .....1.... 18.(17分) 【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示:.M为楼PC的中点 .AB/CD,AB=CD,:.AB/MN,AB=MN, ·.四边形ABMN是平行四边形,..BM/AN. 又BM平面PAD,ANC平面PAD,..BM//平面PAD .4分 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试卷 ①R 精品频道·倾力推荐 $$ ) .PC=.PD=1$CD=2. '$$C^}=PD}+CD..'$PD1D$C$$ .平面PDC1平面ABCD,平面PDCD平面ABCD=DC,PD-平面PDC *PD1平面ABCD. 又AD,CDC平面ABCD,.. PD1AD.而PD1CD,AD1DC..6分 ..以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 如图:则P(0.0.1).D(0.0.0).4(1.0.0).C(0.2.0). ..M为PC的中点, , #(0),010. (1) DM(0..)DB(10)1. 设平面BDM的一个法向量为i=x.y,z); . 则 ,令z=2,则y=-1,x=1,.i=(1.-1.2). .DB-x+y-0 平面PDM的一个法向量为DA=(1.0.0). .10分 .cos<i.DiD4.1# D41#6 .....1... 9 设P0-1PA.0<2<1. 则(2.0.1-),B0=(-1.-1.1-a), 由(2)知平面BDM的一个法向量为i=(1,-1.2) Bn-2-1+1+2(1-)-2-1, B0.n2-2 2、6 6 9 n 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 19.(17分) 【解析】(1)由=[1.2.3],=[-1.1.2], 知ā=7+27+3,6--7+7+2k, 所以+5=(+2 +3 +-7+]+2 =3+5^k,所以+5=03.5 $; ............4分.. (2)设7,7,k分别为与4B,4D,AA同方向的单位向量 则AB-27,AD=27,A4=3; .6分 .BN-[-1.2,3] ②因为AM-[2,-2.0],所以AM=27-27, 则AM=2-27-(27-27)-47+47*-87=4+4-4-2 ·BN-(27+3-)-15. ·BN$AM=(-+2+3)(2-2-4i +6 --4-6k +2--315分 BN:AM|15x2 10 15 所以AM与BN的夹角的余弦值为- 10 ........ 。篇 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 6．若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．1 D．0 7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，设直线，，若，则 . 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 14．已知，则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 16．（15分）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 17．（15分）设直线的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知数列√2，2，√6，2√2，√10，2√3，…，则这个数列的第 25 项为（ ） A．2√13 B．5√2 C．7 D．4√3 2．经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列{𝑎 }中，𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 7，𝑎 = 19，则数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为（ ） A．1012 B．1011 C．2023 D．−2023 4．已知数列{𝑎 }为等比数列，𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和.若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，则 =（ ） A． B． C． D． 5．过点𝑃(1,1)引直线，使𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A．4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 B．𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 C．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 D．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 6．已知    2,3 , 1,2A B  ，若点  ,P x y 在线段 AB上，则 3 y x  的最小值为（ ） A．1 B． 3 5 C． 3- D． 1 2  7．设𝑚 ∈ 𝑅，过定点𝐴的动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0和过定点𝐵的动直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0交于点𝑃(𝑥, 𝑦)， 则|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最大值（ ） A．2√5 B．3√2 C．3 D．6 8．已知正项数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 满足2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，若𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + ，记[𝑚]表示 不超过𝑚的最大整数，则[𝑓(400)] =（ ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 = 𝑎 + 1，𝑆 = −35，则（ ） A．𝑎 = −3 B．𝑆 = 𝑆 C．对任意的𝑛 ∈ 𝑁 ，𝑆 ≥ 𝑆 D．对任意的𝑚 ∈ 𝑁 ，3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 10．设𝑘 ∈ 𝑅，过定点 A的动直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0与过定点 B的动直线𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0交于点 P，则 下列说法正确的有（ ） A．|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = 16 B．△ 𝑃𝐴𝐵面积的最大值为 C． | | + | | ≥ √ D．|𝑃𝐴| + √3|𝑃𝐵|的最大值为2√10 11．已知数列{𝑎 }，{𝑏 }，满足𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1，当𝑛 ≥ 2时，𝑎 ≠ 𝑏 ，则 （ ） A．𝑎 > 8 B．𝑎 + > 𝑎 + C．𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑎 D．(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) ≥ 4 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若直线𝑙 : 𝑎𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0与直线𝑙 : 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 − 𝑎 − 1 = 0平行，则直线𝑙 与𝑙 的距离为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = ，数列{𝑎 }满足𝑎 = 𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则 ∑ 𝑎 = ． 14．已知数列{𝑎 }，其中𝑎 = 1，满足𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1(𝑛 ∈ N∗)，设𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和，当不等 式𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025成立时，正整数 n的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知𝑆 为等差数列{𝑎 }的前𝑛项和，且𝑎 = 11, 𝑆 = 98. (1)求{𝑎 }的通项公式; (2)求𝑆 的最大值. 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．（15 分）已知直线 l经过点  1, 2P  . (1)若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的点斜式方程； (2)设 l的斜率 0,k l 与两坐标轴的交点分别为A 、B，当 AOB 的面积最小时，求 l的斜截式方程. 17．（15 分）已知数列{𝑎 }满足𝑎 = 4，且𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1. (1)证明：{𝑎 − 𝑛}是等比数列，并求{𝑎 }的通项公式； (2)在数列{𝑏 }中，𝑏 = 1，𝑏 = 𝑏 + ( ) ，求{𝑏 }的通项公式； (3)记数列{𝑐 }满足𝑐 = 𝑛𝑏 , 𝑛为奇数 𝑛(𝑎 − 𝑛), 𝑛为偶数 ，求数列{𝑐 }的前2𝑛项和𝑇 . 18．（17 分）如图直线𝑙过点(3，4)，与𝑥轴、𝑦轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，△ 𝐴𝑂𝐵的面积为 24.点𝑃为线 段𝐴𝐵上一动点，且𝑃𝑄//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝑄. （1）求直线𝐴𝐵斜率的大小； （2）若△ 𝐴𝑃𝑄的面积𝑆△ 与四边形𝑂𝑄𝑃𝐵的面积𝑆 满足：𝑆△ = 𝑆 时，请你确定𝑃点在𝐴𝐵上的 位置，并求出线段𝑃𝑄的长； （3）在𝑦轴上是否存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，说明理 由. 19．（17 分）已知{𝑎 }和{𝑏 }是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于{𝑎 }中任意两项𝑎 , 𝑎 (𝑖 > 𝑗)， 在{𝑎 }中都存在一项𝑎 ，使得2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ；②对于{𝑎 }中任意一项𝑎 (𝑛 ≥ 3)，在{𝑎 }中都存在两项 𝑎 , 𝑎 (𝑘 > 𝑙)，使得𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ． (1)若𝑎 = 2𝑛，证明：数列{𝑎 }满足性质①②； (2)若{𝑎 }是单调数列，且满足性质①②，判断{𝑎 }是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列{𝑎 }和{𝑏 }满足（2）的条件，记𝑐 = max{𝑏 − 𝑛𝑎 , 𝑏 − 𝑛𝑎 ,⋅⋅⋅, 𝑏 − 𝑛𝑎 }（𝑛 = 1,2,3,⋅⋅⋅, max{𝑥, 𝑦, 𝑧,⋅⋅ ⋅}表示 x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数 m，当𝑛 ≥ 𝑚时， > 𝑀； （ⅱ）存在正整数m，使得𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列． 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 6．若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．1 D．0 7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，设直线，，若，则 . 13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 14．已知，则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 16．（15分）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 17．（15分）设直线的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知数列√2，2，√6，2√2，√10，2√3，…，则这个数列的第 25 项为（ ） A．2√13 B．5√2 C．7 D．4√3 2．经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列{𝑎 }中，𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 7，𝑎 = 19，则数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为（ ） A．1012 B．1011 C．2023 D．−2023 4．已知数列{𝑎 }为等比数列，𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和.若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，则 =（ ） A． B． C． D． 5．过点𝑃(1,1)引直线，使𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A．4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 B．𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 C．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 D．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 6．已知    2,3 , 1, 2A B  ，若点  ,P x y 在线段 AB上，则 3 y x  的最小值为（ ） A．1 B． 3 5 C． 3- D． 1 2  7．设𝑚 ∈ 𝑅，过定点𝐴的动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0和过定点𝐵的动直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0交于点𝑃(𝑥, 𝑦)，则 |𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最大值（ ） A．2√5 B．3√2 C．3 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8．已知正项数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 满足2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，若𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + ，记[𝑚]表示 不超过𝑚的最大整数，则[𝑓(400)] =（ ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 = 𝑎 + 1，𝑆 = −35，则（ ） A．𝑎 = −3 B．𝑆 = 𝑆 C．对任意的𝑛 ∈ 𝑁 ，𝑆 ≥ 𝑆 D．对任意的𝑚 ∈ 𝑁 ，3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 10．设𝑘 ∈ 𝑅，过定点 A的动直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0与过定点 B的动直线𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0交于点 P，则下 列说法正确的有（ ） A．|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = 16 B．△ 𝑃𝐴𝐵面积的最大值为 C． | | + | | ≥ √ D．|𝑃𝐴| + √3|𝑃𝐵|的最大值为2√10 11．已知数列{𝑎 }，{𝑏 }，满足𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1，当𝑛 ≥ 2时，𝑎 ≠ 𝑏 ，则 （ ） A．𝑎 > 8 B．𝑎 + > 𝑎 + C．𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑎 D．(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) ≥ 4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．若直线𝑙 : 𝑎𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0与直线𝑙 : 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 − 𝑎 − 1 = 0平行，则直线𝑙 与𝑙 的距离为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = ，数列{𝑎 }满足𝑎 = 𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则 ∑ 𝑎 = ． 14．已知数列{𝑎 }，其中𝑎 = 1，满足𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1(𝑛 ∈ N∗)，设𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和，当不等 式𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025成立时，正整数 n的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知𝑆 为等差数列{𝑎 }的前𝑛项和，且𝑎 = 11, 𝑆 = 98. (1)求{𝑎 }的通项公式; (2)求𝑆 的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 16．（15 分）已知直线 l经过点  1,2P  . (1)若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的点斜式方程； (2)设 l的斜率 0,k l 与两坐标轴的交点分别为A 、B，当 AOB 的面积最小时，求 l的斜截式方程. 17．（15 分）已知数列{𝑎 }满足𝑎 = 4，且𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1. (1)证明：{𝑎 − 𝑛}是等比数列，并求{𝑎 }的通项公式； (2)在数列{𝑏 }中，𝑏 = 1，𝑏 = 𝑏 + ( ) ，求{𝑏 }的通项公式； (3)记数列{𝑐 }满足𝑐 = 𝑛𝑏 , 𝑛为奇数 𝑛(𝑎 − 𝑛), 𝑛为偶数 ，求数列{𝑐 }的前2𝑛项和𝑇 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（17 分）如图直线𝑙过点(3，4)，与𝑥轴、𝑦轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，△ 𝐴𝑂𝐵的面积为 24.点𝑃为线 段𝐴𝐵上一动点，且𝑃𝑄//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝑄. （1）求直线𝐴𝐵斜率的大小； （2）若△ 𝐴𝑃𝑄的面积𝑆△ 与四边形𝑂𝑄𝑃𝐵的面积𝑆 满足：𝑆△ = 𝑆 时，请你确定𝑃点在𝐴𝐵上的 位置，并求出线段𝑃𝑄的长； （3）在𝑦轴上是否存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，说明理 由. 19．（17 分）已知{𝑎 }和{𝑏 }是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于{𝑎 }中任意两项𝑎 , 𝑎 (𝑖 > 𝑗)，在 {𝑎 }中都存在一项𝑎 ，使得2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ；②对于{𝑎 }中任意一项𝑎 (𝑛 ≥ 3)，在{𝑎 }中都存在两项 𝑎 , 𝑎 (𝑘 > 𝑙)，使得𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ． (1)若𝑎 = 2𝑛，证明：数列{𝑎 }满足性质①②； (2)若{𝑎 }是单调数列，且满足性质①②，判断{𝑎 }是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列{𝑎 }和{𝑏 }满足（2）的条件，记𝑐 = max{𝑏 − 𝑛𝑎 , 𝑏 − 𝑛𝑎 ,⋅⋅⋅, 𝑏 − 𝑛𝑎 }（𝑛 = 1,2,3,⋅⋅⋅, max{𝑥, 𝑦, 𝑧,⋅⋅⋅ }表示 x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数 m，当𝑛 ≥ 𝑚时， > 𝑀； （ⅱ）存在正整数m，使得𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列．